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2023-2024学年湘教版（2019）必修一 第二章 一元二次方程 函数和不等式 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、直线，平分圆的周长，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2、不等式的解集为( )
A. B.或
C. D.
3、已知关于x的一元二次不等式的解中有且仅有4个正整数，则a的取值范围是( )
A. B. C.Error! Digit expected. D.Error! Digit expected.
4、一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比，若在距离车站处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是( )
A. B.
C.有最大值4 D.无最小值
5、某批救灾物资随41辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则( )
A.70 B.80 C.90 D.100
6、设（m，n为正实数），，则A与B的大小关系是( )
A. B. C. D.
7、已知不等式组的解集是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8、关于x的不等式的解集为，且，则( )
A.3 B. C.2 D.
二、多项选择题
9、已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是( )
A.
B.不等式的解集为
C.不等式的解集为或
D.
10、已知关于x的不等式，则下列说法中正确的是( )
A.若，则不等式的解集为R
B.若，则不等式的解集为或
C.若，则不等式的解集为或
D.若，则不等式的解集为或
三、填空题
11、已知，则与的大小关系是__________.
12、若，则当取最大值时x的值为___________.
13、已知三个不等式：①，②，③，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成__________个真命题.
14、已知，，，则的最小值为__________.
四、解答题
15、已知关于x的不等式.
（1）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围.
16、某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书的售价定为x元时，销售量可达到万套.现出版社为配合该书商的活动，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书所获得的利润=每套丛书的售价-每套丛书的供货价格.求：
（1）每套丛书的售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
参考答案
1、答案：C
解析：圆心为，因为直线，平分圆的周长，所以圆心在直线上，即，化为：，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.
故选：C.
2、答案：D
解析：因为,则,
得,则不等式解集为,
故选:D.
3、答案：D
解析：由，得，
因为关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有4个正整数，
所以，不等式的解为Error! Digit expected.，且Error! Digit expected..
故选：D.
4、答案：D
解析：设，可得，则，所以，所以A错误；设，可得，则，所以，所以B错误；因为，由基本不等式，得，当且仅当，即时，等号成立，所以C错误；令，则函数在上为减函数，故无最小值，所以D正确.故选D.
5、答案：C
解析：第一辆汽车到达灾区所用的时间为，由题意，知最短每隔到达一辆，则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为，要使这批物资尽快全部到达灾区，即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短.又，当且仅当，即时等号成立.
6、答案：B
解析：因为m，n为正实数，所以，当且仅当时取等号，又，所以.
7、答案：B
解析：由解得即.由题知，关于x的不等式的解集包含，则解得，故选B.
8、答案：A
解析：由题意，得，令，则方程的解为，，所以，，因为，所以，即，整理得.故选A.
9、答案：AD
解析：已知关于x的不等式的解集为或，
则，
即，，，
对于选项A，由上可知，选项A正确；
对于选项B，等价于，
又，即，即选项B错误；
对于选项C，等价于Error! Digit expected.，即Error! Digit expected.，
解得：，即选项C错误；
对于选项D，，即选项D正确.
故选：AD.
10、答案：BCD
解析：关于x的不等式可转化为，即①.若，则①式转化为，此时不等式的解集为，故A错误；若，则①式转化为，此时不等式的解集为或，故B正确；若，则，此时不等式的解集为或，故C正确；若，则，此时不等式的解集为或，故D正确.
11、答案：
解析：
，
，，，.
12、答案：0
解析：，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.
13、答案：3
解析：由不等式性质，得；；.故可组成3个真命题.
14、答案：
解析：因为，，，所以，当且仅当，即或时取等号，所以的最小值为.
15、
（1）答案：
解析：方法一：不等式变形为，
即，
因为对任意实数x，不等式恒成立，
所以，解得，
所以实数m的取值范围是.
方法二：若对任意实数x，不等式恒成立，
则关于x的方程的根的判别式，
即，解得，
所以实数m的取值范围为.
（2）答案：
解析：方法一：不等式变形为，即.
当，即时，，
则，即，解得，
故且.
当，即时，原不等式恒成立.
当，即时，，
则，即，解得，
故且.
综上，实数x的取值范围是.
方法二：不等式，可看成关于m的一次不等式，
又，所以得且，
所以实数x的取值范围是.
16、
（1）答案：书商能获得的总利润是340万元
解析：每套丛书的售价定为100元时，销售量为（万套），
此时每套丛书的供货价格为（元），
书商所获得的总利润为（万元）.
所以每套丛书的售价定为100元时，书商能获得的总利润是340万元.
（2）答案：每套丛书的售价定为140元时，单套丛书的利润最大
解析：每套丛书的售价定为x元时，
由，得.
依题意，设单套丛书的利润为P元，
则，
所以，
因为，所以，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以P的最大值为.
所以每套丛书的售价定为140元时，单套丛书的利润最大.

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