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专题2.3 直线与圆的位置关系（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．圆的半径是7cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
2．如图，已知∠BOA＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM＝5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是（　　）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
3．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（　　）
A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切
4．如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（　　）
A．0＜d＜3 B．0＜d＜7 C．3＜d＜7 D．0≤d＜3
6．如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　 　）
A．6 B． C．5 D．
7．如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
9．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
10．如图，在中，弦， cm， cm，则的半径等于（ ）
A．7cm B．cm C．49cm D．cm
二、填空题
11．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（－3，0），点 B（0，），圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是 ．
12．在平面直角坐标系中，以点A(﹣2，3)为圆心、r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，那么r的值为 ．
13．如图，点D是等腰直角△ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA＝DE，则AD的取值范围是 ．
14．如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为 ．
15．如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，则线段CQ的取值范围是 ．
16．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．
17．如图，已知P的半径为1．圆心P在直线y=x-1上运动．当P与x轴相切时,P点的坐标为 ．
18．已知是以坐标原点为圆心，半径为1，函数与交于点、，点在轴上运动，过点且与平行的直线与有公共点，则的范围是 .
三、解答题
19．实践操作：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．
（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠BAC的平分线，交BC于点O．
②以O为圆心，OC为半径作圆．
综合运用：在你所作的图中，（1）直线AB与⊙O存在怎样的位置关系，请说明理由．
（2）若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为 　 　．
20．（1）如图，是的直径，点是上一点，请画出过点的最短弦；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）证明（1）中的结论；
（3）在平面直角坐标系中，直线与半径为的交于，两点，则弦长度的最小值为______．
21．如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB．
（1）求圆心C到直线AB的距离；
（2）求△PAB面积的最大值．
22．如图，半圆O的直径DE＝12 cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm.半圆O以2 cm/s的速度自左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为t s，当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8 cm.
(1)当t＝________s时，半圆O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为________．
(2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？
23．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
24．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，AD为BC边上的高，点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s，点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，若点P、Q两点同时出发，设它们的运动时间为x（s）．
（l）求x为何值时，PQ⊥AC；x为何值时，PQ⊥AB？
（2）当O＜x＜2时，AD是否能平分△PQD的面积？若能，说出理由；
（3）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】先确定圆的半径为7cm，而圆心到直线的距离为6.5cm，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点．
【详解】解：∵圆的半径为7cm，圆心到直线的距离为6.5cm，
∴圆心到直线的距离＜圆的半径，
∴直线与圆相交，
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d＝r；当直线l和⊙O相离 d＞r．
2．B
【分析】作MH⊥OA于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MHOM，则MH大于⊙M的半径，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】解：作MH⊥OA于H，如图，
在Rt△OMH中，∵∠HOM＝30°，
∴MHOM，
∵⊙M的半径为2，
∴MH＞2，
∴⊙M与直线OA的位置关系是相离．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交 dr，掌握利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系是解题的关键．
3．C
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【详解】解：∵是以点（3，2）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
4．B
【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是．
【详解】解：设切点为，连接，则
圆的半径，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数
所以x的取值范围是
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围．
5．D
【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
【详解】解：由题意知，
两圆内含，则0≤d＜5-2（当两圆圆心重合时圆心距为0），
即如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是0≤d＜3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则d＞R+r；②外切，则d=R+r；③相交，则R-r＜d＜R+r；④内切，则d=R-r；⑤内含，则d＜R-r．
6．B
【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是，由此求得答案．
【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4
∴OB=3；OA=4
由勾股定理得，
∵C（0，1）
∴
∴BC=OB+OC=3+1=4
过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图，
则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=，
∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是 ，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×=，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离．
7．C
