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高三数学第二轮专题复习测试—三角函数
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知则等于 （ ）
A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．
2．将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平
移后的图象所对应函数的解析式是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于 （ ）
A．　　　　　 B．　　　　　 C．2　　　　 D．3
4．设，对于函数，下列结论正确的是 （ ）
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
5．已知非零向量与满足且 则为 （ ）
A．等边三角形　　　　　　　　　 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形　　　　　　 D．三边均不相等的三角形
6．下列函数中,图像的一部分如右图所示的是 （ ）
A．y=sin(x+)
B．y=sin(2x－)
C．y=cos(4x－)
D．y=cos(2x－)
7．若△的内角满足，则= （ ）
A． B． C． D．
8．△ABC的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为 （ ）
A． 　　　 B． 　　 C． 　　　 D．
9．函数的最小正周期是 （ ）
A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．
10．设a b c分别是ΔABC的三个内角ABC所对的边,则a2=b(b+c)是A=2B的 （ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
11． 等式成立是成等差数列 的 （ ）
A．充分而不必要条件　　　　　　　 B．必要而不充分条件　
C．充分必要条件　　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要条件
12．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．已知，sin()=－则=___ _．
14．给出下面的3个命题：（1）函数的最小正周期是；（2）函数在区间上单调递增；（3）是函数的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ．
15． 的值为 ．
16．函数的图象如图所示，则的值等于 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）（2006年四川卷）已知是三角形三内角，向量，且．
（1）求角；
（2）若，求．
18．（本小题满分12分）（2006年上海春卷）已知函数
.
（1）若，求函数的值；
（2）求函数的值域.
19．（本小题满分12分）（2006年安徽卷）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
20．（本小题满分12分）有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.
21．（本小题满分12分）设，函数的定义域为，且
，对定义域内任意的，满足，求:
（1）及的值；
（2）函数的单调递增区间；
（3）时，，求,并猜测时，的表达式.
22．（本小题满分14分）（2006年福建卷）已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？
参考答案
1．B．∵，， ∴ ， ，
∴ ．
2．C.　将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以，因此选C.
3．B．∵ 的最小值是时
∴ ∴且
∴ 故本题的答案为B.
4．B.　令，则函数的值域为函数的值域，又，所以是一个减函减，故选B.
5．A 向量和三角形之间的依赖关系，认识角平分线和高及夹角用两向量数量积包装的意义， 注意 知,角A的平分线和BC的高重合, 则，由知，夹角A为600,则为等边三角形，选A．
6．D 由图像可知,所求函数的周期为排除(A)(C)对于(B)其图像不过(,0)点，所以应选D.
7．A.∵，∴.　∴，
=.应选A.
8．B.　，利用余弦定理可得，即，故选择答案B.
9．D.　所以最小正周期为,故选D.
10．A 由余弦定理得a2=b2+c2－2bccosA,所以a2=b(b+c)+c2－bc－2bccosA中c2－bc－2bccosA=c(c－b－bcosA)=2Rc(sinC－sinB－2sinBcosA)=Rc(sin(A+B)－sinB－2sinBcosA)=Rc(sin(A－B)－sinB)(*),因为A=2B,所以(*)=0,即得a2=b(b+c);而当由余弦定理和a2=b(b+c)得bc=c2－2bccosA,l两边同时除以c后再用正弦定理代换得sinB=sinC－2sinBcosA,又在三角形中C=π－(A+B),所以sinB=sin(A+B)－2sinBcosA,展开整理得sinB=sin(A－B),所以B=A－B或A=π(舍去),即得A=2B,所以应选A．
11．B 若,则“，，成等差数列”不一定成立,反之必成立,选B．
12．D.　的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，，所以是钝角三角形.故选D.
13． 由于,所以,,故,,==.
14．①②．③中是的对称中心．
15．．诱导公式变角，再逆用三角公式切入，
=
16．．由图象知，其图象关于点对称知，
17．（1）∵ ∴ 即
, ，
∵ ∴ ∴．
（2）由题知，整理得．
∴ ∴，
∴或．
而使，舍去 ∴．
∴．
18．（1），
.
（2），
， ， ，
函数的值域为.
19．（1）由得，即，又，所以为所求.
（2）=
===.
20．如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则
∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，，
∴PQ=Rsin(45°－θ).
S矩形MNPQ=QP·NP=R2sinθsin(45°－θ)=R2·［cos(2θ－45°)－］
≤R2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S矩形MNPQ的值最大且最大值为R2.
工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为R2.
21．（1），
，
，
，
，
.
（2）,
的增区间为.
（3），，
所以，
因此是首项为，公比为的等比数列，故，
猜测.
22．（1）
的最小正周期
由题意得
即　
的单调增区间为
（2）方法一：
先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象.
方法二：
把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象.

高三数学第二轮复习专题测试—不等式
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，已知命题；命题，则 是成立的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数 的最小值为（ ）
Ａ．8　　　 　 Ｂ．6　　　 C．4　　　 　 D．2
3．（文）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件； 命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1∪[3，+∞．则 （ ）
A．“p或q”为假 B．p假q真
C．p真q假 D．“p且q”为真
（理）设偶函数f (x)=loga|x－b|在(－∞，0)上递增，则f (a+1)与f (b+2)的大小关系是（ ）
A．f(a+1)=f (b+2) B．f (a+1)>f (b+2)
C．f(a+1)4．（文）若，则下列不等式 ①；②③；④ 中，正确的不等式有 （ ）
A．０个 B．１个 C．2个 D．３个
（理）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为则每两客车营运多少年，其运营的年平均利润最大 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（文）成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条
（理）对于的一切值，则恒成立的 （ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．若a,b,c＞0且a (a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为 （ ）
A．-1 B． +1 C． 2+2 D． 2-2
7． 设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是 （ ）
A．　　 　 B．
C．　　　　 　 D．
8．（文）实数满足则的值为 （ ）
A．8 B．-8 C．8或-8 D．与无关
（理）已知之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．的关系随c而定
9．（文）若函数是奇函数，且在（），内是增函数，，则不等式 的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
（理）若是偶函数，且当的解集是（ ）
A．（－1，0） B．（－∞，0）∪（1，2）
C．（1，2） D．（0，2）
10．若不等式x2＋ax＋1(0对于一切x(（0，）成立，则a的取值范围是 （ ）
A．0 B． –2 C．- D．-3
11．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为 （ ）
A．200件 B．5000件 C．2500件 D．1000件
12．不等式对满足恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
13．（文）b克盐水中，有a克盐（），若再添加m克盐（m>0）则盐水就变甜咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .
（理）已知三个不等式①ab>0 ② > ③bc>ad 以其中两个作条件余下一个作结论，则可组 个正确命题.
14．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即a*b=，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数，a、b、c都能成立的一个等式可以是_________.
15．设a＞0，n1，函数f (x) =alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn（x2-5x+7）＞0的解集为__ _.
16．已知则不等式≤5的解集是 ____ .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）（文科做）比较下列两个数的大小：
（1）
（2）；
（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明
（理科做）已知：
，
试比较M，N的大小：你能得出一个一般结论吗？
18．（本小题满分12分）已知实数P满足不等式判断方程 有
无实根,并给出证明.
19．（本小题满分12分）（文科做）关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实质数k的取值范围.
（理科做）若是定义在上的增函数，且对一切满足.
（1）求的值;
（2）若解不等式.
20．（本小题满分12分）某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．
（1）把房屋总造价表示成的函数，并写出该函数的定义域.
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？
21．（本小题满分12分）（文科做）设
求证：
（理科做）设
（1）证明A>;
（2）
22． （本小题满分14分）（2006年广东卷）A是由定义在上且满足如下条件的函数 组成的集合：①对任意，都有 ； ②存在常数，使得对任意的，都有
（1）设，证明：;
（2）设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;
（3）设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式.
参考答案
1．B．命题是命题等号成立的条件，故选B．
2．C．恒成立的意义化为不等式求最值,
,验证,2不满足,4满足,选C．
3．（文）B．命题p假,取a=-1,b=1可得；命题q真，由得
（理）B．由偶函数得，由函数递增性得
又．
4．（文）Ｃ． ①正确,②错误,③错误,④正确．
（理）C．
5．（文）B．取x=2时不成立,充分性不正确,由可推得,必要性正确
（理）C． 取时取时充分性不成立,必要性成立由一次函数思想
6．D．因为,故＋4ab+4ac+2bc4+4ab+4ac+4bc
= 4[a（a+b+c）+bc]=4[4-2],又a,b,c>0,故上式两边开方得,2a+b+c=2=2-2,故选D．
7．C．因为，所以（A）恒成立；
在B两侧同时乘以得
所以B恒成立；
在C中，当a>b时，恒成立，a在D中，分子有理化得恒成立，故选C．
8．（文）A． 由条件取绝对值得8．
（理）C． x =,y=，∴x9．（文）D．由题意作的图象由图象易得
（理）D．由题意作的图象由图象易得
10．C．设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝,若(，即a(－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）(0(－(x(－1
若(0，即a(0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1(0恒成立，故a(0
若0((，即－1(a(0，则应有f（）＝恒成立，故－1(a(0． 综上，有－(a,故选C ．
11．D．设每次进x件费用为y由 时最小
12．D．变形则．
13．（文）．提示:由盐的浓度变大得．
（理）3个，由不等式性质得：
,
14．a+(b*c)=(a+b)*(a+c)，(a*b)+c=(a*c)+(b*c)，
a*(b+c)=(a+b)*c=(b+c)*a=(a+c)*b(a*b)+c=(b*a)+c等．
填出任何一个都行． 答案 不唯一．
提示:∵a+(b*c)=a+=== (a+b )*( a+c),其余类似可得
15．.由于f（x）有最大值,故0,所以原不等式转化为0-5x+7<1,
又因为恒成立,故只需1成立即可,
解之得, ．
16． ．分类⑴原式成立 ⑵化为综上得
17．（文）（1）,（2）
（3）一般结论：若成立
证明 欲证成立
只需证
也就是 （）
故
（理）解先考查两个变量的情形
（1-a）(1-b)=1-a-b+ab≥1-a-b 当且仅当a、b中至少有1个为零时,等号成立
∴(1-a)(1-b)(1-c) ≥(1-a-b)(1-c)=1-a-b-c+c(a+b) ≥1-a-b-c 当且仅当a、b、c中至少有2个为零时,等号成立 于是(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)≥1-a-b-c-d, 当且仅当a、b 、c、d 中至少有3个为零时,等号成立 ∴a、b、c、d至少有3个为0时,M=N,否则M>N ．
18．解由
方程的判别式
∴方程无实根
19．（文）解：不等式的解集为
不等式可化为
由题意可得
不等式组的整数解的集合为{－2} ．
（理）（1）
（2）
即上的增函数 ．
20．（1）由题意可得，
（2）=13000
当且仅当即时取等号。
若，时，有最小值13000。
若任取
在上是减函数
．
21．（文）
．
。
（理）（1）A
=
（2）

