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专题6.11 线段中的动态模型
模块1：学习目标
线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块2：知识梳理
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
模块3：核心模型与典例
模型1、线段中点、和差倍分关系中的动态模型
例1．（2022·重庆七年级期末）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．
（1）________，________，________．
（2）点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．（3）点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1），，；（2）或或或；（3），1，，8，12
【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值；
（2）由题意知，依次求出PC、PB的长，再进行分类讨论即可：当从到时，当从到时，当从到时，三种情况分类讨论．
（3）以点从为PN中点时，当0【详解】解：（1）∵是最大的负整数，且，满足，
∴b=-1，a+3=0，c-9=0，∴a=-3，c=9．故答案为：-3；-1；9．
（2）由题意知，此过程中，当点P在AB上时．
∴PA+PB=AB=b-a=-1-(-3)=2∴．
又∵BC=c-b=9-(-1)=10．∴PB=PC-BC=11-10=1．
当从到时，如图所示：∵PB=1，可以列方程为：3x=1，解得：x=1；
当从到时，分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时，如图所示：
可以列方程为：3x=3,解得：x=1，
②当P在线段BC之间时，如图所示：
∵PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，∵PB+PC=10∴PA=13-10=3，∴PB=PA-AB=3-2=1，
可列方程为：3x=5解得：．
当从到时，如图所示：
可列方程为：3x=23，解得：．综上所述，或或或．
（3）当点从为PN中点时，当0（-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t），解得t= （舍去）．
当≤t≤时，点P从A返回向B运动．此时，P=-3+3（t-）=3t-5．3t-5+9-5t=2（-3+4t），解得t=1．
当P为MN中点时，t>．（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t= ．
当点N为PM中点时，t>．（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=．
综上所述，t的值为1， 或．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
例2．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．
(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒
【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可；
（2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可；
（3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可．
（1）AB=12，且，两点表示的数互为相反数，点表示的数是，故答案为：；
（2）AB=12，，，，设经过秒点是的中点，
根据题意列方程得，解得，故答案为：8；
（3）设点运动了秒时，
①当点在点左侧时，即，根据题意列方程得，解得；
②当点在点右侧时，即，根据题意列方程得，解得；
综上，当运动了秒或秒时．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
例3．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：
（1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______
（2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______
拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？
【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13
【分析】(1)根据点P运动的速度及的长，即可解答；
(2)根据点P运动的速度及、的长，即可解答；
(3)分两种情况，列出方程即可分别求解．
【详解】解：（1）线段长为，点从点A以的速度向点运动，
，，故答案为：，；
（2），，动点以的速度从A点沿着运动，
当点P在上时，，当点P在上时，，
故答案为：或；
（3）当点在点的左边时，，即，，解得，
当点在点的右侧时，，，解得，故为11或13时，．
【点睛】本题考查了动点问题，列代数式，一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
模型2、线段上动点问题中的存在性（探究性）模型
例1．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ 　，n＝ 　；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点 ∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN=AC +CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有： 解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点 ∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0 ∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
例2．（2022·四川·成都实外七年级开学考试）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　；
（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），线段AP、CQ、PQ有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】（1）4；（2）PQ是一个常数，即是常数m；（3）2PQ﹣2AP=CQ，见解析．
【分析】（1）根据已知AB＝6，CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答；
（2）由题意根据已知条件AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP进行分析即可；
（3）根据题意，画出图形，求得2AP﹣2PQ+CQ＝0，即可得出2PQ﹣2AP=CQ．
【详解】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC，
∵点C恰好在线段AB中点，∴AC＝BC＝AB，
∵AB＝6，∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝×AB＝×6＝4；故答案为：4；
（2）①点C在线段AB上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC，
∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ+CP=AC+BC＝×（AC+BC）＝AB=m；
②点C在线段BA的延长线上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC，
∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m；
③点C在线段AB的延长线上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC，
∵AB＝m（m为常数）∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m；
故PQ是一个常数，即是常数m；
（3）如图：
∵CQ＝2AQ，
∴2AP+CQ﹣2PQ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ＝CQ﹣2AQ＝2AQ﹣2AQ＝0，
∴2PQ﹣2AP=CQ．
【点睛】本题主要考查线段上两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．
模型3、阅读理解型（新定义）模型
例1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；
（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或
【分析】（1）①可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
②可分为三种情况进行讨论，分别求出BC的长度即可；
（2）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；
（3）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论．
【详解】解：（1）①因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，
该线段等于2倍的中点一侧的线段长．∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是.
