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3．2．1 双曲线及其标准方程
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义
题型二：双曲线的标准方程
题型三：双曲线方程的充要条件
题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
题型五：双曲线上两点距离的最值问题
题型六：双曲线上两线段的和差最值问题
题型七：求轨迹方程
【知识点梳理】
知识点一、双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．
知识点诠释：
1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点二、双曲线的标准方程
标准方程的推导：
如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．
（1）建系设点
取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴
（2）建立直角坐标系．
设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数．
（2）点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
．
（3）代数方程
∵，
∴
（4）化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
化简得：
两边再平方，整理得：
（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．）
由双曲线定义，即c＞a，所以．
设，代入上式得：
即，其中
这就是双曲线的标准方程．
双曲线的标准方程：
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆 双曲线
根据 根据
， ，
， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大） （c最大）
标准方程统一为：
方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线．
当，时，双曲线的焦点在x轴上；
当，时，双曲线的焦点在y轴上．
知识点诠释：
1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．
2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．
3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点三、求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．
知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论．
【方法技巧与总结】
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1）①根据双曲线的定义求出；
②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出的值；
④利用公式求得面积。
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积.
【典型例题】
题型一：双曲线的定义
例1．（2023·陕西渭南·高二白水县白水中学校考阶段练习）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A． B． C．或 D．不确定
【答案】C
【解析】设双曲线的左、右焦点为，则；
则，
由双曲线定义可得，即，
所以或，由于，
故点到它的左焦点的距离是或，
故选：C
例2．（2023·全国·高二期中）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【解析】双曲线中，得，则，
由双曲线的定义可得，
因为，所以，解得，
故选：B
例3．（2023·全国·高二专题练面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
【答案】B
【解析】如图：
设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，
则若在线段（不包含两端点）上，有；
若在直线外，有；
若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），
则有.
故选：B
变式1．（2023·高二课时练习）已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．双曲线右支 D．一条射线
【答案】C
【解析】因为 的几何意义是动点到点与的距离之差为2，
又因为，
所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．
故选：C
变式2．（2023·全国·高二专题练习）双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（　　）
A．1或21 B．14或36 C．2 D．21
【答案】D
【解析】设双曲线的左右焦点分别为，不妨设，
根据双曲线的定义知|，所以或，
而，，
双曲线右支上一点，，则，
则点到右焦点的距离为
，
当时，取得最小值，最小值为2，
故不成立，舍去，满足要求，
所以点P到另一个焦点的距离为21，
故选：D
题型二：双曲线的标准方程
例4．（2023·福建·高二上杭一中校考阶段练习）分别求出满合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）离心率为，且短轴长为6的椭圆；
（2）过点，且与椭圆有相同焦点的双曲线.
【解析】（1）已知短轴长为6，则，
又因为离心率为，则，
而，得，
所以椭图的标准方程为或.
（2）已知双曲线与椭圆，即有相同焦点，
所以焦点坐标为，又因为双曲线过点，
由双曲线的定义得出：
，
即，∴，
所以双曲线的标准方程为.
例5．（2023·江西·高二校联考期中）（1）求经过点、且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程；
（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．
【解析】（1）依题意，设双曲线的方程为，
双曲线过点、两点，，解得.
因此，双曲线的标准方程为；
（2）双曲线双曲线的焦点为，
设所求双曲线的方程为，则，
由双曲线定义得，
，则，因此，所求双曲线的标准方程为.
例6．（2023·全国·高二专题练习）在下列条件下求双曲线标准方程
（1）经过两点；
（2），经过点，焦点在轴上.
【解析】（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为，代入得，解得，故双曲线的方程为.（2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为.
变式3．（2023·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线标准方程：
（1）与双曲线共焦点，经过点；
（2）经过点和；
【解析】（1）∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为，
∴，即.①
∵双曲线经过点，∴.②
由①②得，，
双曲线的标准方程为.
（2）设双曲线的方程为
∵点P，Q在双曲线上，
∴，解得.
∴双曲线的标准方程为.
变式4．（2023·高二课时练习）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 ．
【答案】
【解析】根据题意可知椭圆方程中的a=13，
∵=
∴c=5
根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8
∴虚轴长为6
∴双曲线方程为
变式5．（2023·江苏扬州·高二统考期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的标准方程为 .
【答案】
【解析】由题意，
在等轴双曲线C中，对称轴是坐标轴，图像过，
当焦点在x轴时
设，则
∴解得：
∴，
当焦点在y轴时，不成立，
综上，.
故答案为：.
变式6．（2023·高二课时练习）若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是 .
【答案】
【解析】由焦点，可得，由实轴长为，即，可得，，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：.
题型三：双曲线方程的充要条件
例7．（2023·全国·高二专题练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】可整理成，
当，则且或且，此时方程即表示的曲线为双曲线，则充分性成立；
若方程表示的曲线为双曲线，则即，则必要性成立，
故选：C
例8．（2023·全国·高二专题练习）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，方程表示双曲线，
则，所以，
根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.
故选：B.
例9．（2023·全国·高二专题练习）“”是“为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为方程表示双曲线，所以，
又当时，方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.
故选：C
变式7．（2023·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，解得，所以实数m的取值范围是.
