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3．2．2 双曲线的简单几何性质
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的简单几何性质
题型二：双曲线的渐近线
题型三：求双曲线离心率的值
题型四：求双曲线离心率的范围
题型五：直线与双曲线的位置关系
题型六：弦长、面积问题
题型七：中点弦问题
题型八：定点定值问题
题型九：最值问题
【知识点梳理】
知识点一、双曲线的简单几何性质
双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质
范围
，即
或
双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或．
对称性
对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．
②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．
③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长．
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．
②双曲线的焦点总在实轴上．
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．
②因为，所以双曲线的离心率．
由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．
③等轴双曲线，所以离心率．
渐近线
经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．
我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．
知识点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴 实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点三、双曲线的渐近线
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．
知识点四、双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．
双曲线，如图：
（1）实轴长，虚轴长，焦距，
（2）离心率：；
（3）顶点到焦点的距离：，；
（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来．
（5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系．
知识点五、直线与双曲线的位置关系判断
将双曲线方程与直线方程联立消去
得到关于的一元二次方程，
1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，
若，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切．
知识点六、弦长公式
若直线与双曲线（，）交于，两点，
则或（）．
【方法技巧与总结】
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【典型例题】
题型一：双曲线的简单几何性质
1．（多选题）（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为 B．的标准方程为
C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点
2．（多选题）（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考开学考试）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则
C．若是双曲线C的一个焦点，则
D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2
3．（多选题）（2023·广西贵港·高二统考期末）已知双曲线的右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．若以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为2
1．（多选题）（2023·高二课时练习）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线E的实轴长为24 B．双曲线E的焦距为26
C．双曲线E的渐近线的斜率为 D．双曲线E的渐近线的斜率为
2．（多选题）（2023·新疆昌吉·高二统考期中）关于双曲线，下列说法正确的有（ ）
A．实轴长为4 B．焦点为
C．右焦点到一条渐近线的距离为4 D．离心率为
3．（多选题）（2023·甘肃临夏·高二校考期末）双曲线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．离心率为 B．离心率为
C．渐近线方程为 D．渐近线方程为
4．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，则（ ）
A．的焦距为 B．的虚轴长是实轴长的倍
C．双曲线与有相同的渐近线 D．点到的一条渐近线的距离为
题型二：双曲线的渐近线
4．（2023·陕西商洛·高二校考期末）如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．

5．（2023·江西九江·高二九江外国语学校校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为，则 ．
6．（2023·高二课时练习）已知双曲线 的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为 .
5．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为 ．
6．（2023·浙江温州·高二校联考期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则a的值为 ．
7．（2023·江苏连云港·高二校考阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为 .
8．（2023·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）渐近线方程为且经过点的双曲线标准方程为 ．
9．（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是 ．
10．（2023·福建三明·高二校联考期中）若双曲线与双曲线：有相同的渐近线，且过点，则双曲线的标准方程是 .
题型三：求双曲线离心率的值
7．（2023·江苏南通·高二校联考阶段练习）已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）设是双曲线的左 右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高二专题练习）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
13．（2023·江苏连云港·高二统考期中）双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·江西上饶·高二校考阶段练习）设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
16．（2023·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）双曲线：的右顶点为A，点A到直线距离为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·全国·高二期中）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·河南许昌·高二统考期末）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（ ）

A． B． C． D．
题型四：求双曲线离心率的范围
10．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考阶段练习）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知双曲线：，是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·浙江金华·高二校考阶段练习）已知二次曲线，则当时，该曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
21．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的中点为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为60°的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
22．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是
A． B．
C． D．
23．（2023·河南南阳·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上存在点，使得，则此双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
24．（2023·重庆·高二统考期中）已知双曲线的方程为，它的一个顶点到一条渐近线的距离为，已知（为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·江西吉安·高二阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线交于两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为
A． B． C． D．
题型五：直线与双曲线的位置关系
13．（2023·全国·高二课堂例题）判断直线与双曲线是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标．
14．（2023·全国·高二课堂例题）讨论直线与双曲线的公共点的个数．
15．（2023·全国·高二专题练习）讨论直线与双曲线的公共点的个数．
26．（2023·高二课时练习）已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点．
27．（2023·高二课时练习）当取何值时，直线与双曲线相交？
28．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数．
题型六：弦长、面积问题
16．（2023·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于两点，若，求的值．
17．（2023·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求：
(1)线段的长；
(2)设点为右焦点，求的周长.
18．（2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）已知双曲线的焦距为10，渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线与双曲线的两支分别交于、两点，且与直线交于点，求的值.
29．（2023·全国·高二期中）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点．
(1)求直线的方程．
(2)求线段的长．
30．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
31．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求．
32．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)求的面积.
33．（2023·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知定点，动点.直线MA，MB的斜率之积为.
(1)求点的轨迹方程:
(2)直线与点的轨迹的交点为C，求的面积（ 为坐标原点）.
34．（2023·江苏·高二假期作业）在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点.
(1)求双曲线的方程;
(2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)求点的坐标,使得的面积最小.
35．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过的直线交曲线于两点（均位于轴右侧），关于原点的对称点为，求的面积的取值范围.
题型七：中点弦问题
19．（2023·高二课时练习）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
20．（2023·全国·高二课堂例题）求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程.
21．（2023·全国·高二随堂练习）过点作直线与双曲线相交于B，C两点，且A为线段BC的中点，求这条直线的方程.
