资源简介

3．3．2 抛物线的简单几何性质
【题型归纳目录】
题型一：抛物线的几何性质
题型二：直线与抛物线的位置关系
题型三：中点弦问题
题型四：焦半径问题
题型五：弦长、面积问题
题型六：定点定值问题
题型七：最值问题
【知识点梳理】
知识点一、抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程的几何性质
范围：，，
抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
对称性：关于x轴对称
抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．
顶点：坐标原点
抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是．
离心率：．
抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，．
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．
因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄．
知识点二、抛物线标准方程几何性质的对比
图形
标准方程
顶点
范围 ， ， ， ，
对称轴 x轴 y轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
知识点诠释：
（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
（2）标准方程中的参数的几何意义是指焦点到准线的距离；恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于的值，才易于确定焦点坐标和准线方程．
知识点三、焦半径公式
设抛物线上一点的坐标为，焦点为．
1、抛物线，．
2、抛物线，．
3、抛物线，．
4、抛物线，．
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式．
知识点四、直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点．
（2）直线的斜率存在．
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数．
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．
知识点五、直线与抛物线相交弦长问题
1、弦长
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．
（2），
（3）直线的方程为．
【方法技巧与总结】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【典型例题】
题型一：抛物线的几何性质
例1．（多选题）（2023·高二课时练习）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（　　）
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为
例2．（多选题）（2023·高二校考课时练习）下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．焦点在x轴上
B．焦点到准线的距离等于10
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为
例3．（多选题）（2023·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．以为直径的圆与抛物线的准线相切
B．
C．
D．若直线的倾斜角为，且，则
变式1．（多选题）（2023·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
变式2．（多选题）（2023·甘肃兰州·高二校考期末）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
变式3．（多选题）（2023·高二课前预习）已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
变式4．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：直线与抛物线的位置关系
例4．（2023·全国·高二随堂练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？
例5．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况.
例6．（2023·高二课时练习）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
变式5．（2023·全国·高二课堂例题）（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程.
（2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合.
变式6．（2023·甘肃嘉峪关·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.
(1)求轨迹为的方程
(2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围.
题型三：中点弦问题
例7．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长
例8．（2023·高二课时练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ．
例9．（2023·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考阶段练习）已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 .
变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
变式8．（2023·云南昆明·高二安宁中学校考阶段练习）已知A，B为抛物线C:上的两点，，若M为线段AB的中点，则直线AB的方程为 .
变式9．（2023·全国·高二专题练习）已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是 ．
变式10．（2023·吉林长春·高二统考期末）过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段的中点，则直线的方程是 ．
题型四：焦半径问题
例10．（2023·高二课时练习）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
例11．（2023·云南昭通·高二校考期中）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则（ ）

A．2 B． C．5 D．
例12．（2023·全国·高二专题练习）设抛物线焦点为，准线与对称轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，对称轴上一点满足，若的面积为，则到抛物线准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式12．（2023·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式13．（2023·全国·高二专题练习）抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．线段为直径的圆与直线轴相切
C．为定值
D．若，则
变式14．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
变式15．（2023·全国·高二期中）过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交于，两点，交的准线于点，若（为坐标原点），则线段的长度为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
变式16．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
变式17．（2023·高二课时练习）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．8
变式18．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
题型五：弦长、面积问题
例13．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求的面积（为坐标原点）.
例14．（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过其焦点作倾斜角为的直线交抛物线于点，求的长．
例15．（2023·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知直线：恒过抛物线的焦点F，
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
变式19．（2023·高二课时练习）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，求的最小值.
变式20．（2023·高二课时练习）已知点在抛物线上，倾斜角为的直线l经过抛物线C的焦点F.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求线段AB的长及的面积.
变式21．（2023·陕西西安·高二校考开学考试）已知抛物线的准线方程是.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
变式22．（2023·高二单元测试）已知抛物线的焦点为F.
(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由．
变式23．（2023·高二单元测试）已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．
题型六：定点定值问题
例16．（2023·高二单元测试）已知O为坐标原点，抛物线，点，设直线l与C交于不同的两点P，Q.
(1)若直线轴，求直线的斜率的取值范围；
(2)若直线l不垂直于x轴，且，证明：直线l过定点．
例17．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.
例18．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．
(1)求动圆的圆心所在轨迹的方程；
(2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
变式24．（2023·江苏南京·高二校考阶段练习）已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
变式25．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
变式26．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式27．（2023·新疆昌吉·高二统考期中）已知动圆P过点且与直线相切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过的外心，其中O为坐标原点，求证:直线过定点.
