资源简介

3．3．1 抛物线及其标准方程
【题型归纳目录】
题型一：抛物线的定义
题型二：抛物线的标准方程
题型三：轨迹方程—抛物线
题型四：抛物线距离和与差的最值问题
题型五：抛物线的实际应用
【知识点梳理】
知识点一、抛物线的定义
定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
知识点诠释：
（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值
（2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线．
（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．
知识点二、抛物线的标准方程
标准方程的推导
如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系．
设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为．
设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合
，
将上式两边平方并化简，得．①
方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是．
抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
，，，．
知识点诠释：
①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；
②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是．
一般情况归纳：
方程 图象的开口方向 焦点 准线
时开口向右
时开口向左
时开口向上
时开口向下
④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．
⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．
【典型例题】
题型一：抛物线的定义
例1．（2023·全国·高二专题练习）抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．0
例2．（2023·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
例3．（2023·全国·高二专题练习）抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
变式1．（2023·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
变式2．（2023·全国·高二专题练习）若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
变式3．（2023·高二课时练习）有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图中所示的方法进行折叠，使折叠后的点B落在边AD上，此时将B记为B′（注：图中EF为折痕，点F也可能落在边CD上）．过点B′ 作B′T∥CD交EF于点T，则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分（　　）

A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
变式4．（2023·全国·高二专题练习）动点满足方程，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
题型二：抛物线的标准方程
例4．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 .
例5．（2023·高二课时练习）已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点，则该抛物线的标准方程为 ．
例6．（2023·高二课时练习）设抛物线（）的准线与直线的距离为3，则抛物线的标准方程为 ．
变式5．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 .
变式6．（2023·全国·高二专题练习）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 .
变式7．（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为；
(2)顶点在原点，且过点；
(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；
(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.
变式8．（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为；
(2)准线方程为：；
(3)焦点到准线的距离为6.
题型三：轨迹方程—抛物线
例7．（2023·云南楚雄·高二校考阶段练习）若点到点的距离比它到定直线的距离小1，则点满足的方程为
例8．（2023·吉林辽源·高二辽源市第五中学校校考期末）若点满足方程，则点P的轨迹是 .（填圆锥曲线的类型，填方程不给分）
例9．（2023·高二课时练习）若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是 ．
变式9．（2023·高二课时练习）若点满足方程，则点P的轨迹是 ．
变式10．（2023·四川·高二双流中学校考开学考试）已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为 .
变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ．
变式12．（2023·高二单元测试）已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为 ．
题型四：抛物线距离和与差的最值问题
例10．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线上有一动点，则与点距离的最小值为 ．
例11．（2023·陕西渭南·高二统考期末）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 .
例12．（2023·全国·高二假期作业）已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为 .
变式13．（2023·全国·高二假期作业）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ．
变式14．（2023·全国·高二假期作业）已知点P到直线与到点的距离相等，点Q在圆上，则的最小值为 .
变式15．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为 .
变式16．（2023·全国·高二专题练习）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为 ．
变式17．（2023·西藏日喀则·高二统考期末）若点的坐标为，F为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使最小，点的坐标应为 ．
变式18．（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为
变式19．（2023·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知点P为抛物线C：上的动点，直线l：，点为圆M：上的动点，设点P到直线l的距离为d，则的最小值为 ．
变式20．（2023·贵州贵阳·高二统考期末）已知抛物线的准线是直线，为上一点，，垂足为，点的坐标是，则的最小值为 .
变式21．（2023·江西宜春·高二江西省铜鼓中学校考开学考试）已知抛物线，圆，点，若分别是，上的动点，则的最小值为 .
变式22．（2023·全国·高二专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 .
题型五：抛物线的实际应用
例13．（2023·全国·高二专题练习）距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（ ）

A．1米 B．2米 C．4米 D．8米
例14．（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A． B． C． D．
例15．（2023·全国·高二专题练习）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
变式23．（2023·全国·高二专题练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式24．（2023·全国·高二专题练习）探照灯 汽车前灯的反光曲面 手电筒的反光镜面 太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯 汽车前灯 手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式25．（2023·全国·高二专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（ ）
A．18米 B．21米 C．24米 D．27米
变式26．（2023·全国·高二专题练习）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
变式27．（2023·福建莆田·高二莆田一中校考期中）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A． B． C． D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高二期中）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2023·河南周口·高二统考期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·高二课时练习）设抛物线上一点到轴的距离是，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．8 B．6
C．4 D．2
6．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线FE的倾斜角为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2023·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高二期中）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
二、多选题
9．（2023·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列各选项正确的是（ ）
A． B．以MF为直径的圆与轴相切
C． D．
10．（2023·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·高二课时练习）（多选）设斜率为2的直线l过抛物线的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·高二课时练习）（多选）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2023·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ．
14．（2023·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为 .
15．（2023·全国·高二专题练习）已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程 ．
16．（2023·高二课时练习）已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 .
四、解答题
17．（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为；
(2)顶点在原点，且过点；
(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；
(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.
18．（2023·全国·高二随堂练习）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.

