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3.2直线与双曲线的位置关系（第一课时）
班级 姓名
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；
3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【自学天地】
知识点1 直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞ 直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝ 直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜ 直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
知识点2 等轴双曲线
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
P1P2 ==
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
问题：x1 x2 满足什么样的关系，直线与双曲线相交于同一支？
题型 1　直线与双曲线的公共点
例1．已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
题型2 交点与弦长
例2（1）已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A, B两点，当a为何值时，点A, B在双曲线的同一支上？当a为何值时，点A, B分别在双曲线的两支上？
过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程.
已知双曲线，直线过右焦点，且倾斜角为，与双曲线交于，两点，试问，两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦的长．
（4）已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；
(2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
题型 3　中点弦问题
例3 已知双曲线的方程为．
（1）求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程．
（2）过点能否作直线l，使直线l与所给双曲线交于，两点，且点B是弦的中点？如果直线l存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
【课堂小练】
已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为、，点是双曲线上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点有且仅有条直线与双曲线有且仅有一个交点
B．点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上
C．若直线、的斜率分别为、，则
D．过点的直线与双曲线交于、两点，则的最小值为
答案
例1．(1)或或；
(2)或
(3)或
【详解】（1）联立，
消整理得，（*）
因为直线l与双曲线C有两个公共点，
所以，整理得
解得： 或或.
（2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解，
即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．
当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，
则，解得；
综上，或.
（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，
所以，
解得： 或.
例2（1）若点A, B在双曲线的同一支上，或；若点A, B分别在双曲线的两支上，.
【详解】联立得.
由题意知
解得且.
若点A, B在双曲线的同一支上，则>0，
解得或，
所以或
若点A, B分别在双曲线的两支上，则，
解得.
例2（2）两条，和
【分析】若直线的斜率不存在，可得直线方程为满足条件；若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入到双曲线方程，分二次项系数为0和判别式等于0讨论可得答案.
【详解】若直线的斜率不存在，
则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，代入到双曲线方程，得，
所以，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，
化简后知方程无解，所以不满足条件.
所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和.

例2（3），两点不在双曲线的同一支上,
【详解】解：双曲线方程可化为，
故，，，∴.∴，
又直线的倾斜角为，∴直线的斜率，
∴直线的方程为，代入双曲线方程，得.
设，，∵，
∴，两点不在双曲线的同一支上．
∵，，
∴
.
例2（4）．(1)
(2)
【详解】（1）双曲线离心率为，实轴长为2，
，，解得，，
，
所求双曲线C的方程为；
∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，
∴双曲线的焦点到渐近线的距离为.
（2）设,,
联立，，，
，．
，
，
解得．
例3（1）；（2）不存在，理由见解析.
【详解】（1）因为点在双曲线内，
所以过点A不与渐近线平行的直线一定与双曲线有两个交点．
设以为中点的弦的两端点为，，
则有，．
根据双曲线的对称性知．由点，在双曲线上，得
，，
两式相减得，
所以，所以，
即以为中点的弦所在直线的斜率，
故所求中点弦所在直线的方程为，即．
（2）假定直线l存在，采用（1）的方法求出直线l的方程为，
即．由，消去y得，
，无实根，
因此直线l与双曲线无交点，故满足条件的直线l不存在．
课堂小练
BC
【分析】根据直线与双曲线的位置关系可判断出A选项；求出点关于双曲线的渐近线的对称点的坐标，再将点的坐标带入双曲线的方程，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；求出当直线的斜率为时的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，过点垂直于轴的直线、平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，所以至少有条，故A错误；
对于B选项，易得，双曲线的一条渐近线方程为，
设点关于的对称点为，
则，解得，所以，
又，即点在双曲线上，故B正确；
设，所以，即，
所以，故C正确；
当直线的斜率为时，，故D错误．
故选：BC.

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