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第一章 集合与常用逻辑用语
思维导图
知识清单
1. 元素与集合
（1）集合中元素的特性：_______、_______、_______.
（2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a_______集合A，记作_______；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作_______.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
（4）常用数集及其记法：
数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集
符号 _____________ N*或（N＋） Z Q R C
注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R.
2. 集合间的基本关系
文字语言 符号语言 记法
子集 集合A中的任意一个元素____集合B中的元素 x∈A x∈B ___________ （或________）
真子集 集合A是集合B的子集，但B中存在元素________A A B，且 x0∈B，x0 A A____B （或B____A）
相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A B，且B A _______
空集 不含任何元素的集合 x，x ， A， B（B≠ ） _______
注：（1）子集的传递性：A B，B C，则A C
（2）子集个数：对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2.
3. 集合的基本运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
并 集 由所有属于集合A_____集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B} ______
交 集 由所有属于集合A_____集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B} ______
补 集 由全集U中______集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x A} ______
4. 集合运算性质
（1）并集运算性质：A∪B A；A∪B B；A∪A＝A；A∪ ＝A；A∪B＝B∪A.
（2）交集运算性质：A∩B A；A∩B B；A∩A＝A；A∩ ＝ ；A∩B＝B∩A.
（3）补集运算性质：A∩（ UA）=，A∪（ UA）=U， U（ UA）=A.
（4）重要等价关系：A∩B＝A A B A∪B＝B；A∩B＝A∪B A＝B.
5. 元素个数
记含有限个元素的集合A，B的元素个数为card（A），card（B），则：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）.
6. 德摩根定律
又称反演律，即=（）∪（），=（）∩（）.
7. 五个关系式
A B，A∩B＝A，A∪B＝B，以及A∩（）＝ 是两两等价的.
4. 充分条件、必要条件与充要条件
如果p q，则称p是q的______，q是p的______. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件
p是q的充分不必要条件 记作_______且_______
p是q的必要不充分条件 记作_______且_______
p是q的充分必要条件（简称充要条件） 记作_______
p是q既不充分又不必要条件 记作_______且_______
答案：
5. 全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做_________，并用符号“ ”表示. 含有全称量词的命题，叫做_________. 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为_________.
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_________，并用符号“ ”表示. 含有存在量词的命题，叫做_________. 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为_________.
10. 全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定
全称量词命题 否定 结论
x∈M，p（x） x∈M，p（x） 全称量词命题的否定是存在量词命题
（2）存在量词命题否定
存在量词命题 否定 结论
x∈M，p（x） x∈M，p（x） 存在量词命题的否定是全称量词命题
11. 充分、必要条件的传递性
若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件.
12. 以下说法等价
p q；p是q的充分条件；q是p的必要条件；p的一个必要条件是q；q的一个充分条件是p.
13. 关键量词的否定
（1）常用全称量词的否定
每一个 所有的 一个也没有 任意
存在一个 有的 至少有一个 存在
（2）常用存在量词的否定
至少有n个 至多有一个 存在
至多有n－1个 至少有两个 任意
（3）一些常见判断词的否定
是 一定是 都是 大于 小于 不大于
不是 不一 定是 不都是 小于 或等于 大于 或等于 大于
14. 充分、必要条件与集合间的关系：
集合A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则：
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若A B且A B，则是的既不充分也不必要条件.
核心考点1
用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要知道{x|y＝f（x）}，{y|y＝f（x）}，{（x，y）|y＝f（x）}三者是不同的. 弄清代表元素的含义后，再依据元素特征构造关系式解决问题.
【例题】
6. 给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 设集合，若，则实数m=（ ）
A 0 B. C. 0或 D. 0或1
【练习题】
8. 已知集合，用列举法表示M＝______．
9. 已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
10. 已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（ ）
A. B. 0 C. 或0 D. 无解
【易错题小练习】
11. 集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　）
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 钝角三角形
12. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
核心考点2
①判断集合关系主要有两种方法：一是化简集合，二是列举或数形结合. ②已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，须关注子集是否为空集. 一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性，当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到.
【例题】
13. 已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
14. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
15. 集合，则的子集的个数为（ ）
A. 4 B. 8 C. 15 D. 16
【练习题】
16. 已知集合，，若，则__________.