(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.
19．（2023·全国·高二课堂例题）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.

(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？
(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.
20．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练面上一点P满足：P点到的距离比P点到y轴的距离大2，且点P不在一条射线上，记点P的轨迹方程为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点Q为y轴左侧一点，曲线C上存在两点A，B，使得线段，的中点均在曲线C上，设线段的中点为M，证明：垂直于y轴.
21．（2023·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且.
(1)求的值；
(2)若直线与交于两点，与交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
22．（2023·河北邯郸·高二校考阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为k（）的直线l与C交于A，B两点，．
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．3．3．1 抛物线及其标准方程
【题型归纳目录】
题型一：抛物线的定义
题型二：抛物线的标准方程
题型三：轨迹方程—抛物线
题型四：抛物线距离和与差的最值问题
题型五：抛物线的实际应用
【知识点梳理】
知识点一、抛物线的定义
定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
知识点诠释：
（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值
（2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线．
（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．
知识点二、抛物线的标准方程
标准方程的推导
如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系．
设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为．
设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合
，
将上式两边平方并化简，得．①
方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是．
抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
，，，．
知识点诠释：
①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；
②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是．
一般情况归纳：
方程 图象的开口方向 焦点 准线
时开口向右
时开口向左
时开口向上
时开口向下
④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．
⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．
【典型例题】
题型一：抛物线的定义
例1．（2023·全国·高二专题练习）抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】设，
由抛物线方程化为，
得焦点，准线，
由抛物线定义可得，解得，
故选：B.
例2．（2023·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】
由抛物线上点到焦点的距离为，则点到抛物线的准线的距离为，
由抛物线，则其准线为直线，
所以，解得.
故选：B.
例3．（2023·全国·高二专题练习）抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为抛物线：过点，所以，故抛物线：，
所以的焦点到准线的距离为.
故选：B.
变式1．（2023·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】由抛物线的准线方程为，焦点，
因为抛物线上一点的纵坐标为2，
根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为.
故选：B.
变式2．（2023·全国·高二专题练习）若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】设点，，
，
或（舍去），
，
到抛物线的准线的距离，
点到该抛物线焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离，
点到该抛物线焦点的距离为．
故选：C.
变式3．（2023·高二课时练习）有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图中所示的方法进行折叠，使折叠后的点B落在边AD上，此时将B记为B′（注：图中EF为折痕，点F也可能落在边CD上）．过点B′ 作B′T∥CD交EF于点T，则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分（　　）