变式28．（2023·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且经过点 .
(1)求抛物线方程;
(2)若直线 与抛物线交于 两点，且满足 ，求证: 直线 恒过定点，并求出定点坐标.
变式29．（2023·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；
(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.
题型七：最值问题
例19．（2023·全国·高二专题练习）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.
例20．（2023·高二课时练习）如图所示，P是抛物线上的动点，点B，C在y轴上，圆内切于，求的面积的最小值.

例21．（2023·全国·高二期中）设点P是抛物线上的一个动点.
(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值.
变式30．（2023·上海·高二期末）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．
(1)求曲线K的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值；
(3)若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．
变式31．（2023·江苏南京·高二金陵中学校考阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求的值；
(2)设为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，求面积的最小值．
变式32．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且.
(1)求点的坐标；
(2)设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值.
变式33．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．
变式34．（2023·黑龙江·高二统考期中）如图，已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为抛物线的准线与轴的交点.
（1）若，求直线的斜率；
（2）求的最大值.
变式35．（2023·陕西延安·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且点．
(1)求的值；
(2)求的最大值．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知抛物线C：，点M在C上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若面积的最小值为，则（ ）
A．44 B．4 C．4或44 D．1或4
3．（2023·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知抛物线：的准线为直线，直线与交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东江门·高三校联考阶段练习）已知圆与轴相交于E，F两点，与抛物线相交于A，B两点，若抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知直线交抛物线于轴异侧两点，过向作垂线，垂足为，若点在以为圆心，半径为3的圆上，则（ ）
A．48 B．24 C．12 D．36
6．（2023·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）已知抛物线的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023·河北保定·高三校联考开学考试）已知抛物线：的焦点为，准线与坐标轴交于点，过点的直线与及准线依次相交于，，三点（点在点，之间），若，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河北石家庄·高三校联考期中）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则的面积为（ ）
A． B． C．12 D．
二、多选题
9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（ ）
A．抛物线的方程是 B．
C．当时， D．
11．（2023·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（ ）
A．的准线方程为 B．
C．的最小值为 D．的最小值为
12．（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．以MF为直径的圆与轴相切
C． D．
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知点和抛物线C：，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A，B两点．若，则 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上三点，若直线AB，AC的斜率互为相反数，则直线BC的斜率为
15．（2023·浙江·模拟预测）过抛物线的焦点的直线与交于两点，从点分别向准线作垂线，垂足分别为，线段的中点为，则弦的长为 .
16．（2023·高二课时练习）设是抛物线上任意一点，是直线上任意一点，记，则 .
四、解答题
17．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
18．（2023·全国·高二随堂练习）有一条光线沿直线从右向左射到拋物线上的一点，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的另一个交点是，是抛物线的顶点，是抛物线的焦点，求弦的斜率和的面积.
19．（2023·高二课时练习）已知抛物线，p为方程的根.
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线与直线无公共点，求此抛物线的通径（通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线被抛物线所截得的线段）.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.
(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．
21．（2023·河南·高三统考阶段练习）已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点．
(1)若线段中点的横坐标为2，求线段的长；
(2)若直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．3．3．2 抛物线的简单几何性质
【题型归纳目录】
题型一：抛物线的几何性质
题型二：直线与抛物线的位置关系
题型三：中点弦问题
题型四：焦半径问题
题型五：弦长、面积问题
题型六：定点定值问题
题型七：最值问题
【知识点梳理】
知识点一、抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程的几何性质
范围：，，
抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
对称性：关于x轴对称
抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．
顶点：坐标原点
抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是．
离心率：．
抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，．
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．
因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄．
知识点二、抛物线标准方程几何性质的对比
图形
标准方程
顶点
范围 ， ， ， ，
对称轴 x轴 y轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
知识点诠释：
（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
（2）标准方程中的参数的几何意义是指焦点到准线的距离；恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于的值，才易于确定焦点坐标和准线方程．
知识点三、焦半径公式
设抛物线上一点的坐标为，焦点为．
1、抛物线，．
2、抛物线，．
3、抛物线，．
4、抛物线，．
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式．
知识点四、直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点．
（2）直线的斜率存在．
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数．
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．
知识点五、直线与抛物线相交弦长问题
1、弦长
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．
（2），
（3）直线的方程为．
【方法技巧与总结】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【典型例题】
题型一：抛物线的几何性质
例1．（多选题）（2023·高二课时练习）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（　　）
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为
【答案】BD
【解析】由抛物线的焦点坐标为，位于轴上，所以A不满足，B满足；
对于C中，设是抛物线上一点，为焦点，
则，所以C不满足
对于D中，由于抛物线的焦点为，若由原点向该直线作垂线，垂足为，设过该焦点的直线方程为，则，此时该直线存在，所以D满足．
故选：BD.