17. 已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
18. 已知集合的所有非空真子集的元素之和等于9，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【易错题小练习】
19. 已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.
20. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
核心考点3
集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩（Venn）图等进行运算，还要注意延伸知识的考查.
集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合（包括用数轴、韦恩（Venn）图等）及端点值的取舍.
（一）交、并、补运算
【例题】
21. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【练习题】
22. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
23. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
24. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
25. 已知全集，集合，．求：
（1）；
（2）；
（3）.
（二）由集合的运算求参数
【例题】
26. 已知集合，，，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
27. 已知全集，或，.
（1）当时，求，，；
（2）若，求实数a的取值范围.
【练习题】
28. 设全集 ，，．
（1）若 ，求 ．
（2）若 ，求实数 的取值范围．
29. 已知R为全集，集合，集合．
（1）求；
（2）若，求实数a的值．
【易错题小练习】
30. 已知集合，或 .
（1）若为非空集合，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
31. 已知，，全集
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
核心考点4
韦恩（Venn）图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩（Venn）图所呈现的集合关系进行运算.
【例题】
32. 已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A. B.
C. D.
33. 集合且，，，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【练习题】
34. 设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
35. 如图,两个区域分别对应集合,其中.则阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
36. 向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为__________．
核心考点5
【例题】
37. 给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．
38. 定义集合且，已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【练习题】
39. 定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A. B. C. D.
40. 定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 7
核心考点6
充要条件的三种判断方法：①定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p q及q p的真假；第三步，下结论. ②集合法. ③等价转化法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题.
【例题】
41. 下列命题中是假命题的有（ ）
A. “”是“”的充分但不必要条件
B. “”是“”的必要但不充分条件
C. “”是“”的既不充分也不必要的条件
D. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件
42. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
43. “”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【练习题】
44. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
45. 设，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
核心考点7
①求解充要条件的应用问题常根据相应集合之间的关系列出关于参数的方程（组）或不等式（组）求解；②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验.
【例题】
46. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【练习题】
47. 设，已知集合，．
（1）当时，求实数的范围；
（2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
48. 设集合，命题，命题
（1）若是的充要条件，求正实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
核心考点8
1、①否定全称（存在）量词命题，一是改变量词，二是否定结论，没有量词的要结合命题的含义加上量词. ②否定全称量词命题，常举一反例即可，但否定存在量词命题，往往要进行严格证明，因为其否定是全称量词命题.
2、已知命题真假求参数范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）求解，另外注意转换，如本例，将存在量词命题为假命题转换为全称量词命题为真命题，从而转化为一元二次不等式恒成立问题.
（一）全称、存在量词命题的否定
【例题】
49. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C D.
50. 命题“”否定为（ ）
A. B.
C. D.
【练习题】
51. 命题“”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D.
52. 命题“，．”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
（二）依据命题真假求参数取值范围
【例题】
53. 已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【练习题】
54. 已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______.
55. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是______．
【易错题小练习】
56. 已知命题p：，，，则（ ）
A. p是假命题，p否定是，，
B. p是假命题，p否定是，，
C. p是真命题，p否定是，，
D. p是真命题，p否定是，，
57. 已知命题，则的否定是（ ）
A. B.
C. D.
素养提升
58. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
59. 某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（ ）
A. 无症状感染者 B. 发病者 C. 未感染者 D. 轻症感染者
60. 中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.
61. 中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为
A. B. C. D.第一章 集合与常用逻辑用语
思维导图
知识清单
1. 元素与集合
（1）集合中元素的特性：_______、_______、_______.
（2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a_______集合A，记作_______；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作_______.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
（4）常用数集及其记法：
数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集
符号 _____________ N*或（N＋） Z Q R C
注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R.
【答案】 ①. 确定性 ②. 互异性 ③. 无序性 ④. 属于 ⑤. ⑥. 不属于 ⑦. ⑧. N
【解析】
【分析】略
【详解】略
故答案为：确定性；互异性；无序性；属于；；不属于；；N.