A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】B
【解析】
由于B′T∥CD，故B′T⊥AD，连接TB，由折叠关系，知|B′T|＝|TB|，即动点T到直线AD 的距离等于到定点B的距离．由抛物线的定义，知动点T的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线在矩形ABCD内的部分．
故选：B．
变式4．（2023·全国·高二专题练习）动点满足方程，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解析】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.
故选：D.
题型二：抛物线的标准方程
例4．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 .
【答案】
【解析】由已知可设抛物线的标准方程为，
，所以.
所以，抛物线的标准方程为.
故答案为：.
例5．（2023·高二课时练习）已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点，则该抛物线的标准方程为 ．
【答案】或
【解析】设抛物线方程为，或.将代入，分别得方程为或.
故答案为：或.
例6．（2023·高二课时练习）设抛物线（）的准线与直线的距离为3，则抛物线的标准方程为 ．
【答案】或
【解析】可化为，
其准线方程为.
由题意知或，解得或，
故所求抛物线的标准方程为或.
故答案为：或
变式5．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 .
【答案】
【解析】若抛物线的准线方程为，则抛物线开口向下，
设抛物线方程为，则，故
所以抛物线方程为.
故答案为：.
变式6．（2023·全国·高二专题练习）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 .
【答案】
【解析】设方程为，则有，
解得，即有.
故答案为：.
变式7．（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为；
(2)顶点在原点，且过点；
(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；
(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.
【解析】（1）由题意顶点在原点，准线方程为，
可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，
故抛物线标准方程为；
（2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，
则设抛物线标准方程为或，
分别将代入，求得，
故抛物线标准方程为或；
（3）由于直线与x轴的交点为，
由题意可知抛物线焦点为，则，
故抛物线标准方程为；
（4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，
则设抛物线方程为，焦点为，准线为，
故，
故抛物线标准方程为.
变式8．（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为；
(2)准线方程为：；
(3)焦点到准线的距离为6.
【解析】（1）因为焦点为，故抛物线焦准距为，
则抛物线标准方程为；
（2）抛物线准线方程为：，则，
焦点在y轴正半轴上，则抛物线标准方程为；
（3）焦点到准线的距离为6，即，
焦点位置不确定，
故抛物线标准方程为或或或.
题型三：轨迹方程—抛物线
例7．（2023·云南楚雄·高二校考阶段练习）若点到点的距离比它到定直线的距离小1，则点满足的方程为
【答案】
【解析】点到点的距离比它到直线的距离少1，
所以点到点的距离与到直线的距离相等，
所以其轨迹为抛物线，焦点为，准线为，
所以方程为，
故答案为：．
例8．（2023·吉林辽源·高二辽源市第五中学校校考期末）若点满足方程，则点P的轨迹是 .（填圆锥曲线的类型，填方程不给分）
【答案】抛物线
【解析】由，得，
所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，即点到点的距离与到直线的距离相等，
又因为点不在直线上，由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.
故答案为：抛物线.
例9．（2023·高二课时练习）若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是 ．
【答案】
【解析】双曲线的左焦点为F（－2，0），动圆M经过F且与直线x＝2相切，
则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，
由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F，准线为x＝2的抛物线，
其方程为．
故答案为：.
变式9．（2023·高二课时练习）若点满足方程，则点P的轨迹是 ．
【答案】抛物线
【解析】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离.
整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，
其轨迹为抛物线.
故答案为：抛物线
变式10．（2023·四川·高二双流中学校考开学考试）已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】方法一：由题意知，设，
则，
，
解得.
方法二：由题意知，动点M到的距离比到的距离多1，
则动点M到的距离与到的距离相等，
根据抛物线的定义，为准线，为焦点，
设抛物线为，，，
故.
故答案为：.
变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，
所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为．
故答案为：
变式12．（2023·高二单元测试）已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为 ．
【答案】，（注：也算对）
【解析】由题意，若时，问题等价于，
则，化简得，
若，也满足题意.
所以动点的轨迹方程为，.
或者根据题意有，则，化简整理得：.
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：，（注：也算对）
题型四：抛物线距离和与差的最值问题
例10．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线上有一动点，则与点距离的最小值为 ．
【答案】
【解析】设，
则，
当时，取得最小值12，
故．
例11．（2023·陕西渭南·高二统考期末）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 .
【答案】5
【解析】抛物线，所以焦点为，准线方程为，
当时，所以，因为，所以点在抛物线内部，
如图，
过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，
由抛物线的定义，可知，
故．
即当、、三点共线时，距离之和最小值为．
故答案为：．
例12．（2023·全国·高二假期作业）已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为 .
【答案】5
【解析】抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义可知，的最小值是到准线的距离，
即的最小值为.
故答案为：
变式13．（2023·全国·高二假期作业）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ．
【答案】2
【解析】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知,
所以,要使最小，只需要最小即可，
由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为，
故答案为：2
变式14．（2023·全国·高二假期作业）已知点P到直线与到点的距离相等，点Q在圆上，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】设，因为点P到直线与到点的距离相等，
所以P点轨迹是以为焦点的抛物线，即；
设圆的圆心为M，则，
，
当且仅当时等号成立，所以，
即，
故答案为：3.
变式15．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为 .
【答案】/2.5
【解析】抛物线，即，其焦点为，抛物线的准线为，
圆变形为，
则圆心为抛物线的焦点，半径为.
点为抛物线上任意一点，当三点共线，取最小值时，最小值为.
如图，过点作于点，由抛物线定义可知，
所以取最小值时，即取最小值，
，
当三点共线，当时，等号成立.
.
则的最小值为.
故答案为：.
变式16．（2023·全国·高二专题练习）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
延长交准线于点，如图所示．
根据抛物线的定义知，，
所以，
当且仅当点为线段与抛物线的交点时，等号成立．
故答案为：.
变式17．（2023·西藏日喀则·高二统考期末）若点的坐标为，F为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使最小，点的坐标应为 ．
【答案】
【解析】由以及抛物线可知，点在抛物线内部，如下图所示：
抛物线的焦点坐标，准线方程为；
作垂直于准线，垂足为，
由抛物线定义可得，则，
当且仅当三点共线时，取最小值，
此时三点纵坐标相同，所以点的纵坐标为，
代入抛物线方程可得.
故答案为：
变式18．（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线为，
过点作，垂足为点，如下图所示：
由抛物线的定义，可得，则，
当、、三点共线，即当时，取最小值，
此时直线的方程为，联立，解得，即点.
因此，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为.
故答案为：.
变式19．（2023·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知点P为抛物线C：上的动点，直线l：，点为圆M：上的动点，设点P到直线l的距离为d，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】由题意可得：抛物线的焦点为，准线为直线l：，
圆M：的圆心，半径，
由抛物线的定义知，，则，
当P，F，M三点共线时，取最小值为．
故答案为：.
变式20．（2023·贵州贵阳·高二统考期末）已知抛物线的准线是直线，为上一点，，垂足为，点的坐标是，则的最小值为 .
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线为，如图所示：
由抛物线的定义可得，所以，，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
变式21．（2023·江西宜春·高二江西省铜鼓中学校考开学考试）已知抛物线，圆，点，若分别是，上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由抛物线得焦点，准线为，
由圆，得，
所以圆是以为圆心，以为半径的圆，
所以，
所以当取得最小值时，取得最小值，
又根据抛物线的定义得等于点到准线的距离，
所以过点作准线的垂线，垂足为，且与抛物线相交，当点为此交点时，取得最小值，最小值为，
所以此时，
所以的最小值为.
故答案为：.
变式22．（2023·全国·高二专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 .
【答案】/
【解析】
抛物线的准线方程为，
过点作垂直准线于点，
显然，当平行于轴时，
取得最小值，此时，
此时
故答案为:.
题型五：抛物线的实际应用
例13．（2023·全国·高二专题练习）距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（ ）