．
∴
22．解：对任意,,,,所以,对任意的，
，
，所以
0<
,令=，，
,所以．
反证法:设存在两个使得,则
由，得，所以，矛盾，故结论成立。
，所以
+…
．

高三数学第二轮专题复习测试—圆锥曲线
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．若椭圆经过原点,且焦点为,则其离心率为 （ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离
之比等于 （ ）
A． B． C． 2 D．4
4．与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
5．直线与曲线 的公共点的个数为 （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
6．如果方程表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．曲线与曲线的 （ ）
A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同
8．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 （ ）
A． B． C． D．
9．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、 两点，点与点
关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
10．抛物线上的点到直线距离的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线上一定点和两动点当是,点的横坐标的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
12．椭圆上有个不同的点:,椭圆的右焦点为,数列是公差大于的等差数列,则的最大值为 （ ）
A．199 B．200 C．198 D．201
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13．椭圆的两个焦点为 ,点在椭圆上.如果线段的中点在轴上,那么是的______________倍.
14．如图把椭圆的长轴AB分成8等
分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部
分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= .
15．要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为____________.
16．已知两点,给出下列直线方程:①;②;③.则在直线上存在点满足的所有直线方程是_______.(只填序号)
三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点
测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天
器发出变轨指令？
18．（本小题满分12分）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.
19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是(为大于0的常数).
（1）求椭圆的方程;
（2）设是椭圆上一点,且过点的直线与轴交于点,若,求直线的斜率.
20．（本小题满分12分）已知点分别是椭圆长轴的左、右端点,点是椭圆的右焦点.点在椭圆上,且位于轴的上方,.
（1）求点的坐标;
（2）设椭圆长轴上的一点, 到直线的距离等于,求椭圆上的点到点的距离的最小值.
21．（本小题满分12分）已知抛物线,是否存在过点的弦,使恰被平分.若存在,请求所在直线的方程;若不存在,请说明理由.
22．（本小题满分14分）设,为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量,若向量,,且.
（1）求点的轨迹的方程;
（2）过点(0,3)作直线与曲线交于两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形是矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.
答案与解析
1．C . 原点到的距离之和是长轴长,又,所以椭圆的离心率.
2．D . 椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D．
3．答案选C 依题意可知 ，
，故选C．
4．A 设动圆圆心为,动圆与已知半圆相切的切点为,点到轴的距离为,则有,而,所以,化简得.
5．D．将代入得：
，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4 个，故选择答案D．
6．D．由题意知,.若,则双曲线的焦点在轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在轴上,而选择支B,D不表示椭圆;
若,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方,双曲线的焦点在轴上,选择支D的方程符合题意.
7．A．由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A．
8．A . 一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。分析一下，因为等号后为常数“+”，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+”，所以这个双曲线是“立”着的。接下来排除C、D两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线，“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式是或（），题目中的双曲线方程并不是标准形式，所以要变一下形儿，变成。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方 = 4.即，所以。选A．当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈出来
9．D．由及分别在轴的正半轴和轴的正半轴上知，，，由点与点关于轴对称知，，=，则
10．A .抛物线上任意一点（，）到直线的距离.因为，所以恒成立.从而有，.选A．
11．D .由题意知,设,又因为,由知,,即,也就是,因为,所以上式化简得,由基本不等式可得或.
12．D . 由题意知,要使所求的最大,应使最小,最大,又为椭圆的右焦点,设的横坐标为故由第二定义可得,,其中,所以当时, ,当时, 最大.由等差数列的通项公式可得, ,即,又因为,解得.
13．7倍. 由已知椭圆的方程得.由于焦点
关于轴对称,所以必垂直于轴.所以
,所以.
14．35. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P7(x7,y7),所以根据对称关系x1+x2+…+x7=0,于是
|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=a+ex1+a+ex2+…+a+ex7=7a+e(x1+x2+…+x7)= 7a=35,所以应填35.
15．1米. 由题意知,设抛物线的方程为,又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点(8,-4)为抛物线上的点,所以.即抛物线方程为.所以当时,,所以柱子的高度为1米.
16．②③. 由可知点在双曲线的右支上,故只要判断直线与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为,直线①过原点且斜率,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在轴上的截距为故与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率,故与双曲线的右支有一个交点.
17．（1）设曲线方程为，
由题意可知，.
.
曲线方程为.
（2）设变轨点为，根据题意可知
得 ，
或（不合题意，舍去）. .
得 或（不合题意，舍去）. 点的坐标为，
.
答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令.
18．（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。
， ∴，
，故所求椭圆的标准方程为+；
（2）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、（0，-6）、（0，6）
设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，
， ∴，
，故所求双曲线的标准方程为-.
19．（1）设所求椭圆方程为:.由已知得:,所以.故所求椭圆的方程为:.
（2）设,直线,则点.当时,由于.由定比分点坐标公式,得,.又点在椭圆上,所以,解得.当时,,.于是,解得.故直线的斜率为0或.
20．（1）由已知可得点, 设点,则,,由已知可得.则解得.由于,只能于是. 所以点P的坐标是.
（2）直线的方程是.设点,则到直线的距离是. 于是,又,解得. 椭圆上的点到点的距离有,由于,所以当时,取得最小值.
21．假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为,点在抛物线上,所以,两式作差得,,即,解得,故直线方程为,即.经验证,直线符合条件.
22．（1）由,得,设则动点满足,所以点在椭圆上,且椭圆的.所以轨迹的方程为.
（2）设直线的斜率为,则直线方程为,联立方程组消去 得:,恒成立,设,则.由,所以四边形为平行四边形.若存在直线,使四边形为矩形,则,即,解得,所以直线的方程为,此时四边形为矩形.

