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5.3.5 随机事件的独立性
【基础练习】
一、单选题
1．一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球,3个黄球,从中有放回地摸球,用表示第一次摸得黄球,表示第二次摸得白球,则事件与( )
A．是相互独立事件 B．不是相互独立事件 C．是互斥事件 D．是对立事件
2．抛掷3枚质地均匀的硬币,若{既有正面向上又有反面向上},{至多有1枚反面向上},则A与B( )
A．是互斥事件 B．是对立事件 C．是相互独立事件 D．不是相互独立事件
3．甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别为，，，现人各投篮次，是否投进互不影响，则人都投进的概率为（ ）．
A． B． C． D．
4．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为
A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.16
5．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．，，表示3种开关并联，若在某段时间内它们正常工作的概率分别0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为______________.
7．在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为_____；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为_______.
8．小李在游乐场玩掷沙包击落玩偶的游戏.假设他第一次掷沙包击中玩偶的概率为0.4，第二次掷沙包击中玩偶的概率为0.7，而玩偶被击中一次就落地的概率为0.5，被击中两次必然落地.若小李至多掷两次沙包，则他能将玩偶击落的概率为______.
三、解答题
9．假定生男孩和生女孩是等可能的，令｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论与的独立性.
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩.
10．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是.求：
（1）甲、乙都解出此问题的概率；
（2）甲、乙都未解出此问题的概率；
（3）甲、乙恰有一人解出此问题的概率；
（4）至少有一人解出此问题的概率.
【提升练习】
1．三个元件，，，正常工作的概率分别为，，且是互相独立的.将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是（ ）.
A． B． C． D．
2．某学校位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某射击运动员射击一次命中目标的概率为，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则为（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军．4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．
甲 乙 丙 丁
甲
乙
丙
丁
那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )
A．
B．
C．
D．
5．余江人热情好客，凡逢喜事，一定要摆上酒宴，请亲朋好友、同事高邻来助兴庆贺.欢度佳节，迎亲嫁女，乔迁新居，学业有成，仕途风顺，添丁加口，朋友相聚，都要以酒示意，借酒表达内心的欢喜.而凡有酒宴，一定要划拳，划拳是余江酒文化的特色.余江人划拳注重礼节，形式多样；讲究规矩，蕴含着浓厚的传统文化和淳朴的民俗特色.在礼节上，讲究“尊老尚贤敬远客”一般是东道主自己或委托桌上一位酒量好的划拳高手来“做关”，——就是依次陪桌上会划拳的划一年数十二拳（也有半年数六拳）.十二拳之后晚辈还要敬长辈一杯酒.
再一次家族宴上，小明先陪他的叔叔猜拳12下，最后他还要敬他叔叔一杯，规则如下：前两拳只有小明猜叔赢叔叔，叔叔才会喝下这杯敬酒，且小明也要陪喝，如果第一拳小明没猜到，则小明喝下第一杯酒，继续猜第二拳，没猜到继续喝第二杯，但第三拳不管谁赢双方同饮自己杯中酒，假设小明每拳赢叔叔的概率为，问在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是多少（ ）
（猜拳只是一种娱乐，喝酒千万不要过量！）
A． B． C． D．
6．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算），有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是，，两人租车时间都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为_______.
7．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知，）
8．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率____________.
9．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
10．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时.
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
5.3.5 随机事件的独立性
【基础练习】
一、单选题
1．一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球,3个黄球,从中有放回地摸球,用表示第一次摸得黄球,表示第二次摸得白球,则事件与( )
A．是相互独立事件 B．不是相互独立事件 C．是互斥事件 D．是对立事件
【答案】A
【解析】
由于采用有放回地摸球,因此与相互独立,于是事件与是相互独立事件.
故选：A
2．抛掷3枚质地均匀的硬币,若{既有正面向上又有反面向上},{至多有1枚反面向上},则A与B( )
A．是互斥事件 B．是对立事件 C．是相互独立事件 D．不是相互独立事件
【答案】C
【解析】
抛掷3枚质地均匀的硬币的样本空间(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},事件A中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),因此,事件B中所含的样本点为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),因此,事件中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),因此,因此,即事件A B相互独立,
故选：C
3．甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别为，，，现人各投篮次，是否投进互不影响，则人都投进的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
利用相互独立事件的概率乘法公式.
3人都投进的概率为.
故选：A.
4．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为
A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.16
【答案】B
【解析】
甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为．选B.
5．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题知三个社团都能进入的概率为，即，
又因为至少进入一个社团的概率为，
即一个社团都没能进入的概率为，
即，
整理得.
故选：C.
二、填空题
6．，，表示3种开关并联，若在某段时间内它们正常工作的概率分别0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为______________.
【答案】0.994
【解析】
某段时间内三个开关全部坏掉的概率为，所以系统正常工作的概率为，所以此系统的可靠性为0.994.
故答案为：0.994.
7．在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为_____；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为_______.
【答案】
【解析】
设事件A表示“甲选做第22题”，事件B表示“乙选做第22题”，
则甲，乙2各学生选做同一道题的事件为“”，且事件A，B相互独立，
.
