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数学高考基础知识、常见结论详解
一、集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。
集合元素的互异性：如：，，求；
（2）集合与元素的关系用符号，表示。
（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。
（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。
注意：区分集合中元素的形式：如：；；；；；
；
（5）空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系）
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
如：，如果，求的取值。
二、集合间的关系及其运算
（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
（2）；；
（3）对于任意集合，则：
①；；；
② ； ；
； ；
③ ； ；
（4）①若为偶数，则 ；若为奇数，则 ；
②若被3除余0，则 ；若被3除余1，则 ；若被3除余2，则 ；
三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
（2）中元素的个数的计算公式为： ；
（3）韦恩图的运用：
四、满足条件，满足条件，
若 ；则是的充分非必要条件；
若 ；则是的必要非充分条件；
若 ；则是的充要条件；
若 ；则是的既非充分又非必要条件；
五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；
注意：“若，则”在解题中的运用，
如：“”是“”的 条件。
六、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个
否定
正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个
否定
二、函数
一、映射与函数：
（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：
如：若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，若，则到的一一映射有 个。
函数的图象与直线交点的个数为 个。
二、函数的三要素： ， ， 。
相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)
（1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（2）函数定义域的求法：
①，则 ； ②则 ；
③，则 ； ④如：，则 ；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数的定义域是，求的定义域。
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。
（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
求下列函数的值域：①（2种方法）；
②（2种方法）；③（2种方法）；
三、函数的性质：
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）
导数法（适用于多项式函数）
复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法：定义法，　图像法　，复合函数法
应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。
常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）
平移变换　y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过　　　　　平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。
　　（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量（ｍ，ｎ）平移的意义。
对称变换　y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称
y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称
y=f(x)→y=f|x|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称
y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数）
伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。
一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
如：的图象如图，作出下列函数图象：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；
（9）。
五、反函数：
（1）定义：
（2）函数存在反函数的条件： ；
（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；
（4）求反函数的步骤：①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。
（5）互为反函数的图象间的关系： ；
（6）原函数与反函数具有相同的单调性；
（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。
如：求下列函数的反函数：；；
七、常用的初等函数：
（1）一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；
（2）一元二次函数：
一般式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；
两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；
顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；
①一元二次函数的单调性：
当时： 为增函数； 为减函数；当时： 为增函数； 为减函数；
②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
有三个类型题型：
(1)顶点固定，区间也固定。如：
(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；则：
根的情况
等价命题 在区间上有两根 在区间上有两根 在区间或上有一根
充要条件
注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。
（3）反比例函数：
（4）指数函数：
指数运算法则： ； ； 。
指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0（5）对数函数：
指数运算法则： ； ； ；
对数函数：y= (a>o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0注意：（1）与的图象关系是 ；
（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。
（3）已知函数的定义域为，求的取值范围。
已知函数的值域为，求的取值范围。
六、的图象：
定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。
七、补充内容：
抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①正比例函数
②； ；
③； ；
④ ；
三、导 数
１．求导法则：
(c)/=0 　这里c是常数。即常数的导数值为０。
(xn)/=nxn－1 　　特别地：(x)/=1 (x－1)/= ()/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k f(x))/= k f/(x)
２．导数的几何物理意义：
k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。
V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
３．导数的应用：
①求切线的斜率。
②导数与函数的单调性的关系
㈠与为增函数的关系。
能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
㈡时，与为增函数的关系。
若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。
㈢与为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
㈣单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。
③求极值、求最值。
注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
　　 f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。
但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
4.导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
四、不等式
一、不等式的基本性质：
注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。
(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：
①若ab>0，则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。
③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。
④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小
二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若，则（当且仅当时取等号）
基本变形：① ； ；
②若，则，
基本应用：①放缩，变形；
②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
当（常数），当且仅当 时， ；
当（常数），当且仅当 时， ；
常用的方法为：拆、凑、平方；
如：①函数的最小值 。
②若正数满足，则的最小值 。
三、绝对值不等式：
注意：上述等号“＝”成立的条件；
四、常用的基本不等式：
（1）设，则（当且仅当 时取等号）
（2）（当且仅当 时取等号）；（当且仅当 时取等号）
（3）； ；
五、证明不等式常用方法：
（1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤：
⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。
⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。
（2）综合法：由因导果。
（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……
（4）反证法：正难则反。
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有：
⑴添加或舍去一些项，如：；
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如：；
⑷利用常用结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：
已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
六、不等式的解法：
（1）一元一次不等式：
Ⅰ、：⑴若，则 ；⑵若，则 ；
Ⅱ、：⑴若，则 ；⑵若，则 ；
（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：
（5）绝对值不等式：若，则 ； ；
注意：(1).几何意义：： ；： ；
(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则 ；②若则 ；③若则 ；
(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ；
（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
（8）解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要分、、讨论。
五、数列
本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前项和，则其通项为若满足则通项公式可写成.（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.
②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为及；已知求时，也要进行分类；
③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整
体思想求解.
（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.
一、基本概念：
1、 数列的定义及表示方法：
2、 数列的项与项数：
3、 有穷数列与无穷数列：
4、 递增（减）、摆动、循环数列：
5、 数列{an}的通项公式an：
6、 数列的前n项和公式Sn:
7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：
二、基本公式：
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{anbn}、、仍为等比数列。
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)
24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。
25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c1) 是等差数列。
26. 在等差数列中：
（1）若项数为，则
（2）若数为则， ，
27. 在等比数列中：
（1） 若项数为，则
（2）若数为则，
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
1 an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
2 (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得取最大值.
(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
六、平面向量
1．基本概念：
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2． 加法与减法的代数运算：
(1)．
(2)若a=（）,b=（）则ab=（）．
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=－,=－
且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．
向量加法有如下规律：＋=＋(交换律); +(+c)=(+ )+c （结合律）;
+0= ＋(－)=0.
3．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。
(1)︱︱=︱︱·︱︱;
(2) 当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；当=0时，=0．
(3)若=（），则·=（）．
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=．
(2) 若=（）,b=（）则∥b．
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=e1+ e2．
4．P分有向线段所成的比：
设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。
当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0；
分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则 （≠－1）， 中点坐标公式：．
5． 向量的数量积：
（1）．向量的夹角：
已知两个非零向量与b，作=, =b,则∠AOB= （）叫做向量与b的夹角。
（2）．两个向量的数量积：
已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则·b=︱︱·︱b︱cos．
其中︱b︱cos称为向量b在方向上的投影．
（3）．向量的数量积的性质：
若=（）,b=（）则e·=·e=︱︱cos (e为单位向量);
⊥b·b=0（，b为非零向量）;︱︱=;
cos==．
(4) ．向量的数量积的运算律：
·b=b·;()·b=(·b)=·(b);(＋b)·c=·c+b·c．
6.主要思想与方法：
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
七、立体几何
1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
能够用斜二测法作图。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；
会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。
3.直线与平面
①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面垂直的证明方法有哪些？
④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}
⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.
4.平面与平面
(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）
(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。
(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→
(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：
①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；
②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。
③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。
5．棱柱
（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。
（2）掌握长方体的对角线的性质。
（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。
（4）S侧＝各侧面的面积和。思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？
（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？
6．棱锥
1． 棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）
2． 相关计算：S侧＝各侧面的面积和　，V=Sh
7．球的相关概念：S球=4πR2　V球＝πR3　球面距离的概念
8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
掌握欧拉公式：V+F-E=2 其中：V顶点数　E棱数　F面数
9．会用反证法证明简单的命题。如两直线异面。
主要思想与方法：
1．计算问题：
（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算
异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法.
直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.
二面角 方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算
（2）空间距离(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.
(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.
(7)两个平行平面之间的距离.
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.
在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.
求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.
求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.
2．平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变
3．在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：
①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.
②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.
③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.
④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.
⑤平行转化
⑥垂直转化
八、平面解析几何
（一）直线与圆知识要点
１．直线的倾斜角与斜率k=tgα，直线的倾斜角α一定存在，范围是[0,π]，但斜率不一定存在。牢记下列图像。
斜率的求法：依据直线方程　　依据倾斜角　　依据两点的坐标
２．直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。
３．两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。（斜率相等还有可能重合）
４．两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。
　５．点到直线的距离公式。
　６．会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。
　７．曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。
　８．圆的标准方程：(x－a)2+(y－b)2=r2
　　　　圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0　注意表示圆的条件。
圆的参数方程：
掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。
圆锥曲线方程
（二）、圆锥曲线
1． 椭圆及其标准方程
２．双曲线及其标准方程：
３．抛物线及其标准方程：
直线与圆锥曲线：
注意点：
（1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解
（2）要学会变形使用两点间距离公式，当已知直线的斜率 时，公式变形为或；当已知直线的倾斜角时，还可以得到或
（3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算.
（4）会在任何条件下求出直线方程.
（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质
解析几何中的一些常用结论：
1． 直线的倾斜角α的范围是[０，π)
2． 直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角α的增大而增大。当α是钝角时，k与α同增减。
3． 截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。
4． 两直线：L1 A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1⊥L2A1A2+B1B2=0
5． 两直线的到角公式：L1到L2的角为θ，tanθ=　　
夹角为θ，tanθ=||　注意夹角和到角的区别
6． 点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。
7． 有关对称的一些结论　
1 点（ａ，ｂ）关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称点分别是
（ａ，－ｂ），（－ａ，ｂ），（－ａ，－ｂ），（ｂ，ａ）
2 如何求点（ａ，ｂ）关于直线Ax+By+C=0的对称点
3 直线Ax+By+C=0关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点（ａ，ｂ）对称的直线方程有时什么？
4 如何处理与光的入射与反射问题？
８．曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：
（１）点(a.b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（２）ｘ轴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（３）ｙ轴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（４）原点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（５）直线y=x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（６）直线y=－x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（７）直线x＝ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
９．点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。
点P(x0,y0),圆的方程：(x－a)2+(y－b)2=r2.
如果(x0－a)2+(y0－b)2>r2点P(x0,y0)在圆外；
如果 (x0－a)2+(y0－b)2如果 (x0－a)2+(y0－b)2=r2点P(x0,y0)在圆上。
10．圆上一点的切线方程：点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上，那么过点P的切线方程为：x0x+y0y=r2.
11.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与ｘ轴垂直的直线。
12.直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题。ｄ>r相离　　d=r相切　　　d13．圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r,R
d>r+R两圆相离　　　　　d＝r+R两圆相外切
|R－r|d<|R－r|两圆内含　　　　d=0，两圆同心。
14.两圆相交弦所在直线方程的求法：
圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.
圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0.
把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
15.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。
16.焦半径公式：在椭圆＝１中，F１、F２分别左右焦点，P(x0,y0)是椭圆是一点，则：(1)|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0
(2)三角形PF１F２的面积如何计算
17．圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。
18．直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)
则弦长P1P2=
19.双曲线的渐近线的求法（注意焦点的位置）已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。
20.抛物线中与焦点有关的一些结论：（要记忆）
解题思路与方法：
高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：
（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键.
（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程.
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.
（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.
（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.
（7）参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解.
九、排列组合与二项式定理
1． 计数原理
①加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ②乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步)
2． 排列（有序）与组合（无序）
Anm=n(n－1)(n－2)(n－3) …(n－m+1)= Ann =n!
Cnm =
Cnm= Cnn－m　　Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k k!=(k+1)!－k!
3． 排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排
排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.　　
捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）　　
插空法（解决相间问题）　　间接法和去杂法等等
在求解排列与组合应用问题时，应注意：
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
(4)列出式子计算和作答.
经常运用的数学思想是：
①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.