高三数学第二轮专题复习测试—平面向量
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，
则向量（ ）
A． B．
C． D．
2．与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是 （ ）
A． B．或
C． D．或
3．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则= （ ）
A．0 B．－1 C．－2 D．0.5
4．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则= （ ）
A． B． C． D．（1，0）
5．如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量
的数量积中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，，是边上的高，若，则实数等
于 （ ）
A． B． C． D．
7．设，，则满足条件，的动点P的
变化范围（图中阴影部分含边界）是 （ ）
A． B． C． D．
8．将函数f(x)=tan(2x+)+1按向量a平移得到奇函数g(x)，要使|a|最小，则a=（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
9．已知向量、、且，，，.设与的夹角为，
与的夹角为，与的夹角为，则它们的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是 （ ）
A．或 B．或
C． D．
11．已知，，，点C在内，且，设 ，则等于 （ ）
A．　 B．3 C． D．
12．对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则
②在中，若则
③在中，
其中真命题的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．在 ABCD中，，M为BC的中点，则_______.（用表示）
14．已知为坐标原点，动点满足，其中且，则的轨迹方程为 .
15．在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值为
.
16．已知向量，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知向量，.（1）若，试判断与能否平行？（2）若，求函数的最小值.
18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数，其中向量
，.
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.
19．（本小题满分12分）（2006年全国卷II）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，
－＜θ＜．
（1）若a⊥b，求θ；
（2）求｜a＋b｜的最大值．
20.（本小题满分12分）在中，．
（1）求的值；
（2）当的面积最大时，求的大小．
21．（本小题满分12分）（2006陕西卷）如图，三定点A(2,1)，B(0,－1)，C(－2,1); 三动点D，E，M满足
（1）求动直线DE斜率的变化范围;
（2）求动点M的轨迹方程.
22．（本小题满分14分）已知点是圆上的一个动点，过点作轴于点，设.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求向量和夹角的最大值，并求此时点的坐标
参考答案
1．，故选A．
2．B 设所求向量=（cos,sin）,则由于该向量与的夹角都相等,故
3cos=-4sin,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B选项成立,故选B．
3．D 依题意知向量与共线，设（），则有，所以，解得，选D．
4．解选B．设，则依题意有
5．解析:利用向量数量积的几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积.显然由图可知在方向上的投影最大.所以应选(A).
6．B 即得又是边上的高，即，整理可得即得，故选B．
7．A 设P点坐标为，则.由，得，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A．
8．A 要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位.即应按照向量进行平移.要使|a|最小，应取a=（），故选A．
9．B 由得，两边平方得，将，，代入得，所以；同理，由得，可得，，所以.
10． B 由已知得，所以，因此，由于恒成立，所以，解得或.
11．答案B∵ ，，
∴△ABC为直角三角形，其中
∴
∴ 即 故本题的答案为B．
12．答案B取特殊值、数形结合
在中， ，不妨取A（0，1）， C（0，0），B（0，1），则
∵ ∴ 、、
此时、 、；
即命题②、③是错误的.
设如图所示共线三点，，，则
＝
＝
∴ 即命题①是正确的.
综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B．
13．解：，，所以.
14． 设，则，又，所以由得，于是，由消去m, n得的轨迹方程为：.
15． 如图，设，则，所以
，
故当时，取最小值-2.
16． 因为，所以.由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有，解得，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是.
17．解析：（1）若与平行，则有，因为，，所以得，这与相矛盾，故与不能平行.
（2）由于，又因为，所以， 于是，当，即时取等号.故函数的最小值等于.
18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.
（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，
于是d＝（，－2），k∈Z.
因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.
19．解析：解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，
由此得 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－；
（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得
｜a＋b｜＝＝
＝，
当sin(θ＋)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1．
20．解：（Ⅰ）由已知得： 因此，．
（Ⅱ），

．（当且仅当时，取等号），
当的面积取最大值时，，所以.
解：（I）由条件知： 且
，
设夹角为，则，
，故的夹角为 ，
（Ⅱ）令的夹角为
，
的夹角为.
21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t,  = t ,
知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴ 同理  .
∴kDE =  =  = 1－2t.
∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].
（Ⅱ） 如图, =+ = + t
= + t(－) = (1－t) +t,
=+ = +t = +t(－)
=(1－t) +t,
 = += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2)  + 2(1－t)t+t2 .
设M点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得
 消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].
故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
22．解析：（1）设，，则，，
.
（2）设向量与的夹角为，则，
令，则，
当且仅当时，即点坐标为时，等号成立.
与夹角的最大值是.