2. 集合间的基本关系
文字语言 符号语言 记法
子集 集合A中的任意一个元素____集合B中的元素 x∈A x∈B ___________ （或________）
真子集 集合A是集合B的子集，但B中存在元素________A A B，且 x0∈B，x0 A A____B （或B____A）
相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A B，且B A _______
空集 不含任何元素的集合 x，x ， A， B（B≠ ） _______
注：（1）子集的传递性：A B，B C，则A C
（2）子集个数：对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2.
【答案】 ①. 都是 ②. A B ③. B A ④. 不属于 ⑤. ⑥. ⑦. A＝B ⑧.
【解析】
【分析】根据集合的包含关系即可求解.
【详解】集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，记为A B或B A；
集合A是集合B子集，但B中存在元素不属于A，记为 B或B A；
集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，记为A＝B；
不含任何元素的集合，记为 .
故答案为： 都是 A B B A 不属于 A＝B .
3. 集合的基本运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
并 集 由所有属于集合A_____集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B} ______
交 集 由所有属于集合A_____集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B} ______
补 集 由全集U中______集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x A} ______
【答案】 ①. 或属于 ②. A∪B ③. 且属于 ④. A∩B ⑤. 不属于 ⑥.
【解析】
【分析】根据集合的包含关系和集合的运算即可求解.
【详解】由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记为A∪B；
由所有属于集合且属于集合B的元素组成的集合，记为A∩B；
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，记为.
故答案为：或属于 A∪B 且属于 A∩B 不属于 .
4. 集合运算性质
（1）并集运算性质：A∪B A；A∪B B；A∪A＝A；A∪ ＝A；A∪B＝B∪A.
（2）交集运算性质：A∩B A；A∩B B；A∩A＝A；A∩ ＝ ；A∩B＝B∩A.
（3）补集运算性质：A∩（ UA）=，A∪（ UA）=U， U（ UA）=A.
（4）重要等价关系：A∩B＝A A B A∪B＝B；A∩B＝A∪B A＝B.
5. 元素个数
记含有限个元素的集合A，B的元素个数为card（A），card（B），则：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）.
6. 德摩根定律
又称反演律，即=（）∪（），=（）∩（）
7. 五个关系式
A B，A∩B＝A，A∪B＝B，以及A∩（）＝ 是两两等价的.
4. 充分条件、必要条件与充要条件
如果p q，则称p是q的______，q是p的______. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件
p是q的充分不必要条件 记作_______且_______
p是q的必要不充分条件 记作_______且_______
p是q的充分必要条件（简称充要条件） 记作_______
p是q的既不充分又不必要条件 记作_______且_______
【答案】 ①. 充分条件 ②. 必要条件 ③. p q ④. qp ⑤. pq ⑥. q p ⑦. p q ⑧. pq ⑨. qp
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】p q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件；
p是q的充分不必要条件，记作p q且qp；
p是q的必要不充分条件，记作pq且q p ；
p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作p q；
p是q的既不充分又不必要条件，记作pq且qp.
故答案为：充分条件 必要条件 p q qp pq q p p q pq qp.
答案：
5. 全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做_________，并用符号“ ”表示. 含有全称量词的命题，叫做_________. 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为_________.
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_________，并用符号“ ”表示. 含有存在量词的命题，叫做_________. 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为_________.
【答案】 ①. 全称量词 ②. 全称量词命题 ③. x∈M，p（x） ④. 存在量词 ⑤. 存在量词命题 ⑥. x∈M，p（x）
【解析】
【分析】根据全称量词和存在量词的定义即可求解.
【详解】全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 x∈M，p（x）；
存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 x∈M，p（x）.
故答案为：
全称量词 全称量词命题 x∈M，p（x） 存在量词 存在量词命题 x∈M，p（x）.
10. 全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定
全称量词命题 否定 结论
x∈M，p（x） x∈M，p（x） 全称量词命题的否定是存在量词命题
（2）存在量词命题的否定
存在量词命题 否定 结论
x∈M，p（x） x∈M，p（x） 存在量词命题的否定是全称量词命题
11. 充分、必要条件的传递性
若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件.
12. 以下说法等价
p q；p是q的充分条件；q是p的必要条件；p的一个必要条件是q；q的一个充分条件是p.