4． 二项式定理：
①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+ …+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn
　 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
②通项为第r+1项：　Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
③主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m
最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）
所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和
Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1
5.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
6．二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
十、概率统计
１．必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 02.等可能事件的概率：（古典概率）P(A)=　理解这里m、ｎ的意义。
　互斥事件（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，这时P(A B)=０）P(A+B)=P（A）+ P(B)
　对立事件（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。这时P(A B)=０）P（A）+ P(B)＝１
　独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A B)＝P(A) P(B)
　独立重复事件（贝努里概型）
Pn(K)=Cnkpk(1－p)k 表示事件A在n次独立重复试验中恰好发生了k次的概率。
P为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。
特殊：令k=0　得：在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为Pn(０)=Cn0p0(1－p)n =(1－p)n
令k=n得：在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为Pn(n)=Cnnpn(1－p)0 =pn
3.统计
总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义；
抽样方法：1简单随机抽样：包括随机数表法，标签法；2系统抽样 3分层抽样。
样本平均数：
样本方差：S2 =[(x1－)2+(x2－)2+ (x3－)2+…+(xn－)2]
样本标准差：s= 作用：估计总体的稳定程度
理解频率直方图的意义，会用样本估计总体的期望值和方差，用样本频率估计总体分布。
题型示例
一、选择题
1.设则有　　　　　　　　　（　　）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 　D．最小值
2. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①；②；③；④．其中正确的结论是（　）
　　A．仅有①　　B．仅有② C．②和③　　D．仅有③
3. 将函数y＝2x的图像按向量平移后得到函数y＝2x＋6的图像，给出以下四个命题：①的坐标可以是（-3.0）；②的坐标可以是（0，6）；③的坐标可以是（-3，0）或（0，6）；④的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（　）
A．1　　　　　 B．2　　　　　　C．3　　　　　 D．4
4. 不等式组，有解，则实数a的取值范围是（　）
　　A．（-1，3） B．（-3，1）　C．（-∞，1）（3，＋∞）　　D．（-∞，-3）（1，＋∞）
5. 设a＞0，，曲线y＝f（x）在点P（，f（））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y＝f（x）对称轴距离的取值范围为（　）
　　A．，　　B．， C．，　D．，
6. 已知奇函数且对任意正实数，（≠）恒有则一定正确的是（　）
　　A． B．　C．　D．
7. 将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的体积增加（　）
　　A．　 B．　　C．　　　D．
8. 等边△ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面BPQC，若折叠后AB的长为d，则d的最小值为（　）
　　A．　　　B．　　　 C．　　　　　D．
9. 锐角、满足＝1，则下列结论中正确的是（　）
　　A． B．　　C．　D．
10. 若将向量a＝（2，1）转绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为（　）
　　A．，　B．，　　C．，　D．，
11. 若直线mx＋ny＝4和⊙O∶没有交点，则过（m，n）的直线与椭圆的交点个数（　）
　　A．至多一个　　B．2个　　C．1个　　D．0个
12. 在椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有 Ａ．４个或６个或８个 　　　Ｂ．4个 　Ｃ．6个 　Ｄ．8个
13. 对于任意正整数n，定义“n的双阶乘n!!”如下：
当n是偶数时，n!!=n·(n-2)·(n-4)……6·4·2；
当n是奇数时，n!!=n·(n-2)·(n-4)……5·3·1
现在有如下四个命题：①(2003!!)·(2002!!)=2003!；②2002!!=21001·1001!；
③2002!!的个位数是0；　④2003!!的个位数是5.
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14. 甲、乙两工厂元月份的产值相等，甲工厂每月增加的产值相同，乙工厂的产值的月增长率相同，而７月份甲乙两工厂的产值又相等，则４月份时，甲乙两工厂的产值高的工厂是　　　　　　　（　　）
Ａ．甲工厂　　　　Ｂ．乙工厂　　　　Ｃ．一样　　　　　Ｄ．无法确定
15. 若，则，，的大小关系是（　）
　　A．　B．　　C．　D．
16. 现用铁丝做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的铁丝各一根供选择，其中最合理（即够用，浪费最少）的一根是（　）．
　　A．4.6米　　　 B．4.8米　　　 C．5.米　　　　　D．5.2米
17. 定义，其中，且≤．若则的值为 ( )
A．2 B．0 C．-1 D．-2
18. 设实数m、n、x、y满足，，其中a、b为正的常数，则的最大值是（　）
　　A．　　　B．　　　C． 　　　 D．
19. 给出平面区域如图所示，若使目标函数z＝ax＋y（a＞0）取最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（　）
　　A．　　　　　B．　　　　　C．4　　　　　　D．
20. 已知等比数列满足：，，则的值是（　）
　　A．9　　　　　 B．4　　　　　 C．2　　　　　　D．
21. 已知正二十面体的各面都是正三角形，那么它的顶点数为（　　）
　　A．30　　　　　B．12　　　　　C．32　　　　　 D．10
22. 如果A、B是互斥事件，那么（　）
A．A＋B是必然事件B．是必然事件　C．与一定不互斥　D．A与可能互斥，也可能不互斥
23. 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
　　表1　市场供给量
单价（元/kg） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供给量（1000kg） 50 60 70 75 80 90
　　表2　市场需求量
单价（元/kg） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2
需求量（1000kg） 50 60 65 70 75 80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（　）
　　A.（2.3，2.6）内　　　B．（2.4，2.6）内　　C．（2.6，2.8）内　　D．（2.8，2.9）内
二、填空题
1．设直线与抛物线交于Ｐ、Ｑ两点，Ｏ为坐标原点，则　　　　．
2．函数对于任何，恒有若则= ．
3．把11个学生分成两组，每组至少1人，有　　　　种不同的分组方法．
4. 设是公比为q的等比数列，是它的前n项和，若是等差数列，则q＝_______．
5. 点、是椭圆（a＞b＞0）的短轴端点，过右焦点F作x轴的垂线交于椭圆于点P，若是、的等比中项（O为坐标原点），则________．
6. 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面，远地点B距离地面，地球半径为，关于这个椭圆有以下四种说法：
　　①焦距长为；②短轴长为；③离心率；④若以AB方向为x轴正方向，F为坐标原点，则与F对应的准线方程为，其中正确的序号为________．
7. 如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么其第四个面可能是：
　　①等边三角形；②等腰直角三角形；③锐角三角形；④锐角三角形；⑤直角三角形．那么结论正确的是________．（填上你认为正确的序号）
8. 某工程的工序流程图如图所示，（工时单位：天），现已知工程总时数为10天，则工序c所需工时为__天．
三、解答题
1．设F1、F2分别为椭圆的左、右两个焦点．
(1) 若椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2) 设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．
2．已知函数
（1）证明是奇函数，并求的单调区间.
（2）分别计算的值，由此概括出涉及函数
和的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.
3.非负实数x1、x2、x3、x4满足：x1+x2+x3+x4=a（a为定值，a>0）
（1）若x1+x2≤1，证明：
（2）求的最小值，并说明何时取到最小值.
4．已知，数列满足．
　（1）用表示；
　（2）求证：是等比数列；
　（3）若，求的最大项和最小项．
5．如图，MN是椭圆C1：的一条弦，A（－2,1）是MN的中点，以A为焦点，以椭圆C1的左准线l为相应准线的双曲线C2与直线MN交于点B（－4，－1）。设曲线C1、C2的离心率分别为e1、e2。
　（1）试求e1的值，并用a表示双曲线C2的离心率e2；
　（2）当e1e2=1时，求|MB|的值。
6．已知函数．
　　（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
　　（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间[，上的图像．
7.已知双曲线右支上一点在轴上方，A、B分别是椭圆的左、右顶点，连结AP交椭圆于点C，连结PB并延长交椭圆于D，若△ACD与△PCD的面积恰好相等．
（1）求直线PD的斜率及直线CD的倾角；
（2）当双曲线的离心率为何值时，CD恰好过椭圆的右焦点？
8. 如图．已知斜三棱柱ABC-的各棱长均为2，侧棱与底面ABC所成角为，且侧面垂直于底面ABC．
　　（1）求证：点在平面ABC上的射影为AB的中点；
　　（2）求二面角C--B的大小；
　　（3）判断与是否垂直，并证明你的结论．
9. 如图所示，以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求和点B的坐标．
10. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD，O为原点，且＝a，＝b，＝c，＝d，E在BA上，且BE∶EA＝1∶3，F在BD上，且BF∶FD＝1∶4，用a，b，c，d分别表示、、、，并判断E、F、C三点是否共线．
11. △ABC中，，，a，b是方程的两根，且2cos（A＋B）＝1．求：
　　（1）角C的度数；（2）AB的长；（3）
12. 已知二次函数的二次项系数为负，对任意实数x都有，问当与满足什么条件时才有-2＜x＜0？
题型示例答案
1、 选择题
1. C2. C3. D4. A5. B6. D7. B8. D9. D10. B11. B12.A13.D14.Ａ15.C16. C17. D18. B19. A20. B21. B22. B23. C
2、 填空题
1. 9002. 3. 1023 4. 1 5. 6. ①③④7. ①②③④⑤8. 4
三、解答题
1. （1）椭圆C的方程为，焦点F1(-1,0)、F2(1,0)；
（2）　；（3）定值为　
2. （1）证明 函数定义域为
∴为奇函数.
设
上是增函数，又是奇函数.
∴在（－∞，0）上也是增函数.
（2）解　猜想：
3. 证：（1）
要证，
只要让
即证：
只要证： 成立，故原不等式也成立。
解（2）从（1）的证明过程可知当成立
，等号当时取到．
等号当取到。
4. 解：（1）因为
　所以，又，所以
（2）因为
所以，是以为首项，公比为的等比数列．
（3）由（2）可知，，　所以，
从而．
因为减函数，所以bn中最大项为b1＝0．　又bn＝，
而此时n不为整数才能有，所以只须考虑接近于．
当n=3时，＝与相差；当n=4时，＝与相差，
而＞，所以bn中项．
5.解（1）［法一］由A（－2,1），B（－4，－1）得直线AB即直线MN方程为y=x+3，代入椭圆C1的方程并整理，得(a2+b2)x2+6a2x+9a2－a2b2＝0　　(*)
　　设M（x1,y1），N(x2,y2)，则　　x1＋x2＝－
∵A（－2,1）是弦MN的中点，∴x1+x2=-4，故由得a2=2b2,
又b2=a2－c2，∴a=，从而椭圆离心率e1=.
　　　∵A为C2的焦点，且相应准线l方程为，即，过B作BB0⊥l于B0，则由双曲线定义知，e2=.
　　法二：设M（x1，y1）,N（x2,y2）,则x1+x2＝4，y1+y2＝2,且　，
（i）－（ii）得　，
　　∴，以下同法一。
（2）由，得，即，∴或。
当时，b2=9，椭圆方程为；
当时，b2=1，代入（*）知Δ＜0，不合题意，舍去；
（另法：此时A（－2,1）在椭圆外，不可能为弦MN中点，舍去）
∴椭圆C1方程只能为。
以下法一：将a2=18,b2=9，代入（*）得x2+4x=0，∴x1+x2＝－4，x1x2＝0，
　∴|MN|＝，
又|AB|＝
∴|MB|＝|MA|＋|AB|＝|MN|+|AB|＝2.
以下法二：具体求出M、N点的坐标。
以下法三：先验证点B（－4，－1）在椭圆上，即B与N重合，从而|MB|＝|MN|，故转化为求弦长|MN|即可。
6. 解：（1）
　　　　　　　　　　
　　所以函数的最小正周期为，最大值为．
　　（2）由（1）知
1 1 1
　　故函数在区间，上的图像是
7. 解：（1）设，，，又，，
，C为AP的中点，即，，
代入椭圆方程得： ①； 又 ②
①+②得，即舍去），代入（2），并注意，得．
，从而．
直线PD方程为，代入椭圆方程得：，，
，，即⊥轴，倾角为90°．
（2）当CD过椭圆右焦点时，有，，
在双曲线中，半焦距，半实轴，
双曲线离心率，
此时，CD恰好过椭圆右焦点．
8. （1）如图，在平面内，过作⊥AB于D，　　∵　侧面⊥平面ABC，
　　∴　⊥平面ABC，是与平面ABC所成的角，∴　＝60°．
　　∵　四边形是菱形，　　∴　△为正三角形，
　　∴　D是AB的中点，即在平面ABC上的射影为AB的中点．
　　（2）连结CD，∵　△ABC为正三角形，
　　又∵　平面⊥平面ABC，平面平面ABC＝AB，
　　∴　CD⊥平面，在平面内，过D作DE⊥于E，连结CE，则CE⊥，
　　∴　∠CED为二面角C--B的平面角．在Rt△CED中，，连结于O，则，，
　　∴　．　∴　所求二面角C--B的大小为arctan2．
　　（3）答：，连结，　　∵　是菱形　∴　
　　∴　CD⊥平面，，　∴　⊥AB，
　　∴　⊥平面，　∴　⊥．
9. 设点B的坐标为（x，y），则，，，　∵　
　　∴　　　　　　　　　　　①
　　又∵　　∴　　 ②
　　解①②得　或
　　∴　点B的坐标为（，）或（，），或，
10. 解：由，，可直接求得　　，．
　　∴　
　　．
　　由平行四边形性质，知．　即
　　所以
　　∴　，从而E、F、C三点共线．
11. 解：（1），120°
　　（2）∵　a，b是的两个根，
　　∴　，
　　∴　
　　　　　　　　∴　
（3）
12. 解:由已知，．　　∴　在（-∞，上单增，在（2，＋∞）上单调．
　　又∵　，．
　　∴　需讨论与的大小．
　　由知
　　当，即时，．
　　故时，应有
x
O
y
y=f(x)
(2,0)
(0,-1)
α
。
π
O
K
x
y
A
P
B
C
D
0
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《高中数学解题思维与思想》
导 读
数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性
根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案
二、数学思维的反思性
提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性
考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性
对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么”转变，从而培养他们的思维能力。
《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
一、高中数学解题思维策略
第一讲 数学思维的变通性
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：
（1）善于观察
心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例如，求和.