高三数学第二轮专题复习测试—
排列、组合、二项式、概率与统计
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．
1．(理)下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 （ ）
A．从10只编号的球(0号到9号)中任取一只，被取出的球的号码ξ
B．抛掷两个骰子，所得的最大点数ξ
C．[0，10]区间内任一实数与它四舍五人取整后的整数的差值ξ
D．一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数ξ
(文)现有10张奖票，只有1张可中奖，第一人与第十人抽中奖的概率为 （ ）
A．， B．， C．， D．，
2．为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33、25、28、26、25、31．如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋 （ ）
A．900个 B．1080个 C．1260个 D．1800个
3．假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点
伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方(包括右上，右下)爬行，
从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，从最初位置爬到4号蜂房
中，则不同的爬法有 （ ）
A．4种 　 B．6种 　 C．8种 　 D．10种
4．A与A的大小关系是 （ ）
A．A > A B．A < A C．A = A D．大小关系不定
5．(理)若f(m)=，则等于 （ ）
A．2 B． C．1 D．3
（文）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种
A．1320 B．288 C．1530 D．670
6．(理)在二项式(x-)6的展开式中(其中=－1)，各项系数的和为 （ ）
A．64 B．－64 C．64 D．－64
（文）已知(2a3+)n的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收
到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端
的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六
个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组
中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收
器能同时接收到信号的概率是 （ ）
A．　　　　　 B．
C．　　　　　 D．
8．（理）同时抛掷4枚均匀的硬币3次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则 ξ的数学期望是 （ ）
A． B． C． D．1
(文)已知两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1-3y1+1，2x2-3y2+1，…，2xn-3yn+1的平均数是 （ ）
A．2-3 B．2-3+1 C．4-9 D．4-9+1
9．的展开式中含x的正整数指数幂的项数是 （ ）
A．0　　　　　 B．2　　　　　 C．4　　　　　 D．6
10．从0到9这10个数字中任意取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率为 （ ）
A． B． C． D．
11．设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 （ ）
A． B． C． D．
12．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9 ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1
③他至少击中目标1次的概率是1—0.14
其中正确结论的是 （ ）
A．①③ B．①② C．③ D．①②③
二、填空题：本大题共4小题。每小题4分。共16分 把答案填在题中横线上．
13．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为，则x在(0，2)内的值为___________．
14．(理)一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，射击结束后剩余子弹数目ξ的数学期望Eξ=______________.
(文)已知某天一工厂甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是1500、1300、1200，现用分层抽样方法抽取了一个样本容量为n的样本，进行质量检查，已知丙车间抽取了24件产品，则n=____________.
15．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有___________种．
16．关于二项式(x-1)2005有下列命题：
④该二项展开式中非常数项的系数和是1：
②该二项展开式中第六项为Cx1999；
⑧该二项展开式中系数最大的项是第1002项：
④当x=2006时，(x-1)2005除以2006的余数是2005．
其中正确命题的序号是__________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?
18．(本小题满分12分)求二项式(-)15的展开式中：
（1）常数项；
（2）有几个有理项；
（3）有几个整式项．
19．(本小题满分12分)(理)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（1）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（2）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）
（文）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。
（1）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；
（2）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；
20．(本小题满分12分)袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同．从袋中同时取出2个球．
（1）若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证：m 必为奇数；
（2）在肌n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求m+n≤40的所有数组(m，n)．
21．(本小题满分12分)(理)东方庄家给游人准备了这样一个游戏，他制作了“迷尼游戏板”：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙，…，第8行9个铁钉之间有8个空隙(如图所示)．东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次(放入一球就算玩一次)先付给庄家2元．若小球到达①②③④号球槽，分别奖4元、2元、0元、-2元．(一个玻璃球的滚动方式：通过第1行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按类似方式继续往下滚动，落入第8行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内)．恰逢周末，某同学看了一个小时，留心数了数，有80人次玩．试用你学过的知识分析，这一小时内庄家是赢是赔；通过计算，你想到了什么?
(文)甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击．
（1）求前3次射击中甲恰好击中2次的概率；
（2）求第4次由甲射击的概率．
22．(本小题满分14分)规定A=x(x-1)…(x-m+1)，其中x∈R，m为正整数，且A=1，这是排列数A(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．
（1）求A的值；
（2）排列数的两个性质：①A=nA，②A+mA=A(其中m，n是正整数)．是否都能推广到A(x∈R，m是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数A的单调区间．
参考答案
1．(理)C 仅C选项中的差值不是离散型随机变量．
(文)C 无论谁抽中奖的概率均为P==,则第一人与第十人抽中奖的概率均为，故应选C．
2．C 由已知抽样数据可得平均数为=28个，据此可以估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋的数量约为28×45=l260个．
3．C 路线为134；124；1234；0134；0124；01234；024；0234.
4．D 当n≥3时，得-=(n+1)n-n(n-1)(n-2)=-n(n2-4n+1)，当n=3时,-=6>0，得>；当n≥4时，-<0，得<. 即与的关系不定．故应选D．
5．(理)A ∵f(m)=，∴f(3)==(1+3)n=4n，f(1)= =(1+1)n=2n. ==2,故应选A.
(文)A 用间接法求解简单 ；也可直接法分3类求解；
6．(理)D 令x=l得，各项系数和为(-)6=26×(-)6=-26=-64．
(文)B T7=(2a3)n-6·a-6=·2n-6·a3n-24，当3n-24=O时，此项为常数项，即n=8时第7项是常数．
7．D　由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是，故选D．
8．(理)B 4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的概率为P=C·()4=，
由此可得P(=0)=C·(1-)3=()3，P(=1)=·．(1-)2=，P(=2)=·()2．(1-)=，P(=3)=·()3=，由此可得E=0×()3+1×+2×+3×=．故应选B．
(文)B (2x1-3yl+1+2x2-3y2+l+…+2xn-3yn+1)／n=2(x1+x2+…+xn)／n-3(y1+y2+…+yn)／n+1=2-3+l，故应选B．
9．B 展开式通项为，若展开式中含x的正整数指数幂，即所以，选（B）
10．B将这10个数字按被3除所得的余数分成三个集合A={0,3,6,9},B={1,4,7},C={2,5,8},所以能被3整除的分以下四种情况①三个数都从A中取,共有个数能被3整除;②三个数都从B中取,共有个数能被3整除;③三个数都从C中取,共有个数能被3整除;④分别从ABC中各取一个数,共有个数能被3整除.所以所有能被3整除的数共有228个.而从0到9这10个数字中任意取3个数组成的三位数共有个,所以能被3整除的概率为,于是这个数不能被3整除的概率为,因选B．
11．B 显然，设，则C是I的非空子集，且C中元素不少于2个（当然，也不多于5个）.另一方面，对I的任何一个k（）元子集C，我们可以将C中元素从小到大排列.排好后，相邻数据间共有k1个空档。在任意一个空挡间插入一个隔板，隔板前的元素组成集合A，隔板后元素组成集合B。这样的A、B一定符合条件，且集合对{A，B}无重复.综合以上分析，所求为：.选B.
12．A　恰好击中目标3次的概率是O.93×0.1，即得②错误，而①③正确，故应选A．
13．或 由已知可得+=n+1=7，即得n=6，二项式系数最大的一项为·sin3x=20sm3x=，解得sinx=，又x∈(0，2)，∴x=或．
14．(理)1.89 P(=2)=O.9，P(=1)=0.1×0.9=0.09，P(=0)=O.13+0.12×0.9=0.0l，由此可得E=2×O.9+l×O.09+O×O.01=1.89．
(文)80　每个个体被抽取的概率P==, ∴n=(1500+1300+1200)×=80
15．35 从二楼到三楼用7步走完，共走11级，则必有4步每步走两级，其余3步每步1级，因此共有=35种方法．
16．①④ 二项式(x-1)2005所有项的系数和为O，其常数项为-l，非常数项的系数和是1，即得①正确；二项展开式的第六项为x2000，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为=，-=-，得系数最大的项是第1003项·x1003，即③错误；当x=2006时，(x-1)2005除以2 006的余数是2006-l=2005，即④正确．故应填①④．
17．由于张数不限，2张2，3张A可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类． (2分)
出牌的方法可分为以下几类：
(1)5张牌全部分开出，有A种方法； (3分)
(2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法； (4分)
(3)2张2一起出，3张A分开出，有A种方法； (5分)
(4)2张2一起出，3张A分两次出，有种方法； (7分)
(5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法； (8分)
(6)2张2分开出，3张A分两次出，有种方法； (10分)
因此共有不同的出牌方法A+ A+ A++ A+=860种． (12分)
18．展开式的通项为：Tr+1= =
(1)设Tr+1项为常数项，则=0，得r=6，即常数项为T7=26； (4分)
(2)设Tr+1项为有理项，则=5-r为整数，∴r为6的倍数，又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三个数，故共有3个有理项． (8分)
(3) 5-r为非负整数，得r=0或6，∴有两个整式项． (12分)
19．(理)解：（１）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
（２）
(文)设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B
（１）芳香度之和等于4的取法有2种：、，故。
（２）芳香度之和等于1的取法有1种：；芳香度之和等于2的取法有1种：，故。
20．(1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍(k为整数)，
则有 (2分)
∴-kmn=2kn+1． (4分)
∵k∈Z，n∈Z，∴m=2kn+1为奇数． (6分)
(2)由题意,有，∴=mn,
∴m2-m+n2-n-2mn=0即(m-n)2=m+n，1． (8分)
∴m≥n≥2，所以m+n≥4，∴2≤m-n≤<7，
∴m-n的取值只可能是2，3，4，5，6，相应的m+n的取值分别是4，9，16，25，36，
即或或或或
解得或或或或 (10分)
注意到m≥n≥2．
∴(m，n)的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15)． (12分)
21．(理)游人每玩一次，设东方庄家获利为随机变量(元)；游人每放一球，小球落入球槽，相当于做7次独立重复试验，设这个小球落入铁钉空隙从左到右的次序为随机变量+1，则～B(7，)．
因为P(=-4)=P(=0或=7)=P(=0)+P(=7)=+=
P(=-2)=P(=1或=6)=P(=1)+P(=6)=+=
P(=0)=P(=2或=5)=P(=2)+P(=5)=+=
P(=2)=P(=3或=4)=P(=3)+P(=4)=+=
2+E=2+(-4)×+(-2)×+0×+2×=2+，
一小时内有80人次玩．刚东方庄家通常获纯利为(2+×)80=225(元)
答：庄家当然是赢家!我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑． (12分)
(文)假设甲射击命中目标为事件A，乙射击命中目标为事件B．
(1)“前3次射击中甲恰好击中2次”其实隐含的条件是：第一次(甲射击)命中、甲在第二次射击也命中、在第三次射击中没有命中，即事件AA发生．事实上，因为第一次(由甲射击)如果出现，则第二次由乙射击，出现B(第三次仍由乙射击)或(第三次改由甲射击)，出现的事件分别为BB，B或A，，都不满足“前3次射击中甲恰好击中2次”，因此第一次(甲射击)命中；再考虑第二次射击，甲如果没有击中，则出现的事件为AB，A也都不满足“前3次射击中甲恰好击中2次”，因此甲在第二次射击也命中；这样第三次不能再命中，否则结果为AAA．前3次射击中甲恰好击中2次可列举为上面事件AA，所求的概率为P=××=；
(2)第4次由甲射击隐含条件为：第三次若由甲射击，则必击中；若由乙射击，则必未击中．逆推，可以将问题列举为下列事件：AAA、A、A、B．第4次由甲射击的概率P=()3+()2×+×()2+××=
22．(1)=(-15)(-16)(-17)=4080； (3分)
(2)性质①、②均可推广，推广的形式分别是
①，②(x∈R，m∈N+)
事实上，在①中，当m=1时，左边==x，右边=x=x，等式成立； (4分)
当m≥2时，左边=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)=x{(x-1)(x-2)…[(x-1)-(m-1)+1]}=x，
因此，①成立； (5分)
在②中，当m=l时，左边=+=x+l==右边，等式成立；
当m≥2时，左边=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)…(x-n+2)
=x(x-1)(x-2)…(x-m+2)[(x-m+1)+m]
=(x+1)x(x-1)(x-2)…[(x+1)-m+1]==右边， (6分)
因此②(x∈R，m∈N+)成立． (8分)
(3)先求导数，得()/=3x2-6x+2．令3x2-6x+2>0，解得x<或x>
因此，当x∈(-∞，)时，函数为增函数，当x∈(，+∞)时，函数也为增函数． (11分)
令3x2-6x+2≤0, 解得≤x≤，因此,当x∈[,]时,函数为减函数． (12分)
∴函数的增区间为(-∞，),(，+∞)；减区间为[,]．

