资源简介

解析几何
直线与圆 学案
思维导学
夯实基础
【核心知识整合】
考点1：直线的倾斜角与斜率
1.当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
2.直线的倾斜角的取值范围为.
3.一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.倾斜角是90°的直线没有斜率.
4.如果直线经过两点，那么斜率公式为.
5.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
6.对于斜率分别为，的两条直线，，有（1）；（2）.
考点2：直线的方程
1.直线的点斜式方程
（1）方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是.
当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程是.
（2）方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
（3）对于直线，，且；.
2.直线的两点式方程
（1）直线的两点式方程：直线l经过两点，（其中，），则，这就是直线的两点式方程，简称两点式.
（2）直线的截距式方程：方程叫做直线的截距式方程，简称截距式. 其中a叫做直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距.
3.直线的一般式方程
关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
考点3：直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点坐标
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线上，也在直线上.点P的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
2.两点间的距离公式
（1），两点间的距离公式.
（2）原点与任一点间的距离.
3.点到直线的距离公式
点到直线的距离
4.两条平行直线间的距离
（1）两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
（2）两条平行直线与间的距离为.
考点4：圆的方程
1.圆的标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程为.
圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为.
2.点与圆的位置关系：点在圆内，则；在圆外，则.
3.圆的一般方程：. 其中.
考点5：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系的判定
设直线l：，圆C：，d为圆心到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.
位置关系 图形 判断方法 公共点个数
代数法 几何法
相交 2
相切 1
相离 0
2.与圆的切线有关的结论
（1）过圆上一点的切线方程为；
（2）过圆上一点的切线方程为；
（3）过圆外一点作圆的两条切线，切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为；
（4）过圆外一点引圆的切线，切点为T,则切线长.
3.直线与圆相交
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有，即，即，求弦长或已知弦长求其他量时，一般用此公式.
考点6：圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为，则
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
公共点个数 0 1 2 1 0
D，R，r的关系
公切线条数 4 3 2 1 0
2.两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆:,圆：，若两圆相交，则有一条公共弦，两圆方程相减得，即圆与的公共弦所在直线的方程.
探究训练
[典型例题]
1.点到直线的距离为( )
A.2 B. C.1 D.
[答案]B
[解析]由点到直线的距离公式，得.故选B.
2.设圆，圆，则圆，的公切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
[答案]B
[解析]由题意得，圆，则圆心为；圆，则圆心为.，圆与相交，圆，有2条公切线.故选B.
3.（多选）已知动直线与圆相交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A.直线l过定点 B.圆C的圆心坐标为
C.弦AB的最小值为 D.弦AB的最大值为4
[答案]ACD
[解析]对于A，直线，即.令解得则直线l过定点，故A正确.对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误.对于C，因为，所以直线l所过定点在圆的内部.因为，所以弦AB的最小值为，故C正确.对于D，弦AB的最大值为圆C的直径4，故D正确.选ACD.
[变式训练]
1.在中，已知点，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线MN的方程为( )
A. B.
C. D.
[答案]A
[解析]设，，.因为，，所以且解得，，，，则，，，所以直线MN的方程为，即.故选A.
2.直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]由直线得，，所以.因为圆的圆心为，所以圆心到直线的距离为，所以点P到直线的距离的取值范围为，即，所以.故选A.
3.已知圆，圆，则两圆的公共弦长为__________.
[答案]
[解析]将两圆方程相减，得两圆公共弦所在的直线方程为.易知圆的圆心坐标为，半径.又点到公共弦的距离，所以两圆的公共弦长为.
素养提升
【规律总结】
1.与圆有关的轨迹方程问题的求解方法
（1）直接法：当题目条件中含有与动点有关的等式时，可设出动点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.
（2）定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.
（3）代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与动点的关系，代入动点满足的关系式求轨迹方程.
2.圆与圆有关问题的解题方法
（1）判断两圆位置关系的方法：常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法.
（2）两圆公共弦长的求法：两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦
长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.
（3）两圆的公切线问题的求法：在求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，得出最佳解法.解析几何
直线与圆 学案
思维导学
夯实基础
【核心知识整合】
考点1：直线的倾斜角与斜率
1.当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
2.直线的倾斜角的取值范围为.
3.一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.倾斜角是90°的直线没有斜率.
4.如果直线经过两点，那么斜率公式为.
5.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
6.对于斜率分别为，的两条直线，，有（1）；（2）.
考点2：直线的方程
1.直线的点斜式方程
（1）方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是.
当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程是.
（2）方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
（3）对于直线，，且；.
2.直线的两点式方程
（1）直线的两点式方程：直线l经过两点，（其中，），则，这就是直线的两点式方程，简称两点式.
（2）直线的截距式方程：方程叫做直线的截距式方程，简称截距式. 其中a叫做直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距.
3.直线的一般式方程
关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
考点3：直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点坐标
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线上，也在直线上.点P的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
2.两点间的距离公式
（1），两点间的距离公式.
（2）原点与任一点间的距离.
3.点到直线的距离公式
点到直线的距离
4.两条平行直线间的距离
（1）两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
（2）两条平行直线与间的距离为.
考点4：圆的方程
1.圆的标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程为.
圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为.
2.点与圆的位置关系：点在圆内，则；在圆外，则.
3.圆的一般方程：. 其中.
考点5：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系的判定
设直线l：，圆C：，d为圆心到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.
位置关系 图形 判断方法 公共点个数
代数法 几何法
相交 2
相切 1
相离 0
2.与圆的切线有关的结论
（1）过圆上一点的切线方程为；
（2）过圆上一点的切线方程为；
（3）过圆外一点作圆的两条切线，切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为；
（4）过圆外一点引圆的切线，切点为T,则切线长.
3.直线与圆相交
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有，即，即，求弦长或已知弦长求其他量时，一般用此公式.
考点6：圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为，则
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
公共点个数 0 1 2 1 0
D，R，r的关系
公切线条数 4 3 2 1 0
2.两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆:,圆：，若两圆相交，则有一条公共弦，两圆方程相减得，即圆与的公共弦所在直线的方程.
探究训练
[典型例题]
1.点到直线的距离为( )
A.2 B. C.1 D.
2.设圆，圆，则圆，的公切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.（多选）已知动直线与圆相交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A.直线l过定点 B.圆C的圆心坐标为
C.弦AB的最小值为 D.弦AB的最大值为4
[变式训练]
1.在中，已知点，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线MN的方程为( )
A. B.
C. D.
2.直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知圆，圆，则两圆的公共弦长为__________.
素养提升
【规律总结】
1.与圆有关的轨迹方程问题的求解方法
（1）直接法：当题目条件中含有与动点有关的等式时，可设出动点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.
（2）定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.
（3）代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与动点的关系，代入动点满足的关系式求轨迹方程.
2.圆与圆有关问题的解题方法
（1）判断两圆位置关系的方法：常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法.
（2）两圆公共弦长的求法：两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦
长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.
（3）两圆的公切线问题的求法：在求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，得出最佳解法.

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