例2．（多选题）（2023·高二校考课时练习）下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．焦点在x轴上
B．焦点到准线的距离等于10
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为
【答案】ACD
【解析】抛物线的焦点在x轴上，，正确，错误；
设是上的一点，则，所以正确；
由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确.
故选：.
例3．（多选题）（2023·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．以为直径的圆与抛物线的准线相切
B．
C．
D．若直线的倾斜角为，且，则
【答案】ACD
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程是，
由题意知，直线的斜率一定存在，
设其方程为，联立
消去得，
设线段的中点，
所以，
所以点到准线的距离，
所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，故A正确；
由韦达定理，得，故B错误；，
所以
，故C正确；
若直线的倾斜角为，且，则点在点左侧，
如图，直线与准线交于点，分别表示点到准线的距离，
则，设，则，
又，
所以，所以，故D正确.
故选:ACD.
变式1．（多选题）（2023·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
【答案】BCD
【解析】抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
变式2．（多选题）（2023·甘肃兰州·高二校考期末）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
【答案】AD
【解析】对选项A，，开口向左，故A正确；
对选项B，，焦点为，故B错误；
对选项C，，准线方程为，故C错误；
对选项D，，对称轴为轴，故D正确.
故选：AD
变式3．（多选题）（2023·高二课前预习）已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
【答案】CD
【解析】由，解得：或，则交点坐标为，，
则，解得：，
则抛物线的方程，
故选：CD．
变式4．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】设抛物线方程为或（），
依题意得，代入或得，
∴，，
∴抛物线方程为或.
故选：CD.
题型二：直线与抛物线的位置关系
例4．（2023·全国·高二随堂练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？
【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时与抛物线只有一个公共点，符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
当时，符合题意；
当时，由，可得，
即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条．
例5．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况.
【解析】
若直线斜率不存在，此时为轴，与抛物线有且仅有一个交点；
若直线的斜率存在，记为，则可设直线的方程为：，
由得：；
①当时，，解得：，此时，
直线与抛物线有且仅有一个公共点
②当时，方程的判别式；
若，即，方程无实根，则直线与抛物线无交点；
若，即，方程有两个相等实根，则直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点；
若，即且时，方程有两个不等实根，则直线与抛物线有两个不同交点；
综上所述：当直线斜率不存在或直线斜率或时，直线与抛物线有且仅有一个公共点；当直线斜率时，直线与抛物线无公共点；当直线斜率且时，直线与抛物线有两个公共点.
例6．（2023·高二课时练习）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
【解析】由，得.
当时，方程化为一次方程，
该方程只有一解，原方程组只有一组解，
∴直线与抛物线只有一个公共点；
当时，二次方程的判别式，
当时，得，，
∴当或时，直线与抛物线有两个公共点；
由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；
由得或，此时直线与抛物线无公共点．
综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点；
当或时，直线与抛物线有两个公共点；
当或时，直线与抛物线无公共点．
变式5．（2023·全国·高二课堂例题）（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程.
（2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合.
【解析】（1）由题意知，直线的斜率存在.
设直线斜率为，则切线方程为，
由消去x，得.
当时，此时直线，与抛物线只有一个公共点；
当时，所以，解得，即过M点的切线有两条.
所求直线l的方程为或.
综上所述，所求直线l的方程为，或，或.
（2）因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，
所以方程组只有一组实数解，
消去y，得，即①.
当，即时， 直线为，直线与曲线恰一个公共点；
当，即时，
由，解得（舍去）或.
当时，由方程①化为，解得，
代入直线方程为，解得，即此时直线与曲线恰一个公共点.
综上，实数a的取值集合是.
变式6．（2023·甘肃嘉峪关·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.
(1)求轨迹为的方程
(2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围.
【解析】（1）设是轨迹上的任意一点，
因为点到点的距离比它到的距离多，可得，
即，整理得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）在点轨迹中，记，
因为斜率的直线过定点，不妨设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
当时，，此时，可得直线与轨迹恰好有一个公共点；
当时，可得，不妨设直线与轴的交点为，
令，解得，
若直线与轨迹恰好有一个公共点，则满足，
解得或，
综上，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点.