故选：D.
变式8．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方程可化为：，
由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得，
解得.
故选：C.
变式9．（2023·全国·高二专题练习）若方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得.
故选：C
变式10．（2023·全国·高二专题练习）若，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程表示双曲线，
所以，
解得或，
因为由可推出或，但是由或不能推出，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A
题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例10．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，
由双曲线的定义得 ，而 ，
解得 ，
由余弦定理得
所以 .
故选：A.
例11．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，
如图所示，过点作于点.
因为，所以，
因为，
所以，所以，
故，得.
因为，所以，故点，
将代入双曲线中，
即，化简得，
，
解得或（舍去），故B项正确.
故选：B.
例12．（2023·全国·高二专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
在双曲线中，，，则，
根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则．
因为，
所，．
在中，，
①
在中，是中点,则，两边平方可得，
所以②
所以,,
．
故选：A.
变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得
所以，
则三角形的周长为.
故选：B
变式12．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据双曲线的定义得，
又因为，所以，．
又因为，
所以在中结合余弦定理的推论得：
，
因为，得的大小为．
故选：C
变式13．（2023·全国·高二专题练习）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】双曲线C：，则，，
由双曲线的定义知：，，
，
所以
.
故选：C.
变式14．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】D
【解析】由题意知.
又，所以.
根据双曲线的定义可知，
所以，
解得，所以.
故选：D
变式15．（2023·全国·高二专题练习）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B．15 C．12 D．30
【答案】A
【解析】，根据双曲线定义：，
，，，
根据余弦定理：，
则，.
故选：A
题型五：双曲线上两点距离的最值问题
例13．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，双曲线，
又，
所以，，
又，
解得，
即a的取值范围是.
故答案为：.
例14．（2023·高二课时练习）已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下图所示：
在双曲线中，，，，
圆的圆心为，半径长为，
所以，双曲线的左、右焦点分别为、，
由双曲线的定义可得，，
所以，，
当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立，
故的最小值是.
故答案为：.
例15．（2023·高二课时练习）已知定点，且，动点满足，则的最小值是 .
【答案】6
【解析】因为动点满足，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，
则，即，
不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为，
左焦点为，右焦点为，
设，则，
所以，
所以的最小值是6，
故答案为：6
变式16．（2023·高二单元测试）设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
代入双曲线方程，消去y 得
设
由韦达定理得
根据双曲线的第二定义得：
当直线的斜率不存在时，
根据双曲线的第一定义得：
综上：的最小值为
故答案为：
变式17．（2023·全国·高二随堂练习）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为 ．
【答案】10
【解析】根据双曲线的定义转换求解即可.由双曲线的标准方程得a＝2,由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|,当直线l过点F1,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝
故答案为：10.
变式18．（2023·高二单元测试）平面内，线段的长度为10，动点满足，则的最小值为 ．
【答案】2
【解析】因为，所以，
因此动点在以为焦点的双曲线的靠近点的一支上，且，
从而的最小值为
故答案为：2.
题型六：双曲线上两线段的和差最值问题
例16．（2023·江西宜春·高二上高二中校考期末）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 ．
【答案】9
【解析】由题意，圆的圆心为，半径为2，的圆心为，半径为1，故双曲线焦点即为两圆圆心.
所以的最大值即：的最大值减去的最小值. 的最大值为，的最小值为，根据双曲线的定义可得两者相减得.
故答案为：9
例17．（2023·全国·高二专题练习）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 .
【答案】5
【解析】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，
两圆的半径分别为，，易知，，
故的最大值为.
故答案为：5
例18．（2023·全国·高二专题练习）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】因为双曲线的焦点为,
圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点,
，
(当且仅当三点共线时取等号)，
(当且仅当,,三点共线时取等号),
，
的最小值为.
故答案为：.
变式19．（2023·全国·高二专题练习）已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线右支上的任一点，，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】如图，设双曲线的右焦点为，由题知，
因为，所以，
因为，，当且仅当三点共线时等号成立，
所以，，当且仅当三点共线时等号成立.
所以，的最大值为
故答案为：
变式20．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知，动点M满足，则△MNB周长的最小值为 .
【答案】10
【解析】动点M的轨迹为双曲线的左支，，△MNB的周长最小时，最小，，又，
当且仅当N，M，A三点共线且M在线段AN上时，等号成立，
∴△MNB的周长为.
故答案为：10
变式21．（2023·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线方程为，焦距为8，左 右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，
所以，，
即，，
所以双曲线的方程为：，
所以，，，
由双曲线定义得，
所以
，
当三点共线时，最小为
故.
故答案为：.
变式22．（2023·全国·高二专题练习）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 .
【答案】6
【解析】双曲线，，，
圆的圆心为，半径，
在双曲线的左支上，，
所以，
根据圆的几何性质可知，的最小值是，
所以的最小值是.
故答案为：
变式23．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ．
【答案】22
【解析】根据双曲线，得，，
由双曲线的定义可得： ①，
②，
①+②可得：，
由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，
可得，即有．
则，当是双曲线的通径时最小，
故.
故答案为：22
变式24．（2023·高二课时练习）.已知双曲线的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，直线过定点P，且在双曲线C上，M为双曲线上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】将直线，变形为，可得，解得：，所以定点为P(4，1).
由双曲线的一条渐近线的方程为，及在双曲线上，可得：解得：，
所以，
所以左、右焦点分别为，.
如图示，要求的最小值，点M需在双曲线的右支上.
由双曲线的定义可得：，
所以，
所以.
所以当三点共线时，即M落在点G处，最小，
所以的最小值为.
故答案为：
变式25．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是 .
【答案】/
【解析】由题设知，，，，圆的半径
由点为双曲线右支上的动点知
∴
∴.
故答案为：
题型七：求轨迹方程
例19．（2023·全国·高二课堂例题）如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .

