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已知A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=2n+1,n∈Z},C={x|x=4n+1,n∈Z},设α∈A，β∈B,则α+β，
αβ分别是A，B，C哪个集合的元素？
解：设α=2n1,β=2n2+1,n1,n2∈Z,
∵n1+n2∈Z,则α+β=2(n1+n2)+1∈B;
∵n1(2n2+1)∈Z,则αβ= 2n1(2n2+1)=2[n1(2n2+1)]∈A
说明：此题主要考查对元素与集合从属关系的判断.
例2．设A=，试用列举法表示A.
解：由|x|≤2,x∈Z
可知：x取-2，-1，0，1，2.
对应y取3，0，-1，0，3，该集合中的元素是抛物线y=x2-1上的五个点：
说明：此题主要考查列举法与描述法的转换.
例3．已知集合M={m∈N*|8-m∈N*}，则集合M的元素个数是多少？
解：由m∈N*，8-m∈N*可知m取值分别为1，2，3，4，5，6，7.
故集合M的元素个数为7.
说明：此题条件若变N*为N，则应考虑m=0及m=8的情况.
例4．已知集合A=，求a的取值范围.
解：由a2-a≠2a可得a≠0且a≠3.
说明：此题意在考查集合元素的互异性.
例5．已知集合A=，B=，其中a≠0,且A=B，求q的值.
解：由A=B，可能有两种情况：
（Ⅰ） 或（Ⅱ）
对于（Ⅰ），两式相减得d=aq(q-1).代入（1）式可得q=1，这时有a=aq=aq2与集合的互异性矛盾，故只能由（Ⅱ）解得q=-.
说明：此题主要考查集合元素的无序性、互异性.
例6．设A={x|x2+ (b +2)x+b+1=0,b∈R}求A中所有元素之和.
解：∵Δ=（b+2）2-4(b+1)=b2≥0
ⅰ)当b=0时A={-1}.此时A中所求元素之和为-1，
ⅱ)当b≠0时，A中含两个不同元素，此时由韦达定理可得所有元素之和为-(b+2).
说明：在情形ⅰ）应注意集合互异性的应用，另外此题还体现分类讨论的思想.
1.已知Ａ＝｛ｘ｝，下列各式正确的是（　　）
A.ｘＡ B.０∈Ａ C.ｘ∈Ａ D.ｘ≠０
2.下列各组对象中，不能组成集合的是（　　）
A.所有正三角形 B.《高一代数》课本中的所有习题
C.所有数学难题 D.所有无理数
3.下列方程的实数解集为｛｝的个数是（　　）
(1)４ｘ２＋９ｙ２－４ｘ＋１２ｙ＋５＝０
(2)６ｘ２＋ｘ－２＝０
(3)（２ｘ－１）２（３ｘ＋２）２＝０
(4)６ｘ２－ｘ－２＝０
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.用符号∈或填空
２ Ｎ，－１ Ｎ， Ｎ，π Ｎ，
２ Ｚ，－１ Ｚ， Z, π Z，
２ Q，-1 Q， Q, π Q,
２ R，-1 R， R, π R.
5.由实数-a，｜ａ｜，，ａ，－所组成的集合、最多含有 个元素.
6.方程（ｘ－１）３（ｘ－５）（x＋２）＝０的解集中含有 个元素.?
强化训练
1.求数集｛２ａ，ａ２＋ａ｝中的元素所应满足的条件.
2.若∈｛ｔ｝，求t的值.
参考答案：
1.C 2.C 3.B 4.∈,, ,,∈,∈, ,,∈,∈,∈, ,∈,∈,∈,∈
5.2 6.3
强化训练
1.ａ≠０且ａ≠１. 2.－１±
设集合A＝｛x|x=a２＋１，ａ∈Ｎ＋｝，Ｂ＝｛y|y=b２－４ｂ＋５，ｂ∈Ｎ＋｝，则下述关系中正确的是(　　)?
?A．A＝Ｂ　　　?B．Ａ?B　　　?C．AB　　　　　D．A∩Ｂ＝?
2．已知集合I＝｛１，２，３，４，５，６｝，集合M＝｛１，２，３｝，集合N＝｛２，４，ｘ｝，且M∩N不是｛１，２，５｝的子集，则x是(　　)?