36．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．
37．（2023·宁夏银川·高二校考阶段练习）过双曲线的弦，且为弦的中点，求直线的方程.
38．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程.
39．（2023·上海·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程，原点到过、点的直线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)过点能否作直线，使与已知双曲线交于两点、，且是线段的中点？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
题型八：定点定值问题
22．（2023·高二课时练习）已知双曲线的离心率为2，过点、斜率为1的直线与双曲线交于、两点且，.
（1）求双曲线方程．
（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.
24．（2023·高二单元测试）动圆与圆相内切，且恒过点.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，证明：存在两定点、，使得为定值，求出、的坐标.
40．（2023·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点在双曲线上．
(1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；
(2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
41．（2023·陕西·高二统考期中）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于，），直线，分别与直线交于，两点．
(1)求双曲线的方程．
(2)证明为定值．
42．（2023·湖北武汉·高二统考期中）已知的两个顶点，的坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于．
（1）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种曲线；
（2）当时，点为曲线上点，且点为第一象限点，过点作两条直线与曲线交于，两点，直线，斜率互为相反数，则直线斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．
43．（2023·江西萍乡·高二萍乡中学校联考阶段练习）已知双曲线过点和点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
44．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.
①为定值；
②为定值；
③为定值
题型九：最值问题
25．（2023·湖南岳阳·高二岳阳一中校考期末）已知双曲线，为坐标原点，离心率，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，且.求的最小值.
26．（2023·上海·高二专题练习）已知曲线，焦距长为，右顶点A的横坐标为1．上有一动点，和关于轴对称，直线记为，直线为，而且，与轴的交点分别为，．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知以线段为直径的圆过点，且为轴上一点，求的坐标；
(3)记S为三角形的面积，当S取最小值时．求此时点的坐标．
27．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值．
45．（2023·高二课时练习）已知动点P与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若已知点，点M、N在动点P的轨迹上且，求实数的取值范围．
46．（2023·福建厦门·高二厦门大学附属科技中学校考期中）已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点，的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于B点，的延长线与椭圆交于C点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
47．（2023·四川宜宾·高二校考期末）如图，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆过点，若直线与直线平行且与椭圆相交于点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求三角形面积的最大值.
48．（2023·江西宜春·高二校联考期末）在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线共焦点，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过定点作一条动直线与椭圆相交于为坐标原点，求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.
49．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点．
(1)求双曲线方程．
(2)过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）已知直线在直角坐标系中的位置如图所示，则方程表示（ ）

A．焦点在轴上的双曲线 B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆
2．（2023·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
3．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（ ）
A． B． C．4 D．
5．（2023·陕西渭南·高二白水县白水中学校考阶段练习）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A． B． C．或 D．不确定
6．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
8．（2023·安徽滁州·高二校考期末）双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·江苏南通·高二校联考阶段练习）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ）
A．若曲线为双曲线，则或
B．若曲线为椭圆，则
C．曲线可能是圆
D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
10．（2023·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（ ）
A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1
C．取值范围是 D．
11．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（ ）
A．P的纵坐标为 B．
C．的周长为 D．的面积为4
12．（2023·全国·高二专题练习）双曲线的方程为，左、右焦点分别为，过点作直线与双曲线的右半支交于点，，使得，则（ ）
A． B．点的横坐标为
C．直线的斜率为或 D．的内切圆半径是
三、填空题
13．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .

14．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，.以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A，双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则直线的斜率为 .
15．（2023·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为 ．

16．（2023·全国·高二专题练习）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 .
四、解答题
17．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）设为实数，已知双曲线与椭圆有相同的焦点．
(1)求的值；
(2)若点在上，且，求的面积．
18．（2023·全国·高二随堂练习）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？

19．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离.
20．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在轴上，，经过点；
(2)经过、两点．
(3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.
21．（2023·福建泉州·高二校考期中）已知圆： ，圆： ，圆，圆．
(1)若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程．3．2．2 双曲线的简单几何性质
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的简单几何性质
题型二：双曲线的渐近线
题型三：求双曲线离心率的值
题型四：求双曲线离心率的范围
题型五：直线与双曲线的位置关系
题型六：弦长、面积问题
题型七：中点弦问题
题型八：定点定值问题
题型九：最值问题
【知识点梳理】
知识点一、双曲线的简单几何性质
双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质
范围
，即
或
双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或．
对称性
对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．
②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．
③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长．
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．
②双曲线的焦点总在实轴上．
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．
②因为，所以双曲线的离心率．
由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．
③等轴双曲线，所以离心率．
渐近线
经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．
我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．
知识点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴 实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点三、双曲线的渐近线
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．
知识点四、双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．
双曲线，如图：
（1）实轴长，虚轴长，焦距，
（2）离心率：；
（3）顶点到焦点的距离：，；
（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来．
（5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系．
知识点五、直线与双曲线的位置关系判断
将双曲线方程与直线方程联立消去
得到关于的一元二次方程，
1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，
若，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切．
知识点六、弦长公式
若直线与双曲线（，）交于，两点，
则或（）．
【方法技巧与总结】
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【典型例题】
题型一：双曲线的简单几何性质
例1．（多选题）（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为 B．的标准方程为
C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点
【答案】AD
【解析】依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为，
所以两条渐近线的倾斜角分别为，所以，所以，
所以双曲线方程为，
所以离心率，渐近线方程为，焦点坐标为、，
显然直线过点；
故选：AD
例2．（多选题）（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考开学考试）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则
C．若是双曲线C的一个焦点，则
D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2
【答案】BC
【解析】由双曲线C：且，则实轴长为，A错；
由渐近线为，若相互垂直，则，B对；
由为焦点，则，则，C对；
若，则双曲线C：，故双曲线C上的点到焦点距离最小值为，D错.
