资源简介

【课题】货币时间价值——年金
【教材版本】
张海林.财务管理（第五版）.北京：高等教育出版社，2019
张海林.财务管理习题集（第五版）.北京：高等教育出版社，2020
【教学目标】
通过本节内容的学习，要求学生理解年金的概念，准确区分年金终值、现值与复利终值、现值，认真领会二者之间数量关系；通过时间轴的计算示意图，能理解并掌握普通年金，即付年金的计算，并能运用货币时间价值的相关知识解决一些实际问题。
【教学重点、难点】
教学重点：掌握年金的计算方法。
教学难点：区分普通年金，即付年金，复利终值与现值的相同点与不同点，熟练掌握运用货币时间价值解决实际问题的技巧。
【教学媒体及教学方法】
对本部分内容结合使用举例练习法、讲授法、图示法、比较法、联想法。
【课时安排】
2课时（90分钟）。
【教学建议】
本节课为新授课，“新”的原因在于：年金概念之前，学生从未接触过，对此教师应详细讲解，但在学生熟练掌握复利终值与现值的基础上，讲授本节课时完全可以将本节课的计算部分定位为复习课，因为只要运用学生已学过的等比数列求和公式，对复利终值与现值求和，即可得到年金的终值与现值的计算公式，这样做不仅可以简化本节课的重难点部分，而且可以培养学生建立大学科观念，促进中职学生的思维开发。
【教学过程】
一、导入（约6分钟）
设疑：
请同学画出时间轴分析以下两个问题，说出异同点：
（1）企业现在存入银行30000元，在年利率为8%的情况下，3年后的本利和？
（2）企业于每年年末存入银行10000元，连续3年，在年利率为8%的情况下，3年后的本利和？
演示：
(
i
=8%
) (
0
1
2
3
)（1）
(
P
=30000 F
)
已知P=30000，i=8%，n=3，求F。
F=P×(1+i)3 =30000×(1+8%)3 =30000×1.2597=37791(元)
回答参考：
企业3年后的本利和为37791元。
展示：
(
0
1
2
3
) (
i
=8%
)（2）
(
P
3
=10000
P
2
=10000
P
1
=10000 F
1
)
(
F
2
)
(
F3
)
设疑：
已知P1 =P2 =P3=10000，n1 =0，n2 =1，n3 =2，i=8%，求F=F1 +F2 +F3。
F=P1 (1+i)1 +P2 (1+i)2 + P3 (1+i)3
=10000 +10000×(1+8%)1 +10000×(1+8%)2
=10000+10000×1.08+10000×1.1664
=32464 (元)
回答参考：
企业每年末存入10000元，3年后的本利和为32464元。
归纳：
（3）异同点：两小题均是运用复利终值公式进行运算，不同的是第一小题为一次性收付的款项，第二小题同样是30000元，但它是分三年每年年末存入等额的款项。
二、讲授新课（约72分钟）
讲解：
对于“定期、连续、等额”收付的款项，就是我们今天要学习的年金，同学们已经观察到这一内容的计算，运用的仍然是我们上节课所学的知识，所以今天我们主要的任务就是巩固、熟练货币时间价值的计算，运用这一观念更快、更多地解决实际问题，现在同学们先一起熟悉一下年金这一概念。
演示：
（一）年金的概念与分类
1.概念
年金是指在一定期间内间隔相等的时间连续、等额收到或支付的款项 (等额、定期的系列收支)。
设疑：
根据年金的特征“定期、等额”，同学们是否可以从所接触过的现象中，例举一些可归属于年金的形式呢？
回答参考：
分期付款赊销、赊购；每期相等的利息；学生保险金；直线法下的折旧；每期相同的销售成本、销售收入、养老金、分期还贷、分期支付工程款、优先股股利等等。
2.分类
讲解：
那么，在种种年金的表现形式中，有些货币收支发生在期初，如预付工程款；有些发生在期末，如折旧；有些第一次货币收支发生在第二期或第三期以后，如某些投资回报；有些无限期发生，如优先股股利。虽说这些均属于年金，但由于它们发生的收付方式有所不同，所以它们都有自己特有的名称，在计算时通常用“A”表示年金。
板书：
(
F=
？
) (
P
=
？
)
(
0
1
2
3
n
)⑴普通年金
(
（各期期末的年金）
)(后付年金) (
A
A
A
A
)
(
0
1
2
3
n
)⑵即付年金
(
（各期期初的年金）
) (
A
A
A
A
)(先付年金)
(
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n
)⑶递延年金
(
（若干期后发生的
普通年金）
)
⑷永续年金：无限期定额收付的普通年金。
（二）普通年金终值与现值
1.普通年金终值
演示：
若企业每年存入100元，连续3年，利率为10%，则3年后的本利和？
(
0
1
2
3