13. 关键量词的否定
（1）常用全称量词的否定
每一个 所有的 一个也没有 任意
存在一个 有的 至少有一个 存在
（2）常用存在量词的否定
至少有n个 至多有一个 存在
至多有n－1个 至少有两个 任意
（3）一些常见判断词的否定
是 一定是 都是 大于 小于 不大于
不是 不一 定是 不都是 小于 或等于 大于 或等于 大于
14. 充分、必要条件与集合间的关系：
集合A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则：
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若A B且A B，则是的既不充分也不必要条件.
核心考点1
用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要知道{x|y＝f（x）}，{y|y＝f（x）}，{（x，y）|y＝f（x）}三者是不同的. 弄清代表元素的含义后，再依据元素特征构造关系式解决问题.
【例题】
6. 给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定信息，利用元素与集合的关系判断作答.
【详解】显然都是实数，①正确，②错误；
是自然数，③正确；是无理数，不是有理数，④错误，
所以正确的个数为2.
故选：B
7. 设集合，若，则实数m=（ ）
A. 0 B. C. 0或 D. 0或1
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【详解】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C
【练习题】
8. 已知集合，用列举法表示M＝______．
【答案】
【解析】
【分析】由直接求解.
【详解】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，.
又，所以的值分别为：4，3，2.
故集合.
故答案为：
9. 已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，，代入元素依次计算得到答案.
【详解】集合A满足，，，故，，，
，故，
则集合A所有元素之和为：
故选：C
10. 已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（ ）
A. B. 0 C. 或0 D. 无解
【答案】C
【解析】
【分析】集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解.
【详解】集合有一个元素，即方程有一解，
当时，，符合题意，
当时，有一解，
则，解得：，
综上可得：或，
故选：C.
【易错题小练习】
11. 集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　）
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合中元素的互异性得，
故三角形一定不是等腰三角形.
故选：A.
12. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由集合与集合的关系，对选项依次辨析即可.
【详解】对于A，时，，有，故选项A正确；
对于B，时，，有，故选项B正确；
对于C，时，，有，故选项C正确；
对于D，时，，集合不满足集合元素的互异性，故选项D不正确.
故选：ABC.
核心考点2
①判断集合关系主要有两种方法：一是化简集合，二是列举或数形结合. ②已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，须关注子集是否为空集. 一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性，当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到.
【例题】
13. 已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.
【详解】因为，所以.
当时，，得；
当时，则.
故实数x的取值集合为.
故选：B
14. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.
【详解】解：因为，因为，
所以集合是由所有奇数的一半组成，
而集合是由所有整数的一半组成，故 .
故选：B
15. 集合，则的子集的个数为（ ）
A. 4 B. 8 C. 15 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案．
【详解】集合，,
，
故有个子集.
故选：D．
【练习题】
16. 已知集合，，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用集合相等即可得出结果.
【详解】由元素的互异性可得，
当时，，解得，舍去；
当时，，此时，，
此时需要满足，即；
.
故答案为：.
17. 已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【详解】因为，
所以集合可以为：，
共8个，
故选：C.
18. 已知集合的所有非空真子集的元素之和等于9，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先写出集合的非空真子集，从而得到方程，计算出结果.
【详解】集合的非空真子集为，
所以，解得：.
故选：C
【易错题小练习】
19. 已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合建的包含关系得到不等式（组）求解.
【详解】解：分两种情况考虑：
①若B不为空集，可得：，
解得：，
，
且，
解得：，所以,
②若B为空集，符合题意，可得：，
解得：.
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
20. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据定义域求出，由得到a的取值范围.
【详解】由题意得，解得，故，
因为，所以.
故选：A
核心考点3
集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩（Venn）图等进行运算，还要注意延伸知识的考查.
集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合（包括用数轴、韦恩（Venn）图等）及端点值的取舍.
（一）交、并、补运算
【例题】
21. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.
【详解】，且，
所以.
故选：C
【练习题】
22. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集定义直接求解即可.
【详解】，，.
故选：B.
23. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据描述法表示的集合可得，再利用并集运算即可得出结果.
【详解】由题可知而；
根据并集运算可得，
故选：C．
24. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断集合的元素类型，根据集合交集运算的含义，可得答案.
【详解】由题意可知集合为数集，集合表示点集，
二者元素类型不同，所以，
故选：D.