A．1米 B．2米 C．4米 D．8米
【答案】B
【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，
将代入可得，
所以焦点到准线的距离为，即为2，
故选：B
例14．（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．
设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得，
解得，则，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，
则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得．
故选：C
例15．（2023·全国·高二专题练习）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，
可设拱桥所在抛物线的方程为，
又抛物线过点，则，解得，
则抛物线的方程为，当时，，
故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米.
故选：D
变式23．（2023·全国·高二专题练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得的坐标为．
设抛物线的标准方程为，则，解得．
故该抛物线的焦点到准线的距离为．
故选：C
变式24．（2023·全国·高二专题练习）探照灯 汽车前灯的反光曲面 手电筒的反光镜面 太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯 汽车前灯 手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，
由题意可得.
设抛物线的标准方程为，于是，解得.
所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为.
故选：B.
变式25．（2023·全国·高二专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（ ）
A．18米 B．21米 C．24米 D．27米
【答案】C
【解析】依题意知，抛物线，即，
因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，
所以抛物线方程为，
令，则，解得，
所以校门位于地面宽度最大约为米.
故选：C.
变式26．（2023·全国·高二专题练习）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，
则设抛物线的方程为，
由题可得抛物线上一点，代入抛物线方程可得，所以，
即抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故顶点到焦点的距离为.
故选：A.
变式27．（2023·福建莆田·高二莆田一中校考期中）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为：，，
，代入抛物线方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化为：，
解得或（舍）
.
故选：C.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为抛物线的焦点为，准线为，
由题意可知：焦准距，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：C.
2．（2023·全国·高二期中）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】如下图所示：
根据题意可得抛物线的准线方程为，
若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为，
利用抛物线定义可知.
故选：A
3．（2023·河南周口·高二统考期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由抛物线可知其焦点为，准线方程为
记抛物线的焦点为，
所以，
当且仅当点在线段上时等号成立，
所以的最小值为3．
故选：A．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．
故选：C．
5．（2023·高二课时练习）设抛物线上一点到轴的距离是，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．8 B．6
C．4 D．2
【答案】A
【解析】∵抛物线的方程为，
∴其准线的方程为，
设点到其准线的距离为，则，
即，
∵点到轴的距离是，∴，
∴.
故选：A
6．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线FE的倾斜角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】如图所示，易知，
所以，
故,
又由抛物线定义可知，
故直线的倾斜角为.
故选：B.
7．（2023·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点A在准线上的射影为D，如图，
则根据抛物线的定义可知，
求的最小值，即求的最小值，
显然当D，B，A三点共线时最小，
此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知.
故选：B.
8．（2023·全国·高二期中）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】抛物线的焦点，准线，
，则，不妨设，
关于直线的对称点为，
由于，所以当三点共线时最小，
所以的最小值为.
故选：A
二、多选题
9．（2023·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列各选项正确的是（ ）
A． B．以MF为直径的圆与轴相切
C． D．
【答案】ABD
【解析】对A：由题意可知，由，可得，故A正确；
对B：∵的中点的横坐标为，则到轴的距离
∴以为直径的圆与轴相切，故B正确；
对C：当时，，解得，即
则，故C错误；
对D：，故D正确；
故选：ABD．
10．（2023·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】抛物线C：的焦点，准线为，
设准线与轴交于点，
∵，由与△相似得：，
∵，∴，即，故A错误；
由抛物线定义得，∴，
即，，故BC正确，D错误．
故选：BC．
11．（2023·高二课时练习）（多选）设斜率为2的直线l过抛物线的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】抛物线焦点坐标为，直线l的方程为.
令，得，故的面积为，
故.
故选：BD.
12．（2023·高二课时练习）（多选）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】抛物线的标准方程为，
当时，开口向上，准线方程为，
则点M到准线的距离为，解得.
因此，抛物线方程为，即.
当时，开口向下，准线方程为，
则点M到准线的距离为，
解得.
因此，抛物线方程为，即.
故选：BD.
三、填空题
13．（2023·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】将化为，
动点到点的距离比它到直线的距离大1，
则动点到点的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线，
该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右，
设，
所以，解得，
所以抛物线方程为，
故答案为：.
14．（2023·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】如图所示：
抛物线的焦点，准线，
圆的圆心为，半径，
过点作垂直准线，垂直为点，
由抛物线的定义可知，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立,
综上所述：的最小值为4.
故答案为：4.
15．（2023·全国·高二专题练习）已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程 ．
【答案】
【解析】设动点的坐标，点P坐标，，
因为，所以，，
可得，，
代入，得，整理得，
所以动点Q的轨迹方程为．
故答案为：
16．（2023·高二课时练习）已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 .
【答案】
【解析】由题意知，设，，的横坐标分别为，，，
由，得，所以，
由抛物线的定义得.
故答案为：
四、解答题
17．（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为；
(2)顶点在原点，且过点；
(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；
(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.
【解析】（1）由题意顶点在原点，准线方程为，
可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，
故抛物线标准方程为；
（2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，
则设抛物线标准方程为或，
分别将代入，求得，
故抛物线标准方程为或；
（3）由于直线与x轴的交点为，
由题意可知抛物线焦点为，则，
故抛物线标准方程为；
（4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，
则设抛物线方程为，焦点为，准线为，
故，
故抛物线标准方程为.
18．（2023·全国·高二随堂练习）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.