这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且，因此，原式等于问题很快就解决了。
（2）善于联想
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
例如，解方程组.
这个方程指明两个数的和为，这两个数的积为。由此联想到韦达定理，、是一元二次方程 的两个根，
所以或.可见，联想可使问题变得简单。
（3）善于将问题进行转化
数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
例如，已知,,
求证、、三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
二、思维训练实例
（1） 观察能力的训练
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例1 已知都是实数，求证
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的
结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，
可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。
证明 不妨设如图1－2－1所示，
则
在中，由三角形三边之间的关系知：
当且仅当O在AB上时，等号成立。
因此，
思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。
例2 已知，试求的最大值。
解 由 得
又
当时，有最大值，最大值为
思路分析 要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
思维障碍 大部分学生的作法如下：
由 得
当时，取最大值，最大值为
这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，
又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。
有些问题的观察要从相应的图像着手。
例3 已知二次函数满足关系
，试比较与的大小。
思路分析 由已知条件可知，在与左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线对称，又由
已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致
图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由，
知是以直线为对称轴，开口向上的抛物线
它与距离越近的点，函数值越小。
思维障碍 有些同学对比较与的大小，只想到求出它们的值。而此题函数的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。
（2） 联想能力的训练
例4 在中，若为钝角，则的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
思路分析 此题是在中确定三角函数的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式可得下面解法。
解 为钝角，.在中
且
故应选择（B）
思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。
例5 若
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当时，等式
可看作是关于的一元二次方程有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：
即
若，由已知条件易得 即,显然也有.
例6 已知均为正实数,满足关系式,又为不小于的自然数，求证:
思路分析 由条件联想到勾股定理,可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设所对的角分别为、、则是直角，为锐角，于是
且
当时，有
于是有
即
从而就有
思维阻碍 由于这是一个关于自然数的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。
（3） 问题转化的训练
我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。
转化成容易解决的明显题目
例11 已知求证、、中至少有一个等于1。
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。、、中至少有一个为1，也就是说中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。
证明
于是
中至少有一个为零，即、、中至少有一个为1。
思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
例12 直线的方程为，其中；椭圆的中心为，焦点在轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为，问在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点的距离等于该点到直线的距离。
思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线
（1）
是，又从已知条件可得椭圆的方程为
（2）
因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求的取值范围。将（2）代入（1）得：
（3）
确定的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：
在的条件下，得
本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。
逆向思维的训练
逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。
例13 已知函数，求证、、中至少有一个不小于1.
思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。
证明 （反证法）假设原命题不成立，即、、都小于1。
则
①＋③得 ，
与②矛盾，所以假设不成立，即、、中至少有一个不小于1。
一题多解训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。
例14 已知复数的模为2，求的最大值。
解法一（代数法）设
解法二（三角法）设
则
解法三（几何法）
如图1－2－3 所示，可知当时，
解法四（运用模的性质）
而当时，
解法五（运用模的性质）
又
第二讲 数学思维的反思性
一、概述
数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。
二、思维训练实例
(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误。
例1 已知，若求的范围。
错误解法 由条件得
②×2－①得
①×2－②得
+得
错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有
解得：
把和的范围代入得
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
例2 证明勾股定理：已知在中，，求证
错误证法 在中，而，
，即
错误分析 在现行的中学体系中，这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。
(2) 验算的训练
验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。
例3 已知数列的前项和，求
错误解法
错误分析 显然，当时，，错误原因，没有注意公式成立的条件是因此在运用时，必须检验时的情形。即：
例4 实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。
错误解法 将圆与抛物线 联立，消去，
得 ①
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得
解之，得
错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时，得解之，得
因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。
思考题：实数为何值时，圆与抛物线，
（1） 有一个公共点；
（2） 有三个公共点；
（3） 有四个公共点；
（4） 没有公共点。
养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。
(3) 独立思考，敢于发表不同见解
受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。
例5 30支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？
解 因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。
思 路 分 析 传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应有15＋7＋4＋2＋1＝29场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场比赛。
例6 解方程
考察方程两端相应的函数，它们的图象无交点。
所以此方程无解。
例7 设是方程的两个实根，则的最小值是（ ）
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得：
有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根，
当时，的最小值是8；当时，的最小值是18；
这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。
第三讲 数学思维的严密性
二、概述
在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：
概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。
判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如，“函数是一个减函数”就是一个错误判断。
推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。
例如，解不等式
解
或 这个推理是错误的。在由推导时，没有讨论的正、负，理由不充分，所以出错。
二、思维训练实例
思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。
(1) 有关概念的训练
概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”《中学数学教学大纲》（试行草案）
例1、 不等式
错误解法
错误分析 当时，真数且在所求的范围内（因 ），说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。
正确解法
例2、 求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。
错误解法 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为
，消去得：
整理得 直线与抛物线仅有一个交点，
解得所求直线为
错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。
当所求直线斜率为零时，直线为平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。
设所求的过点的直线为则
， 令解得所求直线为
综上，满足条件的直线为：
(2) 判断的训练
造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。
①注意定理、公式成立的条件
数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。
例3、 实数，使方程至少有一个实根。
错误解法 方程至少有一个实根，
或
错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。
正确解法 设是方程的实数根，则
由于都是实数，
解得
例4 已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程。
错解1
故所求的双曲线方程为
错解2 由焦点知
故所求的双曲线方程为
错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。
正解1 设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知
整理得
正解2 依题意，设双曲线的中心为
则 解得
所以
故所求双曲线方程为
②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用
我们知道：
如果成立，那么成立，即，则称是的充分条件。
如果成立，那么成立，即，则称是的必要条件。
如果，则称是的充分必要条件。
充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。
例5 解不等式
错误解法 要使原不等式成立，只需
解得
错误分析 不等式成立的充分必要条件是：或
原不等式的解法只考虑了一种情况，而忽视了另一种情况，所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。
正确解法 要使原不等式成立，则
或
，或
原不等式的解集为
例6（轨迹问题）求与轴相切于右侧，并与
⊙也相切的圆的圆心
的轨迹方程。
错误解法 如图3－2－1所示，
已知⊙C的方程为
设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与轴相切于M点，
与⊙C相切于N点。根据已知条件得
，即
化简得
错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是
。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。
③防止以偏概全的错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
例7 设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.
错误解法
错误分析 在错解中，由
时，应有在等比数列中，是显然的，但公比完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若，则有
但，即得与题设矛盾，故.
又依题意
可得
即
因为，所以所以
所以
说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
④避免直观代替论证
我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。
例8 （如图3－2－2），具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。
错误解法 依题意，可知曲线是抛物线，
在内的焦点坐标是
因为二面角等于，
且所以
设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，
从而
所以所以点是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。
所以曲线在内的射影的曲线方程是
错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为
。
正确解法 在内，设点是曲线上任意一点
（如图3－2－3）过点作，垂足为，
过作轴，垂足为连接，
则轴。所以是二面角
的平面角，依题意，.
在
又知轴（或与重合），
轴（或与重合），设，
则
因为点在曲线上，所以
即所求射影的方程为
(3) 推理的训练
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。
例9 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程。
错误解法 依题意可设椭圆方程为
则 ，
所以 ，即
设椭圆上的点到点的距离为，
则
所以当时，有最大值，从而也有最大值。
所以 ，由此解得：
于是所求椭圆的方程为
错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围。事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论。即：
若，则当时，（从而）有最大值。
于是从而解得
所以必有，此时当时，（从而）有最大值，
所以，解得
于是所求椭圆的方程为
例10 求的最小值
错解1
错解2
错误分析 在解法1中，的充要条件是
即这是自相矛盾的。
在解法2中，的充要条件是
这是不可能的。
正确解法1
其中，当
正 确 解 法2 取正常数，易得
其中“”取“＝”的充要条件是
因此，当
第四讲 数学思维的开拓性
一、概述
数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。
“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。
在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。
数学思维的开拓性主要体现在：
(1) 一题的多种解法
例如 已知复数满足，求的最大值。
我们可以考虑用下面几种方法来解决：
①运用复数的代数形式；
②运用复数的三角形式；
③运用复数的几何意义；
④运用复数模的性质（三角不等式）；
⑤运用复数的模与共轭复数的关系；
⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆与有公共点时，的最大值。
(2) 一题的多种解释
例如，函数式可以有以下几种解释：
①可以看成自由落体公式
②可以看成动能公式
③可以看成热量公式
又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：，等等。
1． 思维训练实例
例1 已知求证：
分析1 用比较法。本题只要证为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。
证法1
所以
分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。
证法2 要证
只需证
即
因为
所以只需证
即
因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。
分析3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）
证法3
即
分析4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。
证法4 可设
分析5 数形结合法：由于条件可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而联系到点到直线距离公式，可得下面证法。
证法5 （如图4-2-1）因为直线经过
圆的圆心O，所以圆上任意一点
到直线的距离都小于或等于圆半径1，
即
简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。
例2 如果求证：成等差数列。
分析1 要证，必须有成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。
证法1
故 ，即 成等差数列。
分析2 由于已知条件具有轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。
证法2 设则
于是，已知条件可化为：
所以成等差数列。
分析3 已知条件呈现二次方程判别式的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。
证法3 当时，由已知条件知即成等差数列。
当时，关于的一元二次方程：
其判别式故方程有等根，显然＝1为方程的一个根，从而方程的两根均为1，
由韦达定理知 即 成等差数列。
简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。
例3 已知，求的最小值。
分析1 虽然所求函数的结构式具有两个字母，但已知条件恰有的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。
解法1
设，则
二次项系数为故有最小值。
当时，
的最小值为
分析2 已知的一次式两边平方后与所求的二次式有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。
解法2 即
即 当且仅当时取等号。 的最小值为
分析3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。
解法3 设
当时，即的最小值为
分析4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。
解法4 如图4－2－2，表示直线
表示原点到直线上的点的距离的平方。
显然其中以原点到直线的距离最短。
此时，即
所以的最小值为
注 如果设则问题还可转化为直线与圆有交点时，半径的最小值。
简评 几种解法都有特点和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，形象直观，值得效仿。
例4 设求证：
分析1 由已知条件为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以探求证题途径。
证法1 设当时，可得与条件不合。
于是有
该方程有一对共轭虚根，设为，于是
又由韦达定理知
分析2 由于实数的共轭复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，注意到这一重要性质，即可求出的值。
证法2 设当时，可得与条件不合，
则有 ，
即
但
而 即
分析3 因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式。再运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。
证法3 即
从而必有
简评 设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也能够证明，它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁。现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处。证法3利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法。
例5 由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦的中点的轨迹方程。
分析1 （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。
解法1 如图4－2－3，设弦的中点的坐标为，连接，
则，在中，由两点间的距离公式和勾股定理有
整理，得 其中
分析2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的
曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。
解法2 因为是的中点，所以，
所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为,
半径为该圆的方程为：
化简，得 其中
分析3 （交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点可看作直线与割线的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。
解法3 设过点的割线的斜率为则过点的割线方程为：.
