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专题02等差数列及前n项和
考点4： 等差数列基本量的求解
一、讲
1.等差数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知2A＝a＋b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
4.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）数列是等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值 B．若，则时最大
C．若，使为负值的n值有3个 D．若，则
【典例2】（多选）（2023·山东枣庄·统考二模）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）
A．
B．当或6时，取得最小值为30
C．数列的前10项和为50
D．当时，与数列共有671项互为相反数．
二、练
【训练1】（2023秋·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）设为等差数列的前项和，若，，则
A． B． C． D．
【训练2】（2023春·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31 B． C． D．63
三、测
【训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知为等差数列的前项和，若，则 ．
【训练2】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）用表示等差数列的前n项和，若，，则m的值为 ．
【训练3】（2023·内蒙古呼伦贝尔·校考模拟预测）记为等差数列的前n项和．若，则 ．
考点5：等差数列的判定与证明
一、讲
1.等差数列的判定与证明的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数.
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}为等差数列.
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数) {an}为等差数列.
(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数) {an}为等差数列.
2.若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
二、练
【训练1】（2022春·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，在①②，，③这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)求的通项公式：
(2)若，求数列的前n项和
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列：
(2)若，求正整数的所有取值.
三、测
【训练1】（2022秋·辽宁沈阳·高三统考期中）已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为2，数列满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
【训练3】（2023·全国·高三专题练习）设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．
考点6：等差数列的性质及应用
一、讲
等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
【典例1】（多选）（2024·全国·高三专题练习）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列为等差数列，则恒成立
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
【典例2】（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考一模）已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．
【典例3】（多选）（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）已知等差数列的前n项和为，公差．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、练
【训练1】（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C．15 D．30
【训练2】（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【训练3】（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）设为等差数列的前n项和，且满足，.则当取得最小值时，n的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
三、测
【训练1】（2020春·四川成都·高三棠湖中学校考阶段练习）记等差数列和的前项和分别为和，若，则 .
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，已知，则 .
【训练3】（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则 .
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专题02等差数列及前n项和
考点4： 等差数列基本量的求解
一、讲
1.等差数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知2A＝a＋b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
4.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）数列是等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值 B．若，则时最大
C．若，使为负值的n值有3个 D．若，则
【答案】AD
【分析】根据题意利用等差数列前n项和公式，可判断A；利用结合，解得公差，判断数列的单调性，可判断B；求得等差数列前n项和公式，解不等式可判断C；求出数列公差和首项，即可求得，判断D.
【详解】由数列是等差数列，，有，即，
由等差数列性质得为定值，选项A正确．
当时，，公差，则数列是递减数列，
则，，故时，最大，选项B错误．
当时，由于，则，，
令得，又，
故为负值的值有2个，选项C错误．
当时，设公差为d，即，结合,即,
解得，，故，选项D正确．
故选：AD
【典例2】（多选）（2023·山东枣庄·统考二模）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）
A．
B．当或6时，取得最小值为30
C．数列的前10项和为50
D．当时，与数列共有671项互为相反数．
【答案】AC
【分析】根据等差数列基本量求出通项公式及，即可判断A、B；判断通项大于零时的取值，将的前10项和列出，利用和之间的关系及的公式代入即可判断C；分析中的负项的性质及大小，进而判断中项的性质及大小，计算项数即可.
【详解】解：因为等差数列，且，公差，
所以，
，
所以，，
所以选项A正确；
因为，
根据二次函数的对称性及开口向下可知：
取得最大值为，故选项B错误；
记的前10项和为，
因为，当时，解得，
当时，解得，
所以
，
因为，所以，
所以，故选项C正确；
记，因为，，
所以，所以当时，，
由，，可知为偶数，
若与互为相反数，则，且为偶数，
由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，
即，即，且为偶数，所以，且为偶数，
故这样的有670个，故选项D错误.
故选：AC
二、练
【训练1】（2023秋·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）设为等差数列的前项和，若，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为，
根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
【训练2】（2023春·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31 B． C． D．63
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】∵成等差数列，
∴，
∴，即，解得 或 ，
又∵，∴，
∴，
故选：C.
三、测
【训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知为等差数列的前项和，若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意得，，再由等差数列前项和公式解决即可.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：
【训练2】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）用表示等差数列的前n项和，若，，则m的值为 ．
【答案】
【分析】利用等差中项性质有，结合等差数列前n项和公式有，即可求参数值.
【详解】由，则，
由，则，
所以.
故答案为：
【训练3】（2023·内蒙古呼伦贝尔·校考模拟预测）记为等差数列的前n项和．若，则 ．
【答案】
【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
考点5：等差数列的判定与证明
一、讲
1.等差数列的判定与证明的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数.
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}为等差数列.
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数) {an}为等差数列.
(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数) {an}为等差数列.
