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)圣场偏生
中考满分数学世·会·通
(四)动态抛物线问题
专题24
含字母系数抛物线的运动方式
近年来，部分地区引入字母系数考查二次函数的函数值、增减性等，综合地考查了学
生运用数形结合思想、函数和方程思想、分类讨论思想、转化思想解决数学问题的能力.
初中阶段研究坐标系中的问题往往以“点”为依托，通过几个特殊位置的点搭建“线”和
“形”，是初中生研究平面直角坐标系问题的基础所在，这也恰恰是研究含字母系数抛物线
的运动方式的基础所在.
引例热身>>
请写出当t变化时，下列各点的运动轨迹
①（小归
②(t,1)；③(t,-2)；④(t,2)；
⑤(2，-4-2
思路指引
设横坐标为x,纵坐标为y
将消元
得出点的运动轨迹
点拨分析
由于字母的引进，使点呈现出动态形式，抓住动态的规律是解决问题的基础，而运动
的规律就是由横纵坐标的特征或横纵坐标的关系决定的，研究特殊点的坐标变化规律即可
①点(-2，的运动轨迹为直线x=-
②.点(t,1)的运动轨迹为直线y=1.
③点(t,-2t)的运动轨迹为直线y=-2x.
④，点(t,t2)的运动轨迹为抛物线y=x2.
⑤设x=,y=--2,将1=2x代入y=--2,得y=-2-2,六点
2,-子-2的运动轨迹为抛物线y=--2
典例串烧》>》
例1请描述下列关于x的二次函数的运动方式：
(1)y=nx2-x+2(n≠0)；(2)y=x2+nx-1;(3)y=-x2+2x+n.
思路指引
口大小是中变化
对称轴的变化
观察，h.e
是本经过定点
顶点的运动轧迎
194
初子场偏生
中考卡轴能力突破篇
迷津指点，(1)如答图①②所示，解析式中a=n,说明抛物线的开口方向和形状都会
乌
变化；对称轴为x=一
,=),说明抛物线的对称轴位置会发生变化：c=2,说明图象过
2n=2n,
定点(0,2》：再看顶+2)=n=将n=入y
_1+2,得
2+2.说明此抛物线的顶点在直线y=-+2上运动.
1
(2)如答图③所示，说明抛物线的开口向上，且形状不变；图象过定点(0，-1)；此
抛物线的顶，点在抛物线y=-x2-1上运动.
(3)如答图④所示，说明抛物线的开口向下，且形状不变；抛物线顶点在直线x=1上
运动.
41
9-8-7-6-4-32
23
3-2-1124678前
图①
图②
-2-g
图③
图④
例1题答图
★针对训练1.请描述下列关于x的二次函数的运动方式：
①y=2-2+1:②y=-32+x-1(n0):③y=-2+2x-
3n.
195初是场锦生
参考答案
OCBD为矩形时，AO=AC,所以C0=CA=OA,
CD和抛物线的运动轨迹，再按顶点位置进行
即△OAC是等边三角形，所以1y,1=0A-
分段讨论
①当-m<0,即m>0时，如图①，此时抛物
2√5，即4a=±25，a=±
3
2
线顶点从y轴沿抛物线y=一弓+3向左下
运动，顶点可能落在线段CD和AB上，令
(四)动态抛物线问题
专题24含字母系数抛物线的运动方式
2m+3=2,解得m=±2m>0,
针对训练1：
m=万令-之m2+3=0,解得m=±6
解：①地物线的开口向上，且形状不变；顶点的轨
m>0,m=6,∴当2迹为抛物线y=-x2+1:图象过定点(0,1).
线顶点在矩形ABCD内部.②当-m>0,即
②抛物线的开口方向和形状都会变化；顶点的
1
的轨迹为直线y=2x-1:图象过定点
(0,-1),③抛物线的开口向下，且形状不
变：顶点的轨迹为直线x=1:图象不过定点，
针对训练2：
解：①抛物线的开口向上，且形状不变；顶点为
34
(子，-16-2n)顶点的轨迹为抛物线
图①
y=-x2-8x.y=x2-
2t-2n=x2-
m<0时，如图②，顶点可能落在线段CD和
n(分+2说明图象过定点(-4,16)
CB上，当顶点落在CD上时，令-2m2+3=
②地物线的开口方向和形状都会变化.顶点
2,解得m=±2.m<0,∴.m=-2;当
顶点落在CB上时，令-m=2,解得m=-2,
为(4,6)
.抛物线顶点的轨
.当-2迹为直线x=一子：并且顶点纵坐标随n增大
CD内部.
而减小y=x2+
经-=m(x+）
1
之，说明图象过定点(0，-2)和
D
(2,-)
③抛物线的开口方向和形状
-4-3-2-10
234
都会变化.顶点为(-1，-8n),.抛物线
顶点的轨迹为直线x=-1,并且顶点纵坐标随
图②
n增大而减小.y=2nx2+4nx-6n=2n(x2+
综上所述，.当22x-3)=2n(x+3)(x-1),说明图象过定点
时，抛物线顶点在矩形ABCD内部.
(-3.0)和(1,0)
测试闯关
针对训练3：
1.解：解析式中a=1,说明抛物线的开口向上，
解：顶点(-m,-之m2+3）说明顶点在抛物线
且形状不变；对称轴为y轴：c=t,说明图象与
y-宁+3上运动.=0时，y=3,说明
y轴交点发生变化；再看顶点(0，)，说明抛
物线顶点在y轴上运动.
图象过定点(0,3).在坐标系内画出矩形AB.2.解：解析式中a=1,说明抛物线的开口向上，
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