?A．1　　?　　B．3　　　　?C．4　　　　?D．6
3．设A＝｛０，１｝，且B＝｛x| ｘＡ｝，则用列举法表示B应为＿＿＿．?
4．若已知B＝｛a,b,c,d,e｝,C={a,c,e,f}，且集合A满足AB，AC，则集合A的个数是＿＿＿＿＿＿．?
5．设集合A={(x,y)|(x-1)２＋ｙ２＝１}，Ｂ＝｛(x,y)|＝－１｝，则A、B关系为＿＿＿＿．?
6．若A={1,3,a},B={1,a２－ａ＋１}，A∪Ｂ＝Ａ，求实数a的值．???
答案：集合的概念
1.C 2.B 3.｛｛０｝，｛１｝，｛０，１｝｝ 4.8 5.A?B 6.a=-1或2.
1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：
(1)所有绝对值等于8的数的集合A
(2)所有绝对值小于8的整数的集合B
(3)30的所有质因数的集合C
分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在．
解：(1)A＝｛绝对值等于8的数｝
其元素为：－8，8
(2)B＝｛绝对值小于8的整数｝
其元素为：－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7
(3)C＝｛30的所有质因数｝
其元素为：2，3，5
2.下列各组对象不能形成集合的是( )
A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题
C．被3除余2的所有整数 D．函数y＝图象上所有的点
解：综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B．
3.下列条件能形成集合的是( )
A．充分小的负数全体 B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学 D．某校某班某一天所有课程
解：综观该题的四个选择支，A、B、C的对象不确定，惟有D某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D．
4.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围．
解：由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设
若k≠0，则方程为一元二次方程．
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素．又当9－8k＜0即k＞时，kx2－3x＋2＝0无解．
此时A中无任何元素，即A＝也符合条件
综上所述 k＝0或k≥
评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论．其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况．
5.若x∈R，则｛3，x，x2－2x｝中的元素x应满足什么条件?
解：集合元素的特征说明｛3，x，x2－2x｝中元素应满足关系式
即
即x≠－1，0，3满足条件．
6.方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是｛｝，则a＝___________，c＝___________．
解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是｛｝，那么、是方程两根
即有
那么 a＝－6，c＝－1
7.集合A的元素是由x＝a＋b (a∈Z，b∈Z)组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，
解：因x＝a＋b，a∈Z，b∈Z
则当a＝b＝0时，x＝0
又
当a＝b＝1时，x＝1＋
又＝
当a＝，b＝1时，a＋b＝
而此时 Z，故有：A，
而0∈A，∈A
8.小于或等于x的最大整数与不小于x的最小整数之和是15，则x∈____________．
解：若x是整数，则有x＋x＝15，x＝与x是整数相矛盾，若x不是整数，则x必在两个连续整数之间
设n＜x＜n＋1
则有n＋(n＋1)＝15，2n＝14，n＝7
即7＜x＜8 ∴x∈(7，8)
1.用列举法表示下列集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合．
(2)｛y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N｝．
(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集．
(4)｛20以内的质数｝．
(5)｛(x，y)｜x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z｝．
(6)｛大于0小于3的整数｝．
(7)｛x∈R｜x2＋5x－14＝0｝．
(8)｛(x，y)｝｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0｝．
(9)｛(x，y)｜x＋y＝6，x∈N，y∈N｝．
分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内．
解：(1)因x2－4＝(x－2)(x＋2)，故符合题意的集合为｛x－2，x＋2｝．
(2)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0，1，2，3，4．
故｛y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N｝＝｛0，1，2，3，4｝．
(3)由x2＋6x＋9＝0得 x1＝x2＝－3
∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为｛－3｝．
(4)｛20以内的质数｝＝｛2，3，5，7，11，13，17，19｝．
(5)因x∈Z，y∈Z，则x＝－1，0，1时，y＝0，1，－1．
那么｛(x，y)｜x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z｝＝｛(－1，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)｝．
(6)｛大于0小于3的整数｝＝｛1，2｝．
(7)因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则｛x∈R｜x2＋5x－14＝0｝＝｛－7，2｝．
(8)当x∈N且1≤x＜4时，x＝1，2，3，此时y＝2x，即y＝2，4，6．
那么｛(x，y)｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0｝＝｛(1，2)，(2，4)，(3，6)｝．
(9)｛(x，y)｜x＋y＝6，x∈N，y∈N｝＝｛(0，6)(1，5)，(2，5)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)｝.
