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人教版八年级数学上册 15.3 分式方程 导学案
【知识清单】
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.
细节剖析
因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
4：分式方程的应用
　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【典型例题】
考点1：分式方程的定义
例1．已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】．A
【分析】先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是正数”即可求出的取值范围．
【详解】解：去分母：
解得：
∵
∴
∵方程的解是正数
∴
∴
综上：且
故选：A
【点睛】本题考查根据分式方程的解求解参数．正确解出分式方程是求解此题的前提．
考点2：解分式方程
例2．若分式和的值互为相反数，则的值为（ ）
A．3 B．7 C． D．
【答案】．D
【分析】解分式方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
解得：
经检验：是方程的解
故选：D
【点睛】本题考查了相反数的应用、分式方程的求解．根据题意列出分式方程是解题关键．
考点3：根据分式方程解的情况求值
例3．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】．D
【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求的取值范围．
【详解】解：去分母得，，
，
方程的解是正数，
即，
又因为，
，
则的取值范围是且，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求的取值范围，根据方程的解列出关于的不等式，另外，解答本题时，易漏掉，这是因为忽略了这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
考点4：分式方程无解问题
例4．关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】．B
【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为，代入求解参数值．
【详解】解：分式方程变形，得，
把代入，得；
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的求解，增根的定义；理解增根的定义是解题的关键．
考点5：列分式方程
例5．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的倍列分式方程即可．
【详解】解：设规定时间为x天，
根据题意得慢马的速度为，快马的速度为，
∵快马的速度是慢马的倍，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
考点6：分式方程的实际应用
例6．某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．D
【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为，利用时间＝路程÷速度，结合汽车比骑车学生少用，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵骑车学生的速度为，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍，
∴汽车的速度为．
依题意得：，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在正数范围内定义一种运算 “”，共规则为，如，根据这个规则，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
3．方程有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．分式方程无解，则a的值是( )
A．3或2 B．或3 C．-或3 D．或2
5．嘉淇一家自驾游去某地旅行，导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均速度是线路一的1.8倍，线路二的用时预计比线路一少半小时．设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某市为了解决城市拥堵问题，决定修建一条高架道路．为尽量减少施工对城市造成的影响，实际施工时工作效率比原计划提高了，结果提前4个月完成这一任务．设原计划个月完成这一任务，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．在方程，，，中，分式方程有 个．
8．关于x的分式方程的解小于1，则a的取值范围是 ．
9．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
10．当 时，关于x的分式方程无解．
11．某车间计划在一定时间内生产240套零配件，生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务．设原计划每天生产x套零配件，则可列方程为 ．
12．中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格. 设每套《水浒传》连环画的价格为元，则所列方程是 ．
三、解答题
13．解方程：．
14．解方程：
(1)；
(2)．
15．已知关于的分式方程有增根，求的值．
16．关于的分式方程．
(1)若此方程有增根，求的值
(2)若此方程解为正数，求的取值范围．
17．某学校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同，求笔袋和笔记本的价格．
18．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元
其中，燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，如果燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，且金师傅平均每年都能行驶5100千米．为了节省开支，哪款国产车更适合金师傅，请通过计算说明．（年费用＝年行驶费用＋年其它费用）
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试卷第1页，共3页
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参考答案
1．A
【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案．
【详解】解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意；
②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意；
③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意；
④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意；
关于的分式方程的个数为1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
2．A
【分析】根据新定义列出方程，再计算即可．
【详解】∵，
∴，
，
解得，
经检验是原方程的根，
故选：A．
【点睛】本题除了定义运算外，还规定了解分式方程，需要注意检验．
3．B
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
4．A
【分析】分两种情况讨论：①分式方程的分母为0时，无解；②分式方程化为形如的整式方程后，如果且，亦无解．据此即可解答．
【详解】解：将化为整式方程得：
整理得：
①∵分式方程无解，
∴
将代入得：
∴．
②整式方程中，
当时，方程无解，
此时，
综合①②两种情况可知，a的值为3或2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式方程无解的情况，分情况讨论分式方程无解的条件是解题关键．
5．D
【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为km/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
【详解】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为km/h，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
6．B
【分析】根据实际施工时工作效率比原计划提高了列式求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选B；
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键四找到等量关系式．
7．3
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：在方程，，，中，
分式方程有，，，一共有3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
8．
【分析】先将方程两边都乘以，将分式方程化为整式方程，再根据分式有意义的条件得出，以及该分式方程的解小于1，列出不等式，即可求解．
【详解】解：两边都乘以，得，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∵，
∴，解得：，
∵该分式方程的解小于1，
∴，解得：，
综上：a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不为0．
9．且
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程求解，根据解为正数和分式有意义的条件，列出不等式求出解集即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
移项，得：，
化系数为1，得：，
∵方程解为正数，
∴，解得：，
∵，解得：，
∴，解得：，
∴m的取值范围为且．
故答案为∶且．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不为0．
10．或
【分析】根据分式方程无解的两种情况①分母为0，②未知数系数为0的得出答案．
【详解】解：分式方程去分母得：
，
当时，分母为零，原分式方程无解，故；
当时，原分式方程无解，故．
故答案为或．
【点睛】本题考查了分式方程无解的内容，其中对分式方程未知数系数为0也是无解的一种情况是解题的关键．
11．
【分析】设原计划每天生产x套零配件，根据“生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务”列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天生产x套零配件，根据题意可得，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系正确列出方程是解题的关键．
12．
【分析】根据两种连环画单价间的关系，可得出每套《三国演义》连环画的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母，得
．
解得．
经检验，是原方程的解．
所以原方程的解是．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．
14．(1)；
(2)分式方程无解．
【分析】（）方程两边同时乘以，化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案；
（）去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
检验：当 时，，
∴原分式方程的解是：；
（2）解：，
，
，
，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．
15．或
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：，
去分母得，
当，即或时，分式方程有增根，
当时，，解得；
当时，，解得；
故m的值是或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键．
16．(1)；
(2)且．
【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值；
（2）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：方程两边都乘以得，
，
分式方程有增根，
，
解得，
，
解得；
（2）解：方程两边都乘以得，
，
解得，
方程的根为正数，
，且
∴且．
【点睛】本题考查了分式方程解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键．
17．笔袋和笔记本的价格分别为7元和4元
【分析】设每个笔记本的价格为元，则每个笔袋的价格为元，根据题意用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同，列出方程求解即可．
【详解】解：设每个笔记本的价格为元，则每个笔袋的价格为元．
由题意得，解得，
经检验，是分式方程的解，
所以，，
故笔袋和笔记本的价格分别为7元和4元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，读懂题意找到等量关系列出方程是解题关键．
18．选择新能源，见解析
【分析】根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元建立方程，解方程可得的值，据此计算比较即可得．
【详解】解：新能源车的每千米行驶费用为元，
依题意得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
燃油车：元/千米，元，
新能源：元/千米，元，
∵，
∴选择新能源．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确建立方程是解题关键．
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