【分析】过点作于，过点作轴于，交于，连接．分别求出、，相加即可．
【详解】解：过点作于，过点作轴于，交于，连接．
，，半径为2，
，，
根据勾股定理得：，
点在直线上，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
的圆心是，
．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．
8．D
【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．
【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：
∵
∴，，是等腰直角三角形，
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴⊙M与直线AB相切于点A
∵
∴
∴圆心M的坐标为；
②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示：
∵⊙M与直线AB相切，
∴
根据直线AB的解析式：可知
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴圆心M的坐标为，
综上所述：圆心M的坐标为或，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键．
9．D
【详解】试题分析：连接OA，如图：
∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH=4cm，∵OA=OC=5cm，∴由勾股定理可得OH=3cm，∴当直线向下平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，∴CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D．
考点：垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系．
10．A
【分析】连接，作，根据垂径定理可得，进而得出，根据勾股定理即可解答．
【详解】解：连接，作于点
，，
在中：
在中：
的半径等于cm
故选：A．
【点睛】本难题考查了垂径定理，勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握垂径定理．
11．
【分析】当⊙P在直线AB下方与直线AB相切时，可求得此时m的值；当⊙P在直线AB上方与直线AB相切时，可求得此时m的值，从而可确定符合题意的m的取值范围．
【详解】∵圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切与点O
∴⊙P的半径为1
∵点A（－3，0），点 B（0，）
∴OA=3，
∴
∴∠BAO=30°
当⊙P在直线AB下方与直线AB相切时，如图，设切点为C，连接PC
则PC⊥AB，且PC=1
∴AP=2PC=2
∴OP=OA AP=3 2=1
∴P点坐标为( 1，0)
即m= 1
当⊙P在直线AB上方与直线AB相切时，如图，设切点为C，连接PD
则PD⊥AB，且PD=1
∴AP=2PD=2
∴OP=OA+AP=3+2=5
∴P点坐标为( 5，0)
即m= 5
∴⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与直线AB相交时，m的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题考查了直线与圆相交的位置关系，切线的性质定理等知识，这里通过讨论直线与圆相切的情况来解决直线与圆相交的情况，体现了转化思想，注意相切有两种情况，不要出现遗漏的情况．
12．3或
【分析】利用点A的坐标得到点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，根据直线与圆的位置关系，当⊙A与x轴相切时，满足条件，易得此时r＝3；当⊙A经过原点时，满足条件，利用勾股定理计算出此时r的值．
【详解】解：∵点A坐标为（﹣2，3），
∴点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
当⊙A与x轴相切时，与y轴有2个交点，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r＝3；
当⊙A经过原点时，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r＝，
综上所述，r的值为3或．
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d＝r；直线l和⊙O相离 d＞r．
13．
【分析】以D为圆心，AD的长为半径画圆，分BC与圆相交和相切时分情况讨论，即可求出．
【详解】以D为圆心，AD的长为半径画圆
①如图，当圆与BC相切时，DE⊥BC时，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴BD＝DE，
∵AB＝2，DA＝DE，
∴AD+AD＝2，
∴AD＝2﹣2；
②如图，当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD＝AB＝1，
∴AD的取值范围是2﹣2≤AD≤1．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的作法，圆与直线的位置关系，圆的相关性质，分情况讨论并画出图形是解题的关键．
14．或
【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，
∴AB=4，
∴，
根据三角形的面积公式得：AB CD=AC BC，
∴，
当圆与时AB相切时，r=，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，
综上所述：r的取值范围是r=或2＜r≤2，
故答案为：r=或2＜r≤2．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
15．≤CQ≤12．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切，二是半圆和AB相交，首先求得相切时CQ的值，即可进一步求解相交时CQ的范围．
【详解】∵Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，
∴AB=13，
①当半圆O与AB相切时，如图，连接OP，
则OP⊥AB，且AC=AP=5，
∴PB=AB﹣AP=13﹣5=8；
设CO=x，则OP=x，OB=12﹣x；
在Rt△OPB中，OB2=OP2+OB2，
即(12﹣x)2=x2+82，
解之得x=，
∴CQ=2x=；
即当CQ=且点P运动到切点的位置时，△CPQ为直角三角形．
②当＜CQ≤12时，半圆O与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形；
③当0＜CQ＜时，半圆O与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆O外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形；
∴当≤CQ≤12时，△CPQ可能为直角三角形．
故答案为：≤CQ≤12．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理的推论，以及切线的性质等，熟练掌握基本性质进行综合分析是解题关键．
16．（-2,0）（-3,0）（-4,0）
【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标．
【详解】如图，与分别切AB于D、E．
由，，易得，则A点坐标为．
连接、，则、，则在中，，
同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为，
当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为，
横坐标为整数的点P的坐标为、、．
故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键．
17．(2，1)或（0，-1）
【分析】设当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为（x，x-1），再根据⊙P的半径为1即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值即可．
【详解】∵⊙P的圆心在一次函数y=x-l的图象上运动，
∴设当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为（x，x-1），
∵⊙P的半径为1．
∴x-1=1或x-1=-1．
解得x=2或x=0．
∴P点坐标为(2，1)或（0，-1）．
【点睛】本题考查的是切线的性质和一次函数图象上点的坐标特征，熟知直线与圆相切的性质是解答此题的关键．
18．，且x≠0
【分析】由题意得有两个极值点，过点P与⊙O相切时，取得极值，作出切线求解即可.
【详解】将OA平移至P1D的位置，使P1D与圆相切，连接OD如下图所示：
由题意得，
故可得，即的极大值为，
同理当点P在y轴左边时也有一个极值点P2，此时取得极小值
综上可得的范围为：，且x≠0
故填：，且x≠0
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，找出两个极值是关键.