题型三：中点弦问题
例7．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长
【答案】
【解析】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设，
联立抛物线得，，故，，
所以，即，
则.
故答案为：
例8．（2023·高二课时练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】因为抛物线的顶点为坐标原点，准线为，
所以易得抛物线的方程为，
设，
因为线段的中点为，
故，
则，由，
两式相减得，所以，
故直线的方程为，即．
故答案为：.
例9．（2023·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考阶段练习）已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】因为在抛物线内部，又，所以是的中点.
设，所以，即，
又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以，
所以直线的方程为，即.
故答案为：
变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
【答案】6
【解析】是抛物线的焦点，
准线方程，
设，线段的中点横坐标为2, .
，
线段的长为6.
故答案为：6.
变式8．（2023·云南昆明·高二安宁中学校考阶段练习）已知A，B为抛物线C:上的两点，，若M为线段AB的中点，则直线AB的方程为 .
【答案】
【解析】设，由题意，，
因为A，B是抛物线上的两点，则易知在抛物线内部，
所以，两式相减得，，整理得，
因为线段AB的中点为，
所以，即，
又，所以，
所以直线AB的方程为，即.
故答案为：.
变式9．（2023·全国·高二专题练习）已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是 ．
【答案】
【解析】时，，在抛物线内部（含焦点的部分），
设，，
由，相减得，
∴，即，
直线方程为，即，
故答案为：．
变式10．（2023·吉林长春·高二统考期末）过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段的中点，则直线的方程是 ．
【答案】
【解析】设，，
，两式作差可得，
即，
点P是线段的中点，，且，
，
直线的方程是，即.经检验满足题意，
故答案为：.
题型四：焦半径问题
例10．（2023·高二课时练习）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，，，
因为，所以，得，①
因为，所以，即，②
由方程①②可得，，
所以.
故选：C
例11．（2023·云南昭通·高二校考期中）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则（ ）

A．2 B． C．5 D．
【答案】D
【解析】如图，过点作垂直于准线，由抛物线定义得.
因为是的中点，所以，所以，焦点，
则直线的方程为，联立
消去得.设，
所以，得，
故选：D.
例12．（2023·全国·高二专题练习）设抛物线焦点为，准线与对称轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，对称轴上一点满足，若的面积为，则到抛物线准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为，
由题意得，，
若过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设过点的直线方程为，，
与抛物线联立得，
设，
则，
因为，设，
则，即，
将代入中得，，
如图所示，可知，，
因为∽，所以，故，
即，解得，
则到抛物线准线的距离为，
假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为
同理可得，故到抛物线准线的距离为，
综上，到抛物线准线的距离为.
故选：B
变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，当点在第一象限时，过点分别向准线作垂线，垂足为，作，垂足为，
则轴，设，则，，
由抛物线的定义得，则有，
在中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，
，，∴，
于是直线l的倾斜角为，斜率．
当点在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为.
故选：D．
变式12．（2023·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．
已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，
设抛物线的准线交轴于点，的中点为，
过作准线的垂线使得，，，轴于，
设，又，则，，
则，又，则，
又，则，即，
则，
故选：C．
变式13．（2023·全国·高二专题练习）抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．线段为直径的圆与直线轴相切
C．为定值
D．若，则
【答案】D
【解析】对于A选项：
抛物线，焦点为，准线方程为，
由题意知直线斜率存在，设直线所在的直线方程为，
由，消去可得，
所以，
则，
当时，，故A、C错误；
对于B选项：
如图：设线段的中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为，
由抛物线的定义可得，
所以，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故B错误；
对于D选项：
已知：，
故
，故D正确；
故选：D
变式14．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
过点作准线，垂足为点，则，
由，得，
则，
则，
则，
根据抛物线的对称性可得直线的斜率为.
故选：C
变式15．（2023·全国·高二期中）过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交于，两点，交的准线于点，若（为坐标原点），则线段的长度为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
直线的方程为，
联立可得，即点，
所以，因为，所以，
所以直线的方程为，抛物线，设点，，
联立可得，
由韦达定理可得，则
故选：D
变式16．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】设，
因为，所以，
过点分别作准线于点，，
由抛物线定义可知，
由梯形中位线可知，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
故，
故，的最小值为.
故选：B
变式17．（2023·高二课时练习）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【解析】设点，,所以，得，,
所以的面积.
