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初圣场偏生小岁卡轴能力突破筑
(三)二次函数图象平移、旋转与轴对称问题
专题23二次函数图象平移、旋转与轴对称问题
关于二次函数图象平移、旋转与轴对称问题一直是很多地区的中考热点.平移、旋转
与轴对称是三种基本几何变换，这种变换仅改变了图形的位置，并没有改变图形的形状与
大小.因此变换下的两个图形全等，这样的变换被称为全等变换.解决变换问题的关键是
抓特殊点，由特殊点带动整体的变换.将函数与全等变换相结合，通过图象上特殊点的变
换来研究函数的变换是一种重要的方法.部分地区考查了二次函数图象变换前后的两个图
象的性质，分类讨论、数形结合思想是解决这类题目的关键
引例热身>》》
1.有两点A(x1,y),B(x2,y2),则线段AB的中点P的坐标为
2.已知点A(h,k),将点A先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点A'的坐标
为
3.已知点A(h,k)
①关于点(m,0)的对称点坐标是
②关于点(0，n)的对称点坐标是
③关于点(m,n)的对称点坐标是
④先将点A沿x轴翻折，再沿y轴翻折，得到点A'的坐标为
⑤先将点A绕其原点旋转180°，再绕点(1,2)旋转180°，得到点A'的坐标
为
思路指引
过点A,B,P
作：坐标轴的垂线
化斜为正
Fr-yN
点沿a轴平移
纵坐标个变
向右横坐标加
向左费华标诚
沿××变
点沿袖平移
横坐标不变
向上纵坐标
向下纵坐郁减
沿某立线靡折
或者】
找到对称中心
利川中点坐标
结论解决问题
绕某点旋苹180
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初子场偏生
中考满分数学世·会·通
B00
点拨分析
乌
在平面直角坐标系中研究点与线的问题，最常见的辅助线就是过已知，点作坐标轴的垂
线，源于点的坐标定义
1+2y+y2
2
2
厘由如下：如答图，p,p==”2点刀
的坐标为
1+2y1+y2
、2’2
引例热身题答图
2.(h-2,h-3)理由如下：点沿坐标轴的平移规律是沿x轴平移则x变，沿y轴平
移则y变，故点A'的坐标为(h-2,k-3).
3.①(2m-h,-k)②(-h,2n-k)③(2m-h,2n-k)④(-h,-k)⑤(2+
h,4+k)理由如下：关于某点的对称点、关于直线的翻折、绕某点旋转180°的问题，实
质都是线段中点问题，利用中点坐标结论来解决问题很方便，
典例串烧>)》
例1将抛物线y=-2x2+4x-1进行下列变换，直接写出变换后所得新抛物线的解
析式
(1)先向下平移4个单位，再向左平移3个单位.
(2)沿y轴翻折
(3)绕其顶点旋转180.
(4)绕点(2,1)旋转180°.
思路指引
个等变换前后l不少
逾变换后a的符号
得出遨物线的晖析式
求出原地物线的顶点
按变换方式求出顶点
迷津指点将抛物线y=-2x2+4x-1化为顶点式y=-2(x-1)2+1.然后确定变换
后二次项系数。的符号，再求出变换后的顶点即可
(1)y=-2(x+2)2-3;(2)y=-2(x+1)2+1;(3)y=2(x-1)2+1;(4)y=2(x-
3)2+1.
186初圣场偏生
参考答案
0
B00
测试闯关
②y=-(x-1)2-2
1.解：(1)y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,
③y=(x+1)2+2
.对称轴为x=-1,x<-1时，y随x的增
④y=-(x+1)2+4理由如下：原地物线的
大而增大，x≤-2，当x=-2时，最大值
顶点(1,2)绕点(0,3)旋转180°后对应顶点
y=-(-2)2-2×(-2)+5=5,无最小值.
为(-1,4)，旋转后开口向下，，所得图象
(2)x≤2，当x=-1时，有最大值y=6,无最
的解析式为y=-(x+1)2+4.
小值.
针对训练2：
(3)-2≤x≤1，当x=-1时，有最大值y=6:
解：(1)二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折得
当x=1时，有最小值y=2.
到函数的解析式为y=-x2+1,此时顶点坐标
(4)0≤x≤3，当x=0时，有最大值y=5:当
(0,1),将此图象向右平移2个单位长度后再
x=3时，有最小值y=-10.
向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的
顶点为(2,9)，故N的函数解析式y=-(x
2)2+9=-x2+4x+5.
(2)M与V所围成的封闭图形如图所示，由图
象可知，M与N所围成的封闭图形内（包括边
界)整点的个数为25个.先求出M与N的交
点坐标，可令x=-1,0,1,2,3,代入相应
的M,N的解析式，求得y值，在两个y值之
2.解：y=-x2+4x-5化为顶点式为y=-(x
间数出整数y的个数，即得整点的个数.
2)2-1,其对称轴为x=2,由题意知其最大值
为-10.当m-1>2,即m>3时，-(m-1-
2)2-1=-10,解得m1=6,m2=0(舍去)；当
m+1<2,即m<1时，-(m+1-2)2-1=
-10,解得m1=4(舍去)，m2=-2.当m-1≤
2≤m+1时，最大值等于-1≠-10.不符合题
意（舍去）.
综上所述，m的值为6或-2.
3.解：讨论对称轴与-2,1的三种关系，结合抛
物线的增减性来求m的值.y=(x-m)2+1-
m2的对称轴是x=m.①当m≤-2时，取x=
-2时，y粒小值=(-2-m)2+1-m2=-2,解
得m=-子（含去）.②当-2≤m≤1时，取
x=m时，y小值=(m-m)2+1-m2=-2,解
针对训练3：
得m,=-5,m2=5(舍去).③当m≥1时，
解：(1)点M(1,-a-2)绕点P(t,-2)旋转
180°得到点N,,点P为MN中点.设N(m,
取x=1时，y小做=(1-m)2+1-m2=-2,解
得m=2.
m),则有，m=,二a,2+n=-2,解得m
2
2
综上所述，m的值是-3或2
=2t-1,n=a-2.点N在直线l:y=2x
(三)二次函数图象平移、旋转与轴对称问题
a上，∴.a-2=2(2t-1）-a,解得a-2t.
(2):旋转前抛物线对称轴为直线x=1,.当
专题23二次函数图象平移、旋转与轴
a>0,抛物线开口向上时，在-2≤x<1的范
围内满足y随x增大而减小，.旋转后抛物线
对称问题
开口向下，且顶点N(21-1,a-2).要满
针对训练1：
足在-2≤x<1的范围内y随x增大而减小，
解：①4,8
即抛物线下降，，对称轴直线x=2t-1需在
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