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)是场偏哩
中考卡轴能力突破篇
专题27
与圆有关的二次函数问题
初中阶段二次函数是代数中的重点，也是难点，圆是平面几何最具综合性的内容，两
者都在中考中占据极其重要的地位，经常放在压轴题的位置，能够很好地考查学生的数学
综合素养，分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，
其本质就是把位置关系向数量关系转化.两者结合在一起既是中考命题的热点，也常常作
为压轴题出现，
引例热身>》
1.如图，平面直角坐标系中，以点C(2,3)为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A,B两
点.若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A,B,试求此二次函数的顶点坐标
第1题图
第2题图
2.如图，抛物线y=-(x+1)(x-3)与x轴分别交于点A,B(点A在点B的右侧)，与y轴
交于点C,⊙P是△ABC的外接圆.
(1)直接写出点A,B,C的坐标及抛物线的对称轴
(2)求⊙P的半径
(3)点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC>90°，求点D纵坐标的取值范围.
思路指引
1.
求相关线段的长
转化成线段坐标
待定系数法求出6，c
(1)令=0，=0
晖乃祸
利用对称性求出对称轴
(2)
HA,G的坐标求
利刀同弧竹桥求
求出BC的值，山网股定
∠BC的度数
∠PC的度数
理或三角数求川半径
(3
当∠BDC=90时，
勾股定坪求
列方释求出
确D的纵华标
设点D的纵坐标为
出相关线段
的临界值
皮的耿值范用
223
初子场偏生
中考满分数学世·会·通
点拨分析
1.如图，要求A,B的坐标，可以转化为求相关线段的长，过点
C作CM⊥AB于点M,连接AC,已知AC=2,CM=3,由勾股定理，
得AM=1,则点A,B的坐标分别为(1,0)，(3,0)，代入y=x2+
bx+c中，抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1.故顶点坐
标为(2，-1).
第1题答图
2.(1)将求A,B,C的坐标转化为解方程.分别代入y=
0,x=0求出与之对应的x,y的值，点B的坐标为(-1,0)，
点A的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3).抛物线的对称轴
为直线x=1.
(2)由(1)知，∠OAC=45°，如图，连接CP,BP,由于圆
周角∠BAC与圆心角∠BPC对着同一条弧BC,所以∠BPC=
2∠BAC,可得出∠BPC=90°.在Rt△BOC中，由勾股定理，
第2题答图
得BC=0,PB=PC=2.BC=5,OP的半径为5.
(3)设点D的坐标为(1，n),可求出当∠BDC=90°时n的值，即D为以BC为直径的
圆与抛物线对称轴的交，点，据此可以求出临界点.当∠BDC=90°时，利用勾股定理知
BD2+CD2=BC2,[(-1-1)2+(0-n)2]+[(0-1)2+(3-n)2]=10,m1=1,n2=2.依
据图形及题意，当190.
)典例串烧>》>》
例1如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为(4，-1)
的抛物线交y轴于点A,交x轴于B,C两点（点B在点C的左
侧)，已知点A坐标为(0,3)
(1)求此抛物线的解析式.
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C
为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有
怎样的位置关系，并给出证明.
例1题图
思路指引
(1)》
设顶点式
代入点的坐标
解方程，求的伉
令解析式
求出.点B,(的
作垂线构
世较半径和园心
(2
=0
坐和对称轴
造相似形
到别称轴的币离
迷津指点用顶，点式设抛物线的解析式，将A点坐标代入其中，求出此二次函数的解
折式y=(x-4)2-1=2-2x+3.
224初圣场偏生
中考满分数学世·会·通
综上所述，满足要求的等边三角形的边长可以
帝乌
是6√3,27,2/13
专题27与圆有关的二次函数问题
针对训练1：
解：(1)如图，连接CD,CB,过点C作CM⊥AB
B
于点M.设⊙C的半径为r.:⊙C与y轴相
切于点D(0,4),.CD⊥OD.∠CD0=
∠CM0=∠DOM=90°，∴.四边形ODCM是矩
形，.CM=OD=4,CD=OM=r.B(8,
0),.OB=8,.BM=8-x.在Rt△CMB中，
BC2=CM2+BM2,.2=4+(8-r)2,解
图①
图②
得r=5,.C(5,4),.⊙C的标准方程为
(x-5)2+(y-4)2=25.
(2)如图②，△APQ是等边三角形，此时点Q
与点B重合，P在x轴下方，.等边三角形的
边长为AQ=AB=6√3.
