资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题01数列概念与表示
考点1：由an与Sn的关系求通项公式
一、讲
1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
【典例1】（2023·全国·模拟预测）（多选）数列的前项为，已知，下列说法中正确的是（ ）
A．为等差数列 B．可能为等比数列
C．为等差数列或等比数列 D．可能既不是等差数列也不是等比数列
【答案】BD
【分析】利用来对进行判断，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
当时，，
当时，，，
两式相减得，
，
，
当时，，则数列是首项为，公比为的等比数列.
当时，，则数列是首项为，公差为的等差数列，
当，交替成立时，既不是等差数列也不是等比数列.
故选：BD
【典例2】（2023·高二单元测试）（多选）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为
D．
【答案】AC
【分析】由可得，，可判断A,B的正误，再求出，可判断C的正误，利用裂项相消法求，可判断D的正误.
【详解】因为，
所以，，
即，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误；
所以，即，故C正确；
因为，
所以，
故D错误；
故选：AC.
二、练
【训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，则实数的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【分析】先求出，由解得即可；
【详解】等比数列的前项和为，
当时，可得，可得，
当时，，则
所以
因为为等比数列，
所以，即
解得，经检验符合题意.
故选：C．
【训练2】（2023秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期末）已知数列满足，设，则数列的前2023项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，再利用裂项法求和即可.
【详解】由题知：数列满足，设，
所以的前项和为，则.
当时，，
当时，，
检验：当时，，符合.
所以.
令，前项和为.
则.
故选：D
三、测
【训练1】（2021·高二课时练习）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】利用可计算数列的通项公式.
【详解】，而，
当时，，
故.
填.
【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.
【训练2】（2023·青海西宁·统考二模）已知在数列中，，，则 .
【答案】
【分析】将时的等式与条件中的等式做差整理可得，然后利用计算即可.
【详解】①，
当时，②，
①-②得，整理得，
当时，，得，
.
故答案为：.
【训练3】（2023·高二课时练习）设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】由构造法和与关系求解
【详解】由题意得，而，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
，，当时，，也满足此式，
综上，
故答案为：
考点2：累加、累乘、构造求通项公式
一、讲
累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
累乘法——形如＝f(n)，求an
构造法——形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，则的最小值是（ ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
【答案】A
【分析】根据已知条件得出最小项为，利用迭代的思想即可求得.
【详解】∵，∴当时，，当时，，∴，显然的最小值是.
又，∴
，即的最小值是.
故选：A
【典例2】（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合变形，构造数列，再求数列通项即可求解作答.
【详解】因为，则，于是得，
因此数列是公差为1的等差数列，首项，则，所以.
故选：D
二、练
【训练1】（2022秋·湖南益阳·高二校考阶段练习）（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项A、C；计算前7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.
【详解】由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又满足上式，所以，故A错误；
则，
得，故B正确；
有，故C正确；
由，
得，
故D正确.
故选：BCD.
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于数列，把它连续两项与的差记为得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列.若，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列.如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列满足，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．数列为二阶等差数列
B．数列为三阶等差数列
C．数列的前n项和为
D．若数列为k阶等差数列，则的前n项和为阶等差数列
【答案】ABD
【分析】根据前n项和与通项之间的关系可得，利用累积法可得.对于A、B、D：根据题意分析运算即可；对于C：利用裂项相消法运算即可.
【详解】因为，则，
两式相减得：，整理得，
注意到，则，
当时，则；
显然当，符合上式；
故.
对于A：，
为非零常数，
故数列为二阶等差数列，故A正确；
对于B：对数列，它的一阶差数列为为二阶等差数列，故为三阶等差数列，故B正确；
对于C：因为，
故的前项和为，故C错误；
对于D：对数列，它的一阶差数列为，
若为阶等差数列，故为阶等差数列，故D正确.
故选：ABD.
【训练3】（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C． D．
【答案】BC
【分析】由条件变形，先求的通项公式，再判断选项
【详解】由题意得，故是首项为2，公比为2的等比数列，
，则．故B，C正确，A错误
,
,
两式相减得：，故D错误．
故选：BC
三、测
【训练1】（2023秋·吉林·高二吉林市田家炳高级中学校考期末）已知数列满足，，则数列的前100项和 ．
【答案】
【分析】叠加法求解，再裂项相消法求和即可.
【详解】∵，∴时，．
∴（），
当时也满足上式，∴（）
∴，（）
∴数列的前项和
（）
所以数列的前100项和．
故答案为：．
【训练2】（2023·全国·高二专题练习）已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 .
【答案】n
【分析】先利用累乘法将的通项公式求出，再利用与的关系，求出的通项公式即可.
【详解】解：∵，∴
当时，，
当时，成立，
∴，
当时，，
当时，满足上式，
∴.
故答案为：n
【训练3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】将整理为，即可得到数列是以为首项，2为公差的等差数列，然后求即可.
【详解】当时，解得，不满足，所以，同理，
由可得，当时，，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，，
所以.
故答案为：.
考点3：数列的周期性、单调性、最值
一、讲
1.解决数列单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
(2)用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与“1”的大小关系进行判断.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
2.求数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数的单调性求最值.
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项.
3.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
【典例1】已知函数，数列满足，，，则（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【答案】B
【分析】利用函数计算可得，再利用数列的周期性可求.
【详解】的定义域为，且，
故为上的奇函数.
而，
因在上为增函数，在为增函数，
故为上的增函数.
又即为，故，
因为，故为周期数列且周期为3.
因为，
所以.
故选：B.