故选：BC
例3．（多选题）（2023·广西贵港·高二统考期末）已知双曲线的右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．若以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为2
【答案】BD
【解析】如图所示，设双曲线的左顶点为，
因为以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，可得为等腰直角三角形，
又因为过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，可得，
所以，因为，所以，解得，
所以双曲线的离心率为，所以D正确；
由，可得双曲线的渐近线方程为，所以B正确．
故选：BD.
变式1．（多选题）（2023·高二课时练习）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线E的实轴长为24 B．双曲线E的焦距为26
C．双曲线E的渐近线的斜率为 D．双曲线E的渐近线的斜率为
【答案】BD
【解析】设双曲线E的焦距为，
因为，，所以，
所以双曲线E的实轴长，焦距，故A错误，B正确；
渐近线的斜率为，故C错误，D正确．
故选：BD
变式2．（多选题）（2023·新疆昌吉·高二统考期中）关于双曲线，下列说法正确的有（ ）
A．实轴长为4 B．焦点为
C．右焦点到一条渐近线的距离为4 D．离心率为
【答案】AC
【解析】由双曲线，可得，则，
所以双曲线的实轴长为，所以A正确；
焦点坐标为，所以B错误；
又由双曲线的右焦点为，其中一条渐近线的方程为，即，
所以到渐近线的距离为，所以C正确；
由双曲线的离心率的定义，可得双曲线的离心率为，所以D错误.
故选：AC.
变式3．（多选题）（2023·甘肃临夏·高二校考期末）双曲线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．离心率为 B．离心率为
C．渐近线方程为 D．渐近线方程为
【答案】AD
【解析】双曲线方程为，所以，
所以离心率，A选项正确，B选项错误.
渐近线方程为，D选项正确，C选项错误.
故选：AD
变式4．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，则（ ）
A．的焦距为 B．的虚轴长是实轴长的倍
C．双曲线与有相同的渐近线 D．点到的一条渐近线的距离为
【答案】BCD
【解析】双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，则半焦距，
对于，的焦距为，A错误；
对于B，的虚轴长，实轴长，则的虚轴长是实轴长的倍，B正确；
对于C，双曲线的渐近线方程为，的渐近线方程为， C正确；
对于D，由选项C知，点到直线的距离为，D正确；
故选：BCD
题型二：双曲线的渐近线
例4．（2023·陕西商洛·高二校考期末）如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．

【答案】
【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为，
因为最小直径为，可得，即，
又因为尊高，上口直径为，底部直径为，
设点，
所以且，解得，即，
可得双曲线的渐近线为，
所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为.
故答案为：.
例5．（2023·江西九江·高二九江外国语学校校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】3
【解析】的渐近线方程为，所以，
故答案为：3
例6．（2023·高二课时练习）已知双曲线 的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为 .
【答案】
【解析】由双曲线方程知，焦点在轴上，且，
又，则，，
所以双曲线的一条渐近线方程为，即：.
其中一个焦点为，
则焦点F到渐近线的距离.
故答案为：.
变式5．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】由可得，
由于关于原点对称，,关于原点对称，
所以四边形为矩形，故，
由于又，
所以，因此，
故，进而可得，
所以渐近线方程为：
故答案为：
变式6．（2023·浙江温州·高二校联考期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则a的值为 ．
【答案】4
【解析】由双曲线标准方程特征知，
双曲线的渐近线方程为，
由已知可得渐近线与直线垂直，
所以，
所以．
故答案为：.
变式7．（2023·江苏连云港·高二校考阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为 .
【答案】/
【解析】双曲线，则，
双曲线的一条渐近线方程为，
即，所以，所以，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
变式8．（2023·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）渐近线方程为且经过点的双曲线标准方程为 ．
【答案】
【解析】设渐近线方程为且经过点的双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，
所以，所求双曲线的方程为，其标准方程为.
故答案为：.
变式9．（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是 ．
【答案】
【解析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
可设双曲线C的方程为，又C过点，
所以，，
整理得双曲线C的标准方程是．
故答案为：
变式10．（2023·福建三明·高二校联考期中）若双曲线与双曲线：有相同的渐近线，且过点，则双曲线的标准方程是 .
【答案】
【解析】由双曲线：，则双曲线的渐近线方程为，
设双曲线，由双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得，
则双曲线，将代入上式，可得，解得，
即双曲线；
设双曲线，由双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得，
则双曲线，将代入上式，可得，解得，
不符合题意；
故答案为：.
题型三：求双曲线离心率的值
例7．（2023·江苏南通·高二校联考阶段练习）已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
根据题意可设，易知；
由余弦定理可知，可得；
即，
由双曲线定义可知可知，即；
所以离心率.
故选：A
例8．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设,，设的中点为，
由于，故,因此为直角三角形，故，
由于，所以，进而可得，
故或，由在双曲线渐近线上，
所以，
进而，
当时，,，
所以，
当时，,，所以不符合题意，舍去，
综上：故离心率为.