②∵，是线段的“二倍点”，
当时，；
当时，；
当时，；故答案为：10或或；
（2）当AM=2BM时，20-2t=2×2t，解得：t=；
当AB=2AM时，20=2×（20-2t），解得：t=5；
当BM=2AM时，2t=2×（20-2t），解得：t=；
答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”；
（3）当AN=2MN时，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；
当AM=2NM时，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=；
当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=；
答：t为或8或时，点M是线段AN的“二倍点”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键．
例2．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）点是线段上一点，若（为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称是的最强点；，则是的最强点．
(1)点在线段上，若，，点是的最强点，则______．
(2)若，是的最强点，则______．（用的代数式表示）
(3)一直线上有两点，，，点从点出发，以每秒的速度向运动，运动到点时停止．点从点出发，以每秒的速度沿射线运动，为多少时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用的代数式表示）
【答案】(1)(2)(3)或或或或
【分析】（1）根据“最强点”的定义计算即可；（2）根据“最强点”的定义列式即可；
（3）将点、的运动分成未相遇，相遇后，点经过点后，和点到达点后四种阶段讨论，并且每个阶段又有可能有2种不同的点的情况．
【详解】（1）解：点是的最强点，，
，，，故答案为：；
（2）解：是的最强点，，，
又，，，
，故答案为；
（3）解：根据题意，当时、相遇，，解得，
阶段一：点、未相遇时，即时，
①设时点为的最强点，，
，，，解得，
又，即，，
为大于1的正整数，不满足题意，舍去；
②设时，点为的最强点，，
，，，解得，
又，即，，
为大于1的正整数，符合题意；
阶段二：点、相遇后，且点未到达点，即时，
③设时，点为的最强点，，
，，，，
又，即，，
为大于1的正整数，符合题意；
④设时，点为的最强点，，
，，，，
又，即，，
∵n为大于1的正整数，符合题意；
阶段三：点经过点后，且点未到达点，即时，
⑤设时，点为的最强点，，
，，，，
又，即，，符合题意；
⑥设时，点为的最强点，，
，，，，
又，即，，不符合题意，舍去；
阶段四：点到达点后，即时，
，，点不可能为的最强点；
⑦设时，点为的最强点，
，，，，
又，即，，符合题意；
综上所述，当为或或或或时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，线段上的动点问题，运用分类讨论的思想，正确地列出代数式表示出线段的长是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共26题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·山东烟台·七年级期中）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒
【答案】C
【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解．
【详解】解：由已知当PB=AB时，PB=，设点P运动时间为t秒，则AP=2t
当点P在B点左侧时2t+=8 解得t=，当点P在B点左侧时2t-=8 解得t=
所以t=或t=．故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时根据已知的线段数量关系构造方程．
2．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）如图，线段的长为6，点C为线段上一动点（不与A，B重合），D为中点，E为中点，随着点C的运动，线段的长度为（　　）
A．不确定 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【分析】由D为中点，E为中点得到，，进一步可得到的长度．
【详解】解：∵D为中点，E为中点，∴，，
∴．故选：C
【点睛】此题考查了线段中点的相关计算，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．
3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（　　）
甲：当点B与点O重合时，；
乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；
丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变
A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙
【答案】D
【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法；
乙：画出图形，设点P表示的数为x，则，可判断乙的说法；
丙：设点B表示的数是m，则点C表示的数是，利用中点公式表示出M、N表示的数即可求解．
【详解】甲：如图1，当点B与点O重合时，
，故甲的说法错误；
乙：如图2，当点C与点A重合时，
设点P表示的数为x，则，
∴，故乙的说法正确；
丙：点B表示的数是m，则点C表示的数是，
∵O是原点，点A表示的数是4，M，N为线段的中点，
∴点M表示的数是，点N表示的数是，