2.若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)．
【分析】(1)利用求出数列的通项公式，从而求出，从而求出.证明即可证明，，是等差数列；
(2)根据通项公式的特征，分n为奇数和偶数讨论其前n项和．
【详解】（1）①，，
当时，，∴或(舍)，
当时，②，
①－②：，∴，
∵，∴，
∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，，
∴数列是首项为－2，公比为2的等比数列，
∴．
∵
，
∴，，成等差数列；
（2），
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上可知．
二、练
【训练1】（2022春·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，在①②，，③这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)求的通项公式：
(2)若，求数列的前n项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，由已知得， ，当时，两式相减有，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；
若选②，由已知得，，当时，两式相减，得，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；
若选③，由已知得，，
当时，两式相减，得，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；
（2）由（1）得，由等差数列的定义得数列是以0为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：若选①，，则，
当时，，
当时，符合上式，
所以；
若选②，，
当时，
两式相减，得，即，
又，，所以，所以，
所以数列是首项为1，公比为等比数列，所以；
若选③，数列满足，
当时，，
两式相减，可得，所以，
当时，符合上式，
所以；
（2）解：，
，又，
所以数列是以0为首项，为公差的等差数列，
所以.
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列：
(2)若，求正整数的所有取值.
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据证明为定值即可；
（2）先根据（1）求出，再利用错位相减法求出，从而可得，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由，得，
当时，，所以，
当时，，
两式相减得，即，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，所以，
，
，
两式相减得，
所以，
则，
由，
得，
即，
令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
由，
，
则当时，，
所以若，正整数的所有取值为.
三、测
【训练1】（2022秋·辽宁沈阳·高三统考期中）已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论，
（2）由（1）可得，再利用累乘法求，从而，然后利用放缩法可证得结论
【详解】（1）因为，所以，
所以，
两式相除，得，整理为，
再整理得，．
所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．
（2）因为，所以，
由（1）知，，故，
所以．
所以
．
又因为，
所以．
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为2，数列满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）先计算出，从而得到的通项公式，再得到，即是等差数列，从而求出的通项公式；
（2）利用错位相减法求和得到，再判断出是递增数列，结合得到.
【详解】（1）当时，，
又，解得．
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故．
则，即．
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，故．
（2）由（1）可得，，所以．
则①，
②，
①-②可得，
所以．
因为，所以是递增数列．
则，故．
【训练3】（2023·全国·高三专题练习）设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算可得，进而可得，结合等差数列的定义分析证明；
（2）利用裂项相消法分析证明.
【详解】（1）由题意可得：，
则，可得，
故数列是以首项，公差的等差数列.
（2）由（1）可得：，
则，
∵，故.
考点6：等差数列的性质及应用
一、讲
等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
【典例1】（多选）（2024·全国·高三专题练习）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列为等差数列，则恒成立
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
【答案】BD
【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项.
【详解】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,
显然当才相等，故A错误，
而，作差可得成立，故B正确；
若数列为等比数列，且，，设其公比为q，
则，作商可得或所以 或，故C错误；
由题意得各项均不为0，而实数范围内，，
即且，结合选项B的计算可得，故D正确.
故选：BD.
【典例2】（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考一模）已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．
【答案】ACD
【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可.
【详解】对于A,数列为等差数列，，
数列为递减的等差数列，
故A正确，
对于B, 数列为递减的等差数列，
的最大值为，
故B错，
对于C,
由得
的最小值为,即，
故C正确，
对于D,
故D正确.
故选：ACD
【典例3】（多选）（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）已知等差数列的前n项和为，公差．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用等差数列前n项和的二次函数性质求得且，进而判断各项的正误即可.
【详解】由题意，又，
结合二次函数性质知：对称轴，且，即，
所以，，.
综上，A、B、D对，C错.
故选：ABD
二、练
【训练1】（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C．15 D．30
【答案】D
【分析】根据韦达定理得到，利用等差数列求和公式及等差数列性质进行计算.
【详解】，是方程的两根，
所以，
又是等差数列，
所以其前20项和为．
故选：D
【训练2】（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．
【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，解得．
故选：C.
【训练3】（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）设为等差数列的前n项和，且满足，.则当取得最小值时，n的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】设出公差d，由可得，从而得到公差大于0，得到，从而得到答案.
【详解】设公差为d，由于，即，即， 即，由于，所以，从而可得，所以当取得最小值时，n的值为6
故选：B
三、测
【训练1】（2020春·四川成都·高三棠湖中学校考阶段练习）记等差数列和的前项和分别为和，若，则 .
【答案】
【分析】结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可.
【详解】由题意,,,
因为,所以.
故答案为:.
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，已知，则 .
【答案】
【分析】根据等差数列的通项公式可化简得到，根据等差数列的性质即可求得答案.
【详解】由题意在等差数列中，设公差为d,
则
所以，于是，
故答案为：10
【训练3】（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则 .
【答案】4.
【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】因，所以，即，
所以．
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