故选：C
变式18．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为y＝－1，焦点为，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，，
由抛物线的定义知，因为，
所以△PFQ为等边三角形，所以，又，
所以，n＝3，所以点P的坐标为，
所以，所以．
故选：C．
题型五：弦长、面积问题
例13．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求的面积（为坐标原点）.
【解析】（1）由已知可得，，焦点在轴上，
所以，抛物线的准线方程为.
（2）∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为.
又∵倾斜角为的直线，所以斜率为，
∴直线AB的方程为：.
代入抛物线方程消去y并化简得.
解法一：解得，
所以．
又点到直线的距离为，
所以.
解法二：，设，则，
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示．
．
点到直线的距离为，
所以.
例14．（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过其焦点作倾斜角为的直线交抛物线于点，求的长．
【解析】不妨设抛物线方程为，焦点到准线的距离为，则，
抛物线为：，焦点，准线方程为，直线的方程为，
由消去整理得，即，解得，，
则，，
所以直线与抛物线的交点为和，
所以或.
例15．（2023·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知直线：恒过抛物线的焦点F，
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
【解析】（1）因为直线恒过点，即抛物线C的焦点为，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）联立方程组，整理得，
则，设，
则，
因为，
所以
，
即所以，解得，
所以直线l的方程为或．
变式19．（2023·高二课时练习）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，求的最小值.
【解析】由题意知抛物线的焦点为，焦准距，
过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，
则，的斜率都存在且不为0，
故设，则直线，设，
联立，则，，
则，同理，
故，
同理可得,
故，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为16.
变式20．（2023·高二课时练习）已知点在抛物线上，倾斜角为的直线l经过抛物线C的焦点F.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求线段AB的长及的面积.
【解析】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，
则抛物线方程为.
（2）由（1）可知，抛物线方程为，则，则直线的方程为，
即，设，，联立直线与抛物线方程可得，
消去可得，化简可得，则，
由抛物线焦半径公式可得，；
由点到直线的距离公式可知，点到直线的距离，
则.
变式21．（2023·陕西西安·高二校考开学考试）已知抛物线的准线方程是.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
【解析】（1）因为抛物线的准线方程为，
所以 ， 解得，
所以抛物线的方程为.
（2）如图，
设，.
将代入，
消去整理得 .
当时，
， .
，
化简得：，解得，
经检验，此时，故.
变式22．（2023·高二单元测试）已知抛物线的焦点为F.
(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由．
【解析】（1）设过点F且斜率为的直线方程为，代入
得，若，
则，
所以，则，
即抛物线C的方程为.
（2）当直线垂直于x轴时，与相似，
所以.
当直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为
设
由得，
所以，且，则，
所以，
综上，＝.
变式23．（2023·高二单元测试）已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．
【解析】（1）由方程与联立，消去后，整理得．
由题意易知，且，
设，由韦达定理，，
在抛物线上，，
则，.
∴．
（2）
设直线与轴交于N，又显然，令，则，即，
又，
，且，
则，解得.
题型六：定点定值问题
例16．（2023·高二单元测试）已知O为坐标原点，抛物线，点，设直线l与C交于不同的两点P，Q.
(1)若直线轴，求直线的斜率的取值范围；
(2)若直线l不垂直于x轴，且，证明：直线l过定点．
【解析】（1）
当点在第一象限时，设，
则，（当时取等号），∴，
同理，当点在第四象限时，.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
（2）设直线的方程为，
联立方程 得，
设，则，
∵
，
即 ，
即，
即，
即 ，
∴，满足，
∴，
∴直线过定点.
例17．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.
【解析】（1）由知，抛物线的准线方程为，而是该抛物线的焦点，
又，因此，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线l：，，，
由消去x并整理得，，即，
于是，，，
由，得，则有，
即，因此，
则，解得，满足，直线过定点，
所以直线恒过定点.
例18．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．
(1)求动圆的圆心所在轨迹的方程；
(2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
【解析】（1）设点，圆与直线的切点为，
因为动圆过点，且与直线相切，则，
所以点的轨迹是以原点为顶点，以点为焦点的抛物线，
则动圆的圆心轨迹的方程为．
（2）若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
设直线的方程为
，消去可得：，
则，
因为为抛物线上一点，所以，解得，
，
解得，代入，
解得或，
结合点均不与点重合，则，则，解得，
故且或，
所以直线即
所以直线恒过定点.