【答案】
【解析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，.
由正弦定理，得，，（R为的外接圆半径）.
∵，
∴，即.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）.
由题意，设所求轨迹方程为，
∵，，∴.
故所求轨迹方程为.
故答案为：
例20．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .

【答案】
【解析】圆：，圆心，半径，
圆：，圆心，半径.
设动圆M的半径为R，则有，，
∴，
∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，于是.
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故答案为：.
例21．（2023·高二课时练习）点P到点的距离与它到点的距离的差等于16的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】根据题意，轨迹为焦点在轴的双曲线的右支，，，，
故，故轨迹方程为：.
故答案为：
变式26．（2023·湖北恩施·高二校考阶段练习）已知椭圆的方程为，其左 右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意知，
设直线为，，
由三点共线及三点共线，
得，
两式相乘化简，得，
又，
所以，即，
又，即，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：
变式27．（2023·全国·高二专题练习）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设，，
则，即，
又，则，
整理得，
即点M的轨迹方程为.
故答案为：
变式28．（2023·江苏徐州·高二校考阶段练习）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点 之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程 的解为
【答案】
【解析】由，
可得 ，
其几何意义为平面内一点与两定点 距离之差的绝对值为6，
平面内与两定点距离之差的绝对值为6的点的轨迹是双曲线，
设该双曲线的方程为 ，则得，
所以该双曲线的方程是，
令 ，解得 ，
故答案为：．
变式29．（2023·高二课时练习）如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】圆的方程为，圆心为，半径．
设动圆圆心为，
动圆与圆内切于点，
，
的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，其中，得，
而，，
故所求轨迹方程为．
故答案为：
变式30．（2023·高二课时练习）已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设直线l的方程为，直线m的方程为，
所以，
不妨设点，，，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
即．
故答案为：
变式31．（2023·安徽滁州·高二校考开学考试）设，则动点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为．
故答案为：.
变式32．（2023·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）一个动圆P与两个定圆，均内切，那么动圆P的圆心的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设，圆的半径为，
因为圆，圆心，半径为，
圆，圆心，半径为，
因为圆与圆，圆都内切，
所以圆，，即.
所以的轨迹是双曲线的右支.
双曲线的中心为，，，所以，
所以的轨迹为方程为：.
故答案为：.
变式33．（2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知，为坐标原点，动点满足，其中，且，则的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设，由向量的坐标运算，用表示出，代入等式后化简即可得的轨迹方程.设，
则，
∴，
又，消去得.
故答案为：.
变式34．（2023·湖北孝感·高二校联考期中）如图所示：在圆C：(x＋1)2＋y2＝16内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据椭圆定义可得点M的轨迹方程为；利用类比推理思想：在圆C：(x＋3)2＋y2＝16外有一点A(3，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据双曲线定义可得点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】连结，，
点在线段的垂直平分线上，
所以点的轨迹为双曲线的左支，，所以
所以双曲线的轨迹方程为
变式35．（2023·湖北孝感·高二统考期中）孝感某地施行禁鞭政策，现有两监控点相距1000米，处听到炮竹声与处相差2秒，设声速为300米/秒，现要找出炮竹燃放点的大概位置，以所在的直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系，燃放点的轨迹方程为
【答案】
【解析】设燃放点的坐标为，，
那么,所以点形成的轨迹是以定点为焦点的双曲线，
所以设点的轨迹为，
所以，，那么，，
所以燃放点的轨迹方程为：，
故答案为：
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
【答案】C
【解析】是双曲线上一点，所以，所以，
由双曲线定义可知，
所以或者，又，所以，
故选：C
2．（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）已知直线在直角坐标系中的位置如图所示，则方程表示（ ）