且过原点，的方程为 这两条直线的交点就是点的轨迹。两方程相乘消去化简，得：其中
分析4 （参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点随直线的斜率变化而发生变化，所以动点的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。
解法4 设过点的割线方程为：
它与圆的两个交点为，的中点为.
解方程组
利用韦达定理和中点坐标公式，可求得点的轨迹方程为：
其中
分析5 （代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点的坐标与两交点通过中点公式联系起来，又点构成4点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。
解法5 设则
两式相减，整理，得
所以
即为的斜率，而对斜率又可表示为
化简并整理，得 其中
简评 上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件，而解法4、5适用于一般的过定点且与二次曲线交于两点，求中点的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法5通常利用可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。
二、《解密数学思维的内核》
数学解题的思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
数学解题的技巧
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
1、 熟悉化策略
所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。
常用的途径有：
（一）、充分联想回忆基本知识和题型：
按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
（二）、全方位、多角度分析题意：
对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
（三）恰当构造辅助元素：
数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。
二、简单化策略
所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。
因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。
解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：
在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。
因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。
2、分类考察讨论：
在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。
3、简单化已知条件：
有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。
4、恰当分解结论：
有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。
三、直观化策略：
所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找到原题的解题思路。
（一）、图表直观：
有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。
对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。
（二）、图形直观：
有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。
（三）、图象直观：
不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获取简便，巧妙的解法。
四、特殊化策略
所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径。
五、一般化策略
所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。
六、整体化策略
所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。
七、间接化策略
所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题。
数学解题思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段：
第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。
第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化为已知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。
第三阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。
第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实现解题的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验加以整理使之系统化。
所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
通过以下探索途径来提高解题能力：
（1） 研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考。因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解。
（1） 清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。
（1） 深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，要图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位置，看看能否有重要发现。
（1） 尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目。
（1） 仔细考虑题意是否有其他不同理解。题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还缺少条件？
（1） 认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有联系。
（1） 如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题的元素，以利于解题思路的展开。
以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点。在制定计划寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：
（1） 设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件的解题方法。
（1） 记住：题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题。
（1） 解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办法检查解题途径是否合理，以便及时进行修正或调整。
（1） 尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简化了的同类题）再求其解。再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代。
（1） 分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。
（1） 尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。
（1） 研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。
（1） 改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“展望”。
（1） 万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题，研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示。
************************************************************* 附录：
波利亚给出了详细的“怎样解题”表，在这张表中启发你找到解题途径的一连串问句与建议，来表示思维过程的正确搜索程序，其解题思想的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把数学解题看成为问题化归的过程，即最终归结为熟悉的基本问题加以解决。
怎样解题
G . 波 利 亚
第一：你必须弄清问题
弄清问题：
未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把条件的各部分分开。你能否把它们写下来？
第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题，你应该最终得出一个求解的计划。
拟订计划：
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？
看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？
你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？
回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？
第三：实现你的计划
实现计划：
实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？
第四：验证所得的解
回顾：
你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？
数学解题方法
一、换元法
“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。
在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y或者把题中某一变量如x，用新变量t的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。
用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y或x=g(t)。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。
例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。
换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。
二、消元法
对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。
消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。
用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。
三、待定系数法
按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。
确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。
（一）比较系数法
比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。
比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，即a0xn+a1xn-1+ …+an≡b0xn+b1xn-1+… +bn 的充分必要条件是 a0=b0, a1=b1,…… an=bn 。
（二）特殊值法
特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。
特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。
待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。
四、判别式法
实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) ①
的判别式△=b2-4ac具有以下性质：
＞0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根
△ ＝0，当且仅当方程①有两个相等的实数根；
＜0，当且仅当方程②没有实数根。
对于二次函数
y=ax2+bx+c (a≠0)②它的判别式△=b2-4ac具有以下性质：
＞0，当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点；
△ ＝0，当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点；
＜0，当且仅当抛物线②与x轴没有公共点。
利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。
在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。
从总体上说，解答数学题，即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法和技巧进行微观处理，只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问题，获取良好的效果。
五、 分析法与综合法
分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程中具有十分重要的作用。
在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者称为分析法，后者称为综合法。
具体的说，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已知条件；综合法则是从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题。
六、 数学模型法
数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法。
利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作：
（1） 建模。根据实际问题的特点，建立恰当的数学模型。从总体上说，建模的基本手段，是数学抽象方法。建模的具体过程，大体包括以下几个步骤：
1o考察实际问题的基本情形。分析问题所及的量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其对象与关系结构的本质属性，确定问题所及的具体系统。
2o分析系统的矛盾关系。从实际问题的特定关系和具体要求出发，根据有关学科理论，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的关系。
3o进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新的数学概念和数学方法去表现数学模型。
（2）推理、演算。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的数学结果。
（3） 评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，形成最终的解答。
七、试验法
解答数学题，需要多方面的信息。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信息，为分析问题和解决问题提供必要的依据。
用试验法处理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围；在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的解答。
任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试验法，必须勤于观察，善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。
八、分类法
分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。
不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植到数学中来，用以指导解题的方法，通常称为分类或分域法。
用分类法解题，大体包含以下几个步骤：
第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A；
第二步：寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于求解的非空真子集A1，A2，…An;
第三步：在子集A1，A2，…An内逐类讨论；
第四步：综合子集内的解答，归纳结论。
以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其中的一项关键性的工作。从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件。
