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专题04数列求和
考点10：分组、并项、倒序求和
一、讲
1.分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
常见类型：
分段型(如①an＝②an＝2n＋3n－1)，周期型.
2.并项转化法
一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和.
常见类型：
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
3. 倒序相加法
如果一个数列{an}中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解.
【典例1】（多选）（2023春·湖南岳阳·高二校考开学考试）已知数列满足，则下列结论正确的有（　　）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前n项和
【答案】ABD
【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.
【详解】因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即，故B正确；
因为，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故C错误；
，
则，故D正确.
故选：ABD.
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
【答案】AC
【分析】利用递推式可求得 的值，可判断A，B，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C，D.
【详解】因为，
所以，，，又，
所以，，，故A正确；
因为，，所以不是等比数列，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
【典例3】（多选）（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．为等比数列
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用递推式可求得 的值，可判断A,B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C; 将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D;
【详解】，则 ，又 ，
同理 ，故A正确；
而 ，故不是等比数列，B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故选：AD
二、练
【训练1】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等差和等比数列通项公式可推导得到的通项公式，利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果.
【详解】是以为首项，为公比的等比数列，，
是以为首项，为公差的等差数列，，，
.
故选：A.
【训练2】（2023·四川雅安·校考模拟预测）若数列的前项和为，且，则（ ）
A．684 B．682 C．342 D．341
【答案】B
【分析】根据等比数列求和公式以及并项求和法得出结果.
【详解】，，，，，
所以.
故选：B.
【训练3】（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】C
【分析】观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.
【详解】由已知，数列通项，所以，
所以，
所以.
故选：C.
三、测
【训练1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；
（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解．
【详解】（1）解：设等差数列公差为d，首项为a1，
由题意，有，解得，
所以；
（2）解：，所以．
【训练2】（2022秋·广东惠州·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前100项的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用，整理可得数列是等比数列，求其通项公式即可；
（2）求出，然后分组求和.
【详解】（1）当时，，
整理得，
又，得
则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列.
则，
（2）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则
考点11：裂项相消求和
一、讲
裂项相消法
把数列的通项拆成两项（或多项）之差，在求和时，中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
常见类型：
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
(4)
【典例1】（多选）（2023秋·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期末）已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（ ）
A．
B．数列为递增数列
C．
D．数列的前n项和小于
【答案】BCD
【分析】根据递推关系求得数列的通项公式，从而对选项ABC一一判断即可；利用裂项相消法求数列的前n项和，即可判断D.
【详解】由，
得，即，又，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，即，
所以，故A错误，C正确；
，所以为递增数列，故B正确；
，
所以数列的前n项和为
，故D正确.
故选：BCD．
【典例2】（多选）（2023·江苏连云港·统考模拟预测）利用“”可得到许多与n（且）有关的结论，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】先证明出，当且仅当时，等号成立，A选项，令，得到，累加后得到A正确；B选项，推导出，，当且仅当时等号成立，令，可得，累加后得到B正确；C选项，推导出，累加后得到C错误；D选项，将中的替换为，推导出，故，当且仅当时，等号成立，累加后得到D正确.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也时最小值，，
故，当且仅当时，等号成立，
A选项，令，所以，
故，
其中
，
所以，A正确；
B选项，将中的替换为，可得，，
当且仅当时等号成立，
令，可得，
所以，
故，
其中
所以，B正确；
C选项，将中的替换为，显然，
则，
故，
故，C错误；
D选项，将中的替换为，其中，，则，
则，故，当且仅当时，等号成立，
则，D正确.
故选：ABD
【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的.
二、练
【训练1】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知数列满足，则数列的前2022项的和为 .
【答案】
【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前2022项的和即可.
【详解】由题意可知，满足，
当时，，
，以上各式累加得，
.
，
当时，也满足上式，∴，则.
∴数列的前n项和为，
∴.
故答案为：.
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 .
【答案】
【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项，再利用裂项相消法求解作答.
【详解】数列的前n项和为，，，当时，，
两式相减得：，即，而，解得，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
，
所以.
故答案为：
三、测
【训练1】（2023秋·江西上饶·高三上饶市第一中学校考阶段练习）等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列{an}的公比为q,
由＝9a2a6得＝9,
所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.
故.
所以数列的前n项和为
【训练2】（2023·广东肇庆·校考模拟预测）设数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系即可求出数列的通项公式
（2），利用裂项相消法即可求出数列的和.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，，
即，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.
（2）由（1）知，
，
所以
.
【训练3】（2023春·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考期中）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据公式得到是常数列，确定，计算得到通项公式.
（2）放缩，根据裂项相消法计算得到证明.
【详解】（1），则，
整理得到，故，
故是常数列，故，即，
当时，，
验证时满足，故
（2），
故
.
考点12：错位相减求和
一、讲
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
万能公式：
.
等差，等比，化为. ,
+ .
.
注意：公式一定要记牢，不然就会计算错误分会被扣完.