A．焦点在轴上的双曲线 B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆
【答案】B
【解析】将直线的方程化为，可知，即，
将方程化为，由可得，
故方程表示焦点在轴上的双曲线.
故选：B
3．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】由，得解得．
因为是双曲线左支上的动点，
所以.
由双曲线的定义可知．
故选：A.
4．（2023·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】D
【解析】，即圆，故，，
因为平行与，，所以，故，
故点的轨迹为双曲线.
故选：D
5．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
在图①中，由椭圆的定义知，，
由双曲线的定义知，，
两式相减得,，
所以的周长为，
在图②中，由椭圆的定义知，所以的周长为，
因为光线的速度相同，且，
所以，解得，
故，
即的长轴长与的实轴长之比为，
故选：D.
6．（2023·高二单元测试）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，
设，则①，
因为，所以，
所以②，
又因为的面积为，所以，即，
所以③，由②③得④，
将④③代入①得，，所以.
故选：D.
7．（2023·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线得出.
因为，所以.
作于C，则C是AB的中点.
设，则由双曲线的定义，
可得.
故，
又由余弦定理得，
所以，解得.
故选：C
8．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A． B．-1 C． D．2
【答案】B
【解析】由题意可知：双曲线焦点在轴上，，
设双曲线的右焦点，左焦点，
由为中位线，则，
由与圆相切于点，则为直角三角形，
∴，
则，,
∵
，
∴=-1.
故选：B.
二、多选题
9．（2023·高二课时练习）已知关于的方程 (其中为参数)表示曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线表示圆
B．若，则曲线表示椭圆
C．若，则曲线表示双曲线
D．若，，则曲线表示四条直线
【答案】ACD
【解析】若，则，表示圆，故A正确；
若，满足，方程无解，
故不表示任何曲线，故B错误；
若，则表示焦点在x轴或y轴上的双曲线，故C正确；
若，，则或，
则或，表示四条直线，故D正确.
故选：ACD.
10．（2023·湖北孝感·高二校联考期中）已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，关于点的轨迹，下列命题正确的是（ ）
A．若是圆内的一个定点（非点）时，点的轨迹是椭圆
B．若是圆外的一个定点时，点的轨迹是双曲线的一支
C．若与点重合时，点的轨迹是圆
D．若是圆上的一个定点时，点的轨迹不存在
【答案】AC
【解析】如下图，若是圆内的一个定点（非点）时， ，，的轨迹是以为焦点的椭圆，所以A项正确；
如下图，若是圆外的一个定点时，，，的轨轨迹是以为焦点的双曲线，所以项错误；
如下图，若与点重合时，的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以项正确；
如下图，若是圆上的一个定点时，点的轨迹为点构成的集合，所以项错误
.
故选：AC.
11．（2023·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（ ）
A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1
C．取值范围是 D．
【答案】ACD
【解析】设，又，，，即，又是双曲线上一点，
∴，即，故A正确；
∵G的轨迹是双曲线的一部分，实半轴长为，∴，故B错误；
根据内角平分线定理可知，，
又，∴，故C正确；
同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，，
∴，故D正确.
故选：ACD.
12．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（ ）
A．P的纵坐标为 B．
C．的周长为 D．的面积为4
【答案】ABD
【解析】依题意，
因为，所以.
由双曲线的定义可得①，两边平方得，
即，解得，
故的面积为，D正确.
设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确.
，解得②，
的周长为，C错误.
①＋②可得，B正确.
故选：ABD
三、填空题
13．（2023·宁夏银川·高二校考期中）与椭圆有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为 .
【答案】
【解析】由椭圆可知双曲线中，，且焦点在轴，
又，，，
所以双曲线方程为.
故答案为：
14．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为10，点N是的中点，O为坐标原点，则 .
【答案】1或9/9或1
【解析】设双曲线的另一个焦点为，连接，
易得ON是的中位线，
所以，
因为，，所以或，
故或.
故答案为：1或9.
15．（2023·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为 ．