(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.
【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为：，把代入方程中，得
，
所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；
（2）设抛物线的方程为，
把代入方程中，得，
所以焦点的坐标为：.
19．（2023·全国·高二课堂例题）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.

(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？
(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.
【解析】（1）如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，
以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度，
则可设抛物线的标准方程为.
灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为，
代入抛物线方程得，
解得，则焦点坐标为.
故光源应安置在与顶点相距处；
（2）由（1）可得抛物线方程为.
灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为.
故将代入抛物线方程求得.
此时，探照灯的深度为48.4cm.
20．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练面上一点P满足：P点到的距离比P点到y轴的距离大2，且点P不在一条射线上，记点P的轨迹方程为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点Q为y轴左侧一点，曲线C上存在两点A，B，使得线段，的中点均在曲线C上，设线段的中点为M，证明：垂直于y轴.
【解析】（1）设点，根据题意，解得
由于点不在一条射线上，
故点的轨迹方程为：.
（2）设线段，的中点分别为，，
设，，因为点在曲线上，则，
因为点在曲线上，所以：
同理，
故是方程的两个解，
由韦达定理知，所以，
即点的纵坐标与点的纵坐标相同，故垂直于轴.
21．（2023·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且.
(1)求的值；
(2)若直线与交于两点，与交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
【解析】（1）由抛物线的方程可知焦点的坐标为，
由抛物线的方程可知焦点的坐标为，
因为，
所以；
（2）由（1）可知两个抛物线的方程分别为，
设直线，，
根据题意结合图形可知：，且，
联立，则，
同理联立，则，
由，
所以，
即，
又因为，所以，
由，
联立，所以，
故.
22．（2023·河北邯郸·高二校考阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为k（）的直线l与C交于A，B两点，．
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【解析】（1）
由题意得，l的方程为．
设，．由，消y得．
，故．
所以．
由题设知解得（舍去），．因此l的方程为．
（2）由（1）得AB的中点坐标为，且，
，则中点坐标为，
所以AB的垂直平分线方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，则，解得或
当圆心为时，；
当圆心为时，．
因此所求圆的方程为或．

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