∴，故丙的说法正确．故选D．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键．
4．（2023·河南驻马店·七年级校考期末）线段 ，点A从点M开始向点N以每秒1个单位长度的速度运动，点B从点N开始以每秒2个单位长度的速度向点M运动，当时，t的值为（ ）
A．秒 B．秒 C．12秒 D．秒或12秒
【答案】D
【分析】分A，B相遇前和相遇后两种情况，列代数式表示出的长度，根据等量关系列一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得，，当时，分两种情况：
当A，B相遇前，，因此，解得；
当A，B相遇后，，因此，解得；
故当时，t的值为秒或12秒．故选D．
【点睛】本题考查线段的和差关系，一元一次方程的应用，解题的关键是注意分类讨论．
5．（2022·广东七年级课时练习）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，列式计算即可．
【详解】根据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，
∴8-7t=4-2t或7t-8=4-2t，解得t=或，故选C．
【点睛】本题考查了数轴上两动点间的距离，用定数，运动距离表示动点表示的数是解题的关键．
6．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，
下列结论①，；②当点与点重合时，；
③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出，，即可判断①结论；根据点与点重合时，得到点表示的数为2，即可判断②结论；设点对应的数是，根据数轴上两点之间距离公式得出，，，即可判断③结论；先根据数轴上两点之间距离公式得到，再利用线段中点得到，即可判断④结论．
【详解】解：，，，，，①结论正确；
点所对应的数是，点所对应的数是4，，，
当点与点重合时，且点在点的左侧，
点表示的数为2，，②结论错误；
当点与点重合时，点对应的数是4，点对应的数是2，
设点对应的数是，则，，，
，③结论正确；
，，，
为线段的中点，为线段的中点，
，，④结论正确，
结论正确的是①③④，故选D．
【点睛】本题考查了数轴的性质，解题关键是掌握数轴上两点之间的距离公式，线段中点的含义．
7．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，为射线上一点，，比的多，，两点分别从，两点同时出发．分别以单位秒和单位秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为秒，为的中点，为的中点，以下结论：①；②；③当时，，其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比的多，可分别求出与的长度，以为原点建立数轴如下图，再利用数轴上两点间的距离公式与中点对应的数，列代数式，一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：设， ∴，
∵，∴， 解得：，
∴，， ∴，故①符合题意，
以为原点建立数轴如下图，
则对应的数为，对应的数为，后对应的数为，对应的数为，
∵为的中点，为的中点，
∴对应的数为，对应的数为：，
∴，∴，故②符合题意，
同理：，，
当时，∴，∴或， 解得：或，
综上所述，当时，或，故③不符合题意； 故选：C．
【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是以为原点建立数轴．
8．（2022秋·贵州六盘水·七年级统考期中）如图，已知，（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确的有( )
①点对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度不变．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．
【详解】解：设点对应的数是，
点对应的数为，且，，，点对应的数是，故①正确；
由题意得：（秒），点到达点时，，故②正确；
当点在点右边时，，，，（秒），
当点在点左边时，，，，（秒），
综上，时，或；故③错误；
，始终为，的中点，，，
当点在点右边时， ，
当点在点左边时， ，
在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确；
所以，上列结论中正确的有个，故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．
设运动时间为秒．

（1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ；
（3）点、相遇时， 秒．
【答案】 7.2
【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置；
（2）由题意知，；（3）由题意知，，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒，
点从，运动时间为秒，
∵，∴当点到达终点时，点运动路程为，
∵，∴点在边上，故答案为：；
（2）解：由题意知，，故答案为：；
（3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2．
【点睛】本题考查动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．（2022·沙坪坝区·七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
【答案】1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
11.（2023秋·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．

【答案】或或33
