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4.5函数模型及其应用 练习
一、单选题
1．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
2．香农定理是通信制式的基本原理．定理用公式表达为：，其中为信道容量（单位：），为信道带宽（单位：），为信噪比．通常音频电话连接支持的信道带宽，信噪比．在下面四个选项给出的数值中，与音频电话连接支持的信道容量最接近的值是（ ）
A． B． C． D．
3．2021年9月24日，继上世纪60年代在世界上首次完成人工合成结晶牛胰岛素之后，中国科学家又在人工合成淀粉方面取得颠覆性 原创性突破——国际上首次在实验室实现二氧化碳到淀粉的从头合成.网友戏称这一技术让“喝西北风”活着成为可能.从能量来源看，该技术涉及“光能一电能一化学能”等多种能量形式的转化，从技术流程上，该工艺分为四个模块：第一步是利用光伏发电将光能转变为电能，通过光伏电水解产生氢气，然后通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原成甲醇，将电能转化为甲醇中储存的化学能；第二步是将甲醇转化为三碳；第三步利用三碳合成六碳；最后一步是将六碳聚合成淀粉.在这个过程中的能量转化效率超过，远超光合作用的能量利用效率.经过实验测试，已知通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原生成甲醇的浓度与其催化时间（小时）满足的函数关系式为，且.若催化后20小时，生成甲醇的浓度为，催化后30小时，生成甲醇的浓度为.若生成甲醇的浓度为，则需要催化时间约为（ ）（参考数据：）
A．23.5小时 B．33.2小时 C．50.2小时 D．56小时
4．已知两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从地前往地，到达地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离（千米）表示为时间（小时）的函数，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看20分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离y之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
6．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：）
A． B． C． D．
7．已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减，则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（ ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1）
A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年
8．今年小王用7200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低，则三年后这种笔记本的价格是（ ）
A．7200× B．7200×
C．7200× D．7200×
二、多选题
9．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
10．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量与净化时间（月）的近似函数关系：的图象．以下说法正确的有（　　）
A．每月减少的有害物质质量都相等.
B．第4个月时，剩留量就会低于.
C．污染物每月的衰减率为.
D．当剩留时，所经过的时间分别是，则.
11．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月存货物费（单位：万元）与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是（ ）
A． B． C．有最小值4 D．无最小值
12．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（ ）
A．甲车出发2h时，两车相遇
B．乙车出发1.5h时，两车相距170km
C．乙车出发2h时，两车相遇
D．甲车到达C地时，两车相距40km
三、填空题
13．请阅读以下材料，并回答后面的问题：
材料1：人体成分主要由骨骼 肌肉 脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分比（称为体脂率，记为）经常作为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量.
材料2：体重指数BMI（BodyMassIndex的缩写）计算公式为：体重指数BMI为体重，单位：千克；为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标.1997年，世界卫生组织经过大范围的调查研究后公布：BMI值在为正常；为超重；为肥胖.由于亚洲人与欧美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调查研究后，于2000年提出了亚洲成年人BMI值在为正常.中国肥胖问题工作组基于中国人体质特征，于2003年提出中国成年人BMI值在为正常；为超重；为肥胖. 30岁的小智在今年的体检报告中，发现体质指数BMI值为，依照标准属于超重.因为小智平时还是很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有大约2小时的健身运动，周末还经常会和朋友去打篮球，所以小智对自己超重感觉很困惑.
请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？）： .
14．牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过 分钟就不宜再饮用．（参考数据：，）
15．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是 .（下列数据仅供参考：，，，）
16．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即.取贝尔的倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为 .
四、解答题
17．设，，．令，．
(1)请分别化简下列各式：①；②；③；
(2)结合（1）中的化简结果，谈谈你对对数函数、幂函数、指数函数变化的感受．
18．求函数最值有很多的方法，其中某些函数的最值可以利用配方法求值域，例如：，所以函数的最小值为－1，当且仅当时取得最小值．
(1)利用配方法求函数的最小值；
(2)某面粉厂定期买面粉，每次都购买x吨，运费为4万元每次，已知面粉厂一年购买面粉400吨，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值应为多少？
参考答案
1．D
【分析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答.
【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，
则，整理得：，
当时，，当时，，因此，由得：，解得，
所以此户居民本月的用水量为.
故选：D
2．A
【分析】将代入公式中，根据对数运算法则和近似值可求得结果.
【详解】由题意知：.
故选：A.
3．B
【分析】根据题意列方程组求得和的值，从而求出的表达式，令解方程即可求解.
【详解】由题意得解得，所以，
令，所以，所以，
故小时.
故选：B.
4．D
【分析】由题意可知，汽车的行驶的情况主要有三段即往、返、停留，分三种情况讨论列出函数即可.
【详解】因为两地相距150千米，
所以当汽车以60千米/小时的速度从地前往地时，
需要小时，此时汽车离开地的距离为：
，
到达地停留1小时，此时汽车离开地的距离为：
，
当汽车以50千米/小时的速度从地前往地时，
需要小时，此时汽车离开地的距离为：
，
所以由题意有：
故选：D.
5．A
【分析】根据题目中描述的信息，按照分段函数图象分成三段画出即可得出答案.