)
(
F
1
=100
×
(1+10%)
0
=
100
×
1
)
(
F
2
=
100
×
(1+10%)
1
=
100
×
1.1
)
(
100
×
3.310
) (
F
3
=
100
×
(1+10%)
2
=
100
×
1.21
)
设疑：
同学们已经观察到，普通年金终值实际上为每期的复利终值之和，如果年金的期数很多，用这种方法显然相当烦琐，那么，折算终值的各期复利终值系数是否有规律可循？
回答参考：
(1+10%)0，(1+10%)1，(1+10%)2 是一个以年金为首项，(1+10%)为公比的等比数列。
再设疑：
若将每年支付的金额设为A，利率i，期数n，同学们是否可以运用等比数列和公式得出普通年金终值计算的简便方法呢？
演示：
数列：A(1+i)0，A(1+i)1，A(1+i)2，…A(1+i)n－1
回答参考：
该数列an =A，q=(1+i)，则
F=A·=A·=A·
讲解：
普通年金终值计算公式：F=A·=A·(F/A,i,n)
其中或(S/A,i,n)称为年金终值系数，它与复利终值系数一样，可通过查阅系数表得到。如上例中企业每年年末存入100元，3年后的本利和=100×(F/A,10%,3)=100×3.31=331(元)，其中3.31如前述图示就是利率为10%，期数为3时的年金终值系数。
【课堂练习】
演示：
⑴查表题，请查阅“年金终值系数表”，填写下列空格。
①(S/A,10%,5)=______(S/A,10%,7)=______(S/A,10%,9)=_____
规律：____________________________________________________
②(S/A,10%,5)=______(S/A,12%,5)=______(S/A,14%,9)=_____
规律：____________________________________________________
⑵属于年金终值系数的是_____________
A.(1+i)n B. C. D.(F/A,i,n)
⑶某公司有一投资项目，分5年投资，每年末投入300000元，试计算该利率为10%，投资项目5年后的投资总额。
回答参考：
⑴①(S/A,10%,5)=6.1051 (S/A,10%,7)=9.4872 (S/A,10%,9)=13.579
规律： 均大于1，当利率不变时，系数值随期数的增加而增加。
②(S/A,10%,5)=6.1051 (S/A,12%,5)=6.3528 (S/A,14%,9)=6.5101
规律： 均大于1，当期数不变时，系数值随利率的增加而增加。
⑵ B,D
图解：
⑶
(
3
0
30
30
30
30
) (
i
=10%
n
=5
) (
0
1
2
3
4
5
)
(
F
=
)
回答参考：
根据题意，已知A=300000，i=10%，n=5，求F= 。
F= A·(S/A,i,n)
= 300000×(S/A,10%,5)
= 300000×6.1051
=1831530 (元)
5年后总投额为1831530元。
提示：
对于年金的计算实际上十分简单，其关键在于选定时间轴，通常做法是：
①以第一笔现金流出(入)的时间为“现在”时间即“0”时点，不管它是几月几日，在此基础上，一年以一个计息期。
②对于原始投资，如果没有特殊指明，均假设是在每个“计息期初”支付。
③对于未说明的货币收付，尽管是陆续发生的，若无特殊说明均假设在“计息期末”发生。
讲解：
对于F=A·(F/A,i,n)中有四个量，F，A，i，n，只有已知其中三个，就可以通过年金终值系数表求得另一个，其中已知F，i，n，求A，可以称A为偿债基金。而(A/F,i,n)可称为偿债基金系数，可通过查阅“年金终值系数表”求倒数确定。
演示并设疑：
⑴拟在5年后还清10000元债务，从现在起每年等额存入银行一笔款项，假设年利率为10%，每年需要存入多少元？
⑵企业计划8年后还清615000元债务，从现在起每年等额存入银行50000元，试问银行存款利率为多少时，企业能完成偿债目标？
演示：
(
i
=10%
)⑴
(
A
？
A
？
A
？
A
？
A
？
) (
0
1
2
3
4
5
)
(
F
=
10, 000
).
回答参考：
根据题意，已知F=10000，i=10%，n=5，求A。
A=F·=F·(A/F,i,n)=F×
= 10000×= 10000×
=10000×0.1638
=1638(元)
每年应存入1638元，5年后可得10000元，用来还清债务。
⑵ (
i
=
？
)
(
0
1
2
3
4
5
6
7
8
)
(
5 5 5
5
5
5
5
5
) (
F
=
10000
).
