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初圣场偏生
中考满分数学描·会·诵
B00
且形状不变；对称轴为x=1,抛物线的对称轴
4顶点(-，)，说明顶点在抛物线y=上运色签乌圈动
位置会发生变化，且随t的增大而增大；c=
动：在坐标系内画出正方形ABCD和抛物线的
2-21,说明图象与y轴交点发生变化：再看顶
运动轨迹，再按顶点位置进行研究.如图，此
点(t,-2t),说明抛物线顶点在y=-2x上
时抛物线顶点沿抛物线y=x2运动，顶点落在
运动
线段AB上，产生临界值，令n2=2,解得n=
3.(1)-1
±2，.当-2(2)-4或号
理由如下：解析式中二次项系数
形ABCD内部
a是变量，说明抛物线的开口方向和形状都发
生变化：对称轴为x=2,说明抛物线的对称轴
位置不变；c=3a,说明图象与y轴交点发生变
化；y=ax2-4ax+3a=a(x2-4x+3)=a(x-
1)(x-3),当x=1或3时，y=0,.说明图象
4-
4
过定点(1,0)和(3,0)：再看顶点(2，-a),
说明抛物线在直线x=2上运动，并且顶点纵坐
标随a的增大而诚小.当a<0时，如图①，此
时抛物线开口向下且过定点(1,0)和(3,0)，
专题25
含字母系数抛物线与几何图形的
此时顶点最高，所以-a=4,a=-4；当a>0
交点问题
时，如图②，此时抛物线开口向上且过定点(1，
0)和(3,0)，此时x=4时的函数值最大，所以
针对训练1：
16a-16a+3a=4,a=3
4
解：由例1可知抛物线顶点(。。-)在直
综上所述，当a=-4或a=号时，函数最大值
线y=x-1上运动，并且顶点横、纵坐标在象
限内都随n的增大而增大，且过定点(0，
为4.
-1),所以可以令顶点从第三象限开始向第
象限移动进行研究，所以可分成两段讨论：
-1<0,即n>0和-1>0，即n<0.①当
n
-<0,即n>0时，可能与直线AB只有一
n
4
个交点，此时有方程a成2+2x-1=宁-多
其判别式号-2=0，解得a=令因此，当
n=号时，抛物线始终与射线1只有一个交
图①
点.②当-六>0，即n<0时，从右上沿直线
y=x-1向左下运动，有可能经过点B(1,
-1),将点B(1,-1)代人解析式y=x2+
2x-1中，得n=-2,因此当-2物线始终与射线BA只有一个交点.
针对训练2：
解：抛物线的开口向上，且形状不变；c=n,同时
不能提取关于n的公因式，说明图象不过定
图②
点；再看顶点(-1，n-1),说明顶点在直线
270)圣场偏哩
中考卡轴能力突破篇
乌
专题25
含字母系数抛物线与几何图形的交点问题
有关二次函数综合性问题是中考重点考查的内容之一，难度高，综合性强.引入字母
系数解决动点问题，既考查了基本几何图形、二次函数、方程建模、函数建模等知识，又
突出地考查了数学学科的数学抽象、逻辑推理等核心素养.在上一专题掌握了含字母系数
抛物线的运动方式后，本专题专门研究抛物线与几何图形的公共点问题
引例热身>>
5
4
在平面直角坐标系x0y中，点A(-4,-2),点B(2,
3
-2).若抛物线y=-(x-t)2+t+2的顶点在直线y=x+2
1
上移动，当地物线与线段AB有且只有一个公共点时，求t
-5-4-3-2-1012345x
的取值范围
21
恩路指引
-34
沿抛物线顶点轨
代人点A,B的
结合数图慈求
迹进行分类讨论
坐颜求的值
-5引
的收值范同
点拨分析
引例热身题图
将点A,B的坐标依次代入抛物线的解析式
中，求出t的值，然后结合图形，即可得出当抛
53
物线与线段AB有且只有一个公共，点时t的取值范
3
图.将A(-4,-2)代入y=-(x-t)2+t+2,得
-2=-(-4-t)2+t+2,解得t1=-3,t2=-4.
如答图，：抛物线与线段AB有且只有一个公共
5-4-11345
点，.-4≤t<-3.将B(2,-2)代入y=
-(x-t)2+t+2,得-2=-(2-t)2+t+2,解
得3=0,4=5.又抛物线与线段AB有且只有
一个公共点，.0<1≤5.
引例热身题答图
综上所述，【的取值范围为-4≤t<-3或0<1≤5，
◆)典例串烧>》
例1已知点A(-3,-3),点B(1,-1),关于x的抛物线C:y=n.x2+2x-1(n≠
0),当抛物线C与射线AB有两个不同的交点时，直接写出n的取值范围
201
初圣场偏生
中考满分数学描·会·诵
B00
恩路指引
由数创地，
中路径或参数，
代点定参
画数轴，
明确安化
进行分段讨论
求业界有
逐段研究
迷津指点，1.由数到形，
明确变化.抛物线的开口方向和形状都发生变化；c=-1,
说明因泉过定点0，：再看顶应(。-小
说明抛物线顶，点在直线y=x-1上
运动，并且顶点横、纵坐标在象限内都随n的增大而增大
2.由路径或参数，进行分段讨论.可以分n>0和n<0两种情况进行分类讨论，或者
因为顶点沿直线y=x-1运动，所以可以令顶点从第三象限开始向第一象限移动进行研究，
故分成-<0，即n>0和-日>0，即a<0两段来讨论，
3.代点定参，求出界值.先找到界点，然后求出临界值，即用特殊研究一般
(1)当-日<0，即n>0时，如答图①2，此时抛物线开口向上且过定点(0，-1)，
抛物线顶点从左下沿直线y=x-1向右上运动，可能经过点A(-3,-3).所谓“形无数难
入微”，从“数”的角度计算：将点A(-3,-3)代入解析式y=2+2x-1中，得n=号如
答图③④，沿直线y=x-1继续向右上运动，可能与直线AB只有一个交点，此时，方程
+2-1宁-的根的判别式}-2n=0,解得n=号，因此当号≤n<号时，抛物线
始终与射线AB有两个交点.如答图⑤，沿直线y=x-1继续向右上运动，因为抛物线过定
点(0，-1)，且对称轴小于0，所以始终与射线AB没有交点.
2
4-3-2立0234x
4-3-2-10
123
图①
图②
4
2
41
-3
图③
图④
例1题答图(1)
202

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