25. 已知全集，集合，．求：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据交集概念进行计算；
（2）根据并集概念进行计算；
（3）先求出，进而求出答案.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
【小问3详解】
，
故，，.
（二）由集合的运算求参数
【例题】
26. 已知集合，，，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.
【详解】由知：，
当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当，即或，
若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若，则，，满足要求.
综上，.
故选：A
27. 已知全集，或，.
（1）当时，求，，；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1），或，
（2）或
【解析】
【分析】（1）代入，再根据交，并，补的定义求解即可；
（2）由得到，根据集合的关系可得实数a的取值范围.
【小问1详解】
当时，或，
，又，
，或，；
【小问2详解】
若，则，
或，
或.
【练习题】
28. 设全集 ，，．
（1）若 ，求 ．
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解.
（2）求出，，分，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可.
【小问1详解】
当时，，，
所以或，；
【小问2详解】
全集 ，，
或，
，
分，两种情况讨论.
（1）当时，如图可得，或，
或；
（2）当时，应有：，解得；
综上可知，或，
故得实数 的取值范围.
29. 已知R为全集，集合，集合．
（1）求；
（2）若，求实数a的值．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】(1)根据补集的定义求解即可；
(2)根据交集的定义求解即可.
【小问1详解】
解：因为R为全集，集合，
所以或；
【小问2详解】
解：因为，集合，，
所以，解得.
【易错题小练习】
30. 已知集合，或 .
（1）若为非空集合，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由条件可知，，即可求解不等式；
（2）分和两种情况，列不等式求解.
【小问1详解】
若为非空集，则，解得：；
【小问2详解】
若，则，
当时，，解得：，
当时， ，解得：
或，解得：
所以实数的取值范围是或
31. 已知，，全集
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；
（2）分与由条件列不等式求范围即可.
【小问1详解】
当时，，
所以或，又，
所以.
【小问2详解】
由题可得：当时，有，
解得a的取值范围为；
当时有，解得a的取值范围为，
综上所述a的取值范围为.
核心考点4
韦恩（Venn）图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩（Venn）图所呈现的集合关系进行运算.
【例题】
32. 已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn图逐一判断即可.
【详解】，
选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意，
故选：B
33. 集合且，，，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件利用Venn图进行求解即可．
【详解】作出Venn图如图所示，
则，．
故选：C．
【练习题】
34. 设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断．
【详解】依题意图中阴影部分所表示的集合为．
故选：D．
35. 如图,两个区域分别对应集合,其中.则阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意表示出集合,将集合中元素还原到图形中,即可得到结果.
【详解】解:由题意知,,
阴影部分表示的集合为,
因为,
所以.
故选:D
36. 向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为__________．
【答案】21
【解析】
【分析】根据给定条件利用集合并结合Venn图列出方程求解作答.
【详解】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.
设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图，
由Venn图可知，，即，解得，
所以对A，B都赞成的学生有21人.
故答案为：21.
核心考点5
【例题】
37. 给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．
【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，
故不含好元素的集合共有，
共有6个
故答案为：6．
38. 定义集合且，已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合新定义即可求解.
【详解】因为集合且，，
所以
故选：C
【练习题】
39. 定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案.
【详解】因为，，
所以，
故中元素的个数为.
故选：B.
40. 定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合新定义求解即可.
【详解】根据题意，因为，，
所以.
故选：C.
核心考点6
充要条件的三种判断方法：①定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p q及q p的真假；第三步，下结论. ②集合法. ③等价转化法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题.
【例题】
41. 下列命题中是假命题的有（ ）
A. “”是“”的充分但不必要条件
B. “”是“”的必要但不充分条件
C. “”是“”的既不充分也不必要的条件
D. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件
【答案】AC
【解析】
【分析】利用特例及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】对于A：若，满足，但不满足，
反之，若，例如，令，，显然不满足，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误；
对于B：当时，由得不到，即充分性不成立，
反之，若，可得，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C：，可得，，因为 ，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D：在上恒成立，则，，
则“”是“不等式在上恒成立”的充要条件，故D正确．
故选：AC．
42. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得.
【详解】因为方程至多有一个实数根，
所以方程的判别式，
即：，解得，
利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.
故选：BC.