回答参考：
根据题意，已知A=50000，F=615000，n=8，求i。
F=A·(F/A,i,n)
615000= 50000×(S/A,i,8)
(F/A,i,8)=12.3
查“年金终值系数表”可知：i=12%。因此，在利率12%的情况下，企业每年存入50000元，5年后可偿还债务615000元。
2.普通年金现值
讲解：
在运用货币时间价值解决实务问题时，除了使用终值概念，更多的是使用现值概念。
由于不同时间的货币时间价值不能直接加减计算，需要进行折算。通常情况下，要把不同时间的货币价值折算到“现在”时间，然后进行运算或比较。
演示与设疑：
若每年存入100元，在利率10%的情况下，3年的付款现在等效值是多少？
(
0
1
2
3
)
(
P
1
) (
100
×
0.90%=
100
×
(1+10%)
－
1
)
(
P
2
) (
P
3
) (
100
×
0.8264=100
×
(1+10%)
－
2
) (
100
×
2.4868
) (
100
×
0.7513
=100
×
(1+10%)
－
3
)
回答参考：
根据题意，已知F1 =100，n1 =1；F2 =100，n2 =2；F3=100，n3=3，i=10%，求P。
P=P1 +P2 +P3 =F1 (1+i)－n1+F2(1+i)－n2+F3 (1+i)－n3
=100×(1+10%)－1 +100×(1+10%)－2+100×(1+10%)－3
=100×0.9091+100×0.8264+100×0.7513
=100×2.4868
=248.68 (元)
因此，每年末存入100元，在利率为10%的前提下，3年年终付款的现在等效值为248.68元。
讲解：
通过年金终值的公式推导，我们可以用相同的方法推导“年金现值公式”。
回答参考：
已知：a1=A(1+i)-1 q=(1+i)-1 则该数列各项之和
P=A(1+i)-1· 化简后可得：P=A·=A·(P/A,i,n)
讲解：
公式中也可表示为(P/A,i,n)称为“年金现值系数”，亦可通过“年金现值系数表”确定。
【课堂练习】
演示并设疑：
请同学们运用所学知识，解决以下几个小问题：
⑴某人出国3年，请你代付房租，每年租金1000元，银行存款利率为10%，他应当现在给你在银行存入多少钱？
⑵假设以10%的利率借款20000元，投资于某个寿命为10年的项目，每年至少要收回多少现金才是有利的？
回答参考：
(
i
=10%
) (
0
1
2
3
)⑴
(
P
=
？
1000
1000 1000
)
根据题意，已知A=1000，n =3，i=10%，求P。
P=A·(P/A,i,n)
=1000×(P/A,10%,3)
=1000×2.4869
=2486.9 (元)
因此，他应现在给你在银行存入2486.9元，以用于此后3年，每年未支付1000元房租之需。
再设疑：
(
i
=10%
)⑵
(
0
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10
) (
20, 000=P
) (
A
？
A
A
A
A
A
A
A
A
A
)
回答参考：
根据题意，已知A=20000，i=10%，n=8，求A。
A=P/(P/A,i,n)
=20000×
=20000×0.1627
=3254(元)
因此，每年至少要收回现金3254元，才能还清贷款本利。
师生互动：
我们由此可以看到，货币时间价值这一概念，在实务中的实用性很强，它能帮助我们解决许多生活中常遇到的问题，但如果遇到“计算期初”发生的系列收付款项，我们又应如何处理呢？我们回头来看看前述年金概念中，发生在各期期初的是什么年金？——即付年金。
（三）即付年金终值与现值
设疑：
请同学们仔细观察下图，能否找到普通年金与即付年金终值与现值之间的关系？
演示：
(
S
=
？
) (
P
=
？
)
(
0
1
2
3
4
)⑴
(
即付年金
A
A
A
A
普通年金
A
A
A
A
)
(
F
) (
P
)
回答参考：
同期即付年金终值比同期普通年金终值多计算一期利息；同期即付年金现值比同期普通年金现值也多折现一期，因此，即付年金。
F=A·(1+i)=A·[-1]=A·[(F/A,i,n+1)-1]
P=A·(1+i)=A·[+1]=A·[(P/A,i,n-1)+1]
师生互动：
⑴即付年金终值系数[(F/A,i,n+1)－1]与普通年金终值系数相比，期数+1，系数－1。
⑵即付年金现值系数[(P/A,i,n－1)+1]与普通年金终值系数相比，期数－1，系数+1。
布置作业：
参考《财务管理习题集》第一章实训六、实训八、九、十一、实训二十。
回答参考：
实训六：
(
i
=8%
)
(
A

A
A
A
A