高三数学第二轮专题复习测试— 数列
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，
则= （ ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．在等差数列中，已知则等于 （ ）
A．40　　　　　　 B．42　　　　　　 C．43　　　　　 D．45
4．在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12，SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为 （ ）
A．48 　 B．54 　 C．60 　 D．66
5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝ （ ）
A． B． C． D．
6．设是公差为正数的等差数列，若，，则
（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线
（该直线不过原点O），则S200＝ （ ）
A．100 B．101 C．200 D．201
8．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于
（ ）
A． B． C． D．
9．设，则等于 （ ）
A． 　 B． 　 C． D．
10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 （ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
11．设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为 （ ）
A．2002 B．2004 C．2006 D．2008
12．一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是
A B C D
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3 （n≥1），则该数列的通项an= .
14． .
15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某
商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正
三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，
就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第
一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一
层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，
第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则
； （答案用n表示）.
16．已知整数对排列如下，
则第60个整数对是_______________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
数列{an}的前n项和记为Sn，
（1）求{an}的通项公式;
（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn
18．（本小题满分12分）
设数列、、满足：，（n=1，2，3，…），
证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）
19．（本小题满分12分）
已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
20．（本小题满分12分）
某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.
21．（本小题满分12分）
等差数列中，，公差是自然数，等比数列中，．
（Ⅰ）试找出一个的值，使的所有项都是中的项；再找出一个的值，使 的项不都是中的项（不必证明）；
（Ⅱ）判断时，是否所有的项都是中的项， 并证明你的结论；
（Ⅲ）探索当且仅当取怎样的自然数时，的所有项都是中的项，并说明理由．
22．（本小题满分14分）
已知数列{}中，（n≥2，），
（1）若，数列满足（），求证数列{}是等差数列；
（2）若，求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）（理做文不做）若，试证明：．
参考答案
1．D．依题意有
2．C．　，故选C．
3．B． ∵等差数列中， ∴公差．
∴＝＝42．
4．B．　因为，所以=54，故选B．
5．A．　由等差数列的求和公式可得且
所以，故选A．
6．B．，，
将代入，得，从而.选B．
7．A．　依题意，a1＋a200＝1，故选A．
8．C．因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则

即，所以，故选择答案C．
9．D．　f（n）=，选D．
10．B．　正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为则前k层共有，k最大为6，剩4，选B．
11．A．认识信息，理解理想数的意义有，
，选A．
12．A．函数认识数列 ，则函数在上为凸函数，选A．
13．由，即=2，所以数列｛＋3｝是以（+3）为首项，以2为公比的等比数列，故＋3=（+3），=－3.
14．由，整体求和所求值为5．
15．
的规律由，所以

所以

16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n为的
n－1个，于是，借助估算，取n=10，则第55个整数对为，注意横
坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为
17．（1）由可得，两式相减得
又 ∴ 故{an}是首项为1，公比为3得等比数列 ∴.
（2）设{bn}的公差为d，由得，可得，可得，
故可设
又由题意可得解得
∵等差数列{bn}的各项为正，∴，∴ ∴
18．必要性：设数列是公差为的等差数列，则：
==－=0，
∴（n=1，2，3，…）成立；
又=6（常数）（n=1，2，3，…）
∴数列为等差数列.
充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1，2，3，…），
∵……① ∴……②
①－②得：=
∵
∴……③ 从而有……④
④－③得：……⑤
∵，，，
∴由⑤得：（n=1，2，3，…），
由此，不妨设（n=1，2，3，…），则（常数）
故……⑥
从而……⑦
⑦－⑥得：，
故（常数）（n=1，2，3，…），
∴数列为等差数列.
综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）.
19．（1）.
（2）， ，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当 时，数列是公差为的等差数列.
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.
20．设第n天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n项和，，而后30－n天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为，公差为30，项数为30－n的等差数列的和，依题设构建方程有，化简，或（舍），第12天的新的患者人数为 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.
21．（1）时，的项都是中的项；（任一非负偶数均可）;
时，的项不都是中的项．（任一正奇数均可）;
（2） 时，
的项一定都是中的项
（3）当且仅当取（即非负偶数）时，的项都是中的项．
理由是：①当时，时，
，其中
是的非负整数倍，设为（），只要取即（为正整数）即可得，
即的项都是中的项；②当时，不是整数，也不可能
是的项．
22．（1），而，∴．
∴{}是首项为，公差为1的等差数列．
（2）依题意有，而，
∴.对于函数，在x＞3.5时，y＞0，，在（3.5，）
上为减函数.　故当n＝4时，取最大值3. 而函数在x＜3.5时，y＜0，
，在（，3.5）上也为减函数．故当n＝3时，取最小值，＝－1.
（3）先用数学归纳法证明，再证明. ①当时，成立；
②假设当时命题成立，即，当时，
故当时也成立，
综合①②有，命题对任意时成立，即.
（也可设（1≤≤2），则，
故）.
下证：　
.

