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)圣场偏哩
考必备识成刀篇
专题5锐角三角函数的应用
锐角三角函数是解决实际问题的重要工具之一，也是每年中考的必考点.学习这部分
知识时，我们往往先把实际问题抽象成数学模型，然后在相关条件的直角三角形中，利用
锐角三角函数联系边和角的关系，利用已知角和边求出未知量，
心引例热身>》
1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2km的点A处，如果海轮沿正
南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是
()
A.2 km
B.2sin 55 km
C.2cos55°km
D.2tan 55 km
北
B
第1题图
第2题图
第3题图
2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B,C在同一水平面上).为了
测量B,C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升1O0m到达A
处，在A处观察B地的俯角为30°，则B,C两地之间的距离为
()
A.100w3m
B.502m
C.503m
D.
1003
-m
3
3.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：√3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC
之比)，坝高BC=3m,则坡面AB的长度是
()
A.9 m
B.6 m
C.63m
D.3√3m
思路指引
确联系已知边与
根批布函墩建
找淮条件相关的立角三角形
卡知边的三角函数
立关系式求边
在直角三角形中，锐角三角函数：sina=
对边
邻边
对边
斜边，Cosa=
斜边，tana=邻边
图形特点：三角函数知识是在直角三角形这部分内容中学习的，因此做（或利用）三角
函数试题（解决问题）时，需找准相关边、角的直角三角形.这类试题，题目条件中的角通
常涉及三类问题：方位角（南北为基准向东西方向偏的夹角）、俯角仰角（视线与水平线的
夹角)、坡度坡角（坡度或坡比一
坡面的铅垂高度
坡面的水平长度'
坡角指坡面与水平面的夹角)，而这些
角通常结合平行线或垂线转化到相关直角三角形中.
31
初子场锦生
中考满分数学·会·
点拨分析
1.首先，由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2km,∠ABP=90°，然
后由AB∥NP,根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°，然后解Rt△ABP.在Rt△ABP
中，∠ABP=90°，得出AB=AP·cos∠A=2cos55(km),故选C.
第1题答图
第2题答图
第3题答图
2.首先，根据题意，得∠ABC=30°，AC⊥BC,AC=100m,然后利用正切函数的定
义，在R△ABC中，∠ACB=90°，BC=an∠ABc=3=1003(m),故选A
3
3.在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即
可求出斜面AB的长.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC÷tanA=33m,AB=
√32+(33)=6(m),故选B.
典例串烧>》
例1如图，在A港口的正东方向有一港口B.某巡逻艇
北
从A港口沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，
立刻在C处沿东南方向以20km/h的速度行驶2h到达港口
B.求A,B两港之间的距离.（结果保留根号）
例1题图
思路指引
构造们关边角所
从已别·条边和个角的
把所求边代入第二
在直角二角形
直角二角形人于求其他边
个自角三角形求边
迷津指点，过点C作CD⊥AB于点D,根据题意，得
北
∠ACD=60°，∠BCD=45°，由此构造出BC边所在的等腰直
角三角形BCD和有一个60°角的Rt△ACD.因为已知BC=
6i0
20×2=40(km),所以先从Rt△BCD入手.在Rt△BCD中，
东
∠CDB=90°，根据锐角三角画数可求出CD=BD=2BC=
例1题答图
2
20√2km.再把CD代入Rt△ACD中，在Rt△ACD中，∠CDA=90°，得AD=CD·tan60°=
20V6km,即AB=AD+BD=20w6+20√2(km).
32初圣场锦生
参考答案
09
解得AC=20cm,.⊙0的
(2)BF⊥AC,.∠BPA=∠BPC=90°，
.∠C=45°，∴.△BCP是等腰直角三角形，
半径是10cm.
∴BP=PC.∠BAC=30°，.PA=3BP.由
5.解：(1)如图，过D作DM⊥BC,垂足为M.
题意，得BP+3BP=10,解得BP=53-5.
针对训练2：
解：如图，设直线DH交EG于点M,交AC于点
N,则EM=AN.设AN=x,则PM=x+2.25.
4537出
∠ACB=90°，.DM∥AC,.△DMB
G C
AACB.AD =4BD,AC=3,BC =1,..DM=
在R△AND中，∠ADN=45,.AN=ND=
x.,AE=MN=2,则MH=6+x+2=8+x.
与4c=号.cW=号c=号
在Rt△DMC中，
在Rt△PHM中，∠PMH=90°.lan37°=
m∠0n:2:子，pm∠n:子
,+2235=0.75,解得x=15,4C月
x+8
AW+NC=15+1.7≈17(m),故广告牌的高度
(2)①如图，连接OE,OF,⊙0与AC相切
为17m.
针对训练3：
解：过点D作DG⊥BC于点G,DH⊥AB于点H,
交AE于点F,如图所示.，坡面CD=10m,
4
蒡
30
G C E
B
于AC的中点E,.OE⊥AC,作OH⊥BF,垂足
山坡的坡度i=1:5,.DG=5,CG=55.
为H,∠ACB=90°，，四边形OHCE为矩形
在R△ADM中，∠AHF=90,an30°=
设⊙0的半径为r,则OF=OE=CH=r,
DH
0H=cE=C=子，F=BH=CH-BC=
=t,则D明=3x,GB
r-1,.在Rt△OHF中，OF2=OH+HF2,
.EB GB CG -CE =3x-53-10,AB
=(侵+(-1只，解得r=号
AH+HB=x+5.在Rt△AEB中，tan∠AEB=
品-5，小85-0
x+5=5,解得x=10+
②AF与CD的位置关系是AF⊥CD.理由如下：
如图，延长CD,交AF于点K由(1)知，
53,AH =10 +53..AB=AH BH
CP=BC+BF=1+2-)=号，在m△ACF
10+55+5=15+5515+5×1.73≈
23.7(m).
中，∠ACB=90°，am∠CAF=GE
3
AC=4
答：楼房AB高度约为23.7m.
测试闯关
3
tan LBCD=4,六LCMF=LBCD,即∠CAF=
1.解：过点B作BG⊥AD于点G.:在Rt△ABG
中，∠BAG=30°，AB=10km,,AG=5√5km.
∠FCK.:∠CAF+∠F=90°，∴.∠FCK+
∠F=90°，即AF⊥CD.
专题5锐角三角函数的应用
针对训练1：
37
y3D°
解：(1)3045
237

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