∴甲、乙两名学生选做同一道题的概率为；
，∴甲、乙两名学生都选做第22题的概率为.
故答案为：；．
8．小李在游乐场玩掷沙包击落玩偶的游戏.假设他第一次掷沙包击中玩偶的概率为0.4，第二次掷沙包击中玩偶的概率为0.7，而玩偶被击中一次就落地的概率为0.5，被击中两次必然落地.若小李至多掷两次沙包，则他能将玩偶击落的概率为______.
【答案】0.55
【解析】
小李将玩偶击落有三种情况，①第一次就击落；②第一次未击中，第二次击落；③第一次击中但未击落，第二次击落.所以.
故答案为：0.55
三、解答题
9．假定生男孩和生女孩是等可能的，令｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论与的独立性.
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩.
【答案】（1）A，B不相互独立 （2）A与B是相互独立
【解析】
（1）有两个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为={（男,男）,（男,女）,（女,男）,（女,女）},它有4个样本点
由等可能性可知每个样本点发生的概率均为
这时{（男,女）,（女,男）},{（男,男）,（男,女）,（女,男）},{（男,女）,（女,男）}
于是
由此可知
所以事件A,B不相互独立.
（2）有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为={（男,男,男）,（男,男,女）,（男,女,男）,（女,男,男）,（男,女,女）,（女,男,女）,（女,女,男）,（女,女,女）}.
由等可能性可知每个样本点发生的概率均为,
这时A中含有6个样本点,B中含有4个样本点,AB中含有3个样本点.
于是,
显然有成立,从而事件A与B是相互独立的.
10．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是.求：
（1）甲、乙都解出此问题的概率；
（2）甲、乙都未解出此问题的概率；
（3）甲、乙恰有一人解出此问题的概率；
（4）至少有一人解出此问题的概率.
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】
记甲独立解出此题为事件A,乙独立解出此题为事件B,则A与B为相互独立事件,且.
（1）；
（2）；
（3）记事件C为甲、乙恰有一人解出此问题,则,
；
（4）记事件D为至少有一人解出此问题,则
【提升练习】
1．三个元件，，，正常工作的概率分别为，，且是互相独立的.将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
记“三个元件，，，正常工作”分别为事件，，，则，，.
不发生故障的事件为，∴不发生故障的概率为.
故选A.
2．某学校位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，，
则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为．
故选C．
3．某射击运动员射击一次命中目标的概率为，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为射击一次命中目标的概率为，
所以射击一次未命中目标的概率为，
因为每次射击结果相互独立，
所以三次都未命中的概率为，
因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，
所以连续射击三次，至少有一次命中的概率，
解得.
故选：A
4．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军．4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．
甲 乙 丙 丁
甲
乙
丙
丁
那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，
丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，
甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，
根据独立事件的概率等于概率之积，所以，
甲得冠军且丙得亚军的概率：.
故选C.
5．余江人热情好客，凡逢喜事，一定要摆上酒宴，请亲朋好友、同事高邻来助兴庆贺.欢度佳节，迎亲嫁女，乔迁新居，学业有成，仕途风顺，添丁加口，朋友相聚，都要以酒示意，借酒表达内心的欢喜.而凡有酒宴，一定要划拳，划拳是余江酒文化的特色.余江人划拳注重礼节，形式多样；讲究规矩，蕴含着浓厚的传统文化和淳朴的民俗特色.在礼节上，讲究“尊老尚贤敬远客”一般是东道主自己或委托桌上一位酒量好的划拳高手来“做关”，——就是依次陪桌上会划拳的划一年数十二拳（也有半年数六拳）.十二拳之后晚辈还要敬长辈一杯酒.
再一次家族宴上，小明先陪他的叔叔猜拳12下，最后他还要敬他叔叔一杯，规则如下：前两拳只有小明猜叔赢叔叔，叔叔才会喝下这杯敬酒，且小明也要陪喝，如果第一拳小明没猜到，则小明喝下第一杯酒，继续猜第二拳，没猜到继续喝第二杯，但第三拳不管谁赢双方同饮自己杯中酒，假设小明每拳赢叔叔的概率为，问在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是多少（ ）
（猜拳只是一种娱乐，喝酒千万不要过量！）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意结合独立事件概率公式可得：
在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是 .
6．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算），有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是，，两人租车时间都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为_______.
【答案】
【解析】
解:由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A.则.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
故答案为：
7．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知，）
【答案】
【解析】
解：设需要至少布置门高炮，
某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，
要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，
，
解得，，
需要至少布置11门高炮．
故答案为：．
8．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率____________.
【答案】
【解析】
由题意，知，.
设，
则，即，
解得或（舍去）.
故事件发生的概率.
故答案为：
9．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
【答案】（1）丙；（2）【解析】
（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.
因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.
10．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时.
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
【答案】（1）；（2）【解析】
解：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元.
都付2元的概率为；
都付4元的概率为；
都付6元的概率为；
故所付费用相同的概率为.
（2）设两人费用之和为8、10、12的事件分别为、、
；
；.
设两人费用之和大于或等于8的事件为，则
所以，两人费用之和大于或等于8的概率

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