高三数学第二轮专题复习测试—极限、导数
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一
个选项正确
1．（理）若复数满足方程，则 （ ）
A． B． C． D．
(文)曲线y=4x－x3在点(－1,－3)处的切线方程是 （ ）
A．　y=7x+4 B．　y=7x+2 C．　y=x－4 D．　y=x－2
2．函数y=x2(－≤x≤)图象上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角
的范围是 （ ）
A．［0,］∪［,π］ B．［0,π］
C．［,］ D．［0,］∪(,)
3．（理）若,则a的值为 （ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
（文）在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则为（ ）
A．Δx++2 B．Δx－－2
C．Δx+2 D．2+Δx－
4．曲线y=x5+3x2+4x在x=－1处的切线的倾斜角是 （ ）
A．－ B． C． D．
5．函数f(x)=x3－ax2－bx+a2在x=1时,有极值10,则a、b的值为 （ ）
A． B．
C． D．以上皆错
6．（理）已知，下面结论正确的是 （ ）
A．在处连续 B．
C． D．
（文）设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于
A． B． C． D．
7．函数f(x)=x3－3x+1,x∈［－3,0］的最大值、最小值分别是 （ ）
A．1,－1 B．1,－17 C．3, －17 D．9,－19
8．（理）数列{an}中，a1=1,Sn 是前n项和.当n≥2时，an=3Sn,则的值是（ ）
A．－ B．－2 C．1 D．－
（文）曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）
A．y=3x－4 B．y=－3x+2 C．y=－4x+3 D．y=4x－5
9．（理）2+2i的平方根是 （ ）
A．+i B．±i C．±+i D．±(+i)
（文）已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是 （ ）
A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对
10．已知函数的图象如右图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是
11．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时, ＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 （ ）
A．（－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)
C．(－∞,- 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)
12．已知两点O（0,0），Q（,b）,点P1是线段OQ的中点，点P2是线段QP1的中点，P3是线段P1P2的中点，┅，是线段的中点，则点的极限位置应是（ ）
A．（,） B．() C．() D． ()
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
13．垂直于直线2x－6y+1=0且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程的一般式是__________.
14．(理) （2006年安徽卷）设常数，展开式中的系数为，则_____.
(文)(2006福建高考)已知直线与抛物线相切，则
15．函数f(x)=2x3+3x2－12x－5,则函数f(x)的单调增区间是______.
16．（理）用数学归纳法证
的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为_______________.
（文）若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是______________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）
（理）设函数
（1）画出函数的图象；
（2）在x=0，x=3处函数是否连续；
（3）求函数的连续区间.
（文）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.
18．（本题满分12分）
（理）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.
（文）(2006福建高考)已知是二次函数，不等式的解集是且 在区间上的最大值是12。
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分12分）
已知有极大值和极小值.
（1）求+的值；
（2）设曲线的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在上.
20．（本小题满分12分）
（理）函数的定义域为R，且
（1）求证：
（2）若上的最小值为，
求证：.
（文）(2006安徽高考)设函数，已知 是奇函数。
（1）求、的值．
（2）求的单调区间与极值．
21．（本小题满分12分）
（理）如图，在平面直角坐标系xOy中，射线上依次有点列A1，A2…，An，…；B1，B2，…，Bn，….其
中，
（1）用含有n的式子表示；
（2）用含有n的式子表示点An、Bn的坐标；
（3）求四边形面积的最大值.
（文）(2006陕西高考)已知函数f(x)=kx3－3x2+1(k≥0).
（1）求函数f(x)的单调区间;
（2）若函数f(x)的极小值大于0, 求k的取值范围.
22．（本大题满分14分）
自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（3）(只理科做)设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.
参考答案
1．（理）设，由，得，得。所以.答案:D
（文）,所以k切=4－3×(－1)2=1,运用直线的点斜式方程得y=4x－x3在点(－1,－3)处的切线方程是y=x－2,所以应选D.
2．y′=2x.∵－≤x≤,∴－1≤y′≤1,即－1≤tanα≤1.又∵0≤α＜π,∴0≤α≤ 或≤α＜π.答案:A
3．（理）∵存在，而把x=2代入分母时，分母为零，∴分子、分母应有(x－2)这一公因式，化简以后，再求极限.∴分子x2+ax－2可分解成(x－2)(x+1)，即x2+ax－2=(x－2)(x+1)=x2－x－2.∴a=－1.答案: C
（文）==Δx+2.答案:C
4．y′=x4+6x+4,∴y′|=(－1)4+6(－1)+4=－1.由tanα=－1,0≤α＜π,得α=π.
答案:C
5．f′(x)=3x2－2ax－b.∵函数f(x)在x=1处有极值10,∴解得答案:A
6．（理） 当x=1 时，2x+3=52,故A、B错误；而=5，故选D.
（文）f′（x）=3ax2+6x,f′（－1）=3a－6=4,所以a=.答案:D
7．f′(x)=3x2－3=3(x－1)(x+1).令f′(x)=0得x=－1或x=1(舍去).
列表如下:
x
－3
(－3, －1)
－1
(－1,0)
0
f(x)
－17
↗
3
↘
1
∴f(x)max=3,f(x)min=－17.答案:C
8．(理)当n≥2时，an=Sn－Sn－1=3Sn,∴Sn=－Sn－1.又S1=a1=1，∴{Sn}是以1为首项，－ 为公比的等比数列.∴= =－.答案: A
(文)y′=3x2－6x,∴y′|x=1=－3.∴在（1,－1）处的切线方程为y+1=－3（x－1）.答案:B
9．(理)设2+2i的平方根是a+bi(a、b∈R),
则(a+bi)2=2+2i,即a2－b2+2abi=2+2i.由复数相等的定义,得
解得或即2+2i的平方根是±(+i).答案:D
(文)（x）=6x（x－2），f（x）在（－2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x=0时，f（x）=m最大.∴m=3，f（－2）=－37，f（2）=－5.答案：A
10．由函数的图象可知：当时， <0，>0，此时增,当时，>0，<0，此时减,当时，<0，<0，此时减,当时，>0，>0，此时增.答案:C
11．∵当x＜0时,＞0 ，即,∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0,故当时，f(x)g(x)＜0,又f(x)g(x)是奇函数，当x>0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0,故当时，f(x)g(x)＜0,故选D
12.∵点的位置应是(,∴点的极限位置应是().答案:C
13.∵所求直线与2x－6y+1=0垂直，∴k=－3.又由y=x3+3x2－1,得y′=3x2+6x=－3.∴x=－1,切点为(－1，1).∴直线方程为y－1=－3(x+1),即3x+y+2=0.答案: 3x+y+2=0
14．(理) ，由，所以，所以为1.
(文)∵ 直线与抛物线相切,切线的斜率,∴切点,而切点又在抛物线上,∴ 故.
15．分析:本题考查用导数求函数的单调区间,但要注意单调区间的写法.解:f′(x)=6x2+6x－12,令f′(x)＞0,得6x2+6x－12＞0,解得x＜－2或x＞1,即函数f(x)的单调增区间是(－∞,－2)或(1,+∞).答案:(－∞,－2)或(1,+∞)
16．（理)当n=k到n=k+1时，左边增加了两项,减少了一项,左边所增加的项为 －=.答案:
(文)f′（x）=3x2+2x+m.∵f（x）在R上是单调递增函数,∴f′（x）＞0在R上恒成立，即3x2+2x+m＞0.由Δ=4－4×3m＜0,得m＞.答案:m＞
17．(理)⑴图略；
⑵，
，处连续 ， 同理处连续；
⑶连续区间为(－∞，+∞).
(文)（1）由题设知.
令.
当（i）a>0时，
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
（i i）当a＜0时，
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数.
（２）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.
因为线段AB与x轴有公共点，所以.
即.所以.
故.
解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.
即所求实数a的取值范围是[-1，0]∪[3，4].
18．(理)
故的最大值为最小值为.
(文)（1）是二次函数，且的解集是
可设在区间上的最大值是
由已知，得
（2）方程等价于方程
设则
当时，是减函数；
当时，是增函数。
方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间 内没有实数根，
所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根.
19．（1），由于有极大值和极小值，
、的两根，
则
（2）设
知AB的中点在上
20．(理)解：⑴定义域为R，
⑵由⑴知
(文)（1）∵，∴.从而＝
是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（2）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，
和是函数是单调递增区间；
是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为.
21．(理)⑴由已知得，
所以，是首项为，
公比为的等比数列，

⑵设
是首项为公差为的等差数列，



设. 所以
⑶设四边形的面积是，则


∴数列单调递减.∴四边形的面积的最大值为
(文)（1）当k=0时,f(x)=－3x2+1,∴f(x)的单调增区间为(－∞,0),单调减区间[0,+∞].
当k>0时 , f '(x)=3kx2－6x=3kx(x－)．
∴f(x)的单调增区间为(－∞,0) , [ , +∞], 单调减区间为[0, ].
（2）当k=0时, 函数f(x)不存在最小值.
当k>0时, 依题意 f()=  －  +1>0 ,
即k2>4 , 由条件k>0, 所以k的取值范围为(2,+∞).
22．（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得

因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（3）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0 而x1∈(0, 2)，所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

高三数学第二轮专题复习测试—直线与圆的方程
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．圆的切线方程中有一个是 （ ）
A．x－y＝0　　　 B．x＋y＝0　　　 C．x＝0　　　 D．y＝0
2．若直线与直线互相垂直，那么的值等于 （ ）
A．1 B． C． D．
3．设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为 （ ）
Ａ．　　　　 Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　 Ｄ．
4．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是 （ ）
A．一条直线 B．一个圆 C．一个椭圆 D．双曲线的一支
5．参数方程（为参数）所表示的曲线是 （ ）
A．圆 B．直线 C．两条射线 D．线段
6．如果直线的斜率分别为二次方程的两个根，那么与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，若，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路径是
（ ）
A．4 B．5 C． D．
9．若直线始终平分圆的周长，则
的最小值为 （ ）
A．1 B．5 C． D．
10．已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则 （ ）
A． B． C． D．4
11．设圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则圆半径r的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
12．（2006年安徽卷）如果实数满足条件 ，那么的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．已知直线，，若，则 ．
14．若圆与圆相交，则m的取值范围是 ．
15．已知直线与圆相切，则的值为________.
16．已知圆M：（x＋cos(）2＋（y－sin(）2＝1，
直线l：y＝kx，下面四个命题：
（A）对任意实数k与(，直线l和圆M相切；
（B）对任意实数k与(，直线l和圆M有公共点；
（C）对任意实数(，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切;
（D）对任意实数k，必存在实数(，使得直线l与和圆M相切.
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程．
18．（本小题满分12分）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程．
19．（本小题满分12分）设M是圆上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若，求点N的轨迹方程。
20．（本小题满分12分）已知过A（0，1）和且与x轴相切的圆只有一个，求的值及圆的方程．
21．（本小题满分12分）实系数方程的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：
（1）的值域；
（2）的值域；
（3）的值域．
22．（本小题满分14分）已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0）．动点P满足：.
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
（2）当时，求的最大、最小值．
参考答案
1．C．圆心为（1，），半径为1，故此圆必与y轴（x=0）相切，选C.
2．D．由可解得．
3．C．直线和圆相切的条件应用， ,选C;
4．A．过点A且垂直于直线AB的平面与平面的交线就是点C的轨迹，故是一条直线.
5．C．原方程
6．A．由夹角公式和韦达定理求得．
7．C．数形结合法，注意等价于．
8．A．先作出已知圆C关于x轴对称的圆，问题转化为求点A到圆上的点的最短路径，即．
9．D．已知直线过已知圆的圆心（2，1），即．
所以．
10．C．由、、的坐标位置知，所在的区域在第一象限，故.由得，它表示斜率为.
（1）若，则要使取得最小值，必须使最小，此时需，即1；
（2）若，则要使取得最小值，必须使最小，此时需，即2，与矛盾.综上可知，1.
11．B．注意到圆心到已知直线的距离为
，
结合图形可知有两个极端情形：
其一是如图7-28所示的小圆，半径为4；
其二是如图7-28所示的大圆，其半径为6，故．
12．B．当直线过点(0，-1)时，最大，故选B.
13．．时不合题意；
时由，
这时．
14．．由解之得．
15．8或－18.,解得=8或－18.
16．（B）（D）.圆心坐标为（－cos(，sin(）d＝
故填（B）（D）
17．设，由AB中点在上，
可得：，y1 = 5，所以．
设A点关于的对称点为，
则有.故．
18．设圆心为，半径为r，由条件①：，由条件②：，从而有：．由条件③：，解方程组可得：或，所以．故所求圆的方程是或．
19．设，．由可得：，
由.故，因为点M在已知圆上．
所以有，
化简可得：为所求．
20．设所求圆的方程为．因为点A、B在此圆上，所以，① ，② ③④又知该圆与x轴（直线）相切，所以由，③ 由①、②、③消去E、F可得：， ④ 由题意方程④有唯一解，当时，；当时由可解得，
这时．
综上可知，所求的值为0或1，当时圆的方程为；当时，圆的方程为．
21．由题意：，画出可行域是由A（-3，1）、B（-2，0）、C（-1，0）所构成的三角形区域，利用各式的几何意义分别可得值域为：
（1） （2）（8，17） （3）．
22．（1）设动点坐标为，则，，．因为，所以
．．
若，则方程为，表示过点（1，0）且平行于y轴的直线．
若，则方程化为．表示以为圆心，以 为半径的圆．
（2）当时，方程化为，
因为，所以．
又，所以．
因为，所以令，
则．
所以的最大值为，
最小值为．