【分析】分点为的中点，点为的中点，为的中点，三种情况进行讨论求解．
【详解】解：∵，∴，
①当点为的中点时，，解得：；
②当点为的中点时，，解得：；
③当为的中点时，，解得：；
综上：或或；故答案为：或或33
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，与线段中点有关的计算．解题的关键是读懂题意，利用分类讨论的思想，正确的列出方程．
12．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．
有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③/③①
【分析】①根据线段的中点的定义以及点、可确定点、表示的数，进而得到的长度；②由，分两种情况讨论：点在点的右侧时以及点在点的左侧时，可得到点表示的数，由点为线段的中点可得点表示的数，进而得到的长度；③当时，可得到、的长，从而确定点、，即可得到的长；④当时，可得到、的长，从而确定点、，进而判断．
【详解】①若点表示的数是3，∵点为线段的中点，表示的数是1，
∴，，即表示的数是2，∴，故①正确；
②若，当点在点的右侧时，则点表示的数是4，
∵点为线段的中点，∴，即表示的数是，∴，
当点在点的左侧时，则点表示的数是，
∵点为线段的中点，∴，即表示的数是，
∴，综上，，故②不正确；
③当时，，，
∵、表示的数分别是，1，∴、表示的数分别是，，∴，故③正确；
④当时，，，∴、表示的数分别是，，
∵点在、的左侧，不可能是线段的中点故④不正确；故答案为：①③
【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据非负数的性质可得a和b的值，可判断；②如图1，根据数轴可直观得出；
③如图2，分别计算，的值可判断；④分四种情况，根据图形分别计算的长即可可判断．
【详解】解：①∵，
∵，∴，∴；故①正确；
②如图1，当点B与点O重合时，；故②不正确；
③如图2，当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，
∴，∴；故③正确；
④∵M为线段的中点，N为线段的中点，
∴
分四种情况：1）当C在O的左侧时，如图3，
；
2）当B，C在O的两侧时，如图4，
；
3）当B，C在线段上时，如图5，
；
4）当B和C都在A的右边时，如图6，
；
∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，线段的长度不变．
故④正确；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．
14．（2022·四川·石室中学七年级期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端、分别落在点、处．将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点时，点所对应的数为，当的右三等分点移动到点时，点所对应的数为，则木棒的长度为_______．
【答案】
【分析】如图，为的中点，为的三等分点，设 再利用线段的和差关系表示 结合题意可得对应的数为，对应的数为 再求解 从而可列方程求解于是可得的长．
【详解】解：如图，为的中点，为的三等分点，
设
由题意得：
对应的数为，对应的数为
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的中点，线段的三等分点的含义，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
15．（2023·河北承德·统考二模）如图，数轴上点M对应的数为，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形的边在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知，，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．

(1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示，不必写范围）．(2)若，当，即点Р在边上时，点Р对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示）；(3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则 ．
【答案】(1)(2)(3)100
【分析】（1）根据线段的和与差可得，即可求得；
（2）根据P的速度和矩形的周长，求得P运动的总时间，进一步求得矩形的速度，即可求得；
（3）根据点Р对应数轴上的数不变，判定矩形和P的运动方向和运动速度，求解即可．
【详解】（1）解：若矩形速度为l，则点A的速度也为l，则运动的距离为，故，
即的值为；故答案为：．
（2）解：点P的速度为2，则运动总时间为（秒），
从M到N，长度为70，所以矩形运动速度为，
所以当点Р在边上时，点Р对应的数为，故答案为：．
（3）解：点P对应的数不变，说明矩形向右运动，点Р向左运动，二者速度“抵消”了，
所以矩形的运动速度与点P的运动速度相等，
所以，解得，故答案为：100．
【点睛】本题看了数轴，矩形的周长，动点问题等，根据点Р对应数轴上的数不变，判定矩形和P的运动方向和运动速度是解题的关键．
16．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）如图，点是线段上一点，，动点从出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点从出发以的速度沿直线向终点运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动．在运动过程中，总有，则 ．
【答案】/6厘米
【分析】设运动时间为秒，，将图中线段用和的代数式表示出来，再根据求解即可．
【详解】解：设运动时间为秒，，则，
依题意得，，，，