变式24．（2023·江苏南京·高二校考阶段练习）已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
【解析】（1）将点的纵坐标代入中，
解得，
所以，则点到准线的距离为，
所以，
所以，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，
倾斜角互补，则斜率互为相反数，
易知，
设，直线，
则直线，
由整理得，
其中，解得，
已知此方程一个根为1，
所以，即，
同理，
所以，，
所以
，
所以，
所以直线的斜率为定值.
变式25．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）如图所示，过点作，垂足为交轴于点，
由题得，所以，
因为，所以△是等边三角形，
因为是的中点，所以，
故，
所以，，所以，所以，即.
（2）由（1）可知抛物线的方程是，
设直线的方程为，，
因为，所以，
即，即.
又，所以，故.
联立，消去，得，其中，
则，
所以，所以.
设点到直线和直线的距离分别为，
则由得，
所以点到直线与到直线的距离之比是定值，定值为3.
变式26．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得，
将点的坐标代入抛物线方程可得，
所以，，
所以，，因为，解得，
因此，抛物线的标准方程为.
（2）若直线轴，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，则，
由韦达定理可得，，
，，
因为以为直径的圆过点，则，
所以，，
显然且，所以，，
即，即，可得，
所以，直线的方程为，
由可得，，所以，直线过定点，
所以，，
因为，当点为线段的中点时，即当点的坐标为时，
为定值.
因此，存在定点，且当点的坐标为时，为定值.
变式27．（2023·新疆昌吉·高二统考期中）已知动圆P过点且与直线相切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过的外心，其中O为坐标原点，求证:直线过定点.
【解析】（1）设点，则=，平方并整理得，
∴曲线C的方程为.
（2）证明:由题意可知直线的斜率一定存在，否则不与曲线C有两个交点.
设的方程为，，联立
得，其中，则， ，
由，得， .
∴.
∵直线过的外心，∴.
∴·，即，解得或（舍去）.
当时，满足.
∴直线的方程为，
∴直线过定点.
变式28．（2023·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且经过点 .
(1)求抛物线方程;
(2)若直线 与抛物线交于 两点，且满足 ，求证: 直线 恒过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）由题可知，拋物线的开口向右，
设拋物线方程为 ，
因为经过点 ，
所以 ，解得
所以，抛物线的标准方程为: .
（2）如图，
设直线 的方程为: ，
联立方程
消 有：
由于交于 两点，设 ，
则 ，即 ，
，
由 .
则 .
解得: ，验证满足条件.
所以直线 的方程为 ，
即证直线 恒过定点.
变式29．（2023·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；
(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.
【解析】（1）由抛物线的定义，得，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为，M的坐标为或.
（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，.
由，得；由，得.
所以，故是定值1.
题型七：最值问题
例19．（2023·全国·高二专题练习）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.
【解析】（1）由题知，焦点，显然直线的斜率存在，
设直线，，，，
联立消去得，则△，
则，所以，
所以且，
故，
即，
整理得对任意的恒成立，故，
故所求抛物线的方程为．
（2）由题知，，，，，，则.
又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以.
点D到直线AB的距离，
，
所以四边形DEMG的面积
当且仅当，即时取等号，
此时四边形DEMG面积的最小值为.
例20．（2023·高二课时练习）如图所示，P是抛物线上的动点，点B，C在y轴上，圆内切于，求的面积的最小值.

【解析】设，，，不妨设.则直线PB：，即.又因为圆心到PB的距离为1，所以，即，易知，化简得.
同理可得.所以，，则
.
因为是抛物线上的点，所以，，即.
所以，
当且仅当时，取得最小值8.
例21．（2023·全国·高二期中）设点P是抛物线上的一个动点.
(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值.
【解析】（1）如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离.
于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小.
显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.
（2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，
　
此时，，那么,即最小值为4.
变式30．（2023·上海·高二期末）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．
(1)求曲线K的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值；
(3)若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．
【解析】（1）由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，
由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为，
（2）设直线l的方程为，
联立，消y得，
∴，∴，
设，∴,
又，
∴
∵，∴设直线OP的方程为，
联立，消y得，
∴，∴，∴，
令，则，∴，∴，
∴，
故的值为，
（3）设，
直线PD的方程为，
又圆心到PD的距离为1，即，
整理得，
同理可得，
所以，可知b，c是方程的两根，
所以，，
依题意，即，则，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时上式取等号，
所以面积的最小值为8．
变式31．（2023·江苏南京·高二金陵中学校考阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求的值；
(2)设为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，求面积的最小值．
【解析】（1）设，
由，可得，
由，则，
所以，
所以
，
化简得，
所以或，
因为，所以．
（2）因为，显然直线的斜率存在，
设直线：，，
由可得，，
所以，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
因为，
所以
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积
变式32．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且.