故选：A
例9．（2023·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）设是双曲线的左 右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线，可得，渐近线方程为，
如图所示，则焦点到渐近线的距离为，
在直角中，可得，
在中，由余弦定理得，
即，所以，
又由，所以，可得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线：的渐近线方程为.
设，联立方程组，解得.
因为，所以，即，可得.
又因为点在双曲线上，所以，
将代入，可得，
由，所以，所以，即，
化简得，则，所以双曲线的离心率为.
故选：B.
变式12．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知直线的方程为，令，得，所以．
又因为，不妨设，所以有，
解得，所以，将其代入双曲线方程，
化简得，解得或（舍去），
所以的离心率．
故选：D.
变式13．（2023·江苏连云港·高二统考期中）双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，设，则，
且，
而，
，，
所以.
故选：A
变式14．（2023·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线与圆切于点，则，
又，所以，
所以为的中点，而为中点，于是，有，
且，则，令双曲线焦距为，由，
得，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A
变式15．（2023·江西上饶·高二校考阶段练习）设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
连接、，设，
由对称性可知，为的中点，，
因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心，
故为的中点，
又因为，且、互相垂直且平分，
所以，四边形为正方形，则，所以，，
所以，该双曲线的离心率为.
故选：A.
变式16．（2023·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）双曲线：的右顶点为A，点A到直线距离为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得，，
且，所以.
又，所以，，
所以，.
故选：C.
变式17．（2023·全国·高二期中）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设双曲线的一个焦点为，渐近线为，
则过点且与直线垂直的直线方程为，
令，则，
则，所以，
所以此双曲线的离心率是.
故选：C.
变式18．（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，令且，，则，且①，
由，即②，
由，即，
又C在双曲线上，则③，
由①得：，代入③并整理得：，
由①②及得：，
所以，即，
显然，则.
故选：B
变式19．（2023·河南许昌·高二统考期末）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知延长则必过点,如图：
由双曲线的定义知，
又因为，所以，
因为，所以，
设，则，因此，
从而由得，所以，
则，，，
又因为，所以，
即，即，
故选：B.
题型四：求双曲线离心率的范围
例10．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考阶段练习）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆及双曲线定义得，所以，
因为，
由余弦定理得，
同时除以得，
因为，，，
所以，则，
故选：B.
例11．（2023·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，
令，得，
可设
由对称性，不妨设，可得，，
由题意知三点不共线，
所以∠ADB为钝角，
即为，
将代入化简得，
由，可得，
又，解得，则，
综上，离心率的取值范围为．
故选：D.
例12．（2023·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知双曲线：，是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，即，
则直线与直线的距离为
，
因为点是直线上任意一点，
且圆与双曲线的右支没有公共点，
所以，即，得离心率，
因为，所以双曲线的离心率的取值范围为，
故选：A.
变式20．（2023·浙江金华·高二校考阶段练习）已知二次曲线，则当时，该曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由当时，二次曲线为双曲线，双曲线即为，且，则，即有，故选C.
考点：1、双曲线的方程；2、双曲线的离心率.
变式21．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的中点为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为60°的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不妨设双曲线方程为，画出图象如下图所示，当直线与夹角为时，双曲线的渐近线与轴的夹角大于，当直线与夹角为时，双曲线的渐近线与轴的夹角大于，当夹角恰为时，符合题意，故，代入，求得.
考点：直线与双曲线的位置关系.
【思路点晴】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查特殊位置分析的方法.先画出圆锥曲线和直线的图象，先取特殊角，当直线与夹角为时，双曲线的渐近线与轴的夹角大于，此时存在唯一解.然后将角度变大到，此时恰好存在唯一解，符合题意，但当交点大于时，有两个解，不符合题意，由此求得渐近线斜率的取值范围，进而求得离心率的取值范围.
变式22．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆方程为，双曲线方程为，由椭圆和双曲线的几何性质可得，，依题意可知，，代入可得，.故，三角形两边的和大于第三边，故，，故故.
故选：B.
变式23．（2023·河南南阳·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上存在点，使得，则此双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选C.
考点：双曲线离心率
变式24．（2023·重庆·高二统考期中）已知双曲线的方程为，它的一个顶点到一条渐近线的距离为，已知（为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线对称性，不妨令双曲线的顶点为，渐近线为，
于是得，即，而，有，又，
因此有，解得，又，解得，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：B
变式25．（2023·江西吉安·高二阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线交于两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，双曲线的渐近线的方程为，准线方程为，
所以，，
又左焦点在以为直径的圆内，
所以，即，
所以，
所以，
所以，双曲线离心率的范围是.
故选：B．
题型五：直线与双曲线的位置关系
例13．（2023·全国·高二课堂例题）判断直线与双曲线是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标．
【解析】联立直线与双曲线的方程，可得方程组
消去y，可得，由此可解得．此时，．
因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为．
例14．（2023·全国·高二课堂例题）讨论直线与双曲线的公共点的个数．
【解析】联立直线和双曲线方程，消去y得．
整理得，
若，则方程①变为，无解，此时直线与双曲线无公共点．
事实上，此时直线为，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点．
若，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解，
原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点．
综上可知，时，无公共点；时，有一个公共点．
例15．（2023·全国·高二专题练习）讨论直线与双曲线的公共点的个数．
【解析】联立方程组，整理得，
当时，即时，具体为：当时，；当时，；此时直线与双曲线有一个交点；
当时，即时，可得，
由，即，可得且，此时直线与双曲线有两个交点；
由，即，可得，此时直线与双曲线只有一个交点；
由，即，可得或，此时直线与双曲线没有交点；
综上可得：
当时，直线与双曲线有两个公共点；
当或时，直线与双曲线有一个公共点；
当时，直线与双曲线没有公共点.