根据在运动过程中，总有得：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．
17．（2022·江苏·无锡市七年级期中）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
【答案】1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；
∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；
∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
18．（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，C为线段AB上一点，，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是________．
【答案】①②##②①
【分析】根据AC比BC的多5，可得，从而得到，进而得到AC=15，可得到BC=2AC，故①正确；根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t，可得BP=45-3t，再由M为BP的中点，可得到，进而得到，再由N为QM的中点，可得到AB=4NQ，故②正确；然后分两种情况：当点P没有到达点B之前，当点P没有到达点B之前，可得当时，或20，故③错误，即可求解．
【详解】解：∵AC比BC的多5，∴，
∵，∴，解得：，
∴AC=15，∴BC=2AC，故①正确；根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t，∴BP=45-3t，
∵M为BP的中点，∴，∴，
∵N为QM的中点，∴，∴AB=4NQ，故②正确；
当时，当点P在线段AB上，
∵，∴，解得：；
当时，点P在点B右侧，位于点Q左侧，，
∵，∴，解得：；
当时，点P位于点Q右侧，不成立，
综上所述，当时，或20，故③错误，
∴正确的结论是①②．故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段间的数量关系，动点问题，利用数形结合思想和分类讨论讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·广东汕头·七年级期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1．点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，，点P是的三等分点，则=__________．
（2）已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当Q与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒．
①若点P点，Q同时出发，且当点Q是线段AB的三等分点时，求PQ的长．
②若点P点，Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
【答案】（1）5或10；（2）①PQ的长为或或或；②或或．
【分析】（1）直接由题目讨论DP为哪一个三等分点即可.
(2) ①由题意进行分类，分别求出当和当时t的值即可.
②分别讨论P，Q重合之前与之后的三等分点即可.
【详解】（1）当DP为短的部分时，DP：PE=1：2，可得DP=5
当DP为长的部分时，DP：PE=2：1，可得DP=10综上：5或10．
（2）①当时，，即．∴，∴．
当时，，即．∴，∴．
②当P，Q重合前点P是线段的三等分点时，，
或解得或
当P，Q重合后时点P是线段的三等分点时，
当P，Q重合时，，即．
∴P是线段的三等分点时，，
或或解得．
综上述：解得或或．
【点睛】本题考查的知识点是与线段有关的动点问题，解题的关键是找准数量关系，列出方程，注意分类讨论.
20．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学七年级开学考试）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）或1．
【分析】（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得；
（2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得；
（3）根据已知得MB＝2AM，然后根据AM+BM=AB，代入即可求解；
（4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．
【详解】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；
（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；
（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，
∴AM＝AB＝4，故答案为：4；
（4）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝4
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4
∴；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB＝12
∴；综上所述或1故答案为或1．
【点睛】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
21．（2022·四川·北大附中七年级阶段练习）如图，数轴上点分别对应数，其中．
（1）当，时，线段的中点对应的数是　 　．（直接填结果）
（2）若该数轴上另有一点对应着数．
①当，，且时，求代数式的值；
②．且时学生小朋通过演算发现代数式是一个定值，
