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4.4.3＆4.5.3不同函数增长的差异与函数模型的应用
班级 姓名
学习目标
1．了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．
2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．
3．了解拟合函数模型并解决实际问题．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材,完成右边的内容 知识点　三种函数模型的增长差异y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性 图象的变化趋势随x增大逐渐近似与 平行随x增大逐渐近似与 平行保持固定增长速度增长速度y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度 ，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度 增长结果存在一个x0，当x>x0时，有 【即时训练1】(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)A． B．C． D．y＝2023x(2)下面对函数，与在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　)A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
阅读教材,完成右边的内容 知识点　常见函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数模型y＝【即时训练2】有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)A．u＝log2t B．u＝2t－2 C．u＝ D．u＝2t－2
函数增长速度的比较 【例1】(多选题)如图，能使得不等式log2x2B．x>4C．0应用已知函数模型解决实际问题 【例2】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？【变式2】声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围；(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
课后作业
一、基础训练题
1．(多选题)下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是(　　)
A．这几年生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是2016年
C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2017年
D．虽然2018年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善
2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1715 3645 6655
y2 5 29 245 2189 19685 177149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
4．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点．当点P沿路线A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
5．麋鹿是国家一级保护动 ( http: / / www.21cnjy.com )物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．
6．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
7．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
8．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
9．为了预防流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，如图所示．
(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式；
(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室．
二、综合训练题
10．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：.已知新丸经过50天后，体积变为.若一个新丸体积变为，则需经过的天数为(　　)
A．125 B．100 C．75 D．50
11．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
三、能力提升题
12．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
4.4.3 不同函数增长的差异
参考答案
1、[答案]　ABD
[解析]　由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2016～2017年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2017～2018年最平缓，故C不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故D正确．
2、[答案]　C
[解析]　通过指数函数、对数函数、幂函数等 ( http: / / www.21cnjy.com )不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.
3、[答案]　C
[解析]用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．
[答案]　A
[解析]由题意得，当0当1＝××1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋；
当25、[答案]　400
[解析]　由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，x＝15，代入得y＝400.　　
6、[答案]　1.75
[解析]∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，
则有解得∴y＝－2×0.5x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
7、[答案]　9
[解析] [设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝由y＝22.6，解得x＝9.
8、[解析] (1)设V＝k·log3，∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，
∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为V＝log3.
(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，
∴Q＝2700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位．
9、[解析] (1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t＝0.1时，由1＝，得a＝0.1，
∴当t>0.1时，y＝.∴y＝
(2)由题意可知，<0.25，解得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室.
10、[答案]　C
[解析]由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e－kt1，
∴＝(e－k)t1＝，∴＝，t1＝75.
11、[答案]　4
[解析]设至少要洗x次，则≤，所以x≥≈3.322，所以需4次．
12、[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.
(2)设经过m年后森林剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，
即＝，则＝，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，则≥，则≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
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