2.用描述法表示下列集合：
(1)方程2x＋y＝5的解集．
(2)小于10的所有非负整数的集合．
(3)方程ax＋by＝0(ab≠0)的解．
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合．
(6)方程组的解的集合.
(7)｛1，3，5，7，…｝．
(8)x轴上所有点的集合.
(9)非负偶数.
(10)能被3整除的整数.
分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质．
解：(1)｛(x，y)｜2x＋y＝5｝．
(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为｛x｜0≤x＜10，x∈Z｝．
(3)方程ax＋by＝0(ab≠0)的解用描述法表示为｛(x，y)｜ax＋by＝0(ab≠0)｝．
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为｛x｜x＞3｝．
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为｛(x，y)｜xy＜0．
(6)方程组的解的集合用描述法表示为．
(7)｛1，3，5，7，…｝用描述法表示为｛x｜x＝2k－1，k∈N*｝．
(8)x轴上所有点的集合用描述法表示为｛(x，y)｜x∈R，y＝0｝．
(9)非负偶数用描述法表示为｛x｜x＝2k，k∈N｝．
(10)能被3整除的整数用描述法表示为｛x｜x＝3k，k∈Z｝．
3.已知A＝｛－2，－1，0，1｝，B＝｛x｜x＝｜y｜y∈A｝，求B．
解：∵y∈A ∴y＝－2，－1，0，1
此时｜y｜＝0，1，2，则有B＝｛0，1，2｝．
4.将方程组的解集用列举法、描述法分别表示．
解：因的解为(3，－7)
则用描述法表示该集合：
；
用列举法表示该集合：｛(3，－7)｝．
5.设集合A＝｛x｜x＝2k，k∈Z｝，B＝｛x｜x＝2k＋1，k∈Z｝，C＝｛x｜x＝4k＋1，k∈Z｝，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系．
解：因A＝｛x｜x＝2k，k∈Z｝，B＝｛x｜x＝2k＋1，k∈Z｝，则集合A由偶数构成，集合B由奇数构成．
即a是偶数，b是奇数
设a＝2m，b＝2n＋1(m∈Z，n∈Z)
则a＋b＝2(m＋n)＋1是奇数，
那么a＋bA，a＋b∈B
又C＝｛x｜x＝4k＋1，k∈Z｝是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1
故m＋n是偶数时，a＋b∈C；
m＋n不是偶数时，a＋bC．
综上a＋bA，a＋b∈B，a＋bC．
1.下列集合表示法正确的是（　　）
A.｛１，２，２，３｝
B.｛全体实数｝
C.｛有理数｝
D.不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２－５＞０｝
2.设A＝｛a｝，则下列各式中正确的是（　　）
A.０∈Ａ B.ａＡ C.ａ∈Ａ D.ａ＝Ａ
3.集合A＝｛ｘ｜ｘ２＋ｘ＋１＝０，ｘ∈Ｒ｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ（ｘ２＋６ｘ＋１０）＝０，ｘ∈Ｎ｝，Ｃ＝｛ｘ｜４ｘ＋５＜０，ｘ∈Ｑ｝，Ｄ＝｛绝对值小于2的质数｝，其中是空集的个数是（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.方程ｘ２－5ｘ＋６＝０的解集可表示为 ；方程组的解集可表示为.
5.集合｛ｘ∈Ｎ｜－１＜ｘ＜４＝用列举法表示为 .
6.已知M＝｛ｘ｜ｘ≤｝且ａ＝，则M与a的关系为 .
强化训练
1.集合Ａ＝｛一条边为2，一个角为30°的等腰三角形｝，其中的元素个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.无数个
2.设x、y、z是非零实数，若ａ＝,则所有不同的a值组成的集合为（　　）
A.｛４，－４｝ B.｛０，４｝
C.｛０｝ D.｛４，－４，０｝
3.集合M＝｛ｘ｜ｘ＝，ｔ∈Ｚ，ｔ≠３｝，若ｘ∈Ｍ则①ｘ∈Ｎ，②ｘ∈Ｑ，③ｘ∈Ｒ，④ｘ∈Ｚ，其中正确的个数有（　　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.用列举法表示集合｛ｘ｜（ｘ＋１）（ｘ－）（ｘ２－２）（ｘ２＋１）＝０，ｘ∈Ｑ｝
= .