【答案】
【解析】设所求双曲线方程为：，
如图，因为，易知，
又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分点，所以在双曲线上，得到，整理得到，
故所求曲线方程为.
故答案为：.
16．（2023·全国·高二专题练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为 .
【答案】16
【解析】双曲线，所以，，所以，，
是双曲线左支上的点，，，
在△中，由余弦定理得，
，
△的面积为.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·宁夏银川·高二校考期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，焦点在轴上，且过点；
(2)经过两点，.
【解析】（1）由于双曲线的焦点在轴上，
可设其标准方程为：，
因为双曲线过点，
所以，
又因为，所以，
解得：，，
故所求双曲线的标准方程为：.
（2）设双曲线方程为，
把点与点代入，
有，解得：，
故所求双曲线的标准方程为：.
18．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）设为实数，已知双曲线与椭圆有相同的焦点．
(1)求的值；
(2)若点在上，且，求的面积．
【解析】（1）根据题意，显然，且双曲线的焦点在轴上，
故，即，，
解得或，又，故；
（2）由（1）可得双曲线方程为：，
设其左右焦点分别为，故可得；
根据双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的左支上，
设，
由双曲线定义可得：，即；
又三角形为直角三角形，则，
即，即，；
故△的面积.
19．（2023·全国·高二随堂练习）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？

【解析】设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
设第组对应直线与的交点为，且点在第一象限，
则，，，，
直线的方程为，①
直线的方程为，②
点坐标满足方程①②，
①②相乘得，即（点在第一象限），
所以点在双曲线的右支上半部分上运动.
.
20．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(2)焦点在轴上，经过点和点．
(3)经过点和．
(4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点
【解析】（1）由已知得，，即，∵，∴，
∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是；
（2）设双曲线的方程为，则，所以，
∴双曲线方程为；
（3）设双曲线方程为，将两点代入可得，
解得，所以双曲线的标准方程为；
（4）设椭圆的半焦距为，则，∴，
所以椭圆的焦点坐标为，，
所以双曲线的焦点坐标为，，
设所求双曲线的标准方程为，则，
故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上，
∴代入有，化简得，解得或；
当时， ，不合题意，舍去；
∴，
∴所求双曲线的标准方程为.
21．（2023·全国·高二随堂练习）如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什么曲线，并求出该曲线的方程.