(1)求点的坐标；
(2)设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值.
【解析】（1）设直线的方程为，联立，
可得，需满足，设，
则，由于，
由可得，
解得或（舍去），
则过轴正半轴上一点，
即点的坐标为.
（2）由题意知，结合（1）知，
不妨设，
则，
由于关于对称，故，
故，
当且仅当时，即时，等号成立，
故四边形面积的最小值为.
变式33．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．
【解析】（1）如图所示：
由题意可知，因为，，
由，，可得，
由抛物线的定义可知，，解得．
则的方程为.
（2）如图所示：
在抛物线上，所以，
设直线的方程为，，，
将代入，得
则，
，同理
整理得，，
直线的方程为，所以直线过定点.
当时，点到直线距离最大，
且最大距离为，
经检验符合题意.
变式34．（2023·黑龙江·高二统考期中）如图，已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为抛物线的准线与轴的交点.
（1）若，求直线的斜率；
（2）求的最大值.
【解析】（1）因为抛物线的焦点为，.
当轴时，，，此时，与矛盾，
所以可设直线的方程为，，
代入，得，
则，，①
所以，所以.②
因为，所以，
将①②代入并整理得，，所以.
（2）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以的最大值为.
变式35．（2023·陕西延安·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且点．
(1)求的值；
(2)求的最大值．
【解析】（1）由抛物线方程和焦点坐标可得：，解得：.
（2）由题意知：直线斜率存在，设，，，
由得：，则，
，；
，，
；
当时，取得最大值.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，设，显然当时，，当时，，
要想求解直线OM的斜率的最大值，此时．
设，，，则，即，
解得．
，故，即，
，故，
当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为．
故选：B.
2．（2023·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知抛物线C：，点M在C上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若面积的最小值为，则（ ）
A．44 B．4 C．4或44 D．1或4
【答案】B
【解析】不妨设，，由，，
知．设，
则，
故，故.
故选：B．
3．（2023·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知抛物线：的准线为直线，直线与交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得抛物线方程为，所以，
如图所示，则，解得，
联立方程，消去y得：．
可知，解得，
所以．
故选：C．
4．（2023·广东江门·高三校联考阶段练习）已知圆与轴相交于E，F两点，与抛物线相交于A，B两点，若抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】圆与轴相交于E，F两点，且抛物线开口向右，
所以，则，即．
如图，过点和点分别作和垂直于抛物线的准线，
易知，．
设，则，
则，
即，，
解得（舍），或，
所以；
，
则，
解得，
所以.
故选：D.
5．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知直线交抛物线于轴异侧两点，过向作垂线，垂足为，若点在以为圆心，半径为3的圆上，则（ ）
A．48 B．24 C．12 D．36
【答案】B
【解析】如图，因为点在以为圆心，半径为3的圆上，所以直线经过点．
设方程为，
由得，
设，则．
所以．
故选：B．
6．（2023·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）已知抛物线的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】
由题意得，设直线的方程为，，，，,
联立得，，
设直线的方程为，联立得，，同理可得，
所以.
故选：B.
7．（2023·河北保定·高三校联考开学考试）已知抛物线：的焦点为，准线与坐标轴交于点，过点的直线与及准线依次相交于，，三点（点在点，之间），若，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过作于，过作于，连接
抛物线：的焦点为，准线方程为，则
由抛物线定义可得，所以，则，故，
又有，由抛物线定义得，所以为正三角形，则，
所以，则，所以，故
故，所以，则，所以，则，不妨由图取，
又，所以，则，不妨由图取，
所以.
故选：D.
8．（2023·河北石家庄·高三校联考期中）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则的面积为（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设，，过点且与抛物线相切的直线方程为，
联立，消去，得，
则，即．
设方程的两解为，，则，，
则，．
易知，则，，
．
故选：A.
二、多选题
9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意得，设直线：即，
则点到直线的距离是，
所以，得，所以，
，，所以AC正确，
故选：AC.
10．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（ ）
A．抛物线的方程是 B．
C．当时， D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项，抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线的准线上，则，可得，
所以，抛物线的方程为，A错；
对于B选项，抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，
联立，可得，，则，
所以，，B对；
对于C选项，因为，即，则，
因为，可得，
则，则，
此时，
，C对；
对于D选项，，同理可得，
所以，
，所以，，D对.
故选：BCD.
