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专题2.14 直线与圆的位置关系（全章复习与巩固）（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．在中，，，，以点C为圆心的的半径为2.6，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
2．下列说法中错误的是（ ）
A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3或6 C．3 D．1或5
4．根据图中圆规作图的痕迹，只用直尺可成功找到三角形内心的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为的直径，过点作的切线交的延长线于点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，，E是边AB上一点，且．已知经过点E，与边CD所在直线相切于点G（为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且，当边AD或BC所在的直线与相切时，AB的长是（ ）
A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或
7．如图，已知、是的两条切线，、为切点，连接交于，交于，连接、，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2 B．2，2
C．2，6 D．1，6
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是（ ）
A．3 B．3.5 C． D．
9．如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（ ）
A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
10．AB是⊙O的直径，PB、PC分别切⊙O于点B、C，弦，若PB＝AB＝10，则CD的长为（ ）
A．6 B． C． D．
二、填空题
11．在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为，半径是2．如果⊙M与y轴相切，那么 ；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是 ；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是 ．
12．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
13．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是 ．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A( 6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为
15．如图，的周长为16，是的内切圆，若，，则的长为 ．
16．的周长为，面积为，则内切圆半径为 ．
17．如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为 ．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，∠B=35°，BC=，则弧AB的长为 ．
三、解答题
19．如图，在中，利用尺规作图，画出的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）
20．如图，是的内接三角形，，，连接并延长交于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)求线段的长．
21．如图，以BC为底的等腰ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若四边形ADBC是平行四边形，且BC＝12，求⊙O的半径．
22．如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
23．如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC于点E，，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
(1)求证：DH是⊙的切线；
(2)若E为AH的中点，求的值．
24．如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．
(1)若的半径为5，求的长；
(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】求出点C到直线的距离，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴点C到直线的距离为，
∵，
∴直线与的位置关系是相交．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，解决此题的关键是正确计算圆心到直线的距离，即直角三角形斜边上的高．
2．C
【分析】根据圆的切线相关的概念辨析即可．
【详解】A、B、D说法均正确；
C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，及切线长定理，熟记基本概念并准确判断是解题关键．
3．D
【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答即可求得．
【详解】解：根据题意可得：OP=3，圆P的半径为2，
当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故圆与轴相切，则平移的距离为1或5，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，图形的平移，分类讨论是解决本题的关键．
4．B
【分析】根据内心的定义判断即可．
【详解】解：A、由作图可知，可作三角形一角平分线与一边的垂直平分线，不能找到三角形内心，故此选项不符合题意；
B、由作图可知，可作三角形两角平分线，找出两角平分线交点，这点就是三角形内心，故此选项符合题意；
C、由作图可知，可作三角形两边垂直平分线，两边垂直平分线交点上三角形外心，不能找到三角形内心，故此选项不符合题意；
D、由作图可知，可作三角形一边垂直平分线和一边的垂线，两垂线交点不是内心，不能找到三角形内心，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的内心等知识，解题的关键是理解内心是三角形的角平分线的交点．
5．B
【分析】连接，根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角性质，得出，再根据切线的性质，得出，再根据三角形的内角和定理，即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质、切线的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
6．D
【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由，依据勾股定理求出半径r，根据计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求．
【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，
切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN＝NF，
又∵，
∴
设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，
得：r2＝16＋（8 r）2，
∴r＝5，
∴OK＝NB＝5，
∴EB＝9，
又，即，
∴AB＝；
当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
同理，可得OH＝AN＝5，
∴AE＝1，
又，
∴AB＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．
7．C
【分析】根据切线长定理及半径相等得，△APB为等腰三角形，△AOB为等腰三角形，共两个；
根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质，直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
【详解】解：因为OA、OB为圆O的半径，所以OA＝OB，所以△AOB为等腰三角形，
根据切线长定理，PA＝PB，故△APB为等腰三角形，共两个，
根据切线长定理，PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，所以△PAC≌△PBC，
故AB⊥PE，根据切线的性质定理∠OAP＝∠OBP＝90°，
所以直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
故选C．
【点睛】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定，有利于培养同学们良好的思维品质．
8．B
【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝AD＝1，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤1+，
∴BM≤，
∴BM的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
9．D
【分析】AB固定，∠AEB固定，定弦定角即可；作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°，此时E在圆O′上运动，由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD结论变化，即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．进而可以解决问题．
【详解】解：因为AB固定，
所以∠AEB固定，定弦定角，
故x不随C、D运动而变化；
∵CD为定长1，∠DEC为定角60°，
∴作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°，
此时E在圆O′上运动，如图，
由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD距离变化，
即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．
故选：D．