【典例1】（2023·湖南岳阳·湖南省平江县第一中学校考模拟预测）数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是（ ）
A．
B．数列的前n项和
C．数列的前n项和
D．
【答案】BCD
【分析】求得数列的通项公式判断选项A；求得数列的前n项判断选项B；求得数列的前n项和，进而判断选项C；求得数列的前项和进而判断选项D.
【详解】由，有，又
所以是首项为，公差为的等差数列，则，
则，则，A错误；
由，可得，解之得
又时，，则，整理得
则数列是首项为3公比为3 的等比数列，则，
则数列的前项和
，B正确；
，则数列的前项和
，C正确；
设数列的前项和，
则，，
两式相减得
整理得，则当时，，D正确.
故选：BCD.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设和分别为数列和的前n项和.已知，，则（ ）
A．是等比数列 B．是递增数列
C． D．
【答案】ACD
【分析】由已知结合的关系及等比数列的定义判断数列即可确定A、C正误，应用作差法比较的大小关系判断B正误，利用错位相减法求，再由作差法判断的大小判断D.
【详解】由，当时，，即，又，
∴，即，
∴是首项为，公比为的等比数列，故，A正确；
由，则，即是递减数列，B错误；
又，则，C正确；
①，②，
①-②得：，
∴，则，
∴，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：利用及等比数列的定义求的通项公式，综合运用作差法、错位相减法比较大小判断数列单调性、求前n项和，进而判断各选项的正误.
二、练
【训练1】（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）数列满足，，则
【答案】
【分析】由已知整理得，先利用累乘法求数列的通项，再利用错位相减法求其前2021项的和，从而得到结果.
【详解】由得：，
；
设，
则，
，
，
，即，
，，
.
故答案为：.
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理．如著名的欧拉函数：对于正整数n，表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，如，．那么，数列的前n项和为 ．
【答案】
【分析】利用错位相减法求和.
【详解】在中，与不互质的数有，共有个，
所以，
所以，
设数列的前项和为，
所以，
，
两式相减可得,
所以,
即,
故答案为：.
三、测
【训练1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和 .
【答案】
【分析】先根据求出，进而求出，再利用错位相减法求和.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
综上：，，
所以，
所以①，①×得：
②，
两式相减得：，
所以
故答案为：
【训练2】（2023秋·江苏连云港·高三江苏省海头高级中学校联考阶段练习）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
【训练3】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校考期末）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
【训练4】（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）设数列的前n项和为．已知，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)应用,结合等差数列定义证明即可;
(2)先求等比数列的通项公式,再两次应用错位相减或裂项相消
【详解】（1）①，
当时，②，
①－②得：,
即，
所以，且，
所以是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）得，．
当时，；当时，；
又满足上式，所以．
所以，记数列的前n项和为．
方法一：（两次错位相减）
，①
，②
①－②得，③
则，④
③－④得
，
所以．
方法二：（裂项）
因为，
所以
．
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专题04数列求和
考点10：分组、并项、倒序求和
一、讲
1.分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
常见类型：
分段型(如①an＝②an＝2n＋3n－1)，周期型.
2.并项转化法
一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和.
常见类型：
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
3. 倒序相加法
如果一个数列{an}中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解.
【典例1】（多选）（2023春·湖南岳阳·高二校考开学考试）已知数列满足，则下列结论正确的有（　　）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前n项和
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
【典例3】（多选）（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．为等比数列
C．
D．
二、练
【训练1】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【训练2】（2023·四川雅安·校考模拟预测）若数列的前项和为，且，则（ ）
A．684 B．682 C．342 D．341
【训练3】（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
三、测
【训练1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【训练2】（2022秋·广东惠州·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前100项的和.
考点11：裂项相消求和
一、讲
裂项相消法
把数列的通项拆成两项（或多项）之差，在求和时，中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
常见类型：
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
(4)
【典例1】（多选）（2023秋·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期末）已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（ ）
A．
B．数列为递增数列
C．
D．数列的前n项和小于
【典例2】（多选）（2023·江苏连云港·统考模拟预测）利用“”可得到许多与n（且）有关的结论，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、练
【训练1】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知数列满足，则数列的前2022项的和为 .
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 .
三、测
【训练1】（2023秋·江西上饶·高三上饶市第一中学校考阶段练习）等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.
【训练2】（2023·广东肇庆·校考模拟预测）设数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【训练3】（2023春·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考期中）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
考点12：错位相减求和
一、讲
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
万能公式：
.
等差，等比，化为. ,
+ .
.
注意：公式一定要记牢，不然就会计算错误分会被扣完.
【典例1】（2023·湖南岳阳·湖南省平江县第一中学校考模拟预测）数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是（ ）
A．
B．数列的前n项和
C．数列的前n项和
D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设和分别为数列和的前n项和.已知，，则（ ）
A．是等比数列 B．是递增数列
C． D．
二、练
【训练1】（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）数列满足，，则
【训练2】（2023·全国·高三专题练习）欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理．如著名的欧拉函数：对于正整数n，表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，如，．那么，数列的前n项和为 ．
三、测
【训练1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和 .
【训练2】（2023秋·江苏连云港·高三江苏省海头高级中学校联考阶段练习）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【训练3】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校考期末）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【训练4】（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）设数列的前n项和为．已知，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．
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