【典例2】已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件求出数列通项，再由数列为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答
【详解】由可得，
两式相减可得，则，
当时，可得满足上式，故，
所以，
因数列为单调递增数列，即，
则
整理得，
令，则，
当时，，当时，，
于是得是数列的最大项，即当时，取得最大值，从而得，
所以的取值范围为．
故选：A
【典例3】已知数列满足，则当取得最大值时的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2022 D．2023
【答案】A
【分析】利用作商法可得，讨论n的取值判断与1的大小关系，即可得最大时的值.
【详解】∵，
∴当时，；当时，，
∴根据选项，当时，取得最大值.
故选：A．
二、练
【训练1】（多选）在无穷数列中，若，总有，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】根据“阶梯数列”的性质，结合题中条件，确定数列以为周期，进而可求出结果.
【详解】因为为“阶梯数列”，由可得，，，，，…，
观察可得，，，
即数列以为周期，
又，，所以，即，
综上，，，，
故A正确，B错；
，即C正确；
，即D正确.
故选：ACD.
【训练2】（多选）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若为中的不同两项，且，则最小值是1 D．若恒成立，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，从前后两个图之间的关系可求出，对于B，由题意可知，数列是1为首项，为公比的等比数列，从而可求出，对于C，由结合，可得，而，从而可求出的值，则可求出的值，进而可求得最小值，对于D，由在上递增和在上递增，可求得结果.
【详解】解：对于A，由题意可知，下一个图形的边长是上一个图边长的，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为，所以数列是公比为，首项为3的等比数列，所以，所以A正确，
对于B，由题意可知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，所以数列是1为首项，为公比的等比数列，所以，所以B错误，
对于C，由，，得，所以，所以，因为，所以当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以最小值是1，所以C正确，
对于D，因为在上递增，所以，即，
令，则在上递增，
所以，即，即，
因为恒成立，所以的最小值为，所以D正确，
故选：ACD
【典例3】（多选）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为递增数列 D．数列为递增数列
【答案】ABC
【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.
【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；
当为奇数时，，，最大；
综上所述：数列的最大项为，A正确；
对于B，当为偶数时，，，最小；
当为奇数时，；
综上所述：数列的最小项为，B正确；
对于C，，，
，
，，，
数列为递增数列，C正确；
对于D，，，
；
，，，又，
，数列为递减数列，D错误.
故选：ABC.
三、测
【训练1】已知数列对任意的，都有，且，当时， .
【答案】4
【分析】通过计算发现数列从第三项起为周期数列，则得到，计算出即可.
【详解】根据题意知
是偶数，
是偶数，
是偶数，
是偶数，
是奇数，
是偶数，
是偶数，
是奇数，
从第三项开始，正整数数列是以3为周期的周期数列，
，
，
故答案为：4.
【训练2】已知数列满足：，若，且数列为递增数列，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，两边同时取倒数，然后变形即可得到数列是等比数列，从而得到，再根据其为递增数列，列出不等式，即可得到结果.
【详解】因为，两边取倒数可得：，
变形可得，所以数列是等比数列，且首项为，公比为，所以，
则，又，数列为递增数列，
所以，即.
当时，，即，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为:.
【训练3】已知数列满足则的最小值为__________.
【答案】
【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33
且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．
从而
设f（n），令f′（n），
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．
又因为，，
所以的最小值为
故答案为
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01数列概念与表示
考点1：由an与Sn的关系求通项公式
一、讲
1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
【典例1】（2023·全国·模拟预测）（多选）数列的前项为，已知，下列说法中正确的是（ ）
A．为等差数列 B．可能为等比数列
C．为等差数列或等比数列 D．可能既不是等差数列也不是等比数列
【典例2】（2023·高二单元测试）（多选）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为
D．
二、练
【训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，则实数的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
【训练2】（2023秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期末）已知数列满足，设，则数列的前2023项和为（ ）
A． B． C． D．
三、测
【训练1】（2021·高二课时练习）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 .
【训练2】（2023·青海西宁·统考二模）已知在数列中，，，则 .
【训练3】（2023·高二课时练习）设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为 .
考点2：累加、累乘、构造求通项公式
一、讲
累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
累乘法——形如＝f(n)，求an
构造法——形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，则的最小值是（ ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
【典例2】（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
二、练
【训练1】（2022秋·湖南益阳·高二校考阶段练习）（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于数列，把它连续两项与的差记为得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列.若，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列.如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列满足，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．数列为二阶等差数列
B．数列为三阶等差数列
C．数列的前n项和为
D．若数列为k阶等差数列，则的前n项和为阶等差数列
【训练3】（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C． D．
三、测
【训练1】（2023秋·吉林·高二吉林市田家炳高级中学校考期末）已知数列满足，，则数列的前100项和 ．
【训练2】（2023·全国·高二专题练习）已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 .
【训练3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，则数列的通项公式为 .
考点3：数列的周期性、单调性、最值
一、讲
1.解决数列单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
(2)用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与“1”的大小关系进行判断.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
2.求数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数的单调性求最值.
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项.
3.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
【典例1】已知函数，数列满足，，，则（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【典例2】已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】已知数列满足，则当取得最大值时的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2022 D．2023
二、练
【训练1】（多选）在无穷数列中，若，总有，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【训练2】（多选）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若为中的不同两项，且，则最小值是1 D．若恒成立，则的最小值为
【典例3】（多选）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为递增数列 D．数列为递增数列
三、测
【训练1】已知数列对任意的，都有，且，当时， .
【训练2】已知数列满足：，若，且数列为递增数列，则实数的取值范围为 ．
【训练3】已知数列满足则的最小值为__________.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