(3)如图③，△APQ是等边三角形，此时点Q
与点C重合，点P在x轴上方，∴等边三角形
的边长为AQ=AC=27.
(2)直线AE和⊙C相切.理由如下：如图，连
接AC,CE.CM⊥AB,,AM=BM=3,
A(2,0),B(8,0).设抛物线的解析式为
图③
(4)如图④，△APQ是等边三角形，此时点Q
y=(x-2)(x-8).把D(0,4)代人y=
在第三象限，点P在x轴下方.PA=PB=PQ,
所以A,Q,B三点在以点P为圆心，PA为半径
a(x-2)(:-8).可得a=子，抛物线的解
的圆周上，∠AB0=号∠APQ=30,直线BQ
析式为y=4(x-2)(x-8)=42-子x+
1
5
的解析式为y=
5
3x-5,Q(-23,-7),
1
4=
子(：5)》-号，小抛物线的顶点
.AQ=2/13,即等边三角形APQ的边长为2/13.
5,)E+(=华cB
4+=草AC=5,CE=AC+AB
.∠CAE=90°，.CA⊥AE,,AE和⊙C是相
切的关系。
针对训练2：
的
解：(1)把A(-3,0),B(1,0)分别代入抛物线
2
解析式，得9a-36-2=0,
a="
3
解得
故该
la+b=0.
b=
4
3
21
4
图④
抛物线解析式是y=子+3x-2
278
)圣场偏生
参考答案
(2)若点D在x轴的下方，当点D为抛物线顶
测试闯关
乌
点(-1，时，C(0,-2),△ABD的
1.解：(1)∠ACB=90°，.AB是⊙0的直径.
令y=0,则m2-8mx-9m=0.m≠0，
面积是△BG面积的号倍：专<子，
5
.x1+2=8,.点0的坐标为(4,0).
:.D点一定在x轴上方.设D(m,n),
(2):∠ACB=90°，CD平分∠BCE,∴.∠BCD=
45°，∠D0B=90°，即0'D⊥AB,D(4,-5),
:△ABD的面积是△AC面积的子倍，n=
9…号+gm-2=9
直线BC的解析式为y=号-3，直线BD的解
.m=-4或
析式为y=x-9.
m=2.-4,9戌2,9）)
(3)分点P在直线BD下方和点P在直线BD上
方两种情况，分别求解即可，由点A,B,C的
(3)3提示：CF的值最小时，EF的值最小，
当CF⊥AB时，由勾股定理得EF的最小值
坐标得，抛物线的解折式为y=弓-弩-30
是3
针对训练3：
解：(1)连接PC,A(-4,0),B(1,0),
AB=5.P是AB的中点，且是⊙P的圆
心，.P℃=PA=2.5,0P=4-2.5=1.5.
.0C=√PC-0P2=2,.C(0,-2).设经
过A,B,C三点的抛物线为y=a(x-1)(x+
4,-2=a0-1D0+4),a=分抛
物线解析式为y=宁（x-1)(x+4)=宁2+
2-2
当点P(P)在直线BD下方时，直线DP的解析
(2)证明：只需证直线MC是⊙P的切线。将
式为y}-9@,联立①②，解得
y=2+-2配方.得=2(+2
9+9(不符合题意，奔去
2
点顶点为(-，-
设直线MC
故点P的坐标为9+√④④-29
（2,6
当点
1-2=b,
为y=x+b,则有
25
26*6,
3
得
P在BD的上方时，直线DH的解析式为y=
8、
3x-17③，联立①③，解得x=3或14（舍去x=
3).故点P的坐标为(14,25)，故点P的坐标
4直线MC为y=子x-2设Mc与
3
b=-2,
为9+厘，厘-29成14,25)，
2
6
x轴交于点N,在y=子-2中，令y=0,得
2.解：(1)四边形OKPA是正方形.证明如下：
⊙P分别与两坐标轴相切，PA⊥OA,PK⊥
0K..∠PA0=∠OKP=90°，又∠AOK=
90°，.∠PA0=∠OKP=∠AOK=90°，∴.四边
vom+0c-√含+2=9.G+
形OKPA是矩形，又.AP=KP,,四边形OKPA
PC2=PW2,.∠PCN=90°，.MC是⊙P的切
是正方形.
线.即过点C的⊙P切线必过抛物线的顶
(2)①如图①，连接PB,过点P作PG⊥BC
点M.
于点G,:四边形ABCP为菱形，BC=PA=
279

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