高三数学第二轮专题复习测试— 立体几何
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列四个命题
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是 （ ）
A． B． C． D．
3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，这个长方体对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
4．已知二面角α－l－β的大小为600,m、n为异面直线,且m⊥α,n⊥β,则m、n所成的角为
（ ）
A．300 B．600 C．900 D．1200
5．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，
G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将△ABC
沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度
数为 （ ）
A．90° B．60°
C．45° D．0°
6．两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长
为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方
体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，
则这样的几何体体积的可能值有 （ ）
A．1个　　　　 　 B．2个
C．3个　　　 　 D．无穷多个
7．正方体A′B′C′D′—ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b（b＜a＝，Q点在D′C′上滑动，则四面体A′—EFQ的体积为 （ ）
A．与E、F位置有关 B．与Q位置有关
C．与E、F、Q位置都有关 D．与E、F、Q位置均无关，是定值
8．（理）高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半径是（ ）
A． B．2 C． D．
（文）三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶
2∶3，PO=2，则P到这三个平面的距离分别是 （ ）
A．1，2，3 B．2，4，6 C．1，4，6 D．3，6，9
9．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四
面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，
且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四
面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－
BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，
S2，则必有 （ ）
A．S1(S2
B．S1(S2
C．S1=S2
D．S1，S2的大小关系不能确定
10．已知球o的半径是1,ABC三点都在球面上,AB两点和AC两点的球面距离都是,BC两点的球面距离是,则二面角B－OA－C的大小是 （ ）
A． B． C． D．
11．条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知棱锥的顶点为P，P在底面上的射影为O，PO=a，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于点M，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b，则a与b的关系是 （ ）
A．b=（－1）a B．b=（+1）a
C．b= D．b=
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________.
14．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______．
15．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________.
16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，
如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶
点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶
点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其
余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能
是： （ ）
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________．（写出所有正
确结论的编号）
三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18．（本小题满分12分）如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，.
（1）证明⊥；
（2）若，求与平面ABC所成角的余弦值.
19．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱 上的一点，.
（1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；
（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.
20．（本小题满分12分）（理）如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，设AB=a，BC=b，PA=c.
（1）建立适当的空间直角坐标系，写出A、B、M、N点的坐标，并证明MN⊥AB；
（2）平面PDC和平面ABCD所成的二面角为θ，当θ为何值时（与a、b、c无关），MN是直线AB和PC的公垂线段.
（文）正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.
（1）求证：PB⊥平面MNB1；
（2）设二面角M—B1N—B为α，求cosα的值.
21．（本小题满分12分）已知正方形.、分别是、的中点,将ADE沿折起,如图所示,记二面角的大小为.
（1）证明平面;
（2）若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.

22．（本小题满分14分）如图,在长方体ABCD─A1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.
（1）求证:MN∥面ADD1A1;
（2）求二面角P─AE─D的大小;
（3）求三棱锥P─DEN的体积.
参考答案
1. D．利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D.
2. D．由题意易知∠ABC1是AD与BC1所成的角，解△ABC1，得余弦为.答案：D．
3. D．设长宽高为a、b、c，则l=，答案：D．
4. B.　作图可知满足条件的m、n所成的角1200为故应选B.
5. B．平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF的中点M，连结IM、MJ，则MJFD，GHFD，∴MJ∥GH，∠IJM为异面直线GH与JI所成的角.
由已知条件易证△MJI为正三角形.∴∠IJM=60°.答案：B．
6. D． 法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个
法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是，所以该几何体的体积取值范围是
7. D．VA′－EFQ=VQ－A′EF.
8.（理）B．过球心作平行于底的截面，R=2tan30°=2.
（文）B．
9. C ．连OA、OB、OC、OD则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C
10. 如图,由题可知∠AOB=∠AOC=,而∠BOC=,因为OA=OB=OC=1,所以BC=1,且分别过B C作OA的垂线,垂足为同一点M,于是∠BMC为二面角B－OA－C的平面角,所以BM=CM=,从而∠BMC=,应选C.
11. B．乙甲，但甲乙，例如四棱锥S—ABCD
的底面ABCD为菱形，但它不是正四棱锥.
12. C．由平行锥体底面的截面性质，知=，∴=.∴= .∴b=a.答案：C．
13. ．底面正方形面积，底面边长，高，二面角的余切值.代入数据，得：.又必为锐角，所以 .
14.．不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.
15.．
16. ①③④⑤． 如图，B、D、A1到平面的距离分别为
1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所
以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的
距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的
中点到平面的距离为，所以C到平面的距离
为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、
C1、B1、D1中的一点，所以填①③④⑤．
17.法一：连接，
为异面直线与所成的角.
连接，在△中，
，
则
.
异面直线与所成角的大小为.
法二：以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
则 ，
得 .
设与的夹角为，
则，
与的夹角大小为，
即异面直线与所成角的大小为
.
18.（１）AM = MB = MN，说明NM是△ANB的中线且为边AB的一半，所以△ANB是直
角三角形，其中ANB为直角。所以BNNA。①
且MN面ABNBN。②
由①、②可推出BN面NAC。所以ACBN。
（２）MNAB且M为AB中点AN = MN ③
由（１）知，AN、BN、CN两两垂直 ④
由③、④ AC = BC，又ACB = ，所以△ABC
是等边三角形。
设BN长度为1，则AB = ，
三棱锥的体积为：；
三棱锥的体积为：
由可得 点N到面ABC的距离
记NB与平面ABC所成角为，则。
从而
实际上，这个题的命题背景是是正方体的一个“角”。如图3.
19. 法一：（１）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面
相交于点，,连结OG，因为PC∥平面，
平面∩平面APC＝OG,
故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.
又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，
故∠AGO是AP与平面所成的角.
在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.
所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为.
（２）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为
D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，
又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP.
那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。
法二：(１)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)
所以
又由知，为
平面的一个法向量.
设AP与平面所成的角为，则依题意有解得．故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为．
（２）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求.
20. （理）（1）证明：以A为原点，分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则A（0，0，0），B（a，0，0），M（，0，0），N（，，）.
=（a，0，0），=（0，，）.
·=0AB⊥MN.
（2）P（0，0，c），C（a，b，0），=（a，b，－c），若MN是PC、AB的公垂线段，则·=0，即－+=0b=c.
又∵AP⊥面ABCD
CD⊥DA
∴∠PDA是二面角P—CD—A的平面角.
∴∠PDA=45°，
即二面角P—CD—A是45°.
（文）（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则P（0，0，1）、M（2，1，0）、B（2，2，0）、B1（2，2，2）.
∵· =（2，2，－1）·（0，1，2）=0，
∴MB1⊥PB，同理，知NB1⊥PB.
∵MB1∩NB1=B1，∴PB⊥平面MNB1.
（2）∵PB⊥平面MNB1，BA⊥平面B1BN，∴=（2，2，－1）与=（0，2，0）所夹的角即为α，cosα==.
21. (１)EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB//FD,且EB=FD,
四边形EBFD为平行四边形.BF//ED
平面.
（2）法一:如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.ACD为正三角形,
AC=ADCG=GD G在CD的垂直平分线上,
点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即
设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形,
在RtADE中,
.
法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.
ACD为正三角形,F为CD的中点,
又因, 所以
又且
为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即 设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的AEF中, AF=,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形,
在RtADE中,
.
法三: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.
ACD为正三角形, F为CD的中点,
又因, 所以