九、数形结合法
数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。
数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。
数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。
中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。就具体方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。
十、反证法与同一法
反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。
（一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。
反证法的解题步骤：
第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。
第二步：归谬。由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。
第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。
反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确地作出反设，合乎逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。
十一、同一法
互逆的两个命题未必等效。但是，当一个命题条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念时，这个命题和它的逆命题等效。这个道理通常称为同一原理。
对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。
同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。应用同一法解题，一般包括下面几个步骤：
第一步：作出符合命题结论的图形。
第二步：证明所作图形符合已知条件。
第三步：根据唯一性，确定所作的图形与已知图形重合。
第四步：断定原命题的真实性。
三、《高考数学解题专项训练》
（选择题）
（一）数学选择题的解题思路
要想确保在有限的时间内，对10多条选择题作出有效的抉择，明晰解题思路是十分必要的。一般说来， 数学选择题有着特定的解题思路，具体概括如下：
1、仔细审题，吃透题意
审题是正确解题的前题条件，通过审题，可以掌握用于解题的第一手资料——已知条件，弄清题目要求。
审题的第一个关键在于：将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中整理。凡在题中出现的概念、公式、性质等内容都是平时理解、记忆、运用的重点，也是我们在解选择题时首先需要回忆的对象。
审题的第二个关键在于：发现题材中的“机关”——— 题目中的一些隐含条件，往往是该题“价值”之所在，也是我们失分的“隐患”。
除此而外，审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍。
2、反复析题，去伪存真
析题就是剖析题意。在认真审题的基础上，对全题进行反复的分析和解剖，从而为正确解题寻得路径。因此，析题的过程就是根据题意，联系知识，形成思路的过程。由于选择题具有相近、相关的特点，有时“真作假时假亦真”，对于一些似是而非的选项，我们可以结合题目，将选项逐一比较，用一些“虚拟式”的“如果”，加以分析与验证，从而提高解题的正确率。
3、抓往关键，全面分析
在解题过程中，通过审题、析题后找到题目的关键所在是十分重要的，从关键处入手，找突破口，联系知识进行全面的分析形成正确的解题思路，就可以化难为易，化繁为简，从而解出正确的答案。
4、反复检查，认真核对
在审题、析题的过程中，由于思考问题不全面，往往会导致“失根”、“增根”等错误，因而，反复地检查，认真地进行核对，也是解选择题必不可少的步骤之一。
（二）数学选择题的解题方法
当然，仅仅有思路还是不够的，“解题思路”在某种程度上来说，属于理论上的“定性”，要想解具体的题目，还得有科学、合理、简便的方法。
有关选择题的解法的研究，可谓是仁者见仁，智者见智。其中不乏真知灼见，现选择部分实用性较强的方法，供参考：
1、 直接法
有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的。这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法。
2、 筛选法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的错误答案，找到符合题意的正确结论。可通过筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，以缩小选择的范围，再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。
3、 特殊值法
有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。
4、 验证法
通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法。
5、 图象法
在解答选择题的过程中，可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。
6、 试探法
对于综合性较强、选择对象比较多的试题，要想条理清楚，可以根据题意建立一个几何模型、代数构造，然后通过试探法来选择，并注意灵活地运用上述多种方法。
（三）数学经典选择题点评
1、同时满足① M {1, 2, 3, 4, 5}; ② 若a∈M，则(6-a)∈M, 的非空集合M有（C）。
（A）16个 （B）15个 （C）7个 （D）8个
点评：着重理解“∈”的意义，对M中元素的情况进行讨论，一定要强调如果“a在M中，那么(6-a)也在M中”这一特点，分别讨论“一个、两个、三个、四个、五个元素”等几种情况，得出相应结论。
2、函数y=f (x)是R上的增函数，则a+b>0是f (a)+f (b)>f (-a)+f (-b)的（ C ）条件。
（A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充要 （D）不充分不必要
点评：由a+b>0可知，a> -b ，b >-a， 又 y = f ( x )在R上为增函数，故f ( a ) > f ( b ) ，f ( b ) > f ( - a )，反过来，由增函数的概念也可推出，a+b>（-a）+（-b）。
3、函数g(x)=x2，若a≠0且a∈R, 则下列点一定在函数y=g(x)的图象上的是（ D ）。
（A）(-a, -g(-a)) （B）(a, g(-a)) （C）(a, -g(a)) （D）(-a, -g(a))
点评：本题从函数的奇偶性入手，先看括号内函数的奇偶性为奇函数，得到该复合函数为奇函数，再根据g(-x)=-g(x)，取x=a 和x=-a加以验证。
4、数列{an}满足a1=1, a2=，且 (n≥2)，则an等于（ A ）。
（A） （B）()n-1 （C）()n （D）
点评：先代入求得a3的值，再对照给出的选择支，用验证法即可得出结论。
5、由1，2，3，4组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，其中a18等于（B ）。
（A）1243 （B）3421 （C）4123 （D）3412
点评：先写出以1开头、2开头、3开头的各6个数，再按由小到大顺序排列。
6、若=9，则实数a等于（ B ）。
（A） （B） （C）- （D）-
点评：通过观察可知a<1（如a>1，则数值为负），且求和的各项成等比，因此可以运用无穷递缩等比数列求和公式（其中q=a，a1=4）。
7、已知圆锥内有一个内接圆柱，若圆柱的侧面积最大，则此圆柱的上底面将已知圆锥的体积分成小、大两部分的比是（ D ）。
（A）1:1 （B）1:2 （C）1:8 （D）1:7
点评：通过平面展开图，达到“降维”之目的，促使立体图形平面化，再在相似等腰三角形中，求得小、大三角形的高的比为1：2，由此可见，小的与全体体积之比为1：8，从而得出小、大两部分之比（特别提醒：小、大之比并非高之比的立方）。
8、下列命题中，正确的是（ D ）。
（A）y=arccosx是偶函数 （B）arcsin(sinx)=x, x∈R
（C）sin(arcsin)= （D）若-1点评：反三角函数的概念、公式的理解与运用。注意：arccos（-x）=Π
x (当 - -arccosx，arcsin(sinx)=
x’ 且sinx =sinx’ ( 当- 9、函数y=f (x)的反函数f -1(x)= (x∈R且x≠-3)，则y=f (x)的图象（ B ）。
（A）关于点(2, 3)对称 （B）关于点(-2, -3)对称
（C）关于直线y=3对称 （D）关于直线x=-2对称
点评：主要考核反函数的概念与对称性的知识。
10、两条曲线|y|=与x = -的交点坐标是（ B ）。
（A）(-1, -1) （B）(0, 0)和(-1, -1)
（C）(-1, 1)和(0, 0) （D）(1, -1)和(0, 0)
点评：从定义域、值域、特殊值等角度加以验证。
11、已知a, b∈R, m=, n=-b+b2，则下列结论正确的是（ D ）。
（A）mn （D）m≤n
点评：由题意可知m≤、 n=(b-1) 2 +。
12、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是异面直线AC、A1D的公垂线，则EF和BD1的关系是（ B ）。
（A）垂直 （B）平行 （C） 异面 （D）相交但不垂直
点评：理解公垂线的概念，通过平行作图可知。
13、直线4x+6y-9=0夹在两坐标轴之间的线段的垂直平分线是l，则l的方程是（ B ）。
（A）24x-16y+15=0 （B）24x-16y-15=0 （C）24x+16y+15=0 （D）24x+16y-15=0
点评：通过两线垂直与斜率的关系，以及中点坐标公式。
14、函数f (x)=loga(ax2-x)在x∈[2, 4]上是增函数，则a的取值范围是（ A ）。
（A）a>1 （B）a>0且a≠1 （C）0点评：分类讨论，考虑对称轴与单调区间的位置关系，运用特殊值进行验证。
15、函数y=cos2(x-)+sin2(x+)-1是（ C ）。
（A）周期为2π的奇函数 （B）周期为π的偶函数
（C）周期为π的奇函数 （D）周期为2π的偶函数
点评：用倍角公式降次，判断周期性，根据和差化积的结果来求奇偶性。
16、若a, b∈R，那么成立的一个充分非必要条件是（ C ）。
（A）a>b （B）ab(a-b)<0 （C）a点评：理解条件语句，用不等式的性质解题。
17、函数y=cos4x-sin4x图象的一条对称轴方程是（ A ）。
（A）x=- （B）x=- （C）x= （D）x=
点评：先降次，后找最值点。
18、已知l、m、n为两两垂直且异面的三条直线，过l作平面α与m垂直，则直线n与平面α的关系是（ A ）。
（A）n//α （B）n//α或nα
（C）nα或n不平行于α （D）nα
点评：画草图，运用线面垂直的有关知识。
19、若z1, z2∈C，|z1|=|z2|=1且arg(z1)=150°, arg(z2)=300°，那么arg(z1+z2)为（ B ）。
（A）450° （B）225° （C）150° （D）45°
点评：旋转与辐角主值的概念。
20、已知a、b、c成等比数列，a、x、b和b、y、c都成等差数列，且xy≠0，那么的值为（ B ）。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
点评：运用等比、差中项概念，通分求解。
21、如果在区间[1, 3]上，函数f (x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对的是（ C ）。
（A）f (x)≥3 (x∈[1, 2]) （B）f (x)≤4 (x∈[1, 2])
（C）f (x)在x∈[1, 2]上单调递增 （D）f (x)在x∈[1, 2]上是减函数
点评：通过最值定理、二次函数的对称轴与最值等求出p 、q，再行分析。
22、在(2+)100展开式中，有理数的项共有（ D ）。
（A）4项 （B）6项 （C）25项 （D）26项
点评：借助二项式展开的通项公式来分析。
23、在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M为AD中点，O为侧面AA1B1B的中心，P为侧棱CC1上任意一点，那么异面直线OP与BM所成的角是（ A ）。
（A）90° （B）60° （C）45° （D）30°
点评：运用平行和垂直的有关知识。
24、等比数列{an}的公比q<0，前n项和为Sn, Tn=，则有（ A ）。
（A）T1T9 （D）大小不定
点评：T1=1，用等比数列前n项和公式求T9
25、设集合A＝，集合B＝{0}，则下列关系中正确的是（ C ）
（A）A＝B （B）AB （C）AB （D）AB
点评：主要考核空集的概念、以及集合与集合的关系。
26、已知直线l过点M（－1，0），并且斜率为1，则直线l的方程是（ B ）
（A） x＋y＋1＝0 （B）x－y＋1＝0
（C）x＋y－1＝0 （D）x―y―1＝0
点评：直线方程的点斜式。
27、已知α－β＝,tgα=3m, tgβ=3－m, 则m的值是（ D ）。
（A）2 （B）－ （C）－2 （D）
点评：通过tanαtanβ= 1，以及tan（α－β）的公式进行求解。
28、已知集合A＝{整数}，B＝{非负整数}，f是从集合A到集合B的映射，且f：x y＝x2（x∈A，y∈B），那么在f的作用下象是4的原象是（ D ）
（A）16 （B）±16 （C）2 （D）±2
点评：主要考核象和原象的概念。
29、有不等式① cos（A）仅①② （B）仅②③ （C）仅③④ （D）①②③④
点评：主要考核三角函数、对数、指数函数、反三角函数的知识。
30、已知函数y＝,那么（ A ）
（A）当x∈（－∞，1）或x∈（1，＋∞）时，函数单调递减
（B）当x∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增
（C）当x∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减
（D）当x∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增
点评：先对函数式进行变形，再运用有关大小比较的知识解题。
31、若－π≤2α≤π,那么三角函数式化简为（ C ）
（A）sin （B）－sin （C）cos （D）－cos
点评：主要运用半角公式及三角函数单调性等知识。
32、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝a，侧棱AA1=2a,点D是AA1的中点，那么截面DBC与底面ABC所成二面角的大小是（ B ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）非以上答案
点评：实际上是要求角DCA的大小。
33、加工某一机械零件，需要经过两个工序，完成第一个工序有3种不同的方法，完成第二个工序有4种不同的方法，那么加工这一零件不同的方法种数有（ A ）
（A）12种 （B）7种 （C）4种 （D）3种
点评：运用乘法原理解题。
34、在(2－)8的展开式中，第七项是（ A ）
（A）112x3 （B）－112x3 （C）16x3 （D）－16x3
点评：运用二项展开式的通项公式，注意：r =6。
35、在－8，－6，－4，－2，0，1，3，5，7，9这十个数中，任取两个作为虚数a＋b的实部和虚部（a, b∈R, a≠b），则能组成模大于5的不同虚数的个数有（ A ）。
（A）64个 （B）65个 （C）72个 （D）73个
点评：虚部不能为0，模大于5，最好用“树图”来讨论。
36、直线x－ay＋＝0（a>0且a≠1）与圆x2＋y2＝1的位置关系是（ A ）
（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）不能确定
点评：运用点到直线的距离公式，比较半径与距离的大小。
37、在正方体AC1中，过与顶点A相邻的三个顶点作平面α，过与顶点C1相邻的三个顶点作平面β，那么平面α与平面β的位置关系是（ B ）
（A）垂直 （B）平行 （C）斜交 （D）斜交或平行
点评：作图后，找线线关系，由线线平行得出线面平行，从而求得面面平行。
38、有下列三个对应：①A＝R＋，B＝R，对应法则是“取平方根”；②A＝{矩形},B＝R＋，对应法则是“求矩形的面积”；③A＝{非负实数}，B＝（0，1），对应法则是“平方后与1的和的倒数”，其中从A到B的对应中是映射的是（ A ）。
（A）② （B）②，③ （C）①，②，③ （D）①，②
点评：映射的概念。
39、设A＝{x| x2＋px＋q＝0},B＝{x| x2＋(p－1)x＋2q＝0},若A∩B＝{1}，则（ A ）。
（A） AB （B）AB
（C）A∪B ＝{1, 1, 2} （D）A∪B＝(1,－2)
点评：考察集合与集合的关系。
40、能够使得sinx>0和tgx>0同时成立的角x的集合是（ D ）。
（A）{x|0（C）{x|点评：通过不同象限，三角函数值的正负不同的特点，进行分析。
41. 已知函数y＝|＋cos(2x＋)|, (≤x≤), 下列关于此函数的最值及相应的x的取值的结论中正确的是（ B ）。
（A）ymax＝，x＝ （B）ymax＝，x＝
（C）ymin＝，x＝ （D）ymin＝0，x＝
点评：对余弦函数最值进行分析。
42、已知函数f（x）在定义域R内是减函数且f（x）<0，则函数g(x)＝x2 f（x）的单调情况一定是（ C ）。
（A）在R上递减 （B）在R上递增
（C）在（0，＋∞）上递减 （D）在（0，＋∞）上递增
点评：先选定区间（0，＋∞）分析其增减性，再结合筛选法，对余下的部分，取特殊值进行验证。
43、α，β是两个不重合的平面，在α上取4个点，在β上取3个点，则由这些点最多可以确定平面（ C ）。
（A）35个 （B）30个 （C）32个 （D）40个
点评：运用排列组合以及平面的性质进行分析。
44、已知定点P1（3，5），P2（－1，1），Q（4，0），点P分有向线段所成的比为3，则直线PQ的方程是（ A ）。