变式26．（2023·高二课时练习）已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点．
【解析】①当垂直于轴时，直线与双曲线相切，有一个公共点．
②当与轴不垂直时，设直线的方程为，
代入双曲线的方程中，有．
当，即或时，方程有一个解．
当时，，
令，可得；令，可得；令，可得．
综上所述，当直线的斜率或直线的斜率不存在时，
直线与双曲线有一个公共点；
当直线的斜率时，
直线与双曲线有两个公共点；
当直线的斜率时，直线与双曲线没有公共点．
变式27．（2023·高二课时练习）当取何值时，直线与双曲线相交？
【解析】由双曲线，可得，其渐近线方程为，
联立方程组，整理得，
若时，即，直线方程为，
此时直线与双曲线的渐近线平行，所以与双曲线只有一个交点；
若时，即，可得，
当时，即，解得且时，
此时直线与双曲线有两个交点；
当时，即，解得且时，
此时直线与双曲线相切，只有一个交点；
当时，即，解得或时，
此时直线与双曲线没有交点，
综上可得，实数的取值范围是.
变式28．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数．
【解析】由方程组，
消去，可得（*），
（i）当，即时，
方程（*）为，
此时直线与双曲线仅有一个交点．
（ii）当，即时，
，
①若，
即且时，直线与双曲线有两个交点．
②若，
即时，直线与双曲线只有一个交点．
③若，
即或时，直线与双曲线没有交点．
由以上讨论可知，当且时，直线与双曲线有两个交点；
当或时，直线与双曲线只有一个交点；
当或时，直线与双曲线没有交点．
题型六：弦长、面积问题
例16．（2023·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于两点，若，求的值．
【解析】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为，设焦点坐标为，
焦点到渐近线的距离，
又离心率，，解得：，
双曲线的方程为：.
（2）由得：，
则，解得：且，
设，则，，
，
即，解得：或，均满足且，
或.
例17．（2023·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求：
(1)线段的长；
(2)设点为右焦点，求的周长.
【解析】（1）由题意得直线AB的方程为,
代入双曲线方程可得,
设，则
即的长为
（2）由双曲线的定义得=，
则的周长为
=.
.
例18．（2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）已知双曲线的焦距为10，渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线与双曲线的两支分别交于、两点，且与直线交于点，求的值.
【解析】（1）由题可得，，解得，
所以的方程：
（2）由于双曲线的渐近线方程为，可设直线的方程为，且，，则
联立直线与双曲线，
所以，
则
.
变式29．（2023·全国·高二期中）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点．
(1)求直线的方程．
(2)求线段的长．
【解析】（1）设，
代入双曲线方程得，
两式相减得，即，
因为为的中点，所以，
所以，所以直线的斜率为
所以的方程为，即，
经验证符合题意，
所以直线的方程为；
（2）将代入中得，
故，
所以
.
变式30．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
【解析】（1）由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，
故直线方程为或
变式31．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求．
【解析】（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，
由题意得，
所以，①
又双曲线的一条渐近线为，
所以，②
又，③
联立上述式子解得，，
故所求方程为；
（2）设，，
联立，整理得，
由，
所以，，
即
变式32．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)求的面积.
【解析】（1）由且，则，
又点在双曲线上，则，
综上，，即双曲线的方程为.
（2）由（1）知：，而到轴距离为，
所以的面积为.
变式33．（2023·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知定点，动点.直线MA，MB的斜率之积为.
(1)求点的轨迹方程:
(2)直线与点的轨迹的交点为C，求的面积（ 为坐标原点）.
【解析】（1），
化简得，
所以动点的轨迹方程是．
（2）联立直线与曲线的方程，消元得，
解得或，由于，所以这组解舍去，故，
由于在轴上，所以
变式34．（2023·江苏·高二假期作业）在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点.
(1)求双曲线的方程;
(2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)求点的坐标,使得的面积最小.
【解析】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为.
（2）设,如图:
根据题意得:,令得,
因为点关于轴的对称点为,所以,
则,令得,
因为,平方可得,
因为,
则,
因为,所以,
则,即,
所以存在或满足条件;
（3）如图:
因为,
由（2）知,即,代入上式得:
,
当且仅当,即时等号成立,
此时,
所以的坐标是或或或时,的面积最小.
变式35．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过的直线交曲线于两点（均位于轴右侧），关于原点的对称点为，求的面积的取值范围.
【解析】（1）设点，
依题意有，
即，
化简得.
（2）设，，
由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，
整理可得，
则，.
由已知可得，，
所以，
所以.
又，
所以.
设，则，且，所以.
，
当时，该式有最小值，
所以的面积的取值范围是.
题型七：中点弦问题
例19．（2023·高二课时练习）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设该双曲线的标准方程为，
因为该双曲线的实轴长为，一条渐近线斜率为，则，解得，
因此，该双曲线的标准方程为.
（2）假定直线存在，设以为中点的弦的两端点为、，
则有，．
根据双曲线的对称性知．由点、在双曲线上，
得，，
两式相减得，
所以，所以，
即以为中点的弦所在直线的斜率，
故直线的方程为，即．
联立，消去得，
，
因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在．
例20．（2023·全国·高二课堂例题）求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程.