43. “”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的定义，将问题转化为集合问题即所求结果为的真子集，再根据选项判断即可.
【详解】根据题意可得，所求结果为的真子集，根据选项可得和这两个选项都是的真子集，即通过这两个条件都可推出，满足充分条件，但不能推出这两个条件，不满足必要条件，所以和都是的充分不必要条件.
故选：BD.
【练习题】
44. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，故充分性成立，
由可得或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
45. 设，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法结合得出的等价条件，即可得出结论.
【详解】因为，，由可得，则，即，
因此，若，，则“”是“”的充要条件.
故选：C.
核心考点7
①求解充要条件的应用问题常根据相应集合之间的关系列出关于参数的方程（组）或不等式（组）求解；②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验.
【例题】
46. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将代入集合化简，再利用集合间的交集，补集的运算即可求解；
（2）根据充分条件、必要条件的定义，转化为集合间的包含关系后，列关系式即可求解.
【小问1详解】
当时，，，
则，
所以.
【小问2详解】
由题意得是的真子集，而是非空集合，
则且与不同时成立，解得，
故的取值范围是.
【练习题】
47. 设，已知集合，．
（1）当时，求实数的范围；
（2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案；
（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围.
【小问1详解】
由题可得，则；
【小问2详解】
由题可得是的真子集，
当，则；
当，，则（等号不同时成立），解得
综上：.
48. 设集合，命题，命题
（1）若是的充要条件，求正实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；
（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【小问1详解】
由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
核心考点8
1、①否定全称（存在）量词命题，一是改变量词，二是否定结论，没有量词的要结合命题的含义加上量词. ②否定全称量词命题，常举一反例即可，但否定存在量词命题，往往要进行严格证明，因为其否定是全称量词命题.
2、已知命题真假求参数范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）求解，另外注意转换，如本例，将存在量词命题为假命题转换为全称量词命题为真命题，从而转化为一元二次不等式恒成立问题.
（一）全称、存在量词命题的否定
【例题】
49. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】全称量词命题否定为存在量词命题即可.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：A
50. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得
命题“”的否定为.
故选：C.
【练习题】
51. 命题“”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全称量词的命题的否定求解作答.
【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定是：.
故选：D
52. 命题“，．”否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称存在量词命题，
所以命题“，．”的否定是“，”.
故选：B
（二）依据命题真假求参数取值范围
【例题】
53. 已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的真假性以及一元二次不等式恒成立的知识列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】因为“，”为真命题，
所以，解得．
故选：A
【练习题】
54. 已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】或
【解析】
【分析】利用给定条件为假命题，说明有解，结合二次函数图象可得答案.
【详解】因为，为假命题，所以有解，
所以，解得或.
故答案为：或
55. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】求出给定命题的否定，再由所得命题为真命题，求解作答.
【详解】命题“，”的否定是：，，
依题意，命题“，”为真命题，
当时，成立，则，
当时，不等式恒成立，则，解得，
综上得：，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【易错题小练习】
56. 已知命题p：，，，则（ ）
A. p是假命题，p否定是，，
B. p是假命题，p否定是，，
C. p是真命题，p否定是，，
D. p是真命题，p否定是，，
【答案】A
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】由于是整数，是偶数，所以是假命题.
原命题是存在量词命题，
其否定是全称量词，注意到要否定结论，
所以的否定是“，，”.
故选：A
57. 已知命题，则的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有量词的命题否定方法来求解.
【详解】因为命题，所以的否定是.
故选：D.
素养提升
58. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断
【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；
即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件
故选：A
59. 某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（ ）
A. 无症状感染者 B. 发病者 C. 未感染者 D. 轻症感染者
【答案】A
【解析】
【分析】由即可判断S的含义.
【详解】解：由图可知，集合S是集合A与集合B的交集，
所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，
故选：A.
60. 中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题设集合元素为5，4，3的公倍数，进而应用列举法、描述法分别写出集合即可.
【详解】因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，
所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为.
此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为.
故答案为：，
61. 中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将选项中的数字逐一代入集合、、的表达式，检验是否为、、的元素，即可选出正确选项．
【详解】因为，则，选项A错误；
，则，选项B错误；
，则，选项C错误；
，故；，故；，故，则，选项D正确.
故选：D．

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