【解析】以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如上图所示：
在中，由余弦定理可得，可得；
设是边界上任一点，则满足，所以；
由双曲线定义可知，点所在的界线是以为焦点，实轴长为的双曲线靠近的一支，并且在农贸市场内的部分；
由可得，
所以双曲线方程为，即.
22．（2023·福建泉州·高二校考期中）已知圆： ，圆： ，圆，圆．
(1)若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程．
【解析】（1）设动圆的半径为，
∵动圆与圆内切，与圆外切，
∴，且.
于是，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.
从而，
所以.
故动圆圆心的轨迹的方程为．
（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
因为，则圆与圆外离，
设圆的半径为，由题意可得，所以，，
所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支，
设圆心的轨迹方程为，
由题意可得，则，，
因此，圆心的轨迹方程为.3．2．1 双曲线及其标准方程
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义
题型二：双曲线的标准方程
题型三：双曲线方程的充要条件
题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
题型五：双曲线上两点距离的最值问题
题型六：双曲线上两线段的和差最值问题
题型七：求轨迹方程
【知识点梳理】
知识点一、双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．
知识点诠释：
1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点二、双曲线的标准方程
标准方程的推导：
如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．
（1）建系设点
取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴
（2）建立直角坐标系．
设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数．
（2）点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
．
（3）代数方程
∵，
∴
（4）化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
化简得：
两边再平方，整理得：
（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．）
由双曲线定义，即c＞a，所以．
设，代入上式得：
即，其中
这就是双曲线的标准方程．
双曲线的标准方程：
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆 双曲线
根据 根据
， ，
， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大） （c最大）
标准方程统一为：
方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线．
当，时，双曲线的焦点在x轴上；
当，时，双曲线的焦点在y轴上．
知识点诠释：
1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．
2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．
3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点三、求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．
知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论．
【方法技巧与总结】
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1）①根据双曲线的定义求出；
②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出的值；
④利用公式求得面积。
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积.
【典型例题】
题型一：双曲线的定义
例1．（2023·陕西渭南·高二白水县白水中学校考阶段练习）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A． B． C．或 D．不确定
例2．（2023·全国·高二期中）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　）
A．2 B．4 C．8 D．12
例3．（2023·全国·高二专题练面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
变式1．（2023·高二课时练习）已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．双曲线右支 D．一条射线
变式2．（2023·全国·高二专题练习）双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（　　）
A．1或21 B．14或36 C．2 D．21
题型二：双曲线的标准方程
例4．（2023·福建·高二上杭一中校考阶段练习）分别求出满合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）离心率为，且短轴长为6的椭圆；
（2）过点，且与椭圆有相同焦点的双曲线.
例5．（2023·江西·高二校联考期中）（1）求经过点、且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程；
（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．
例6．（2023·全国·高二专题练习）在下列条件下求双曲线标准方程
（1）经过两点；
（2），经过点，焦点在轴上.
变式3．（2023·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线标准方程：
（1）与双曲线共焦点，经过点；
（2）经过点和；
变式4．（2023·高二课时练习）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 ．
变式5．（2023·江苏扬州·高二统考期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的标准方程为 .
变式6．（2023·高二课时练习）若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是 .
题型三：双曲线方程的充要条件
例7．（2023·全国·高二专题练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例8．（2023·全国·高二专题练习）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
例9．（2023·全国·高二专题练习）“”是“为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式7．（2023·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式8．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2023·全国·高二专题练习）若方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式10．（2023·全国·高二专题练习）若，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例10．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A． B． C． D．
例11．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2023·全国·高二专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
变式12．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
变式13．（2023·全国·高二专题练习）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
变式14．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
变式15．（2023·全国·高二专题练习）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B．15 C．12 D．30
题型五：双曲线上两点距离的最值问题
例13．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是 ．
例14．（2023·高二课时练习）已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ．
例15．（2023·高二课时练习）已知定点，且，动点满足，则的最小值是 .
变式16．（2023·高二单元测试）设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为 .
变式17．（2023·全国·高二随堂练习）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为 ．
变式18．（2023·高二单元测试）平面内，线段的长度为10，动点满足，则的最小值为 ．
题型六：双曲线上两线段的和差最值问题
例16．（2023·江西宜春·高二上高二中校考期末）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 ．
例17．（2023·全国·高二专题练习）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 .
例18．（2023·全国·高二专题练习）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
变式19．（2023·全国·高二专题练习）已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线右支上的任一点，，则的最大值为 ．
变式20．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知，动点M满足，则△MNB周长的最小值为 .
变式21．（2023·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线方程为，焦距为8，左 右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 .
变式22．（2023·全国·高二专题练习）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 .
变式23．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ．
变式24．（2023·高二课时练习）.已知双曲线的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，直线过定点P，且在双曲线C上，M为双曲线上的动点，则的最小值为 .
变式25．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是 .
题型七：求轨迹方程
例19．（2023·全国·高二课堂例题）如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .

