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专题03等比数列及前n项和
考点7：等比数列基本量的求解
一、讲
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝ab.
2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3. 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
【典例1】（多选）（2023秋·江苏徐州·高三校考开学考试）已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由，根据等比数列的通项公式的计算，求得，进而求得通项公式和的值，再由，，结合选项，即可求解.
【详解】因为，可得，即，解得或，
又由正项的等比数列，可得，所以，所以A正确；
数列的通项公式为，所以B正确；
则，所以C不正确；
由，则，，所以，所以D正确.
故选：ABD.
【典例2】（多选）（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
B．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
C．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，成等比数列
【答案】AD
【分析】根据等差数列和等比数列的中项公式，即可判断.
【详解】A.若a，b，c成等比数列，则，则，所以，，成等比数列，故A正确；
B.数列1，2，3是等差数列，但数列，，不是等差数列，故B错误；
C.若a2，b2，c2成等比数列，则，或，若，则a，b，c不成等比数列，故C错误；
D.若a，b，c成等差数列，则，则成立，所以，，成等比数列，故D正确.
故选：AD
【典例3】（多选）（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B．
C．为常数 D．为等比数列
【答案】ACD
【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可.
【详解】设公比为，则，解得，故，
则，.
对A，，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，为常数，故C正确；
对D，，，故为等比数列，故D正确；
故选：ACD
二、练
【训练1】（2023秋·广东深圳·高三深圳市云顶学校校考阶段练习）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
【训练2】（2023春·海南儋州·高二海南省洋浦中学校考期中）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（ ）
A． B． C．3 D．8
【答案】A
【分析】设等差数列的公差，由成等比数列求出，代入可得答案.
【详解】设等差数列的公差，
∵等差数列的首项为1， 成等比数列，
∴，
∴，且，，
解得，
∴前6项的和为.
故选：A.
【训练3】（2023秋·高二课时练习）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案.
【详解】设数列的公比为，
则，得，
解得或（舍），
所以.
故选：A.
三、测
【训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，，，则 ．
【答案】/7.75
【分析】由条件结合等比数列通项公式求首项和公比，再利用求和公式求.
【详解】设等比数列的公比为，
由，，
可得，，
解方程得，或，
当时，，
当时，，
所以.
故答案为：.
【训练2】（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则 .
【答案】1012
【分析】根据等差数列的通项与求和公式以及等比中项的性质，代入即可求得.
【详解】设等差数列的公差为，因为，则，所以，
因为，，成等比数列，所以，即
解得或(不合题意，舍去)，所以，解得，
所以，所以.
故答案为：1012
【训练3】（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列.若数列为原数列的一阶差数列，数列为原数列的一阶差数列，则称数列为原数列的二阶差数列.已知数列的二阶差数列是等比数列，且，则数列的通项公式 .
【答案】
【分析】运用等比数列通项公式及累加法可求得结果.
【详解】设数列为原数列的一阶差数列，为原数列的二阶差数列.
则由题意可知.
又为等比数列，故公比，所以，即.
当时，，
将代入得，符合，
所以，.
所以，
当时，，
将代入得，符合，
所以，.
故答案为：.
考点8：等比数列的判定与证明
一、讲
1.证明一个数列为等比数列常方法
①定义法(作比法): ＝q(n≥2，q为非零常数).
②等比中项法:.
③其他方法(通项公式，前n项和公式)只用于选择题、填空题中的判定；
若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设数列前n项和满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件以及消去，结合等比数列的定义可得答案；
（2）先求出的通项公式，得到的通项公式，利用裂项相消法可求答案.
【详解】（1）证明：∵，且，
∴，
∴，
∴，令，可得，
∴，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）可得，
∴，
∴；
∴
；
∴.
【典例2】（2023·山东烟台·校联考三模）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推公式证明为定值，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即可得解；
（2）由，得，则，则，再利用裂项相消法求出数列的前项和，即可得证.
【详解】（1）因为，所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以；
（2）由，得，
则，
所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以.
二、练
【训练1】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；
（2）由（1）求得，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解.
【详解】（1）由题意，数列满足，可得，
可得，即，
又由，所以，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，所以
设数列的前项和为，
则
，
若，即，
因为函数为单调递增函数，
所以满足的最大整数的值为.
【训练2】（2023·江苏南通·统考三模）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由构造出，用等比数列定义证明即可；
（2）通过两次构造等比数列，求出的通项公式，根据通项公式得出结论即可.
【详解】（1）由已知，，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）∵，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，①，
又∵由第（1）问，，②，
∴②①得，，
∴存在，，两个等比数列，， 使得成立．
三、测
【训练1】（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）记数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意，，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由数列与的关系可得，再结合等比数列的通项可得解；
（2）利用错位相减法求出，结合范围即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
当时，，故，
且不满足上式，
故数列的通项公式为
（2）设，则，
当时，，
故，
于是．
整理可得，所以，
又，所以符合题设条件的m的最小值为7．
【训练2】（2023·江苏常州·校考一模）已知数列的首项，前项和为，，，（）总是成等差数列.
(1)证明数列为等比数列；
(2)求满足不等式的正整数的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）由已知可得，化简得（），则有，两式相减化简可证得结论，
（2）由（1）将不等式化为，然后分为奇数和偶数两种情况求解即可.
【详解】（1）因为，，（）总是成等差数列，
所以（），
整理得（），
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
（2）由（1）可得，
因为，
所以，
所以，
当为奇数时，，得，解得，
当为偶数时，，得，解得，此时无解
综上得正整数n的最小值为3.