【解析】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为，且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为，，.
由得.
则，即，且，所以，即，，且，，
所以，.
由，即，，代入消去k得.
又，且，，故或.
故弦AB的中点的轨迹方程为（或）.
例21．（2023·全国·高二随堂练习）过点作直线与双曲线相交于B，C两点，且A为线段BC的中点，求这条直线的方程.
【解析】若过点的直线的斜率不存在时，若点为的中点，则点必在轴上，这与矛盾，
当过点的直线的斜率存在时，设该直线方程为，，，
联立方程，消去可得，
，
当时，，
整理为恒成立，
有，，
因为点是的中点，所以，得，成立，
所以所求直线方程为，即.
变式36．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．
【解析】（1）由中垂线性质知，
所以
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线
设此双曲线方程为，则
所以点的轨迹方程为．
（2）设可得
两式相减得
由题意，所以
直线方程为，
由，得
∵．∴不存在这样的直线．
变式37．（2023·宁夏银川·高二校考阶段练习）过双曲线的弦，且为弦的中点，求直线的方程.
【解析】设，，因为为弦的中点，所以，，
因为直线与双曲线的相交于，两点，
所以，两式相减得，
即
所以，
故直线的方程为，
即.
经验证该直线与双曲线相交.
变式38．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程.
【解析】（1）∵椭圆的焦点为， ∴
∵一条准线方程为，，解得，∴，
∴双曲线的方程为．
（2）设弦的两端分别为，．则有：
．
弦中点为，．
故直线的斜率．
则所求直线方程为：．
变式39．（2023·上海·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程，原点到过、点的直线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)过点能否作直线，使与已知双曲线交于两点、，且是线段的中点？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为直线过、两点，所以方程为，
因为原点到直线的距离为，所以，
因为双曲线的一条渐近线方程，
所以，解得，，
所以双曲线方程为；
（2）假设直线存在，设是线段的中点，且，，
则，，
因为、在双曲线上，
则，两式相减整理得，
所以，所以，
所以直线的方程为，即，
联立，消得，
因为，
所以直线与双曲线无交点，所以直线不存在．
题型八：定点定值问题
例22．（2023·高二课时练习）已知双曲线的离心率为2，过点、斜率为1的直线与双曲线交于、两点且，.
（1）求双曲线方程．
（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由双曲线离心率为2知，.
于是，双曲线方程可化为.
又直线，与双曲线方程联立得
①
设点，.则
，. ②
因为，所以，
.故.
结合，解得，.
代入式②得
又
，
从而，.
此时，，代入式①并整理得
.
显然，该方程有两个不同的实根.
因此，符合要求.故双曲线的方程为
（2）假设点存在.由（1）知双曲线右焦点为.
设为双曲线右支上一点.
当时，，.
因为，所以，.
将代入上式并整理得
.
当时，，而时，，符合.
所以，满足条件的点存在.
例23．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.
【解析】（1）由题意，设右焦点的坐标为，
双曲线的渐近线方程为：，
右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，
又因为，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）当直线的斜率不为0时，设，则
联立方程组，得
整理得：.
，且
，,
，令得，
，
直线过定点.
当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点.
综上：直线过定点.
例24．（2023·高二单元测试）动圆与圆相内切，且恒过点.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，证明：存在两定点、，使得为定值，求出、的坐标.
【解析】（1）设圆的半径为.
因为圆过点，且与圆相内切，所以，
所以，即：，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，所以，，
所以曲线的方程为.
（2）证明：设，，，，，，，，
则，，，，，
消去，，得，
所以点在双曲线上，
因为的两个焦点为，，实轴长为，
所以存在两定点，，使得为定值.
变式40．（2023·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点在双曲线上．
(1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；
(2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
【解析】（1）因为点在双曲线上，
所以，解得，
所以双曲线，则．
设点坐标为，则，
所以．
因为点在曲线上，
所以，
所以，
所以的值为．
（2）证明：依题意，直线的斜率存在，
故设其方程为，设，
联立，消得，
显然，否则不可能有两个交点，
，
由韦达定理得，
因为直线的斜率之积为，
所以，
所以，
即，
所以有，
将韦达定理代入化简得，
而当，此时直线为，
易知恒过定点，故舍去，
所以，此时满足且直线过定点，（如图所示）
又因为为垂足，所以为直角三角形，为直角，
所以当点为斜边的中点时，为定值．
综上所述，存在定点，使得为定值．
变式41．（2023·陕西·高二统考期中）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于，），直线，分别与直线交于，两点．
(1)求双曲线的方程．
(2)证明为定值．
【解析】（1）依题意可设双曲线方程为：，
则，
解得，
∴所求双曲线方程为；
（2）由题可得、、，
设，，则，，
∵、、三点共线，
∴，
∴，即，
同理得，
所以，，
则，
∵，
∴，
∴，
即（定值）．
变式42．（2023·湖北武汉·高二统考期中）已知的两个顶点，的坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于．
（1）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种曲线；
（2）当时，点为曲线上点，且点为第一象限点，过点作两条直线与曲线交于，两点，直线，斜率互为相反数，则直线斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．
【解析】（1）令点坐标为，则直线的斜率，直线的斜率，
因为两直线的斜率之积为，所以有，化简得到，
所以当时，轨迹表示以为圆心，为半径的圆，且除去，两点；
当时，轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去，两点；
当时，轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去，两点；
当时，轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去，两点；
（2）由题意曲线为，点，
设，，，，令直线，
联立椭圆方程，得，
则，，
同理，，
．
故直线斜率为定值
变式43．（2023·江西萍乡·高二萍乡中学校联考阶段练习）已知双曲线过点和点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
【解析】（1）将点和点的坐标代入，
得，解得
所以双曲线的离心率．
（2）依题意可得直线的斜率存在，设：．
联立得，
设，，则，，
所以．
，直线：．设，．
联立得，
则且，
则
，
所以，所以为定值，定值为．
变式44．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.