19．实践操作：见解析；综合运用：（1）AB与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）3
【分析】实践操作：以点A为圆心作弧交AC、AB，分别以两交点为圆心作弧，且两弧相交，连接A与两弧交点延长与BC相交的点为点O；
综合运用：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得AB与⊙O的位置关系是相切；
（2）首先根据勾股定理计算出AB的长，设半径为x，则，，，在中，由勾股定理求得，得出，再次利用勾股定理可得方程，解方程即可．
【详解】实践操作，如图所示：
综合运用：（1）AB与⊙O的位置关系是相切．
∵AO是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，∠ADO=90°，
∴DO=CO，
∴AB与⊙O相切；
（2）设半径为x，则，，，
在中，，
，
在中，，
解得：．
⊙O的半径为3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、勾股定理以及切线的判定，掌握相关知识点是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）故点作即可；
（2）过点任画一条弦，过点作，利用垂径定理计算弦长及,可分析出当,即时最短；
（3）由直线的方程可知，直线过定点，由（2）中的结果可知，当圆心与定点的连线与直线垂直时，弦最短．
【详解】解：（1）如图所示，，则弦即为所求．（标注垂直符号）
（2）证明：过点任画一条弦，过点作，
垂足为，连接、．
∵，
∴，，
在中，．
同理可得，，．
∵在中，，且，
∴，
∴．
与重合时，，即弦为过点的最短弦．
（3）由直线的方程可知，直线过定点，则圆心和点的距离为，由（2）中的结果可知，当圆心与定点的连线与直线垂直时，弦最短，利用垂径定理得，故的最段长度为．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条线，并且平分这条弦所对的两条弧是解题的关键．
21．（1）；（2）51．
【分析】（1）求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB．过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积面积法求高，可知圆心C到直线AB的距离；
（2）由（1）中的数据即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
【详解】解：解：（1）如图1，过C作于M，连接AC，MC的延长线交于N，
由题意：，，
，，．
，
则由三角形面积公式得，，
，
，
圆心C到直线AB的距离是；
（2）由（1）知，圆心C到直线AB的距离是．
则圆C上点到直线的最大距离是，
故面积的最大值是：．
【点睛】本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，直线与圆的位置关系，解此题的关键是由三角形面积法求高得出圆心C到直线AB的距离，难度不是很大．
22．（1）1，6 cm；（2）当t为4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切．
【分析】（1）求出路程EC的长，即可以求时间t=1，作C到AB的距离CF，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以得：CF=6；
（2）根据C到AB的距离为6cm，圆的半径为6cm，所以O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，t=8÷2=4秒.
【详解】(1)∵DE＝12 cm，
∴OE＝OD＝6 cm.
∵OC＝8 cm，
∴EC＝8－6＝2(cm)，
∴t＝2÷2＝1(s)，
故当t＝1时，半圆O与AC所在直线第一次相切．
如图①，过点C作CF⊥AB于点F.
在Rt△BCF中，∵∠ABC＝30°，BC＝12 cm，
∴CF＝BC＝6 cm.
故答案为1，6 cm.
(2)如图②，当半圆O在直线AB的左侧，与直线AB相切时，过点O作OM⊥AB于点M，则OM＝6 cm.
∵∠ABC＝30°，
∴OB＝2OM＝12 cm.
又∵BC＝12 cm，
∴当点O与点C重合，即当点O运动到点C时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时，点O运动了8 cm，运动时间t＝8÷2＝4.
如图③，当半圆O所在的圆在直线AB的右侧与直线AB相切时，设切点为Q，则OQ⊥AB，OQ＝6 cm.
在Rt△QOB中，∠OBQ＝∠ABC＝30°，则OB＝2OQ＝12 cm，此时点O运动了12＋12＋8＝32(cm)，运动时间t＝32÷2＝16.
综上所述，当t为4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切．
【点睛】考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系．利用时间t来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
23．（1）AB＝AC（2）≤r<5
【分析】（1）连接，根据切线的性质和垂直得出，推出，求出，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）根据已知得出在的垂直平分线上，作出线段的垂直平分线，作，求出，求出范围，再根据相离得出，即可得出答案.
【详解】(1)AB＝AC，理由如下：
如图1，连结OB.
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA＝∠OAC＝90°，
∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，
∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠APC，
∴∠ACP＝∠ABC，
∴AB＝AC；　
(2)如图2，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出；
又∵圆O与直线MN有交点，
∴，
，
，
r2≥5，
∴，
又∵圆O与直线l相离，
∴r<5，
即.

图1 图2
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强，有一定的难度.
24．（1）当x=（Q在AC上）时，PQ⊥AC；x=时PQ⊥AB；（2）AD平分△PQD的面积；（3）当x=或时，以PQ为直径的圆与AC相切，当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．
【分析】（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；若使PQ⊥AB，则根据路程=速度×时间表示出BP，BQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
（2）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP=CN，则PD=DN，再根据平行线等分线段定理即可证明；
（3）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论．
【详解】解：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=；
当x=（Q在AC上）时，PQ⊥AC；
如图：①
当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=x，AC+AQ=2x；
∵AC=4，
∴AQ=2x-4，
∴2x-4+x=4，
∴x=，
故x=时PQ⊥AB；
（2）过点QN⊥BC于点N，
当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；
∴NC=x，
∴BP=NC，
∵BD=CD，
∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴AD∥QN，
∴OP=OQ，
∴S△PDO=S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
（3）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，
当x=或时，以PQ为直径的圆与AC相切，
当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．
答案第1页，共2页
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