老师点评；小朋同学的演算发现还不完整！
请你通过演算解释为什么“小朋的演算发现”是不完整的？
【答案】（1）2；（2）①2029；②见解析
【分析】（1）先求出AB的长，再求出AB一半长，继而利用两点间的距离进行求解即可；
（2）①由已知可得3﹣a＝2（b﹣3），继而可得a+2b＝9，整体代入即可求得答案；
②由已知可得|m+3|=3|b-m|，然后分m<-3，-3≤m≤b，m>b三种情况分别求解即可．
【详解】（1）∵，，∴AB=7-（-3）=10，∴=5，
∴AB中点对应的数为：7-5=2，故答案为：2；
（2）①由m＝3，b＞3，且AM＝2BM，
可得3﹣a＝2（b﹣3），整理得a+2b＝9．
所以，a+2b+2020＝9+2020＝2029；
②，M对应的数为m，B对应的数为b，
∴AM=|m-（-3）|=|m+3|，BM=|b-m|，
又∵，∴|m+3|=3|b-m|，
当m<-3时，此时MB>AM，∴此种情况不存在；
当-3≤m≤b时，则有，m+3=3（b﹣m），∴3b﹣4m＝3；
当m＞b时，则有m+3＝3（m﹣b），∴2m﹣3b＝3；
综上，2m-3b与3b﹣4m均为定值，所以小朋的演算发现并不完整．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段的中点，化简绝对值，代数式求值等，综合性较强，正确分析，正确分类讨论是解题的关键．
22．（2022·四川成都·七年级期末）如图，直线1上有A，B两点，AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB．（1）OA=______cm，OB=______cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC=CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP-OQ=4（cm）；
【答案】（1）8，4；（2）CO的长是；（3）当t为1.6s或8s时，2OP-OQ=4．
【分析】（1）由于AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，则OA+OB=3OB=AB=12cm，依此即可求解；（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，②点C在线段OB上时，则x＞0，根据AC=CO+CB，列出方程求解即可；
（3）分0≤t＜4；4≤t≤12两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵AB=12cm，OA=2OB，
∴OA+OB=3OB=AB=12cm，解得OB=4cm，OA=2OB=8cm．故答案为8，4；
（2）设O点表示的数是0，C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，
∵AC=CO+CB，∴8+x=-x+4-x，3x=-4，x=；
②点C在线段OB上时，则x＞0，
∵AC=CO+CB，∴8+x=4，x=-4（不符合题意，舍）．
故CO的长是；
（3）当0≤t＜4时，依题意有2（8-2t）-（4+t）=4，解得t=1.6；
当4≤t≤12时，依题意有2（2t-8）-（4+t）=4，解得t=8．
故当t为1.6s或8s时，2OP-OQ=4．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
23．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：关于x，y的多项式不含四次项．数轴上A、B两点对应的数分别是m、n．

(1)点A表示的数为_____________；点B表示的数为_______________；
(2)如图1，线段在线段上，且，点M为线段的中点，若，求点C表示的数；
(3)如图2，在（2）的条件下，线段沿着数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从B点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，是否存在时间t，使，若存在，求出C点表示的数；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，12(2)点C表示的数为2
(3)存在，当t为时，点C为；或t为时，点C为5，使得
【分析】（1）根据多项式不含4次项，合并同类项后，四次项的系数为0，进行求解即可；
（2）根据点M是线段的中点，得到，利用，进行求解即可；（3）分点C、D在点Q左侧，点C在点B左侧、D在点Q右侧，点C在B右侧三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，不含4次项，∴，∴；故答案为：，12；
（2）∵，设，则，
∵点M是线段的中点，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴点C表示的数为：；
（3）点D表示的数为：，
点C表示的数为：，点D表示的数为：，点Q表示的数为：，
中点M：∴
分为三种情况：①当点C、D在点Q左侧时：

则：，，
∵，∴解得：
点C：
②当点C在点B左侧、D在点Q右侧时：

，，
∴，解得：，点C：；
③当点C在B右侧时：，，
∴，解得：，
∵点C运动到点B所用时间为秒，，∴（舍）
∴存在时间t，当t为时，点C为；或t为时，点C为5，使得．
【点睛】本题考查多项式不含某一项问题，与线段的中点有关的计算，一元一次方程的应用．熟练掌握相关知识点，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
24．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）学习材料：
如图1，点在线段上，图中有三条线段，分别为线段，和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”.
