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)圣场偏生
中考满分数学柑·会·通
专题4有关圆的解法和证明
圆可以和直线型所有知识融合在一起，集几何之大成，中考中可以在选择题、填空题、
解答题等试题中呈现.本专题主要讲解圆中角度、线段、面积等基础知识的运用，并结合
典型题的解证总结和概括解题规律和解题方法.主要知识点有：①圆周角、圆心角、圆内
角、圆外角及它们所对的弧之间的关系；②圆中的直角三角形，主要是作垂线运用垂径定
理、直径所对的圆周角是直角和切线性质：③切线的两种判定方法，三种位置关系向数量
关系转化：④面积的计算等，
◆引例热身>>
1.如图，在⊙0中，∠ABC=20°，∠DAC=24°，则∠AD0的度数为
A.43
B.44o
C.45
D.469
B
第1题图
第2题图
第3题图
2.如图，菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点
D.若⊙O的半径为1，则BD的长为
()
A.1
B.2
C.2
D.3
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=12cm,将△ABC绕点B顺时针旋
转，使点C落在AB的延长线上的点D处，则阴影部分的面积是
()
A.12T
B.36m
C.27T
D.30T
思路指引
观察角的位
极是网心角和网周角的联系桥
元成角的转化
2.
利用切发禅质
有切点，连半径，得垂直
求出相关线致
根深旋转特点
通过割补转化
实现等积变形
点拨分析
1.给出的已知角都是圆周角，连接OA,OC构成圆心角，找圆心角与圆周角的关系是
关键，而它们所对的同一条孤是桥梁.联想到同孤所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，
24
圣场偏生考必备知训应川第
得∠AOC=2∠ABC=40°，∠C0D=2∠CAD=48°，可求得∠AOD=88°.由等腰三角形
0AD,得∠AD0=∠0AD=2×(180-88）=46.故选D
2.从图中可以看出，连接OB,可得△OBD是直角三角形，由四边形OABC是菱形和
同圆半径相等，得∠AOB=60°.根据直角三角形的边角关系，得OB=1,BD=√3OB=√3.
故选D.
3.从图中可以看出，由旋转可知，寻找旋转中的不变量，可以把阴影部分的面积转化
为一个扇面，即两个扇形面积的差，所以S削形=S帝移BE+S△E-S扇形BGD一S△ABc=S病形s
S角形BCD,
纯定两个扇形的丰径，求出扇移所在的园心角度北，BC=号B号x12
62(cm),∠ABE=∠CBD=180°-45°=135°，可求出阴影面积为27r(cm2).故选C.
◆)典例串烧>>》
例1已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙0的切线，与C0的延长线交于点P,
CP与⊙0交于点D.
(1)如图①，若△ABC为等边三角形，求∠P的大小
(2)如图②，连接AD,若PD=AD,求∠ABC的大小
B
图①
图②
例1题图
恩路指引
以弧为桥将回州角
连圆心和切点
三角形外角等十和它不
1
与网心角互杯转化
得角三角形
杆邻的两个内角的和
得等腰
PD=AD
2
连半径
求得门标角
由切线
得生直
等边对等角
迷津指点，从条件出发，连接OA,由切线的性质，得∠PAO=90°
(1)由△ABC是等边三角形，得∠B=60°，可推出∠AOC=120°，从而得出∠P=30°，
(2)由PD=AD,得∠P=∠PAD,而OA=OD,∠OAD=∠AD0=2∠P=2∠PAD,且
∠PA0=90°，可得∠P=∠PAD=30°，∠A0C=120°，所以∠ABC=60°.
25初子场馆生
参考答案
09
B00
3x12x8=48
M,N为顶点的四边形是平行四边形.