（A） x＋2y－4＝0 （B）2x＋y－8＝0
（C）x－2y－4＝0 （D）2x－y－8＝0
点评：用定比分点坐标公式求P点坐标，再考察PQ的斜率。
45、函数y=x在[－1, 1]上是（ A ）。
（A）增函数且是奇函数 （B）增函数且是偶函数
（C）减函数且是奇函数 （D）减函数且是偶函数
点评：运用函数奇偶性的定义，以及奇函数在不同区间上增减性一致，偶函数在不同区间上不一致的特点，进行分析。
46、下列函数中，在[,π]上是增函数的是（ D ）。
（A）y=sinx （B）y=cosx （C）y=sin2x （D）y=cos2x
点评：用图象法解题。
47、与函数y=sin(arcsinx)的图象相同的的是（ D ）。
（A）y=x （B）y=arcsin(sinx)
（C）y=arccos(cosx) （D）y=cos(arccosx)
点评：考虑函数的定义域与值域。
48、方程cosx=lgx的实根的个数是（ C ）。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
点评：用图象法解题。
49、一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是（ C ）。
（A）－2 （B）－3 （C）－4 （D）－5
点评：分析前6项为正，第7项起为负数。列出不等式解题。
50、已知复数z满足|2z－i|=2，则|z＋2i|的最小值是（ B ）。
（A） （B） （C）1 （D）2
点评：数形结合，通过图象解题。
51、正三棱锥的侧棱长和底面边长比值的取值范围是（ D ）。
（A）[, ＋∞] （B）(, ＋∞)
（C）[, ＋∞] （D）(, ＋∞)
点评：画图形，侧棱应比底边三角形的外接圆的半径大。
52、已知椭圆(a>b>0)的离心率等于，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得的新椭圆的一条准线的方程y=，则原来的椭圆方程是（ C ）。
（A） （B） （C） （D）
点评：旋转的过程中，焦点到准线的距离没有变，先找焦点。
53、直线x－y－1=0与实轴在y轴上的双曲线x2－y2=m (m≠0)的交点在以原点为中心，边长为2且各边分别平行于坐标轴的正方形内部，则m的取值范围是（ C ）。
（A）0点评：通过极限位置，找出相关范围。
54、已知直线l1与l2的夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax＋by＋c=0(ab>0)，那么l2的方程是（ A ）。
（A）bx＋ay＋c=0 （B）ax－by＋c=0
（C）bx＋ay－c=0 （D）bx－ay＋c=0
点评：联系反函数的概念。
55、函数F(x)=(1＋)f (x) (x≠0)是偶函数，且f (x)不恒等于零，则f (x)（ A ）。
（A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）可能是奇函数，也可能是偶函数 （D）非奇、非偶函数
点评：先讨论y=(1＋)的奇偶性，再结合题目中的已知内容分析。
56、函数y=的反函数（ C ）。
（A） 是奇函数，它在(0, ＋∞)上是减函数
（B）是偶函数，它在(0, ＋∞)上是减函数
（C）是奇函数，它在(0, ＋∞)上是增函数
（D）是偶函数，它在(0, ＋∞)上是增函数
点评：先对给出函数进行分析，再运用反函数的概念解题。
57、若a, b是任意实数，且a>b，则（ D ）。
（A）a2>b2 （B）<1 （C）lg(a－b)>0 （D）()a<()b
点评：运用平方数、分数、对数、指数函数的概念进行分析。
58、若loga2（A）0b>1 （D）b>a>1
点评：先确定对数符号（即真数和底数与1的关系一致时（同时大于或同时小于），为正，不一致时，为负。）再用换底公式。
59、已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1, a3, a9成等比数列，则的值是（ C ）。
（A） （B） （C） （D）
点评：先求a1和公比的关系，再化简。
60、如果α, β∈(, π)，且tgα（A）α<β （B）β<α （C）α＋β< （D）α＋β>
点评：先用诱导公式化成同名函数，再借助函数图象解题。
61、已知集合Z={θ| cosθ（A）(, π) （B）(, ) （C）(π, ) （D）(, )
点评：用图象法解题。
62、如果直线y=ax＋2与直线y=3x＋b关于直线y=x对称，那么（ B ）。
（A）a=, b=6 （B）a=, b=－6
（C）a=3, b=－2 （D）a=3, b=6
点评：运用反函数的知识。
63、已知f()=，则f (x)=（ C ）。
（A）(x＋1)2 （B）(x－1)2 （C）x2－x＋1 （D）x2＋x＋1
点评：用换元法。
64、若函数f (x)=的定义域是R，则实数k的取值范围是（ A ）。
（A）[0, ] （B）(－∞, 0)∪(, ＋∞)
（C）[0, ] （D）[, ＋∞]
点评：分母不为0，用根的判别式。
65、设P是棱长相等的四面体内任意一点，则P到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于（ C ）。
（A）四面体的棱长 （B）四面体的斜高
（C）四面体的高 （D）四面体两对棱间的距离
点评：用体积求。
66、若正四棱柱的底面积为P，过相对两侧棱的截面面积是Q，则该四棱柱的体积是（ A ）。
（A）Q （B）P （C）Q （D）P
点评：化面积为边。
67、过定点(1, 3)可作两条直线与圆x2＋y2＋2kx＋2y＋k2－24=0相切，则k的取值范围是（ C ）。
（A）k>2 （B）k<－4 （C）k>2或k<－4 （D）－4点评：画定点、平移圆、定区域。
68、适合|z－2|=1且argz=的复数z的个数是（ B ）。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
点评：在直角坐标系中画圆，找出适合条件的复数。
69、已知{an}是等比数列，且an>0, a2a4＋2a3a5＋a4a6=25，那么a3＋a5的值为（ A ）。
（A）5 （B）10 （C）15 （D）20
点评：用等比的性质：若数列为等比数列，m+m=k+l时，am an= ak al 。
70、设a, b是满足ab<0的实数，那么（ B ）。
（A）|a＋b|>|a－b| （B）|a＋b|<|a－b|
（C）|a－b|<||a|－|b|| （D）|a－b|<|a|＋|b|
点评：从符号出发，取特殊值代入。
71、如果AC<0且BC<0, 那么直线Ax＋By＋C=0不通过（ C ）。
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
点评：分析符号，找斜率和截距。
72、直线的倾斜角是（ C ）。
（A）20° （B）70° （C）110° （D）160°
点评：化参数方程为普通方程。
73、函数y=sinxcosx＋sinx＋cosx的最大值是（ D ）。
（A） （B） （C）1＋ （D）＋
点评：用倍角公式和（sinx＋cosx）的公式。
74、函数y=0.2x＋1的反函数是（ C ）。
（A） y=log5x＋1 （B）y=logx5＋1
（C）y=－log5(x－1) （D）y=－log5x－1
点评：反函数的定义，结合定义域、值域的变换情况进行讨论。
75、设α、β都是第二象限的角，若sinα>sinβ，则（ C ）。
（A） tgα>tgβ （B）ctgα（C）cosα>cosβ （D）secα>secβ
点评：结合特殊值，找出α、β在[0，2π]上的大小关系。
76、下列命题：① 函数y=tgx是增函数；② 函数y=sinx在第一象限是增函数；③ 函数y=3sin(2x＋5θ)的图象关于y轴对称的充要条件是θ=, k∈Z；④ 若角α是第二象限的角，则角2α一定是第四象限的角。其中正确命题的个数是（ A ）。
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
点评：紧扣定义，逐个分析。
77、在△ABC中，A>B是cos2B>cos2C的（ A ）。
（A）非充分非必要条件 （B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件 （D）充要条件
点评：分若三种情况，取特殊值验证。
78、若0（A）logb（C）logba< logb点评：运用对数符号确定的有关知识，先讨论两个对数值，然后用指数。
79、要使sinα－cosα=有意义，则m的取值范围是（ C ）。
（A） m≤ （B）m≥－1
（C）－1≤m≤ （D）m≤－1或 m≥
点评：先对等式左边进行变形，再对分数变形。
80、直线xcosθ－y＋1=0的倾斜角的范围是（ D ）。
（A）[－, ] （B）[, ]
（C）(0, )∪(, π) （D）[0, ]∪[, π]
点评：先讨论斜率，再用三角函数的知识。
81、设n≥2时，数列的和是（ A ）。
（A）0 （B）(－1)n2n （C）1 （D）
点评：特殊值法。
82、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ D ）。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
点评：用图形来验证。
83、当z=时，z100＋z50＋1的值等于（ D ）。
（A）1 （B）－1 （C）i （D）－I
点评：先化Z为三角形式，然后用棣莫佛定理。
84、函数y=的值域是（ B ）。
（A）{－2, 4} （B）{－2, 0, 4}
（C）{－2, 0, 2, 4} （D）{－4, －2, 0, 4}
点评：分象限讨论。
85、正三棱锥S－ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别是SC、AB的中点，那么异面直线EF、SA所成的角为（ C ）。
（A）90° （B）60° （C）45° （D）30°
点评：巧用中位线平行于底边。
86、若正棱锥的底面边长与侧棱相等，则该棱锥一定不是（ D ）。
（A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥
点评：用射影和直角三角形的知识。
87、四边形ABCD是边长为1的正方形，E、F为BC、CD的中点，沿AE、EF、AF折成一个四面体，使B、C、D三点重合，这个四面体的体积为（ B ）。
（A） （B） （C） （D）
点评：分析图形的折叠与边角关系。
88、一束光线从点A(－1, 1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一点的最短路程是（ A ）。
（A）4 （B）5 （C）3－1 （D）2
点评：用对称性，找关于X轴对称的圆心位置，用两点间距离减半径。
89、设地球半径为R，当人造地球卫星距离地面的高度为h1与h2时，可以直射到地表面的面积分别是地球表面面积的与，则h1－h2等于（ B ）。
（A）R （B）R （C）R （D）2R
点评：用球冠公式。
90、函数f (x)=|x|－|x－3|在定义域内（ A ）。
（A）最大值为3，最小值为－3 （B）最大值为4，最小值为0
（C）最大值为1，最小值为1 （D）最大值为3，最小值为－1
点评：用区间分析法。
91、如果sinαsinβ=1，那么cos(α＋β)等于（ A ）。
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）±1
点评：用公式。
92、已知α=arg(2＋i), β=arg(－3＋i)，则α－β为（ D ）。
（A） （B） （C）－ （D）－
点评：用旋转的方法，进行向量合成。
93、若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离为，则a＋b的值是（ B ）。
（A）－ （B） （C）－或 （D）2或－2
点评：先确定P点在坐标系中的位置，然后用筛选法。
94、一球内切于一圆台，若此圆台的上、下底面半径分别是a, b，则此圆台的体积是（ B ）。
（A）π(a2＋ab＋b2) （B）(a2＋ab＋b2)
（C）(a2＋ab＋b2)ab （D）(a2＋ab＋b2)
点评：画轴截面，分析平面图形。
95、若全集I＝R，A＝{x| ≤0}，B＝{x| lg(x2－2)>lgx}，则A∩＝（ B ）。
（A）{2} （B）{－1} （C）{x| x≤－1} （D）
点评：先用筛选法，再用验证法。
96、已知函数f (x)=ax－(b＋2) (a>0, a≠1)的图象不在二、四象限，则实数a, b的取值范围是（ A ）。
（A） a>1, b=－1（B）0（C）a>1, b=－2 （D）0点评：先分析b，再考虑a。
97、设函数f (x)=(x∈R, x≠－，)则f -1(2)=（ A ）。
（A） － （B） （C） （D）－
点评：令f (x)= 2，求x。
98、如果α, β∈(, π)，且tgα（A）α<β （B）β<α （C）α＋β< （D）α＋β>
点评：用诱导公式，取特殊值。
99、函数y=sinxcosx＋cos2x－的最小正周期等于（ A ）。
（A）π （B）2π （C） （D）
点评：先用倍角公式降次，合并，再用周期公式。
100、函数y=－ctgx, x∈(0, π)的反函数为（ B ）。
（A）y=－arctgx （B）y=＋arctgx
（C）y=π－arctgx （D）y=π＋arctgx
点评：运用反三角函数的值域进行分析。
101、设a, b是满足ab<0的实数，那么（ B ）。
（A）|a＋b|>|a－b|（B）|a＋b|<|a－b|
（C）|a－b|<|a|－|b|（D）|a－b|>|a|＋|b|
点评：特殊值法。
102、设a, b, c∈R＋，则三个数a＋, b＋, c＋（ D ）。
（A）都不大于2 （B）都不小于2
（C）至少有一个不大于2 （D）至少有一个不小于2
点评：反证法。
103、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ D ）。
（A）an= 1－(－1)n （B）an=1＋(－1)n＋1
（C）an=2sin2 （D）an=(1－cosnπ)＋(n－1)(n－2)
点评：验证法。
104、复数z1=－2＋i的辐角主值为θ1，复数z2=－1－3i辐角主值为θ2，则θ1＋θ2等于（ D ）。
（A） （B） （C） （D）
点评：辐角主值的概念。
105、平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为30，则四面体AB1CD1的体积是（ C ）。
（A）15 （B）7.5 （C）10 （D）6
点评：体积公式。
106、不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是（ B ）。
（A）(5, 2) （B）(2, 3) （C）(5, 9) （D）(－,3)
点评：对原式进行变形。
107、方程ax＋by＋c=0与方程2ax＋2by＋c＋1=0表示两条平行直线的充要条件是（ C ）。
（A）ab>0, c≠1 （B）ab<0, c≠1
（C）a2＋b2≠0, c≠1 （D）a=b=c=2
点评：两直线平行的充要条件。
108、与三条直线y=0, y=x＋2, y=－x＋4都相切的圆的圆心是（ C ）。
（A） (1, 2＋2)（B）(1, 3－3)
（C）(1, 3－3)（D）(1, －3－3)
点评：用点到直线的距离公式进行验证。
109、焦距是10，虚轴长是8，过点(3, 4)的双曲线的标准方程是（ A ）。
（A） （B） （C） （D）
点评：运用概念进行验证。
110、函数y=log3(x2＋x－2)的定义域是（ C ）。
（A）[－2, 1] （B）(－2, 1)
（C）(－∞, －2)∪(1, ＋∞) （D）(－∞, －2)∪[1, ＋∞]
点评：解不等式。
111、若logm0.7>logn0.7>0，则m, n的大小关系是（ C ）。
（A）m>n>1 （B）n>m>1 （C）0点评：先用对数符号的确定，再用换底公式。
112、函数y=sin(ωx)cos(ωx) (ω>0)的最小正影响力位居国内前列教育资源网
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高考数学常用公式及结论200条
湖北省黄石二中 杨志明
1. 元素与集合的关系
,.
2.德摩根公式
.
3.包含关系
4.容斥原理
.
5．集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.
7.解连不等式常有以下转化形式
.
8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若，则；
，，.
(2)当a<0时，若，则，若，则，.
10.一元二次方程的实根分布
依据：若，则方程在区间内至少有一个实根 .
设，则
（1）方程在区间内有根的充要条件为或；
（2）方程在区间内有根的充要条件为或或或；
（3）方程在区间内有根的充要条件为或 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间的子区间（形如，，不同）上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(3)恒成立的充要条件是或.
12.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有个 至多有（）个
小于 不小于 至多有个 至少有（）个
对所有，成立 存在某，不成立 或 且
对任何，不成立 存在某，成立 且 或
14.四种命题的相互关系
原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题
若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ
　　　　　　　互　　　　　　　互
　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互
　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　否　　　　　　 否
否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　
若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ
15.充要条件
（1）充分条件：若，则是充分条件.