【训练3】（2023秋·广东佛山·高三佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知数列的首项，且满足，设.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最小正整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)140
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可.
【详解】（1）
，
，所以数列为首项为，公比为等比数列.
（2）由（1）可得
，
即
∴
而随着的增大而增大
要使，即，则，
∴的最小值为140.
考点9：等比数列的性质
一、讲
等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
(4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列.
【典例1】（2023秋·山东临沂·高三校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，（，为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．一定是等比数列 B．当时，
C．当时， D．
【答案】ABC
【分析】对于A，利用数列的递推关系得和当时，，再利用，结合等比数列的概念对A进行判断；对于B，利用A的结论，结合等比数列的通项公式得，当时，利用等比数列的求和，计算出；对于C，当时，利用指数幂的运算，对C进行判断；对于D，利用，计算得，对D进行判断.
【详解】对于A，在数列中，因为， 为非零常数，
所以当时，，解得，
当时，，
由得，即，又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确；
对于B，由得，因此当时，，
所以，故B正确；
对于C，由得，因此当时，，
所以，故C正确；
对于D，由得，
因此，
，
所以，故D错误．
故选：ABC．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.
【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
【典例3】（2023春·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是数列中的最大值
D．若，则n最大为4038．
【答案】ABD
【分析】先根据题意可确定，根据可判断A；根据等比数列的性质结合可判断B；根据数列是递减数列，且，判断C；再根据的公式，结合，判断D即可.
【详解】对A，∵，，，且数列为等比数列，
∴，，∴，
因为，∴，故A正确；
对B，∵，∴，故B正确；
对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列，
因为，，所以是数列中的最大项，故C错误；
对D，，因为，，故，，故，即，故n最大为4038，故D正确．
故选：ABD．
二、练
【训练1】（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等比数列下标和性质，结合数列单调性可求得，根据等比数列通项公式可求得结果.
【详解】为递减的等比数列，，解得：（舍）或，
的公比.
故选：A.
【训练2】（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，有，
由函数单调递增，且，可得.
有，由数列单调递减，
所以取得最大值时的值为9，
故选：B.
【训练3】（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．7 B．9 C．81 D．3
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质以及对数的运算性质可求出结果.
【详解】依题意可得，
又，所以，
所以.
故选：D
三、测
【训练1】（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ．
【答案】2
【分析】由题意可得，且，由条件可得，化简得，再由，求得的值．
【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为，
则由题意可得，且．
，．
又由等比数列的性质可得，．
故答案为：2．
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则的前200项和 .
【答案】
【解析】当时，可知，进而可知，即，从而可知的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出.
【详解】由，，得.
当时，，所以，即，
所以的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查数列求和，考查等比数列前项和公式的应用，注意分奇偶项进行讨论，属于中档题.
【训练3】（2022春·四川攀枝花·高一攀枝花七中校考阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，，则 ．
【答案】81
【分析】根据等比数列的性质可得，，，，…成等比数列，并设其公比为，又，由等比数列的性质，即可求出结果.
【详解】因为数列为等比数列，
由等比数列的性质可得，，，，…成等比数列，并设其公比为．
又由题意可得，，，所以，
所以．
故答案为：.
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专题03等比数列及前n项和
考点7：等比数列基本量的求解
一、讲
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝ab.
2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3. 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
【典例1】（多选）（2023秋·江苏徐州·高三校考开学考试）已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多选）（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
B．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
C．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，成等比数列
【典例3】（多选）（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B．
C．为常数 D．为等比数列
二、练
【训练1】（2023秋·广东深圳·高三深圳市云顶学校校考阶段练习）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【训练2】（2023春·海南儋州·高二海南省洋浦中学校考期中）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（ ）
A． B． C．3 D．8
【训练3】（2023秋·高二课时练习）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
三、测
【训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，，，则 ．
【训练2】（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则 .
【训练3】（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列.若数列为原数列的一阶差数列，数列为原数列的一阶差数列，则称数列为原数列的二阶差数列.已知数列的二阶差数列是等比数列，且，则数列的通项公式 .
考点8：等比数列的判定与证明
一、讲
1.证明一个数列为等比数列常方法
①定义法(作比法): ＝q(n≥2，q为非零常数).
②等比中项法:.
③其他方法(通项公式，前n项和公式)只用于选择题、填空题中的判定；
若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设数列前n项和满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前n项和．
【典例2】（2023·山东烟台·校联考三模）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
二、练
【训练1】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
【训练2】（2023·江苏南通·统考三模）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
三、测
【训练1】（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）记数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意，，求m的最小值．
【训练2】（2023·江苏常州·校考一模）已知数列的首项，前项和为，，，（）总是成等差数列.
(1)证明数列为等比数列；
(2)求满足不等式的正整数的最小值.
【训练3】（2023秋·广东佛山·高三佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知数列的首项，且满足，设.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最小正整数.
考点9：等比数列的性质
一、讲
等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
(4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列.
【典例1】（2023秋·山东临沂·高三校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，（，为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．一定是等比数列 B．当时，
C．当时， D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【典例3】（2023春·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是数列中的最大值
D．若，则n最大为4038．
二、练
【训练1】（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
【训练2】（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【训练3】（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．7 B．9 C．81 D．3
三、测
【训练1】（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ．
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则的前200项和 .
【训练3】（2022春·四川攀枝花·高一攀枝花七中校考阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，，则 ．
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