乌
4.D理由如下：，四边形ABCD是矩形，，AB=
专题4有关圆的解法和证明
CD,AB∥CD,∠DAE=∠BCF=90°，OD=
针对训练1：
OB=OA=OC,AD=BC,AD∥BC,∴.∠DAN=
D解析：连接0A,∠AOB=90°-∠B=52°，
∠BCM.BF⊥AC,DE∥BF,∴DE⊥AC,
,∠DNA=∠BMC=90°.在△DNA和△BMC中，
∠DAN=∠BCM,
∠DNA=∠BMC,∴.△DNA≌△BMC(AAS),
AD BC.
∴.DN=BM,∠ADE=∠CBF,故①正确.在
I∠ADE=∠CBF,
△ADE和△CBF中，
AD=BC,∴.△ADE≌
∠0C1=∠0MC=7×(180°-52)=640，∠D0C=
I∠DAE=LBCF,
△CBF(ASA),AE=FC,DE=BF,放③正确，
∠0C1=64,∠0DC=∠00D=3×(180°-
.DE-DN=BF-BM,即NE=MF.DE∥
640)=580
BF,.四边形NEMF是平行四边形，.EM∥
FN,故②正确.，AB=CD,AE=CF,,BE=
针对训练2：
DFBE∥DF,.四边形DEBF是平行四边形
解：(1)证明：连接OB,如图.：AD是⊙0的直
AO=AD,.A0=AD=OD,△AOD是等边
D
三角形，∴.∠AD0=∠DAN=60°，·∠ABD=
90°-∠AD0=30°.DE⊥AC,.∠ADN=
ODN=30°，∴.∠ODN=∠ABD,.DE=BE,
,四边形DEBF是菱形，故④正确.故正确结论
的个数是4个.
5.解：(1)证明：∠BAC=∠DAE,得出∠BAD=
∠CAE,由SAS即可得出结论.
径，.∠ABD=90°，.∠A+∠ADB=90
(2)求出∠ACB=∠ACE=30°，由平行线的性质
OA=OB,∠A=∠OBA.∠CBE=
得出∠MEC+∠ECD=180°，即可得∠MEC=
∠ADB,.∠OBA+∠CBE=90°，.∠OBC=
180°-60°=120°.
180°-90°=90°，.BC⊥0B,.BC是⊙0的
(3)证明：由△BAD≌△CAE,得出DB=CE,
切线.
再证明∠ACE=∠EMC,得出ME=EC,推出
(2),AD是⊙0的直径，.∠ABD=90°，
DB=ME.已知EM∥BC,故四边形MBDE是平
.∠A=60°.0E⊥AD,.∠A0E=90°，
行四边形.
.∠E=30°.∠CBE=30°，∠CBE=
6.解：四边形ABCD是矩形，.AD=BC=
∠E=30°，，CE=CB,∴，∠BC0=60
24cm,AD∥BC,.当PN=QM时，以P,Q,
M,N为顶点的四边形是平行四边形.
L0BC=90,0B=0M=3,∴BC=30B=
①当点P,Q都在左侧时，PV=QM,则24
2x-x2=24-x-3x,整理，得x2-2x=0,解得
5,CE=3
针对训练3：
x1=0(舍去)，x2=2.
②当点P在右侧，点Q在左侧时，PN=QM,
解：(1)证明：连接OC.CE是⊙0的切线，
则(2x+x2)-24=24-x-3x,整理，得x2+
6x-48=0,解得x1=-3+√57，x2=-3
√57（舍去）.
③当点P,Q都在右侧时，PN=QM,则(2x+
x2)-24=x+3x-24,解得x1=0(會去)，
x2=2.
.OC⊥CE,.∠OCB+∠BCE=90°.：AB是
④当点P在左侧，点Q在右侧时，PVN=QM,
⊙0的直径，∠ACB=90°，.∠CAB+
则24-2x-x2=x+3x-24,解得x1=-3+
∠0BC=90°.0C=0B,∴.∠0CB=∠0BC,
57,2=-3-57(舍去).
.∠CAB=∠BCE.AC平分∠DAB,
综上所述，当x为2或-3+√57时，以P,Q,
.∴.∠CAD=∠GAB,∴.∠CAD=∠BCE
235

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