①为定值；
②为定值；
③为定值
【解析】（1）设是上的一点，与是的两条渐近线，
到两条渐近线的距离之积，
依题意，，故，双曲线的标准方程为；
（2）正确结论：③为定值.
证明如下：由（1）知，，设，，
因为，不与，重合，所以可设直线：，
与联立：，消去整理可得：
故，，，
所以，
，，
①，
，不是定值，
②，
，不是定值，
③，
所以是定值.
题型九：最值问题
例25．（2023·湖南岳阳·高二岳阳一中校考期末）已知双曲线，为坐标原点，离心率，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，且.求的最小值.
【解析】（1）由，可得，∴，∴双曲线方程为，
∵点在双曲线上，∴，解得，
∴双曲线的方程为.
（2）设，，
直线的方程为，，，直线的方程为，易知k不为0
化简得，，，，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立．
的最小值为．
例26．（2023·上海·高二专题练习）已知曲线，焦距长为，右顶点A的横坐标为1．上有一动点，和关于轴对称，直线记为，直线为，而且，与轴的交点分别为，．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知以线段为直径的圆过点，且为轴上一点，求的坐标；
(3)记S为三角形的面积，当S取最小值时．求此时点的坐标．
【解析】（1）因为焦距长为，即，
且右顶点A的横坐标为1，则，
所以，
所以双曲线的方程为；
（2）已知，由于和关于轴对称，可知，，则，
直线，令，可得，则，
直线，令，可得，则，
所以，则以线段为直径的圆的半径为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
令，得，
又，
所以，即；
（3）因为，
当且仅当时，取得最小值，
此时M的坐标是或或或.
例27．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值．
【解析】（1）由双曲线E的离心率为2，得 ①．
因为双曲线E过点，所以 ②．
又③，
联立①②③式，解得，．
故双曲线E的标准方程为．
（2）由双曲线的对称性，知四边形ABCD为平行四边形，所以．
由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为．
联立消去x，得．
，设，，则，．
因为A，D均在双曲线右支，所以
所以解得．
所以，
．
令，则．
所以．
令函数，易得在区间上单调递减，
所以当时，．
所以四边形ABCD面积的最小值为24．
变式45．（2023·高二课时练习）已知动点P与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若已知点，点M、N在动点P的轨迹上且，求实数的取值范围．
【解析】（1）双曲线的焦距为，
由题意知，动点P的轨迹为以、为焦点的椭圆，
设椭圆的半焦距为，由已知得．
设．
由余弦定理得，
又，
当且仅当时，取得最大值，
此时取得最小值．
则得，又，
∴，故所求P点的轨迹方程为．
（2）设．由得，∴
∵点M、N在上，
∴消去s得或．
∵，∴，解得．
变式46．（2023·福建厦门·高二厦门大学附属科技中学校考期中）已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点，的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于B点，的延长线与椭圆交于C点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c
因为双曲线的离心率为，
所以椭圆的离心率为，即．
由题意，得．解得
于是，．
故椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，．
由消去并整理，得，
所以，，
，
，
点到直线的距离．
因为是线段的中点，所以点到直线的距离为．
．
令，则．
，
当且仅当，即，亦即时，面积的最大值为．
此时直线的方程为．
变式47．（2023·四川宜宾·高二校考期末）如图，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆过点，若直线与直线平行且与椭圆相交于点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求三角形面积的最大值.
【解析】（1）由题意得，
解得，
∴椭圆的标准方程为.
（2）∵，直线与直线平行，
∴设直线方程为
代入得：
∴当，即时，
设，则,
∴，
∴
（当且仅当时，取等号）
∴的最大值为.
变式48．（2023·江西宜春·高二校联考期末）在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线共焦点，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过定点作一条动直线与椭圆相交于为坐标原点，求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.
【解析】（1）双曲线的焦点为，即，将代入椭圆的标准方程，由此解得；（2）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式和三角形面积公式写出面积的表达式，利用换元法求得面积最大值和直线的方程.
试题解析：
（1）可解得双曲线焦点坐标为,设方程为
可得到： , 解得 所以椭圆的方程为
（2）设直线AB方程为 则
得到
解得:
则
令,则

当且仅当时取得等号,即时，此时面积最大值为
此时直线方程为.
变式49．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点．
(1)求双曲线方程．
(2)过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值．
【解析】（1）双曲线渐近线方程为，又，所以，
双曲线的标准方程为.
（2）设，两渐近线方程为，
则
又，即，所以为定值．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）已知直线在直角坐标系中的位置如图所示，则方程表示（ ）

A．焦点在轴上的双曲线 B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆
【答案】B
【解析】将直线的方程化为，可知，即，
将方程化为，由可得，
故方程表示焦点在轴上的双曲线.
故选：B
2．（2023·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
【答案】C
【解析】是双曲线上一点，所以，所以，
由双曲线定义可知，
所以或者，又，所以，
故选：C
3．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方程可化为：，
由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得，
解得.