例20．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .

例21．（2023·高二课时练习）点P到点的距离与它到点的距离的差等于16的轨迹方程为 ．
变式26．（2023·湖北恩施·高二校考阶段练习）已知椭圆的方程为，其左 右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
变式27．（2023·全国·高二专题练习）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ．
变式28．（2023·江苏徐州·高二校考阶段练习）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点 之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程 的解为
变式29．（2023·高二课时练习）如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为 ．
变式30．（2023·高二课时练习）已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为 ．
变式31．（2023·安徽滁州·高二校考开学考试）设，则动点P的轨迹方程为 ．
变式32．（2023·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）一个动圆P与两个定圆，均内切，那么动圆P的圆心的轨迹方程是 .
变式33．（2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知，为坐标原点，动点满足，其中，且，则的轨迹方程为 .
变式34．（2023·湖北孝感·高二校联考期中）如图所示：在圆C：(x＋1)2＋y2＝16内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据椭圆定义可得点M的轨迹方程为；利用类比推理思想：在圆C：(x＋3)2＋y2＝16外有一点A(3，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据双曲线定义可得点M的轨迹方程为 ．
变式35．（2023·湖北孝感·高二统考期中）孝感某地施行禁鞭政策，现有两监控点相距1000米，处听到炮竹声与处相差2秒，设声速为300米/秒，现要找出炮竹燃放点的大概位置，以所在的直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系，燃放点的轨迹方程为
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
2．（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）已知直线在直角坐标系中的位置如图所示，则方程表示（ ）

A．焦点在轴上的双曲线 B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆
3．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2023·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
5．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·高二单元测试）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A． B．-1 C． D．2
二、多选题
9．（2023·高二课时练习）已知关于的方程 (其中为参数)表示曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线表示圆
B．若，则曲线表示椭圆
C．若，则曲线表示双曲线
D．若，，则曲线表示四条直线
10．（2023·湖北孝感·高二校联考期中）已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，关于点的轨迹，下列命题正确的是（ ）
A．若是圆内的一个定点（非点）时，点的轨迹是椭圆
B．若是圆外的一个定点时，点的轨迹是双曲线的一支
C．若与点重合时，点的轨迹是圆
D．若是圆上的一个定点时，点的轨迹不存在
11．（2023·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（ ）
A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1
C．取值范围是 D．
12．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（ ）
A．P的纵坐标为 B．
C．的周长为 D．的面积为4
三、填空题
13．（2023·宁夏银川·高二校考期中）与椭圆有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为 .
14．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为10，点N是的中点，O为坐标原点，则 .
15．（2023·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为 ．

16．（2023·全国·高二专题练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为 .
四、解答题
17．（2023·宁夏银川·高二校考期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，焦点在轴上，且过点；
(2)经过两点，.
18．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）设为实数，已知双曲线与椭圆有相同的焦点．
(1)求的值；
(2)若点在上，且，求的面积．
19．（2023·全国·高二随堂练习）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？

20．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(2)焦点在轴上，经过点和点．
(3)经过点和．
(4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点
21．（2023·全国·高二随堂练习）如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什么曲线，并求出该曲线的方程.

22．（2023·福建泉州·高二校考期中）已知圆： ，圆： ，圆，圆．
(1)若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程．

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