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牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三上学期第三次阶段性考试
数学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量、复数、随机变量及其分布、统计分析．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．在等腰梯形中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是（ ）
A．在回归分析中，相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强
B．线性回归直线恒过样本中心
C．在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D．对分类变量与，它们的随机变量的取值越小，说明“与有关系”的把握越大
10．设函数且，则下列关系式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．若为坐标原点，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回．记第次取出的球是红球的概率为，数列前项和记为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．当无限增大，将趋近于 D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在中，已知，则的外接圆直径为______．
14．若，且，则的最大值为______．
15．若为奇函数，则实数______．
16．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）
已知函数．
（1）求的单调递增区间和最值；
（2）若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
18．（12分）
在中，三边所对的角分别为，已知．
（1）若，求；
（2）若边上的中线长为，求的长．
19．（12分）
已知数列为等差数列，其前项和为，且，数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（12分）
某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别是否有关，随机抽取70名学生，得到如下的列联表：
倾向“坐标系与参数方程” 倾向“不等式选讲”
男生 15 25
女生 20 10
（1）根据表中提供的数据，判断是否有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关？
（2）在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中男生人数为，求的分布列及数学期望．
附：．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21．（12分）
数列满足．
（1）证明：；
（2）若数列满足，设数列的前项和为，证明：．
22．（12分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围．
牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三上学期第三次阶段性考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．C ，，则．
2．C 因为，且复数在复平面内对应的点关于轴对称，所以，所以．
3．D ，，
4．A 依题意得，
所以，所以．故选A．
5．D ，
则，因为满足，所以函数的图象关于直线对称，所以，所以，因为，所以的最小值为．
6．B 在等比数列中，取，此时为摆动数列，所以，故充分性不成立；若等比数列的公比为，且是递增数列，所以，所以，所以，则，所以数列为递增数列时，成立，故必要性成立，所以“”是“数列为递增数列”的必要而非充分条件．
7．A 由，
得，即，
则，得，则，
所以
8．B 因为，即，所以，所以．令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以．令．则．令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以．即的最小值为．
9．ABC 对于A：在回归分析中，对于相关系数越接近1，线性相关性越强，即相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，故A正确；对于B：线性回归直线必过样本中心，故B正确；对于C：在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C正确；对于D：对分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越小，故D错误．
10．ABC 因为，所以，故A，B错误；
故可作出的图象如图所示，由图可知，要使且成立，则有且，故必有且，又，即为，所以，故C错误，D正确．
11．AC ，，，，，，，，
，，，
，则，故A正确；
，
，故B错误；
，，
，故C正确；
，
，，故D错误．
12．ABD 依题意，设第次取出球是红球的概率为，则第次取出白球概率为．对于第次，取出红球有两种情况：①从红箱取出红球的概率为，②从白箱取出红球的概率为．所以，即，令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，故，故，所以，故A正确；因为，所以，
所以，故B正确；因为，函数在定义域上单调递减，当时，，所以，即当无限增大，将趋近于，故C错误；因为，所以，故D正确．
13． 由正弦定理知，，所以外接圆的直径为．
14． 由，且可得，
则，当且仅当，结合，即时取等号，即的最大值为．
15． 中，又为奇函数，其定义域关于原点成中心对称，，即当时，必有为奇函数，当时有意义，，
解得，
满足．
16． 因为100个数据的平均值，方差，所以的估计值为的估计值为．
设该市高中生的身体素质指标值为，由，
得，
，所以
．
17．解：（1）函数
；
令，整理得：；
故函数的单调递增区间为．
当，整理得：时，函数取得最大值为
当，整理得：时，函数取得最大值为
（2）由于，整理得．
所以函数在上，函数的图象与的图象有两个交点，即函数有两个零点；故．故实数的取值范围为．
18．解：（1），由正弦定理得，整理得，
又，则，
由正弦定理得，即，解得．
（2）设边上的中线为，则，
，即，
整理得，解得或（不合题意，舍去），
19．解：（1）数列为等差数列，其前项和为，且，设数列的首项为，公差为，则：解得：．所以：．
（2）数列．①当时，，
所以．
②当时，，所以，
．
故
20．解：（1）依题意得列联表：
倾向“坐标系与参数方程” 倾向“不等式选讲” 合计
男生 15 25 40
女生 20 10 30
合计 35 35 70
所以，
所以有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关．
（2）在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，女生与男生的人数的比值为，所以在倾向“坐标系与参数方程”的学生抽取的7人中男生有3人．
所以的取值为，
则．故的分布列为：
0 1 2 3
所以．
21．（1）证明：，
，
两边同时取对数得：，
数列是以首项为，公比为的等比数列，
．
由复合函数的单调性，知单调递增，．
（2）证明：法一（放缩到裂项），因为，所以，
由（1）知，
所以．
所以
所以，
又，所以，所以．
法二（放缩到等比），
所以，所以，
所以
所以．
22．解：（1）由题意，函数可得，
当或时，；当时，；当时，，所以函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为，函数的极大值为，函数的极小值为．
（2）函数的定义域为，
则，
令，则，
所以函数在上为增函数，且．
①当时，即当时，对任意的恒成立，
所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不符合题意；
②当时，即当时，则存在使得，
当时，，此时，则函数在上单调递减，
当时，，此时，则函数在上单调递增，
由于函数有两个零点，
当时，；当时，．
可得，
可得，解得，即的取值范围是．

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