资源简介

)圣场偏生
中考满分数学彬·会·通
专题3有关四边形的解法和证明
四边形中涉及平行四边形和特殊的平行四边形的有关性质和判定的知识较多，这些知
识容易混淆，而且既涉及全等的有关知识，又涉及相似的有关知识，最近几年有关几何探
究的试题已成为中考的热点，经常以四边形有关知识为背景，设置相关计算和证明.转化
的思想方法在这一部分中体现得非常明显，如经常转化为三角形的全等或相似来解决相关
问题，还有特殊和一般的关系，经常从边、角、对角线、对称性等方面去考虑，关于面积
的求法也比较灵活，如常用割补或等积变形等方法
引例热身>>》
1.在平行四边形ABCD中，满足什么条件，能使四边形AECF是平行四边形（至少写出三
个)？请简要说明理由。
第1题图
第2题图
第3题图
2.顺次连接四边形各边中点所形成的四边形叫中点四边形.如图四边形EFGH是四边形
ABCD的中点四边形.满足什么条件，能使四边形EFGH是矩形、菱形、正方形？
3.矩形ABCD中，AB=6,BC=8,将△BCD沿BD翻折，试求阴影部分的面积
思路指引
呋想平行四边形的判
结合平行四边形的州质
补出缺失的条件
2
先证明是平行四边形
确定形状奴决丁对角线
4耳根陆判定寻我缺火条科
3
根据所积确定需求的量
观察目标最位置
什纠股定型得方程
点拨分析
1.要证四边形AECF是平行四边形，可以从边、对角线等角度思考如何得到四边形
AECF是平行四边形.E,F分别是对角线BD上的两个点，而平行四边形对角线互相平分，
只需满足AC和EF互相平分即可，所以可以添加BE=DF;或者添加AE⊥BD于点E,
CF⊥BD于点F,再通过全等证出一组对边平行且相等；或者添加AE和CF分别平分∠A和
∠C,也可以通过全等证出四边形AECF是平行四边形.
16
圣场偏生考必备知训应川第
2.根据题目中点的条件，可以连接对角线，由三角形中位线定理可得中点四边形一定
是平行四边形，而且中点四边形的形状一定和对角线的关系有关，可以运用逆推的方法，
由四边形EFGH是矩形、菱形、正方形反推出对角线的关系，由此可得出对角线AC⊥BD
时，四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，四边形EFGH是菱形；当AC⊥BD且AC=BD
时，四边形EFGH是正方形.
3.联想到三角形的面积，若DE为底，则高AB=6是已知的，所求目标转化为求DE.
根据翻折可证得BE=DE(平行线+角平分线，推出等腰三角形或证全等)，可以把已知量
和未知量统一到一个三角形中，利用勾股定理来解决问题.可设BE=DE=x,AE=8一x,
在△ME中，由均段定理，得6+(8-)=，解得x=空则S4m疗
4
典例串烧>》》
例1如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，
点E是AD的中点，过A点作AF∥BC,且交CE的延
长线于点F,连接BF,
(1)求证：四边形AFBD是平行四边形
(2)当AB=AC时，求证：四边形AFBD是矩形
(3)在(2)中△ABC再增加条件
则四边
例1题图
形AFBD是正方形
思路指引
山全铲及中位线理
证岁一到对边平行
(1
已知一组对边平行
乐证另红别边平行、
或者证该组对边机等
山全铲证该组对边相铲
(2)
〔上)已证平行叫边形
希证四边形某
山三线合一得到直
一内角为直布
(3)(2)已证矩形
纺合条件证邻边机等
出等腰知希
填方角条件
迷津指点(1)四边形AFBD对边已经平行，根据判定，只需证另一组对边平行或这
组对边相等即可，结合已知条件，由平行线加中点的条件可证得△AEF≌△DEC,可得
FA=CD,而BD=CD,可证出FA=BD,故四边形AFBD是平行四边形.（也可由全等证出
点E是FC的中点，由中位线定理得出FB∥AD)
(2)因为AB=AC,点D是BC的中点，由等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC,根
据矩形的定义证出四边形AFBD是矩形.
(3)由矩形到正方形，只需邻边相等即可，即AD=BD,所以添加的条件是∠BAC=90
或∠ABC=45.
17初子场偏生
参考答案
00
∠EBD=90°，BE=25,BD=5,DE=
5,BM=BE BD=2,:DM=/BD BM=
DE
1,..CM DM 1,CD =2,CDM
3.解：(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=
∠DCM=45°.'△ABE△CBD,·CD=BC
.AE AB
90°，AC=BC,AB=4,.AC=BC=2V2
2,∠CDB=∠AEB,.AE=22.:∠AEB+
:点D为BC的中点，CD=2BC=2,
∠PEB=180°，.∠CDB+∠PEB=180.
∴.AD=w/10.
∠EBD=90°，.∠APC=90°，PE=PD=
(2)证明：过点M作MH⊥BC于点H,连接AE.
AC⊥BE,CD=CE,,AE=AD,.∠EAC=
号E=5.c=m-m2,PA
义
2 an L PAC=PC=1
PE+AE=9
PA=3
专题3有关四边形的解法和证明
针对训练1：
解：(1)四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,AD=
BC,.∠EDO=∠OBF.点O是BD中点
D H
∴B0=D0.∠EOD=∠BOF,∴在△DE0
∠DAG.:∠CAD=∠DEF,∠EAC=∠DEF
和△BFO中，△DEO≌△BFO(ASA),OE=
.·∠AME=∠B+∠BEM,∠EAM=∠BAC+
OF,.四边形EBFD是平行四边形.又.EF⊥
∠EAC,∠CAB=∠B=45°，.∠AME=
BD,.四边形EBFD是菱形.
∠EAM,.AE=EM,,AD=EM,,△ACD≌
(2):四边形EBFD是菱形，，ED=EB.设
△EHM(AAS),∴.CD=MH,∴.BM=2MH=
AE=x,则ED=EB=8-x,在Rt△ABE中，
2CD.
BE2=AB2+AE2，即(8-x)2=x2+42,x=
4.解：AG=2BC+EC.理由如下：如图，延
3,.AE=3..DE=5,.四边形EBFD的周
长CF到点M,使得FM=CF,∴.△AFM≌
长=4×5=20.
△EFC(SAS),∴.EC=AM,∠M=∠ECF,.∠G=
针对训练2：
解：(1)如图①所示，作辅助线，构造三角形全
等，证明△AEM兰△EFN和△ADE≌△CDE
(SAS),可得AE=CE=EF,或者令EF与AB
的交点为Q,可证明△AQE≌△EQB,△ABE≌
△CBE,则∠F=∠BAE=∠BCE,△EFC为等
腰三角形，则总有EF=CE.
(2)分两种情况：根据三角形的面积公式可得
∠ECF=∠M,.△ACM≌△BCG(AAS),
y与x之间关系的函数表达式，根据勾股定理
∴.AM=BG,∴.EC=BG.CA=CB,∠ACB=
计算BD的长可得x的取值.在Rt△BCD中，
90°，AB=2BC,,AG=AB+BG=2BC+EC.
5.解：(1)∠ABC=∠EBD=90°，∴.∠ABE=
LCBD.AB =6,BC =3,EB =25,BD
5,8-3=2.△MBE△cm
(2)如图，设DE交BC于点M.在Rt△DEB中，
B
图①
图②
由勾股定理，得BD=√52+52=52，.0≤
≤52，①当0≤x≤5,2时，如图@，由勾股
2
定理可知EN=
2
2,FB=5-2BN=5-w2x,
233

展开更多......

收起↑