解决问题：(1)线段的中点 这条线段的“巧点”，线段的三等分点 这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”) ；
(2)若线段，点为线段的“巧点”，则 ；
(3)如图，已知，动点从点A出发，以的速度沿向点运动，点从点出发，以的速度沿向点A运动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为秒,当为何值时，点为线段的“巧点”？并说明理由．
【答案】(1)是；是(2)或或(3)或或，理由见解析
【分析】（1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可；
（2）根据点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”进行解答即可；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求出结果即可．
【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”；故答案为：是；是．
（2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”，
∴，或，
或．故答案为：或或．
（3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间，
∵点P为的巧点，∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间，
当时，P为的巧点，∴ ，解得：；
当时，P为的巧点，∴，解得：；
当时，P为的巧点，∴ ，解得：；
所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论．
25．（2023·云南楚雄·七年级统考期末）如图1，已知点A，B在数轴上，M是线段上一点，多项式的次数为a，项数为b，当时，此多项式的值为c．(1)分别求出a，b，c的值．(2)如图1，数轴上的点A，M，B表示的数分别是，试比较和的大小．
(3)在（2）的条件下，如图2，点C在线段上，点D在线段上，若点C，D分别从M，B出发以（一个单位长度表示）的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．
①当点C，D运动了时，求的值．②设点C，D的运动时间为．当时，求t的值．
【答案】(1)，，，(2)(3)①；②．
【分析】（1）根据多项式的次数与项数分别求解a，b，再根据多项式的值求解c的值；
（2）先求解数轴上的点A，M，B表示的数分别是，，，再计算，，从而可得答案；（3）①当点C，D运动了时，可得C对应的数为，D对应的数为：，再利用两点间的距离公式进行计算即可；②当点C，D运动了时，C对应的数为，D对应的数为：，由，建立方程，再分情况解方程即可．
【详解】（1）解：∵多项式的次数为a，项数为b，∴，，
当时，此多项式的值为c，∴．
（2）∵数轴上的点A，M，B表示的数分别是，，，而，，，
∴数轴上的点A，M，B表示的数分别是，，，
∴，，∴．
（3）①当点C，D运动了时，
C对应的数为，D对应的数为：，∴；
②当点C，D运动了时，
C对应的数为，D对应的数为：，∴，
，，
∵，∴，
当时，原方程化为：，解得：，
当时，原方程化为：，解得：，不符合题意，舍去，
当时，原方程化为：，解得：，不符合题意，舍去，
综上：当时，．
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，线段的和差关系，一元一次方程的应用，多项式的项与次数的含义，代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关键．
26．（2022·四川成都·七年级期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
【答案】(1)6；(2) 无关，理由见解析；(3)m.
【分析】（1）根据中点可得到AC、BC的长，再根据CN=3AN，CM=3BM，可计算出CN、CM，最后根据线段的和差关系进行计算即可；（2）根据线段之间的关系及CN=3AN，CM=3BM，分别表示出CN、AM及MN，再进行化简即可；（3）分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可.
【详解】解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8，∴AC=BC=AB=4，
∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=AC，CM=BC，
∴CN=3，CM=3，∴MN=CN+CM=3+3=6;
（2）若C在A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，∴MN=CM－CN=3BM－3AN，
∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，
∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，
∴CN +2AM－2MN的值与m无关；
（3）①当点C在线段AB上时，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=AC，CM=BC，
∴MN=CM+CN=BC+AC=(BC+AC)=AB=m；
②当点C在点A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM∴CN=AC，BM=BC，
∴MN=BC－CN－BM=BC－AC－BC =(BC－AC)=AB=m；
③当点C在点B的右边，如图所示：
∵CN=3AN，CM=3BM，∴AN=AC，CM=BC，
∴MN=AC－AN－CM=AC－AC－BC =(AC－BC)=AB=m，
综上所述，MN的长度为m.
【点睛】本题考查线段的计算，分情况讨论，正确找出线段之间的关系是解题的关键.