) (
0
1
2
3
4
5
)
(
F
=160
万元
)
根据题意，已知F=160万元，i=8%，n=5，求A。
A=F·×
=160×
=160×
=27.2730 (万元)
因此，该公司每年年末需存入272730元，可以满足第6年初偿还160万元债务的目标。
实训八：
(
i
=8%
)
(
12
12
12
12
12
) (
0
1
2
3
4
5
)
(
F
=
？
)
根据题意，已知A=120000(年初)，i=8%，n=5，求F。
F=A·[(S/A,i,n+1)-1]
=120000×(7.3359-1)
=760308 (元)
因此，该公司在第5年年末能取出的本利和为760308元。
实训九：
(
i
=10%
) (
0
1
2
3
4
)
(
P
=
？
) (
5
5
5
5
)
根据题意，已知A=5(年初)，i=10%，n=4，求P。
P=A[(P/A,i,n－1)+1]=50000×(2.4869+1)=174345(元)
因而，该公司4年中所付款项的现值为174345元。
实训十一：
(
0
1
2
3
4
20
) (
分期付款
)
(
5
5
5
5
5
5
) (
P
=
？
)
分期付款现值P=50000×(P/A,6%,20)=50000×11.4699=573495 (元)
因为分期付款的现值573495元大于一次所付房款500000元，所以应选择一次付款购房方式。
提示：
在择优的过程中，经常为如何确定用现值计算还是用终值计算而烦恼。通常情况下，在财务估价中，采用的最常见的方法就是折现。
不同时间的现金一定要折算到同一时点才能进行比较。在择优的实务中，付款决策应用的是大中取小的方法，收款采用的是小中取大的方法。
实训二十：
甲方案：现在立即支付，P甲 =100000元
(
i
=10%
) (
0
1
2
3
)乙方案：
(
30 000
40 000 40 000
)
(
P=
？
)
乙方现值P乙 =30000+40000×(P/F,10%,1)+40000×(P/F,10%,2)
=30000+40000×0.9091+40000×0.8264
=99420(元)
从计算结果可知，乙方案的现值99420元小于甲方案现值100000元，所以乙方为优选方案。
提示：
对乙方案现值的求解，方法不下三种，可运用自己所学知识多角度地进行求解，以检查自己对本知识点掌握的程度。
三、课堂小结（约10分钟）
展示：
项目 基本公式 其他运用 特点
普通年金 终值 终值=年金×普通年金终值系数 F=A×(F/A,i,n)=A× 求A,n,i ①定期、等额 ②发生在各期期末 ③亦后付年金
普通年金 现值 现值=年金×普通年金现值系数 P=A×(P/A,i,n)=A× 求A,n,i
即付年金 终值 终值=年金×普通年金终值系数 =年金×普通年金终值系数期数 加1，系数减1 =A×[(F/A,i,n+1)－1] 求A,n,i ①定期、等额 ②发生在各期期末 ③亦先付年金
即付年金 现值 现值=年金×普通年金现值系数 =年金×普通年金现值系数期数 减1，系数加1 =A×[(P/A,i,n－1)+1] 求A,n,i
注意： ①不同时间的货币时间价值，必须折算到同一时点才能进行比较和比率的计算，通常折算到“现在”时点。 ②利率与期数必须换算为同一时间单位，方可套用以上公式。 ③在实务中，选定时间轴对于准确地计算货币时间价值非常重要。
四、布置作业 （约2分钟）
参见《财务管理习题集》。
谈谈你对学习货币时间价值的感想。
【板书设计】
第一章 财务管理基础知识
第三节 货币时间价值——年金
一、年金的概念与分类
(
F
) (
P
)1.概念：定期、等额、系列收付
2.分类
(
0 1 2
3
n
) (
（各期期末的年金）
)⑴普通年金
(
A
A
A
A
)(后付年金)
(
（各期期初的年金）
) (
0
1
2
3
n
)⑵即付年金
(
A
A
A
A
)(先付年金)
(
0
1
2
3
4 5
6
n
)⑶递延年金
(
A
A
A
A
)
(
（若干期后发生的的普通年金）
)
(
=A
·
(P/A,
i
, n
－
1)
=
年金×普通年金现值系数
三、即付年金终值与现值
1
.
即付年金现值
F
=
A
·
[
(
F
/
A
,
i
,
n
+1)
－
1]
2
.
即付年金现值
P
=
A
·
[(
P
/
A
,
i
,
n
－
1)+1]
)⑷永续年金：无限期定额收付的普通年金
二、普通年金终值与现值
1.普通年金终值
F=A·
=A·(F/A,i,n+1)
=年金×普通年金终值系数
2.普通年金现值
P=A·

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