故选：C.
4．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】由，得解得．
因为是双曲线左支上的动点，
所以.
由双曲线的定义可知．
故选：A.
5．（2023·陕西渭南·高二白水县白水中学校考阶段练习）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A． B． C．或 D．不确定
【答案】C
【解析】设双曲线的左、右焦点为，则；
则，
由双曲线定义可得，即，
所以或，由于，
故点到它的左焦点的距离是或，
故选：C
6．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，
由双曲线的定义得 ，而 ，
解得 ，
由余弦定理得
所以 .
故选：A.
7．（2023·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】D
【解析】，即圆，故，，
因为平行与，，所以，故，
故点的轨迹为双曲线.
故选：D
8．（2023·安徽滁州·高二校考期末）双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得，
，又，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立.
所以，的周长为，
当且仅当A，P，F三点共线时，的周长取得最小值，即，解得．
故选：D．
二、多选题
9．（2023·江苏南通·高二校联考阶段练习）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ）
A．若曲线为双曲线，则或
B．若曲线为椭圆，则
C．曲线可能是圆
D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
【答案】ACD
【解析】对于A，方程表示双曲线，则，解得或，故A正确；
对于B，方程表示椭圆，则，解得且，故B错误；
对于C，当时，方程表示圆，故C正确；
对于D，方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D正确；
故选：ACD
10．（2023·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（ ）
A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1
C．取值范围是 D．
【答案】ACD
【解析】设，又，，，即，又是双曲线上一点，
∴，即，故A正确；
∵G的轨迹是双曲线的一部分，实半轴长为，∴，故B错误；
根据内角平分线定理可知，，
又，∴，故C正确；
同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，，
∴，故D正确.
故选：ACD.
11．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（ ）
A．P的纵坐标为 B．
C．的周长为 D．的面积为4
【答案】ABD
【解析】依题意，
因为，所以.
由双曲线的定义可得①，两边平方得，
即，解得，
故的面积为，D正确.
设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确.
，解得②，
的周长为，C错误.
①＋②可得，B正确.
故选：ABD
12．（2023·全国·高二专题练习）双曲线的方程为，左、右焦点分别为，过点作直线与双曲线的右半支交于点，，使得，则（ ）
A． B．点的横坐标为
C．直线的斜率为或 D．的内切圆半径是
【答案】BCD
【解析】如图所示，由题意知，解得，故A不正确；
在中，由等面积法知，解得，
代入双曲线方程得，又因为点在双曲右支上，故，故B正确；
由图知，，
由对称性可知，若点在第四象限，则，故C正确；
的内切圆半径
，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .

【答案】
【解析】圆：，圆心，半径，
圆：，圆心，半径.
设动圆M的半径为R，则有，，
∴，
∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，于是.
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故答案为：.
14．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，.以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A，双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则直线的斜率为 .
【答案】
【解析】,,
又一条渐近线的倾斜角为，所以，结合，
可解的
所以双曲线的方程为①，
又线段为直径的圆的方程为②，
联立①②，结合点在第一象限，可得,
又,则
故答案为：.
15．（2023·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为 ．

【答案】
【解析】设所求双曲线方程为：，
如图，因为，易知，
又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分点，所以在双曲线上，得到，整理得到，
故所求曲线方程为.
故答案为：.
16．（2023·全国·高二专题练习）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 .
【答案】/
【解析】
不妨将点置于第一象限. 设是双曲线的右焦点，连接. 分别为的中点，故.
又由双曲线定义得，
故.
故答案为：
四、解答题
17．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）设为实数，已知双曲线与椭圆有相同的焦点．
(1)求的值；
(2)若点在上，且，求的面积．
【解析】（1）根据题意，显然，且双曲线的焦点在轴上，
故，即，，
解得或，又，故；
（2）由（1）可得双曲线方程为：，
设其左右焦点分别为，故可得；
根据双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的左支上，
设，
由双曲线定义可得：，即；
又三角形为直角三角形，则，
即，即，；
故△的面积.
18．（2023·全国·高二随堂练习）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？

【解析】设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
设第组对应直线与的交点为，且点在第一象限，
则，，，，
直线的方程为，①
直线的方程为，②
点坐标满足方程①②，
①②相乘得，即（点在第一象限），
所以点在双曲线的右支上半部分上运动.
.
19．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离.
【解析】
由题可得，，
所以,
设，则，解得,
由于对称性，不妨取，所以
根据双曲线的定义可得，，解得，
设到直线的距离为，
在直角三角形中，，
所以.
20．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在轴上，，经过点；
(2)经过、两点．
(3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.
【解析】（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，
可设双曲线的标准方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
（2）设双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线方程可得，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
（3）由题意知，椭圆的焦点坐标为，
所以可设双曲线标准方程为，其中，
代入点可得，联立解得；
所以双曲线标准方程为.
21．（2023·福建泉州·高二校考期中）已知圆： ，圆： ，圆，圆．
(1)若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程．
【解析】（1）设动圆的半径为，
∵动圆与圆内切，与圆外切，
∴，且.
于是，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.
从而，
所以.
故动圆圆心的轨迹的方程为．
（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
因为，则圆与圆外离，
设圆的半径为，由题意可得，所以，，
所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支，
设圆心的轨迹方程为，
由题意可得，则，，
因此，圆心的轨迹方程为.

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