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专题6.11 线段中的动态模型
模块1：学习目标
线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块2：知识梳理
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
模块3：核心模型与典例
模型1、线段中点、和差倍分关系中的动态模型
例1．（2022·重庆七年级期末）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．
（1）________，________，________．
（2）点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．（3）点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
例2．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．
(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
例3．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：
（1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______
（2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______
拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？
模型2、线段上动点问题中的存在性（探究性）模型
例1．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ 　，n＝ 　；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
例2．（2022·四川·成都实外七年级开学考试）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　；
（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），线段AP、CQ、PQ有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
模型3、阅读理解型（新定义）模型
例1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；
（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
例2．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）点是线段上一点，若（为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称是的最强点；，则是的最强点．
(1)点在线段上，若，，点是的最强点，则______．
(2)若，是的最强点，则______．（用的代数式表示）
(3)一直线上有两点，，，点从点出发，以每秒的速度向运动，运动到点时停止．点从点出发，以每秒的速度沿射线运动，为多少时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用的代数式表示）
模块4：同步培优题库
全卷共26题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·山东烟台·七年级期中）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒
2．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）如图，线段的长为6，点C为线段上一动点（不与A，B重合），D为中点，E为中点，随着点C的运动，线段的长度为（　　）
A．不确定 B．2.5 C．3 D．3.5
3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（　　）
甲：当点B与点O重合时，；
乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；
丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变
A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙
4．（2023·河南驻马店·七年级校考期末）线段 ，点A从点M开始向点N以每秒1个单位长度的速度运动，点B从点N开始以每秒2个单位长度的速度向点M运动，当时，t的值为（ ）
A．秒 B．秒 C．12秒 D．秒或12秒
5．（2022·广东七年级课时练习）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，
下列结论①，；②当点与点重合时，；
③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④
7．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，为射线上一点，，比的多，，两点分别从，两点同时出发．分别以单位秒和单位秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为秒，为的中点，为的中点，以下结论：①；②；③当时，，其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·贵州六盘水·七年级统考期中）如图，已知，（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确的有( )
①点对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度不变．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．
设运动时间为秒．

（1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ；
（3）点、相遇时， 秒．
10．（2022·沙坪坝区·七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
11.（2023秋·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．

12．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．
有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号）
13．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
14．（2022·四川·石室中学七年级期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端、分别落在点、处．将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点时，点所对应的数为，当的右三等分点移动到点时，点所对应的数为，则木棒的长度为_______．
15．（2023·河北承德·统考二模）如图，数轴上点M对应的数为，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形的边在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知，，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．

(1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示，不必写范围）．(2)若，当，即点Р在边上时，点Р对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示）；(3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则 ．
16．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）如图，点是线段上一点，，动点从出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点从出发以的速度沿直线向终点运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动．在运动过程中，总有，则 ．
17．（2022·江苏·无锡市七年级期中）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
18．（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，C为线段AB上一点，，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·广东汕头·七年级期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1．点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，，点P是的三等分点，则=__________．
（2）已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当Q与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒．
①若点P点，Q同时出发，且当点Q是线段AB的三等分点时，求PQ的长．
②若点P点，Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
20．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学七年级开学考试）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
21．（2022·四川·北大附中七年级阶段练习）如图，数轴上点分别对应数，其中．
（1）当，时，线段的中点对应的数是　 　．（直接填结果）
（2）若该数轴上另有一点对应着数．
①当，，且时，求代数式的值；
②．且时学生小朋通过演算发现代数式是一个定值，
老师点评；小朋同学的演算发现还不完整！
请你通过演算解释为什么“小朋的演算发现”是不完整的？
22．（2022·四川成都·七年级期末）如图，直线1上有A，B两点，AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB．（1）OA=______cm，OB=______cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC=CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP-OQ=4（cm）；
23．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：关于x，y的多项式不含四次项．数轴上A、B两点对应的数分别是m、n．

(1)点A表示的数为_____________；点B表示的数为_______________；
(2)如图1，线段在线段上，且，点M为线段的中点，若，求点C表示的数；
(3)如图2，在（2）的条件下，线段沿着数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从B点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，是否存在时间t，使，若存在，求出C点表示的数；若不存在，说明理由．
24．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）学习材料：
如图1，点在线段上，图中有三条线段，分别为线段，和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”.
解决问题：(1)线段的中点 这条线段的“巧点”，线段的三等分点 这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”) ；(2)若线段，点为线段的“巧点”，则 ；
(3)如图，已知，动点从点A出发，以的速度沿向点运动，点从点出发，以的速度沿向点A运动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为秒,当为何值时，点为线段的“巧点”？并说明理由．
25．（2023·云南楚雄·七年级统考期末）如图1，已知点A，B在数轴上，M是线段上一点，多项式的次数为a，项数为b，当时，此多项式的值为c．(1)分别求出a，b，c的值．(2)如图1，数轴上的点A，M，B表示的数分别是，试比较和的大小．
(3)在（2）的条件下，如图2，点C在线段上，点D在线段上，若点C，D分别从M，B出发以（一个单位长度表示）的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．
①当点C，D运动了时，求的值．②设点C，D的运动时间为．当时，求t的值．
26．（2022·四川成都·七年级期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
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