11．（2023·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（ ）
A．的准线方程为 B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，对于抛物线，，可得，
所以，抛物线的准线方程为，A对；
对于B选项，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
所以，，，
则，则，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C错；
对于D选项，设点、，
设直线的方程为，联立可得，
判别式为，由韦达定理可得，，同理可得，
，同理可得，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，D对.
故选：ABD.
12．（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．以MF为直径的圆与轴相切
C． D．
【答案】ABD
【解析】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
对于A，由，得，A正确；
对于B，显然的中点的横坐标为，则该点到轴的距离，
所以以为直径的圆与轴相切，B正确；
对于C，当时，，解得，即，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知点和抛物线C：，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A，B两点．若，则 ．
【答案】2
【解析】因为抛物线C：的焦点为，所以直线AB的方程为，
由可得，其中，
此时.
设，，则，，
所以，
．
因为，所以，，
因为，所以，所以，
整理可得，
所以，得，所以．
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上三点，若直线AB，AC的斜率互为相反数，则直线BC的斜率为
【答案】/-0.5
【解析】将代人，得，则抛物线方程为.
设，
联立，
得.
由于A，B，C三点的纵坐标为该方程的三个根，
所以B，C两点纵坐标满足.
又，所以.
故直线BC的斜率为.
故答案为：
15．（2023·浙江·模拟预测）过抛物线的焦点的直线与交于两点，从点分别向准线作垂线，垂足分别为，线段的中点为，则弦的长为 .
【答案】5
【解析】由已知得抛物线的准线方程为，，
设，
所以的中点的坐标为，所以，
设直线的方程为，与抛物线方程联立
可得，所以，可得，
所以，
所以.
故答案为：5.
16．（2023·高二课时练习）设是抛物线上任意一点，是直线上任意一点，记，则 .
【答案】
【解析】易求得与直线平行，且与抛物线相切的直线的方程为，
切点为，直线与直线l交于点，
由曼哈顿距离的几何意义可得．
四、解答题
17．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
【解析】（1）点在抛物线上，
由抛物线定义可得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）设，如下图所示：
则，两式相减可得，
即，
又线段的中点为，可得；
则，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为，
即直线的方程为．
18．（2023·全国·高二随堂练习）有一条光线沿直线从右向左射到拋物线上的一点，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的另一个交点是，是抛物线的顶点，是抛物线的焦点，求弦的斜率和的面积.
【解析】
由得：，，
由抛物线的光学性质知：反射光线必经过抛物线的焦点，
由抛物线方程知：，
弦的斜率；.
19．（2023·高二课时练习）已知抛物线，p为方程的根.
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线与直线无公共点，求此抛物线的通径（通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线被抛物线所截得的线段）.
【解析】（1）由题意得，解得或6.
或.
（2）联立与可得，
即，由，
故抛物线与直线有公共点，不合要求，舍去；
联立与可得，
即，由，
故抛物线与直线无公共点，
∴焦点，中令，可得，解得，
.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.
(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．
【解析】（1）依题意，联立，消去，得：，即：，
①当时，有：，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，要使得直线与抛物线只有一个公共点，
则方程只有一个解，
所以，解得：；
综上所述，当或时，直线与抛物线只有一个公共点．
（2）由于抛物线：的焦点的坐标为，
所以过点且斜率为的直线方程为：，
设，，
联立，消去，得：，
则由韦达定理得：，，
所以，
所以.
21．（2023·河南·高三统考阶段练习）已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设，则，
由题意线垂直于轴，与交于两点，知，
过点且平行于轴的直线方程为：，
直线的方程为：，
令，得，即，
由得，
因为在抛物线上，即，
则，化简得，
由题意知不重合，故，
所以曲线的方程为
（2）由（1）知曲线的方程为，
点在直线上运动， 当点在特殊位置时，
两个切点关于轴对称，
故要使得，则点在轴上．
故设，
曲线的方程为，求导得，
所以切线的斜率，
直线的方程为，
又点在直线上，
所以，
整理得，
同理可得，
故和是一元二次方程的根，
由韦达定理得，
，
当时，恒成立，
所以存在定点，使得恒成立．
五、证明题
22．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点．
(1)若线段中点的横坐标为2，求线段的长；
(2)若直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．
【解析】（1）设，由题意，抛物线中，
焦点弦长；
（2）由已知准线方程为，焦点为,直线的斜率显然存在，设直线的方程为，
由得，∴，
直线方程为，令得，
又，，所以，，
，显然异号，所以，
所以与轴平行，即与抛物线的对称轴平行．

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