【点睛】本题考查动点问题，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心．
10．A
【分析】过点O作于点F，延长CD交BP于点E，连接OC，则， ，根据切线的性质得到，结合平行线的性质推出，进而得到，四边形OBEF是矩形，根据相似三角形的性质及矩形的性质得到，根据勾股定理得到，据此即可得解．
【详解】解：过点O作于点F，延长CD交BP于点E，连接OC，
∵，
∴，
∵PC是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵PB是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵PB、PC分别切⊙O于点B、C，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在Rt△CEP中，，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理，熟记切线的性质定理、垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
11． 或
【分析】根据轴与圆的位置关系，推出圆心到轴的距离和半径之间的关系即可得解．
【详解】解：∵⊙M与y轴相切，
∴；
即；
∴如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是；
如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是或．
故答案为：；；或．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系与直线与圆的位置关系之间的联系，是解题的关键．
12．∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
13．②③④①
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角确定圆的一条直径，然后根据圆的一条切线与切点所在的直径垂直，进行求解即可．
【详解】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图②，
第二步：画出圆的一条直径，即画图③；
第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位置从而画出切线，即先图④再图①，
故答案为：②③④①．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，熟知相关知识是解题的关键．
14．
【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【详解】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（-6，0）、B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴AB=6，
∴OP=AB=3，
∵OQ=2，
∴PQ=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
15．2
【分析】利用切线长定理可知，，，结合已知条件求出，再证是等边三角形即可得出．
【详解】解：是的内切圆，
，，均是的切线，切点分别为F，E，D，
由切线长定理可知，，，
，
的周长为16，
，
，
又，
是等边三角形，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查切线长定理的应用、等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
16．##0.8
【分析】如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得，即可根据三角形的面积和周长即可计算出半径．
【详解】解：如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，
∴，
∵，
∴
∴，
∵的周长为，面积为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内切圆的相关知识．
17．##24度
【分析】连接，先计算出，再利用外心性质和等腰三角形的性质得到，则，利用圆周角定理得到，接着计算出，再根据三角形内心即可解决问题．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
∵O点为的外心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵I为的内心，
∴平分，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握内心与外心定义．
18．
【分析】连接AO、BO、CO，根据圆周角定理，证明△BOC是等腰直角三角形，算出圆的半径，再算出∠AOB的度数，利用弧长公式可算出弧AB的长．
【详解】如图，连接AO、CO、BO，在AB的下方圆上任意选一点D，连接AD、BD
∵∠CAB=45°
∴∠BOC=90°
又∵BC=
∴BO=CO=1
又∵∠A=45°，∠B=35°
∴∠ACB=100°
∴∠ADB=180°-100°=80°
∴∠AOB=80°×2=160°
∴弧AB的长==
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理和弧长公式．熟记圆周角定理、圆的内接四边形对角互补和弧长公式是解决本题的关键．
19．见解析
【分析】分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可．
【详解】解：如图所示：外接圆（图1），内切圆（图2）
【点睛】题目主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心及垂直平分线与角平分线的作法，熟练掌握三角形内心与外心的确定方法是解题关键．
20．(1)见解析
(2)+3
【分析】（1）连接CD，OC，证明△ACD是等腰直角三角形，得到OC⊥AD，再根据切线的性质得到EC⊥OC，故可求解；
（2）作AF⊥EC于F点，证明四边形AOCF是正方形，再根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）如图，连接CD，∵，
∴∠ADC=，
∵AD是直径，
∴AC⊥CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
连接OC，∴OC⊥AD，
∵EC是的切线，
∴EC⊥OC，
∴；
（2）∵，△ACD是等腰直角三角形，
∴AO=OC=3，AC=，
如图，作AF⊥EC于F点，
∴四边形AOCF是矩形，∵OA=OC，
∴四边形AOCF是正方形，
∴AF=CF=3，
∴EF=，
∴EC=EF+CF=+3．
【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意作出辅助线求解．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OA，交BC于点E，根据等腰三角形的性质以及垂径定理可得，OA平分BC， 再由AD∥BC，即可求解；
（2）先求出BE=6，再由四边形ADBC是平行四边形，可得，从而得到，进而证得△ABO是等边三角形，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接OA，交BC于点E，
∵等腰ABC是以BC为底，
∴AB=AC，
∴，
，OA平分BC，
，
∵AD∥BC，
，
，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵OA平分BC，BC=12，
∵四边形ADBC是平行四边形，
，
，
，
∵∠OAD=90°，
∴，
，
，
，
，
，
∴△ABO是等边三角形，
，
∵，
，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
22．(1)直线与相切，理由见解析
(2)图中阴影部分的面积
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，证明，由，可得，即可证明结论；
（2）连接AD和BE，由圆周角定理可以得出，可以得出，，进而根据平行线分线段成比例推出BD=CD，CH=HE，根据E为AH的中点，可得出AE=EH=CH，，根据且，可以得出，根据相似三角形的性质得到，将AE，OD代入即可求出答案．
【详解】（1）连接OD，则．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴DH是的切线．
（2）连接AD和BE．
∵AB是的直径，
∴，．
∵
∴
∴．
∴且．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵
∴
∴
∴．
∵E为AH的中点，
∴．
∴
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键．
24．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由题意得，，根据得，根据切线的性质得，即，根据题意得，则，即可得，根据角之间的关系和边之间的关系得是等边三角形，即可得∴，则,根据题意得，，，在中，根据锐角三角形函数即可得；
（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，为等边三角形，可得，在中，根据直角三角形的性质得，即；方法二：连接，过点O作，垂足为H，根据题意得，四边形是矩形，所以，根据等边三角形的性质得，根据边之间的关系得CE=OE，根据HL得，即可得，由此即可得．
【详解】（1）解：如图所示，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的切线，C为切点，
∴，
∴，
∵，垂足为F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵的半径为5，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴在中，．
（2），证明如下
证明：方法一：如图所示，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴在中，，
∴，
即；
方法二：如图所示，连接，过点O作，垂足为H，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即DE=2EH，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴（HL），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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