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集合间的关系
子集
① 概念
对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().
记作：(或)，读作：包含于，或包含.
当集合不包含于集合时，记作(或).
② 图
真子集
概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集.
记作：(或)
读作：真包含于(或真包含)
类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等；
Eg：是对的，而是错的，若，则也成立；
对比下，是对的，但是错的，若，则也成立.
集合相等
如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等．
即 且.
几个结论
① 空集是任何集合的子集：；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一个集合是它本身的子集；
④ 对于集合，如果且，那么；
⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为.
【典题1】求集合的子集个数.
【典题2】已知集合若则的取值范围　 　．
【典题3】已知且则的取值范围为　　．
巩固练习
1 (★★) 设是两个集合，有下列四个结论：
若，则对任意，有；②若，则集合中的元素个数多于集合中的元素个数；
③若，则； ④若，则一定存在，有．
其中正确结论的个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
2 (★★) 已知集合，，则集合的大小关系是(　　)
3 (★★) 已知集合则满足的集合的个数为(　　)
A．4 B．8 C．7 D．16
4 (★★) 已知集合，，则集合的关系是(　　)
A． B． C． D．
5 (★★) 已知集合正奇数和集合若则中的运算“ ”是(　　)
A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法
6 (★★) 已知集合，且中至少含有一个奇数，则这样的集合有 个.
7 (★★) 定义集合且，若，，则的子集个数为 ．
8 (★★) 集合的真子集的个数是 ．
9 (★★) 集合，，若，则由实数组成的集合为 ．
10(★★) 已知集合若则实数的取值范围 　．
11 (★★★) 已知集合．
(Ⅰ)若，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若求实数的取值范围．
12(★★★) 已知集合若求实数的取值范围．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)集合间的关系
子集
① 概念
对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().
记作：(或)，读作：包含于，或包含.
当集合不包含于集合时，记作(或).
② 图
真子集
概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集.
记作：(或)
读作：真包含于(或真包含)
类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等；
Eg：是对的，而是错的，若，则也成立；
对比下，是对的，但是错的，若，则也成立.
集合相等
如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等．
即 且.
几个结论
① 空集是任何集合的子集：；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一个集合是它本身的子集；
④ 对于集合，如果且，那么；
⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为.
【典题1】求集合的子集个数.
【解析】集合，(先化简集合)
则其子集有共个．
【点拨】
① 讨论集合的子集，不要漏了空集与自身；
② 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为.
【典题2】已知集合若则的取值范围　 　．
【解析】由题得因为则或或或，
①当所以解得；
②当则无解；(不要漏了)
③当则解得；
④当则无解．
综上．
【点拨】若，注意不能忽略了这种情况.
【典题3】已知且则的取值范围为　 　．
【解析】由题意：
(分或两种情况讨论)
当时，无解，
即 解得．
当时，要使成立，
令，
要满足题意，由二次函数的图像可知，解得，
(如图所示)
综上可得：.
【点拨】本题涉及到二次函数零点的分布问题，注意利用数形结合的方法进行求解.
巩固练习
1 (★★) 设是两个集合，有下列四个结论：
①若，则对任意，有；
②若，则集合中的元素个数多于集合中的元素个数；
③若，则；
④若，则一定存在，有．
其中正确结论的个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【解析】对于①，不一定，比如.故错误；
②若，不一定，比如.故错误；
③若，则，但不成立，故错误；
④若，则一定存在，有，故正确．
故正确结论的个数为个，
故选：
2 (★★) 已知集合，，则集合的大小关系是(　　)
【答案】
【解析】集合，
当时，
当时，
又集合，，
又集合，
集合比集合多一个元素，即，
综上所求：，
故选：．
3 (★★) 已知集合则满足的集合的个数为(　　)
A．4 B．8 C．7 D．16
【答案】
【解析】集合，
，
满足的集合有：，，，，，，，，共个．
故选：．
4 (★★) 已知集合，，则集合的关系是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设或，，
则有．
又，．
5 (★★) 已知集合正奇数和集合若则中的运算“ ”是(　　)
A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法
【答案】
【解析】由于集合正奇数且集合是集合的子集，
则可设
，
，而其它运算均不使结果属于集合，
故选．
6 (★★) 已知集合，且中至少含有一个奇数，则这样的集合有 个.
【答案】
【解析】集合，
，，，，，，．
中至少含有一个奇数，，，．
这样的集合有个．
7定义集合且，若，，则的子集个数为
【答案】4
【解析】由题意：，故其子集为，，，，个数为
8 (★★) 集合的真子集的个数是
【答案】7
【解析】时，；时，；时，；时，；
函数在上是减函数，
当时，；，共个元素，
根据公式可得其真子集的个数为个
9 (★★) 集合，，若，则由实数组成的集合为
【答案】
【解析】集合，，，
或或
．
由实数组成的集合为：．
10(★★) 已知集合若则实数的取值范围 　
【答案】
【解析】已知集合，
若，则集合包含集合的所有元素，
解集合时，当时，不满足题设条件，
当时，无实数解，集合为空集，满足条件，
当0时，则，即，
综上则实数的取值范围为
11 (★★★) 已知集合．
(Ⅰ)若，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若求实数的取值范围．
【答案】 (1) (2)
【解析】集合，
(Ⅰ)，
解得：，
实数的取值范围为；
(Ⅱ)，
①当时，，即，
②当时解得：，
综上所述，实数的取值范围为：．
12(★★★) 已知集合若求实数的取值范围．
【答案】.
【解析】集合，，
若，一定非空，
若，得，，成立，
若，即或者，设，
1)．，
即，对称轴所以，
2)．，
即，对称轴，不成立，
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综上，. 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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