资源简介

解析几何
椭圆 学案
思维导图
基础夯实
【核心知识整合】
考点1：椭圆的定义及标准方程
1.定义
平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注意：若，则动点的轨迹是线段，若，则动点的轨迹不存在.
2.标准方程
（1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为.
（2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.
3.焦点三角形
（1）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则，其中
（2）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则的周长为.
（3）过焦点的弦AB与椭圆另一个焦点构成的的周长为4a.
考点2：椭圆的几何性质
标准方程
焦点位置及坐标 焦点在x轴上 ， 焦点在y轴上 ，
图形
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
顶点坐标 ，， ， ，， ，
长、短轴长 长轴长，短轴长
离心率
考点3：直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系的判断
把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理成的形式，则：
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交，有两个公共点
直线与椭圆相切，有一个公共点
直线与椭圆相离，无公共点
2.弦长公式
设直线l：与椭圆交于.
则，，
.
探究训练
[典型例题]
1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
2.已知过原点O的直线l与椭圆相交于点A，B，点P是椭圆C上异于点A，B的动点，直线PA，PB的斜率分別为，，则的值为( )
A. B.
C. D.与点P的位置有关
3.过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点B为椭圆的右顶点，直线PB，QB分别交直线于M，N两点，则( )
A.3 B.-3 C.-5 D.5
4.已知椭圆的焦距是2，则m的值是___________.
[变式训练]
1.设，为椭圆的两个焦点，若在椭圆C上存在点P，满足，则实数n的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知点P是椭圆上非顶点的动点，分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的平分线上一点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.
素养提升
【规律总结】
1.与椭圆性质有关的最值或取值范围的求解方法
（1）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围.
（2）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围.
（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.
（4）利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围.
2.直线与椭圆相交的弦长问题的求法
（1）直线斜率不存在时的弦长问题：若直线斜率不存在，可以直接将直线方程
（一般方程中带有字母参数）代人椭圆方程，得交点坐标，进而求相交弦问题.直接求解此类问题的情况较少，一般是在求直线方程的有关问题中，分类讨论此种情况.注意在解答时不要漏解，同时注意检验是否符合题意.
（2）直线斜率存在时的弦长公式：若直线斜率存在，直线方程为，与椭圆的两个交点为，，则相交弦长[其中A为的系数].解析几何
椭圆 学案
思维导图
基础夯实
【核心知识整合】
考点1：椭圆的定义及标准方程
1.定义
平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注意：若，则动点的轨迹是线段，若，则动点的轨迹不存在.
2.标准方程
（1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为.
（2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.
3.焦点三角形
（1）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则，其中
（2）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则的周长为.
（3）过焦点的弦AB与椭圆另一个焦点构成的的周长为4a.
考点2：椭圆的几何性质
标准方程
焦点位置及坐标 焦点在x轴上 ， 焦点在y轴上 ，
图形
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
顶点坐标 ，， ， ，， ，
长、短轴长 长轴长，短轴长
离心率
考点3：直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系的判断
把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理成的形式，则：
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交，有两个公共点
直线与椭圆相切，有一个公共点
直线与椭圆相离，无公共点
2.弦长公式
设直线l：与椭圆交于.
则，，
.
探究训练
[典型例题]
1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]设焦距为2c.因为的周长为18，所以，所以.因为长半轴长为5，即，所以，所以椭圆C的离心率.故选B.
2.已知过原点O的直线l与椭圆相交于点A，B，点P是椭圆C上异于点A，B的动点，直线PA，PB的斜率分別为，，则的值为( )
A. B.
C. D.与点P的位置有关
[答案]A
[解析]设点，，则点，
，，.
又由题意得，，两式作差，得，
即，，即.故选A.
3.过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点B为椭圆的右顶点，直线PB，QB分别交直线于M，N两点，则( )
A.3 B.-3 C.-5 D.5
[答案]C
[解析]设，显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为，代入整理得，
易得恒成立，则，.
由题意得，则直线PB的方程为，
令，可得点，同理可得直线QB的方程得点，所以，
所以
，故选C.
4.已知椭圆的焦距是2，则m的值是___________.
[答案]5
[解析]在椭圆中，，，所以，解得.
[变式训练]
1.设，为椭圆的两个焦点，若在椭圆C上存在点P，满足，则实数n的取值范围为( )
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]由题意，知当点P在椭圆左、右顶点处时最大，所以若椭圆C上存在一点P使，则只需点P在椭圆左、右顶点处时，此时，，即.又，，所以，解得.又，所以.故选A.
2.已知点P是椭圆上非顶点的动点，分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的平分线上一点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]如图，延长交的延长线于点G，
，.又PM为的平分线，，M为的中点.又为的中点，.，
，易知，且，.故选B.
3.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.
[答案]13
[解析]如图，连接，，，
因为C的离心率为，所以，所以，所以.因为，所以为等边三角形，又，所以直线DE为线段的垂直平分线，所以，，且，所以直线DE的方程为，代入椭圆C的方程，得.设，则，则，，所以，解得，所以，所以的周长为.
素养提升
【规律总结】
1.与椭圆性质有关的最值或取值范围的求解方法
（1）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围.
（2）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围.
（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.
（4）利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围.
2.直线与椭圆相交的弦长问题的求法
（1）直线斜率不存在时的弦长问题：若直线斜率不存在，可以直接将直线方程
（一般方程中带有字母参数）代人椭圆方程，得交点坐标，进而求相交弦问题.直接求解此类问题的情况较少，一般是在求直线方程的有关问题中，分类讨论此种情况.注意在解答时不要漏解，同时注意检验是否符合题意.
（2）直线斜率存在时的弦长公式：若直线斜率存在，直线方程为，与椭圆的两个交点为，，则相交弦长[其中A为的系数].

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