（2）必要条件：若，则是必要条件.
（3）充要条件：若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.
20.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.
21.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.
22．多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称
.
(2)函数的图象关于直线对称
.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
.
27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数,.
(2)指数函数,.
(3)对数函数,.
(4)幂函数,.
(5)余弦函数,正弦函数，，
.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1），则的周期T=a；
（2），
或，
或,
或,则的周期T=2a；
(3)，则的周期T=3a；
(4)且，则的周期T=4a；
(5)
,则的周期T=5a；
(6)，则的周期T=6a.
30.分数指数幂
(1)（，且）.
(2)（，且）.
31．根式的性质
（1）.
（2）当为奇数时，；
当为偶数时，.
32．有理指数幂的运算性质
(1) .
(2) .
(3).
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
(,且,,且, ).
推论 (,且,,且,, ).
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1);
(2) ;
(3).
36.设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若,,,,则函数
(1)当时,在和上为增函数.
， (2)当时,在和上为减函数.
推论:设，，，且，则
（1）.
（2）.
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
40.等差数列的通项公式
；
其前n项和公式为
.
41.等比数列的通项公式
；
其前n项的和公式为
或.
42.等比差数列:的通项公式为
；
其前n项和公式为
.
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).
44．常见三角不等式
（1）若，则.
(2) 若，则.
(3) .
45.同角三角函数的基本关系式
，=，.
46.正弦、余弦的诱导公式
47.和角与差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
..
50.三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
51.正弦定理
.
52.余弦定理
;
;
.
53.面积定理
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.
(3).
54.三角形内角和定理
在△ABC中，有
.
55. 简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
56.最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60．向量平行的坐标表示
设a=,b=，且b0，则ab(b0).
53. a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ．
61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=，则a+b=.
(2)设a=,b=，则a-b=.
(3)设A，B,则.
(4)设a=，则a=.
(5)设a=,b=，则a·b=.
63.两向量的夹角公式
(a=,b=).
64.平面两点间的距离公式
=
(A，B).
65.向量的平行与垂直
设a=,b=，且b0，则
A||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
66.线段的定比分公式
设，，是线段的分点,是实数，且，则
（）.
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
68.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.
69.“按向量平移”的几个结论
（1）点按向量a=平移后得到点.
(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.
(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.
(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
（5）为的的旁心.
71.常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
（4）柯西不等式
（5）.
72.极值定理
已知都是正数，则有
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值.
推广 已知，则有
（1）若积是定值,则当最大时,最大；
当最小时,最小.
（2）若和是定值,则当最大时, 最小；
当最小时, 最大.
73.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
；
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
.
或.
75.无理不等式
（1） .
（2）.
（3）.
76.指数不等式与对数不等式
(1)当时,
;
.
(2)当时,
;
77.斜率公式
（、）.
78.直线的五种方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若，
①;
②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；
②；
80.夹角公式
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直线时，直线l1与l2的夹角是.
81. 到的角公式
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直线时，直线l1到l2的角是.
82．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
83.点到直线的距离
(点,直线：).
84. 或所表示的平面区域
设直线，则或所表示的平面区域是：
若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. 或所表示的平面区域
设曲线（），则
或所表示的平面区域是：
所表示的平面区域上下两部分；
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).
87. 圆系方程
(1)过点,的圆系方程是
,其中是直线的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
88.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
;
.
其中.
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆．
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆．
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
92.椭圆的参数方程是.
93.椭圆焦半径公式
，.
94．椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
95. 椭圆的切线方程
(1)椭圆上一点处的切线方程是.
（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是
.
（3）椭圆与直线相切的条件是.
96.双曲线的焦半径公式
，.
97.双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
99. 双曲线的切线方程
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是
.
（3）双曲线与直线相切的条件是.
100. 抛物线的焦半径公式
抛物线焦半径.
过焦点弦长.
101.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .
102.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.
103.抛物线的内外部
(1)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(2)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(3)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(4) 点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线上一点处的切线方程是.
（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）抛物线与直线相切的条件是.
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线,的交点的曲线系方程是
(为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或
（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.
107.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.
（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是
.
108.“四线”一方程
对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程
，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.
109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．
三点共线.
、共线且不共线且不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使．
推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，
或对空间任一定点O，有序实数对，使.
119.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
四点共面与、共面
（平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.
121.射影公式
已知向量=a和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在上的射影，则
〈a，e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算
设a＝，b＝则
(1)a＋b＝；
(2)a－b＝；
(3)λa＝ (λ∈R)；
(4)a·b＝；
123.设A，B，则
= .
124．空间的线线平行或垂直
设，，则
；
.
125.夹角公式
设a＝，b＝，则
cos〈a，b〉=.
推论 ，此即三维柯西不等式.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体中, 与所成的角为,则
.
127．异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
128.直线与平面所成角
(为平面的法向量).
129.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则
.
特别地,当时,有
.
130.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则
.
特别地,当时,有
.
131.二面角的平面角
或（，为平面，的法向量）.
132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.
133. 三射线定理
若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ，则有 ;
(当且仅当时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
若A，B，则
=.
135.点到直线距离
(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).
136.异面直线间的距离
(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
137.点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
138.异面直线上两点距离公式
.
.
（）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,,).
139.三个向量和的平方公式
140. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
141. 面积射影定理
.
(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则
①.
②.
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.
144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；
（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.
146.球的半径是R，则
其体积,
其表面积．
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.
148．柱体、锥体的体积
（是柱体的底面积、是柱体的高）.
（是锥体的底面积、是锥体的高）.
149.分类计数原理（加法原理）
.
150.分步计数原理（乘法原理）
.
151.排列数公式
==.(，∈N*，且)．
注:规定.
152.排列恒等式
(1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）.
(6) .
153.组合数公式
===(∈N*，，且).
154.组合数的两个性质
(1)= ;
(2) +=.
注:规定.
155.组合恒等式
（1）;
（2）;
（3）;
（4）=;
（5）.
(6).
(7).
(8).
(9).
(10).
156.排列数与组合数的关系
.
157．单条件排列
以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.
②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当时，无解；当时，有种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有
.
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有.
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有 .
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有.
（7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、丙，……等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…时，则无论，，…，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
.
159．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为
.
推广: 个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为
.
160．不定方程的解的个数
(1)方程（）的正整数解有个.
(2) 方程（）的非负整数解有 个.
(3) 方程（）满足条件(,)的非负整数解有个.
(4) 方程（）满足条件(,)的正整数解有个.
161.二项式定理 ;
二项展开式的通项公式
.
162.等可能性事件的概率
.
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
165.独立事件A，B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
168.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）;
（2）.
169.数学期望
170.数学期望的性质
（1）.
（2）若～,则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
171.方差
172.标准差
=.
173.方差的性质
(1)；
(2）若～，则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
174.方差与期望的关系
.
175.正态分布密度函数
，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
176.标准正态分布密度函数
.
177.对于，取值小于x的概率
.
.
178.回归直线方程
，其中.
179.相关系数
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
180.特殊数列的极限
（1）.
（2）.
（3）（无穷等比数列 ()的和）.
181. 函数的极限定理
.
182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：
（1）;
（2）（常数）,
则.
本定理对于单侧极限和的情况仍然成立.
183.几个常用极限
（1），（）；
（2），.
184.两个重要的极限
（1）；
（2）(e=2.718281845…).
185.函数极限的四则运算法则
若，，则
(1)；
(2);
(3).
186.数列极限的四则运算法则
若，则
(1)；
(2)；
(3)
(4)( c是常数).
187.在处的导数（或变化率或微商）
.
188.瞬时速度
.
189.瞬时加速度
.
190.在的导数
.
191. 函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
192.几种常见函数的导数
(1) （C为常数）.
(2) .
(3) .
(4) .
(5) ；.
(6) ; .
193.导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
194.复合函数的求导法则
设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.
195.常用的近似计算公式（当充小时）
(1);；
(2)； ；
(3)；
(4)；
(5)（为弧度）；
(6)（为弧度）；
(7)（为弧度）
196.判别是极大（小）值的方法
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
197.复数的相等
.（）
198.复数的模（或绝对值）
==.
199.复数的四则运算法则
(1);
(2);
(3);
(4).
200.复数的乘法的运算律
对于任何，有
交换律:.
结合律:.
分配律: .
201.复平面上的两点间的距离公式
（，）.
202.向量的垂直
非零复数，对应的向量分别是，，则
的实部为零为纯虚数
(λ为非零实数).
203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程，
①若,则;
②若,则;
③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根.
(n为偶数)
(n为奇数)
(n为偶数)
(n为奇数)
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二次函数综合问题例谈
北京中国人民大学附中 梁丽平
陕西省咸阳市永寿中学 安振平
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.　同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.
学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.
1. 代数推理
由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.
1.1 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.
例1 　已知，满足1且，求的取值范围.
分析：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1和当成两个独立条件，先用和来表示.
解：由，可解得：
（*）
将以上二式代入，并整理得
　　　　　,
∴ .
又∵，,
∴ .
例2 设，若，，, 试证明：对于任意，有.
分析：同上题，可以用来表示.
解：∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 当时，
当时，
综上，问题获证.
1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式
例３　设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.
分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.
证明：由题意可知.
,
∴ ,
∴ 当时，.
又,
∴ ,
综上可知，所给问题获证.
1.3 紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力
例4 已知函数。
（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；
（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；
（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。
解：(1)
(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以
，
于是
即
（3）.
设，则.
问题转化为：对恒成立. 即
对恒成立. （*）
故必有.（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，
解之得：.
此时，，故在取得最小值满足条件.
2. 数形结合
二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观.
2.1 二次函数的图像关于直线对称， 特别关系也反映了二次函数的一种对称性.
例5 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.
解：由题意 .
由方程的两个根满足, 可得
且,
∴ ，
即 ，故 .
2.2 二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数使得且在区间上，必存在的唯一的实数根.
例6 已知二次函数，设方程的两个实数根为和.
（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；
（2）如果，，求的取值范围.
分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.
解：设，则的二根为和.
（1）由及，可得 ，即，即
两式相加得，所以，;
（2）由, 可得 .
又，所以同号.
∴ ，等价于或,
即 或
解之得 或.
2.3 因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.
例7 已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.
分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.
要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.
解：由题意知：，
∴ ，
∴ .
由时，有，可得 .
∴ ,
.
（1）若，则在上单调，故当时，
∴ 此时问题获证.
（2）若，则当时，
又，
∴ 此时问题获证.
综上可知：当时，有.
解析几何综合题解题思路案例分析
北京中国人民大学附中 梁丽平
陕西省咸阳市永寿中学 安振平
解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.
1 判别式----解题时时显神功
案例1 已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：
解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：
简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：
于是，问题即可转化为如上关于的方程.
由于，所以，从而有
于是关于的方程
由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等价于
.
由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .
点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
2 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效
案例2 已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.
在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
简解：设，则由可得：，
解之得： （1）
设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化简得： (3)
与联立，消去得：
在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得
故知点Q的轨迹方程为： （）.
点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
3 求根公式-----呼之欲出亦显灵
案例3 设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.
当时，，，
所以 ===.
由 , 解得 ，
所以 ，
综上 .
分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.
简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
（*）
则
令，则，
在（*）中，由判别式可得 ，
从而有 ，
所以 ，
解得 .
结合得.
综上，.
点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.
代数推理题怎么解
陕西永寿县中学 特级教师安振平
数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗 我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.
例1设函数，已知，时恒有，求a的取值范围.
讲解: 由
,
从而只要求直线L不在半圆C下方时, 直线L 的y截距的最小值.
当直线与半圆相切时，易求得舍去）.
故.
本例的求解在于 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.
还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.
例2 已知不等式对于大于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围.
讲解: 构造函数，易证(请思考:用什么方法证明呢 )为增函数.
∵n是大于1的 正整数，
对一切大于1的正整数恒成立，必须,
即
这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.
例3 已知函数在区间[－b，1－b]上的最大值为25，求b的值.
讲解: 由已知二次函数配方, 得
时，的最大值为4b2+3=25.
上递增，
上递增，
.
关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标在不在区间[－b，1－b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.
例4已知
的单调区间；
（2）若
讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,
（2）首先证明任意
事实上,
而
.