【详解】小明父亲行走的前20分钟路程一直在增加，到900米之后停下看报纸，20分钟至40分钟路程不增加，
40分钟至60分钟回家过程中，路程减少至0，因此A中图象符合题意.
故选：A
6．C
【分析】根据对数的换底公式运算可得结果.
【详解】.
故选：C．
7．D
【分析】按每年10%衰减，得出每年剩余90%，列出方程，根据对数运算得出结果.
【详解】最初的质量是500g，经过一年后，质量变为，
经过2年后，质量变为，
经过t年后，质量变为，
令，则，
则，.
则这种元素的半衰期年.
故选：D.
8．B
【分析】根据给定条件依次计算每隔一年价格降低后的价格即可判断作答.
【详解】由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低，
则一年后，这种笔记本电脑的价格为，
两年后，这种笔记本电脑的价格为，
三年后，这种笔记本电脑的价格为.
故选：B
9．AB
【分析】由已知，选项A可将图象上的点代入所给的函数关系中求解即可；选项B，利用求解出的函数解析式，令求解出浮萍蔓延的面积即可做出判断；选项C，分别求出浮萍和浮萍所对应的时间，然后作差与1.5比较大小即可；选项D，分别算出从第一个月开始，每个月增加的面积，通过比较即可做出判断.
【详解】由题意，函数图像满足的关系，由图象可知，当时，，
所以，解得，当时，，满足，
当时，，满足，故，选项A正确；
当时，，故浮萍蔓延的面积就会超过，选项B正确；
由题意，，所以，，所以，所以增加的时间为
，而，所以，故选项C错误；
由题意可知，当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以从第一个开始，每个月增加的面积分别为、、、，
所以增加的面积不相等，故选项D错误.
故选：AB.
10．BC
【分析】由于y＝at（a＞0且a≠1）（t≥0）的图象经过点（2，），所以＝a2，从而可求得，然后根据解析式逐个分析判断即可
【详解】解：∵y＝at（a＞0且a≠1）（t≥0）的图象经过点（2，），
∴＝a2，∴a＝，即．
故1月到2月，减少的有害物质质量为，2月到3月，减少的有害物质质量为， 故每月减少的有害物质质量都相等是错误的，即A错，
当t＝4时，有害物质的剩留量，故B正确，
污染物每月的衰减率为，故C正确，
当剩留时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，
则，，，
则，，，则t1+t2＝t3，故D错，
故选：BC．
11．ACD
【分析】对A，B，根据题意设，利用待定系数法分别求出关于的解析式，即可判断，对C，利用基本不等式即可判断；对D，根据在上的单调性即可判断.
【详解】设，
由题意知：函数过点，
即，所以，故B错误；
对选项A，，
由题意得：函数过点，即，
解得：，，故A正确；
对C，，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对D，由在上单调递减，
故无最小值，故D正确.
故选：ACD.
12．BCD
【分析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论A错误；根据速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论C正确；结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程＝速度×时间，即可得出结论D正确．
【详解】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，
∵C地位于A、B两地之间，
∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误；
甲车的速度为240÷4＝60（km/h），
乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），
∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），
∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；
∵，
∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确；
∵80×（4﹣3.5）＝40（km），
∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确；
故选：BCD
13．答案见解析
【分析】根据材料结合条件分析即得.
【详解】因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成正比（或者说，体重更大），
所以他的BMI值就会偏高，如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），就不必担心.
故答案为：如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），他的BMI值就会偏高，就不必担心，因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成正比（或者说，体重更大）.
14．188
【分析】根据题意列出不等式计算即可.
【详解】设经过个周期后细菌含量超标，
即，即，
所以，
而，因此经过188分钟就不宜再饮用．
故答案为：188.
15．
【分析】设每一年比上一年平均增长的百分率为，原来工资为，由题意可得，解得即可．
【详解】设每年比上一年平均增长的百分率为，原来工资为，
由题意可得，即，
解得或（舍去），
所以每年比上一年平均增长的百分率是.
故答案为：．
16．
【分析】设甲、乙游客的声强分别为、，大喝一声激起的涌泉最高高度为、米，则代入两式相减可得答案.
【详解】设甲游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
乙游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
则，，
两式相减得，
甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为米．
故答案为：.
17．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）将，分别带入①②③中的各表达式，由指数和对数运算法则即可化简得出结果；
（2）根据（1）中化简得出的结果可知，当自变量的增量相同时，不同函数的增长速度各不相同.
【详解】（1）①将，代入可得；
②将，代入可得；
③将，代入可得
（2）结合（1）中的化简结果可知，
对数函数、幂函数、指数函数都会随着的增大而增大，但是它们的增长速度不同，
当自变量的增量相同时可知，对数函数的增长速度越来越慢，
幂函数、指数函数的增长速度越来越快，且的增长速度大于.
18．(1)4；
(2)20.
【分析】（1）利用配方法求函数的最小值；
（2）利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合配方法求最小值，即可求得相应的x值.
【详解】（1）由，则，
所以函数的最小值为4，当且仅当即时取得最小值.
（2）一年购买400吨，每次都购买x吨，则需要购买 次，运费为4万元每次，
一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为 元，
由，有，
当且仅当 即吨时，等号成立，
即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.

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