又
为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即 设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形,
在RtADE中,
, .
22. 法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别
为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D─xyz,
则A(a,0,0)、B(a,2a,0)、C(0,2a,0)、A1(a,0,a)、
D1(0,0,a) ∵E、P分别是BC、A1D1的中点,M、
N分别是AE、CD1的中点,
∴E(),P(),M() ,N()
(1) ,取,显然⊥面ADD1A1而,∴.又∴MN面ADD1A1, ∴MN∥面ADD1A1;
(2)过P作PH⊥AE,交AE于H.取AD的中点F,则F,设H(x,y,0),
则,.
又,由以及H在直线AE上可得:
解得x=,y=.∴ ,
所以即,∴与所夹的角等于二面角P─AE─D的大小.,
所以二面角P─AE─D的大小.
(３)设为平面DEN的法向量,
又,,
∴P点到平面DEN的距离为d=
∵,,
.
所以.
法二:　(１)证明:取的中点,连结
∵分别为的中点
∵
∴面,面
∴面面
∴面
(2)设为的中点
∵为的中点 ∴
∴面
作,交于,连结,则由三垂线定理得
从而为二面角的平面角.
在中,,从而
.
在中,
故:二面角的大小为
（3）.
作,交于,由,得,∴.
在中,,
∴.

高三数学第二轮专题复习测试—集合与函数
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合,则满足的集合B的个数是 （ ）
A．1 B．3 C．4 D．8
2．已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，x(R｝，则M(N＝ （ ）
A．( B．{x|x(1} C．｛x|x(1｝ D．{x| x(1或x(0}
3．有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是card= card+ card；
②的必要条件是cardcard；
③的充分条件是cardcard；
④的充要条件是cardcard.
其中真命题的序号是
A．③、④ B．①、② C．①、④ D．②、③
4．已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝ （ ）
A． B．｛x|0＜x＜3｝ C．｛x|1＜x＜3｝ D．｛x|2＜x＜3｝
5．函数的反函数是 （ ）
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
6．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
8．函数的反函数的图象与y轴交于点
（如图2所示），则方程的根是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．已知函数若则 （ ）
A．　　　　　　　 B．
C．　　　　　　　 D．与的大小不能确定
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为 （ ）
A．　 B．　 C．　　 D．
11．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所
围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（ ）
12．关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．函数对于任意实数满足条件，若则_______.
14．设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27，则f（m＋n）＝___________________．
15．设则__________．
16．设，则的定义域为_____________ ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数满足且对于任意, 恒有成立.
（1）求实数的值;
（2）解不等式.
18（本小题满分12分）
20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：

每亩需劳力
每亩预计产值
蔬 菜
1100元
棉 花
750元
水 稻
600元
问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？
19．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若且函数的值域为,求的表达式;
（2）在（1）的条件下, 当时, 是单调函数, 求实数k的取值范围;
（3）设, 且为偶函数, 判断＋能否大于零?
20．（满分12分）
已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）－x2+y_=f（x）－x2+x.
（1）若f（2）－3,求f（1）;又若f（0）=a,求f（a）;
（2）设有且仅有一个实数x0,使得f（x0）= x0,求函数f（x）的解析表达式.
21．（本小题满分12分）
设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合. 试判断集合和 之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的
上方.
22．（本小题满分14分）
设a为实数，记函数的最大值为g（a）.
（1）设t＝，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）；
（2）试求满足的所有实数a．
参考答案
1．C．，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集
个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选择答案C．
2．C．M＝｛x|x(1或x(0｝，N＝｛y|y(1｝故选C
3．B．选由card= card+ card+ card知card= card+
cardcard=0.由的定义知cardcard.
4．D．　,用数轴表示可得答案D．
5．A．∵ ∴ 即
∵ ∴ 即
∴函数的反函数为.
6．B．由，故选B．
7．B．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇
函数,是减函数;故选A．
8．C．利用互为反函数的图象关于直线y=x对称，得点（2，0）在原函数的图象上，即，
所以根为x=2.故选C
9． B．取特值，选B；或二次函数其函数值的大小关系，分类研究对
成轴和区间的关系的方法， 易知函数的对成轴为,开口向上的抛物线, 由, x1+x2=0，需
分类研究和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选B;
10．B．理解明文密文（加密），密文明文（解密）为一种变换或为一种对应关系，构建方程组求解，依提意用明文表示密文的变换公式为，于是密文14，9，23，28满足，即有 ，选B；
11．D．当x=时,阴影部分面积为个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故此时,即点（）在直线y=x的下方,故应在C、D中选;而当x=时, ,阴影部分面积为个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,即,即点（）在直线y=x的上方,故选D．
12．B．本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0 故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程②有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个；故选B．
13．由得，所以，则.
14．f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕(〔f－1（x）＋6〕＝3m(3n＝3m ＋n＝27
(m＋n＝3(f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2．
15．．
16．由得，的定义域为。故，解得.
故的定义域为.
17． （1） 由知, …① ∴…②又恒成立, 有恒成立,故．
将①式代入上式得:, 即故．
即, 代入② 得,．
（2） 即 ∴
解得:　　　, ∴不等式的解集为．
18．设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u，
依题意得x+y+z=50，，则u=1100x+750y+600z=43500+50x.
∴ x0,y=90－3x0,z=wx－400,得20x30,∴当x=30时，u取得大值43500，此时y=0,z=20.
∴安排15个职工种30亩蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元．
19 （1） ∵, ∴又恒成立,
∴, ∴, ∴.
∴
（2） 则
,
当或时, 即或时, 是单调函数.
（3） ∵是偶函数∴,
∵设则.又
∴＋
,∴＋能大于零.
20．（1）因为对任意xεR，有f（f（x）－ x2 + x）=f（x）－ x2 +x，所以f（f（2）－ 22+2）=f（2）－ 22+2.
又由f（2）=3，得f（3－22+2）－3－22+2，即f（1）=1.
若f（0）=a，则f（a－02+0）=a－02+0，即f（a）=A．
（2）因为对任意xεR，有f（f（x））－ x2 +x）=f（x）－ x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f（x0）－ x0. 所以对任意xεR，有f（x）－ x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f（x0）－x + x0= x0, 又因为f（x0）－ x0，所以x0－ x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f（x）－ x2 +x=0，即f（x）= x2 –x. 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，
故x2≠0. 若x2=1,则有f（x）－ x2 +x=1，即f（x）= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为f（x）= x2 –x+1（xR）.
21．（1）
（2）方程的解分别是和，
由于在和上单调递减，
在和上单调递增，因此
.
由于.
（3）[解法一] 当时，.
，
. 又，
① 当，即时，取，
.
， 则.
② 当，即时，取， ＝.
由 ①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时，.
由 得，
令 ，解得 或，
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点；
当时，的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线
绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像
位于函数图像的上方.
22．（1）∵，∴要使有意义，必须且，即
∵，且……① ∴的取值范围是。
由①得：，∴，。
（2）由题意知即为函数，的最大值，
∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
2）当时，，，有=2；
3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，．
综上所述，有=．
（3）当时，；
当时，，，∴，
，故当时，；
当时，，由知：，故；
当时，，故或，从而有或，
要使，必须有，，即，
此时，。
综上所述，满足的所有实数a为：或．

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