函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意采用逆向分析法, 给出你的想法!
例5 已知函数f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．?
(1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对称．?
(2) 令an＝，对一切自然数n，先猜想使an＞ｎ２成立的最小自然数a,并证明之．?
(3) 求证：∈Ｎ).
讲解: (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.
设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为M’（１－ｘ，１－ｙ），?
∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，
故函数f(x)的图象关于点P()对称.?
(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式，化简可得an＝ａｎ猜a=3,
即3ｎ＞ｎ２．?
下面用数学归纳法证明．?
设n=k(k≥２)时，3ｋ＞ｋ２．?
那么n=k+1，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２?
又3k２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－）２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）?
∴３ｎ＞ｎ２.?
(3)∵３ｋ＞ｋ２?
∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ?
令k=1,2,…，n，得n个同向不等式，并相加得：
函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗 试试你的数学猜想能力.
例6 已知二次函数，设方程的两个实根为x1和x2.
（1）如果，若函数的对称轴为x=x0，求证：x0＞－1；
（2）如果，求b的取值范围.
讲解:（1）设，由得, 即
，
故；
（2）由同号.
①若.
又，负根舍去）代入上式得
，解得；
②若 即4a－2b+3＜0.
同理可求得.
故当
对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除 下一次遇到同类问题, 你会很顺利的克服吗 我们力求做到学一题会一类, 不断提高逻辑推理能力.
例7 对于函数，若存在成立，则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且
（1）求函数的解析式；
（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；
（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.
讲解: 依题意有,化简为 由违达定理, 得
解得 代入表达式，由
得 不止有两个不动点，
（2）由题设得 （*）
且 （**）
由（*）与（**）两式相减得：
解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，；
（3）采用反证法，假设则由（1）知
,有
，而当这与假设矛盾，故假设不成立，.
关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:
由得<0或
结论成立；
若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.
比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.
例8 设a，b为常数，：把平面上任意一点
（a，b）映射为函数
（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象.
讲解: （1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即与相同，
即 对一切实数x均成立.
特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.
故不存在两个不同点对应同函数.
（2）当时，可得常数a0，b0，使
=
由于为常数，设是常数.
从而.
（3）设，由此得
在映射F之下，的原象是（m，n），则M1的原象是
.
消去t得，即在映射F之下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆.
本题将集合, 映射, 函数综合为一体, 其典型性和新颖性兼顾, 是一道用“活题考死知识”的好题目, 具有很强的训练价值.
例9 已知函数f(t)满足对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.
（1）求f(1)的值;
（2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t；
（3）试求满足f(t)=t的整数t的个数，并说明理由.
讲解 （1）为求f(1)的值，需令
令.
令.
（2）令(※)
.
由,
,
于是对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t.
（3）由※及（1）可知.
下面证明当整数.
(※)得
即……，
将诸不等式相加得
.
综上，满足条件的整数只有t=1，.
本题的求解显示了对函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，这种赋值法在2002年全国高考第（21）题中得到了很好的考查.
例10 已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，且满足x、y∈（－1，1） 有
．
（1）证明：f（x）在（－1，1）上为奇函数；
（2）对数列求；
（3）求证
讲解 （1）令则
令则 为奇函数.
（2），
是以－1为首项，2为公比的等比数列．
（3）
而
本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例. 在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法.
数学开放性问题怎么解
陕西永寿县中学 特级教师安振平
数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.
例 1 设等比数列的公比为 ，前 项和为 ，是否存在常数 ，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请 明 理 由.
讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.
设存在常数， 使数列 成等比数列.
(i) 当 时， 代入上式得
即=0
但, 于是不存在常数 ，使成等比数列.
(ii) 当 时，， 代 入 上 式 得
.
综 上 可 知 , 存 在 常 数 ，使成等比数列.
等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !
例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题.
（1）
=.
（2）解不等式 ＞0,
得 ＜x＜.
∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17.
故从第3年工厂开始盈利.
（3）(i) ∵　≤40
当且仅当时，即x=7时，等号成立.
∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.
(ii)　　y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，
当x=10时，ymax=102.
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.
解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.
例3 已知函数f(x)= (x<-2)
(1)求f(x)的反函数f-1(x);
(2)设a1=1,=-f-1(an)(n∈N),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由.
讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性.
(1) y=,
∵x<-2，∴x= -,
即y=f-1(x)= - (x>0).
(2) ∵ , ∴=4.
∴{}是公差为4的等差数列.
∵a1=1, ∴=+4(n-1)=4n-3.
∵an>0 , ∴an=.
(3) bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn<,得 m>对于n∈N成立.
∵≤5 ,
∴m>5,存在最小正数m=6,使得对任意n∈N有bn<成立.
为了求an ,我们先求,这是因为{}是等差数列, 试问: 你能够想到吗 该题是构造等差数列的一个典范.
例4 已知数列在直线x-y+1=0上.
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2）若函数
求函数f(n)的最小值；
(3)设表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立 若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索.
（1）
（2） ,
,
.
（3）,
.
故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.
事实上, 数列{an}是等差数列, 你知道吗？
例5 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
讲解 设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：
证人所说的颜色（正确率80%）
真实颜色 蓝色 红色 合计
蓝色（85%） 680 170 850
红色（15%） 30 120 150
合计 710 290 1000
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为，而它是蓝色的概率为. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.
本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的.
例6 向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：
（A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡;
（B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.
请你根据提供的信息解答下列问题：
（1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？
（2）哪一年的规模最大？为什么？
讲解 （1）设第n年的养鸡场的个数为，平均每个养鸡场出产鸡万只，
由图（B）可知, =30，且点在一直线上，
从而
由图（A）可知, 且点在一直线上，
于是
=（万只），（万只）
第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；
（2）由（万只），
第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.
有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.
例7 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.
（1）由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为.
（2）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得
于是, A点和B点的坐标分别为A，B（3，），
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即有
由①－②得
因为不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.
故知直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，
由
即当点C的坐标是（－1，）时，三点A，B，C共线，故.
，
，
.
(i) 当，即，
即为钝角.
(ii) 当，即，
即为钝角.
(iii)当，即，
即. 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
故当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.
需要提及的是, 当△ABC为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一探讨.
例8 已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式 .
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若，求数列{un}的前n项的和Sn.
讲解 本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧.
（1）在中,令得
.
在中,令得
，有 .
（2）是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上
故为奇函数.
（2） 从规律中进行探究,进而提出猜想.
由
,
………………………………
猜测 .
于是我们很易想到用数学归纳法证明.
1° 当n=1时，，公式成立；
2°假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，
，公式仍然成立.
综上可知，对任意成立.
从而 .
，.
故
例9 若、，
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.
讲解 (1)采用反证法. 若，即, 解得
从而与题设,相矛盾，
故成立.
(2) 、、、、,
.
（3）因为 又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.
我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗
例10 如图，已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为：．
（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值；
（2） 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求的最小值；
（3）如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C，满足求a的取值范围．
讲解（1）设动圆P的半径为r，则｜PA｜＝ｒ＋，｜PB| = r + ，
∴ |PA| －｜PB| = 2．
∴ 点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为 （x ≥1）．若 , 则l的方程为双曲线的右准线, ∴点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2.
(2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y = k ( x－2 )代入双曲线方程, 得
由　 ，　解得＞３．　
∴ ｜PQ｜＝．　
当直线的斜率存在时，，得，｜PQ|＝６．
∴　｜PQ|的最小值为６．　
（3）当PQ⊥QC时，P、C、Q构成Rt△.
∴ R到直线l的距离｜RC|＝ ①
又　∵ 　点P、Q都在双曲线上，
∴　　．
∴　　，即　　．
∴　　　②　
将②代入①得　，｜PQ｜＝２－４a≥6．
故有ａ≤－１．
“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.
数学应用性问题怎么解
陕西永寿县中学 特级教师安振平
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.
例1某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？
讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.
设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则.
.
，于是
即 .
.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.
上述解法中提炼的模型, 使我们联想到了课本典型习题（代数下册P.132第34题）
已知数列的项满足
其中，证明这个数列的通项公式是
有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002年全国高考解答题中的应用题(下文例9)就属此类模型.
例2 某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时（4≤V≤20）从A港出发前往50千米处的B港，然后乘汽车以匀速W千米/小时（30≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至21时到达C市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.
讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.
由于又
则z最大时P最小.
作出可行域，可知过点（10，4）时, z有最大值38，
∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.
视这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.
例3 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.
讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.
由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，…, a25小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且
，化简可得.
解得.
可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.
对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题, 你一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求你不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案.
例4 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.
讲解: 想想看, 需要引入哪些字母 怎样建构数学模型
设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建筑费用为
[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]·元，从而
（元）
当且仅当 , n=20（层）时，总费用y最少.
故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.
实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等差数列, 等比数列, 递归数列等知识点, 化归转化是解答的通性同法.
例5 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.
设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用
时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间
为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
由余弦是理得
即
整理得.
要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且
解得.
故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.
涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注.
例6 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度
d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
讲解:（1）安全负荷为正常数） 翻转
，安全负荷变大.…4分当 ，安全负荷变小.
（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则.
∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.
，当且仅当，即取，
取时，u最大， 即安全负荷最大.
三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 如果学过导数知识, 其解法就更为方便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.
例7 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用
甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物
内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
甲 乙 丙
维生素A（单位/千克） 600 700 400
维生素B（单位/千克） 800 400 500
成本（元/千克） 11 9 4
（1）用x，y表示混合食物成本c元；
（2）确定x，y，z的值，使成本最低.
讲解:（1）依题意得 .
（2）由 , 得
，
当且仅当时等号成立.,
∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.
线性规划是高中数学的新增内容, 涉及此类问题的求解还可利用图解法, 试试看.
例8 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140<<420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
讲解 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则
=
依题意 ≥
∴0<≤.
又140<<420, 70<<210.
(1)当0<≤,即70<≤140时， , 取到最大值;
(2)当>,即140<<210时， , 取到最大值;
综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.
在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？
例9 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆
讲解 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则
，
所以，当时，，两式相减得：
（1）显然，若，则，即，此时
（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.
（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，
（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，
由，得
，
要使对于任意正整数，均有恒成立，
即
对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得
,
上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.
本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.
例10 为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：
贷款期(年数) 公积金贷款月利率(‰) 商业性贷款月利率(‰)
……1112131415…… ……4.3654.4554.5454.6354.725…… ……5.0255.0255.0255.0255.025……
汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：
(1)汪先生家每月应还款多少元
(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少
(参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
讲解 设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月
　　第1月末欠款数　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款数　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
第3月末欠款数　[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　　＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款数　
得：
　　对于12年期的10万元贷款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　对于15年期的15万元贷款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53
再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．
需要提及的是，本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算，这在2002年全国高考第（12）题中得到考查.
例11 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．
（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）
已知：lg2=0.3010．
讲解 （1）由题意病毒细胞关于时间n的函数为, 则由
两边取对数得 n27.5,
即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为,
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为,
由题意≤108，两边取对数得
，
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．
本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.
例12 有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)= +［g(0)- ］·e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g(0)< 时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？
讲解（1）∵g(t)为常数, 有g(0)-=0, ∴g(0)= .
(2) 我们易证得0g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
∵g(0)·<0,t1e,
∴g(t1)故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.
(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)·e,设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
∴=e，∴t= ln20，
故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型, 另外,估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化, 紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景线.
.
把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式
直线l’在l的上方且到直线l的距离为
转化为一元二次方程根的问题
求解
问题
关于x的方程有唯一解
将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理
利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数k
点Q的轨迹方程
所求量的取值范围
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA= f（k），xB = g（k）
得到所求量关于k的函数关系式
求根公式
AP/PB = —（xA / xB）
由判别式得出k的取值范围
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）
构造所求量与k的关系式
关于所求量的不等式
韦达定理
AP/PB = —（xA / xB）
由判别式得出k的取值范围
(3，)
①
②
O
A
B
vt
2(1－k)t
4kt
15°
a
d
l
天数t 病毒细胞总数N
1234567… 1248163264…
21世纪教育网（原课件中心网站） www.21cnjy.com 第 37 页 共 38 页

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