5.若集合Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜－２≤ｘ≤２｝，Ｂ＝｛ｘ∈Ａ｜ｘ２－１｝，集合B用列举法可以表示为 .
6.对于集合Ａ＝｛2，4，6｝，若ａ∈Ａ，则６－ａ∈Ａ，那么a的值是 .
7.若集合Ｓ＝｛ｘ∈Ｚ｜∈Ｎ＋｝，用列举法表示出集合S.
8.若集合A＝｛ｘ｜ｘ２＋ａｘ＋ｂ＝ｘ｝中，仅有一元素a,求a、b的值.
9.数集A满足：若ａ∈Ａ，ａ≠１，则∈Ａ.
参考答案：
1.C 2.C 3.B 4.｛２，３｝，｛（２，３）｝ 5.｛０，１，２，３｝ 6.ａＭ
强化训练
1.C 2.D 3.B 4.｛－１，｝ 5.｛－１，０，３｝ 6.2，4 7.｛２，３，４，７｝
8.ａ＝ ｂ＝ 9.略
例1．已知集合A={x|x2-2x=0},B={x∈N|4x-x2≥0},写出满足AMB的所有集合M.
解：由于A={0，2}，B={0，1，2，3，4},所以按M是含有元素0，2的三元素集合，四元素集合，五元素集合逐类写出:{0，2，1}，{0，2，3}，{0，2，4}；{0，2，1，3}，{0，2，1，4}，{0，2，3，4}；{0，2，1，3，4}.
例2．设集合A={-1，1}，B={x|x2-2ax+b=0},若B≠?，且BA，求a、b的值.
分析：此题应注重对集合B中一元二次方程根的分类讨论.
解：ⅰ）当B={1}时，方程有两等根1，此时Δ=4(a2-b)=0可得a=1,b=1;
ⅱ)当B={-1}时，方程有两等根-1，此时Δ=0，可得a=-1,b=1.
ⅲ)B={-1,1}时，方程有两不等实根，此时Δ＞0,可得a=0,b=-1.
例3.已知集合A={x|x2-x-2＞0}，B=x|x2+4x+p＜0，若BA，求实数p的取值范围.
解：由已知A=x|x＜-1或x＞2
ⅰ)若B=?，由BA ，有Δ=42-4p＜0即p＞4;
ⅱ)若B≠?，则p≤4,而B=x|-2-＜x＜-2+
由BA得:-2+≤-1或-2-≥2
解得:3≤p≤4
综上所述:p≥3
说明:此题体现分类讨论思想,应注意不要漏掉B=?情形.
另外,也可根据二次函数图象得出B≠?的情形,由于f(x)=x2+4x+p对称轴x=-2＜-1
故B≠?,等价于不等式组解得3≤p≤4
1.设全集Ｕ＝Ｚ，Ａ＝｛ｎ｜ｎ＝２ｋ，ｋ∈Ｚ｝，Ｍ＝ＣＵＡ，下面关系式：
（１）０∈Ｍ（２）∈Ｍ（３）－３∈Ｍ（４）｛｝？？Ｍ，其中正确的个数是（　　）A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知全集Ｕ＝｛０，１，２｝且CＵＡ＝｛２｝，则集合A的真子集共有（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.全集Ｕ＝Ｒ，Ｍ＝｛ａ＋ｂ，ａ、ｂ∈Ｑ｝，则下列结论正确的是（　　）
A.Ｍ？？ＣＵＱ B.ＣＵＱ？？Ｍ
C.Ｍ?？？Ｑ D.Ｍ？？Ｑ
4.已知全集Ｕ＝｛－１，０，１，２，３｝，集合M＝｛ｘ｜ｘ为不大于3的自然数｝，则ＣＵＭ＝ .
5.设Ｕ＝｛梯形｝，Ａ＝｛等腰梯形｝，则CＵＡ＝ .
6.设全集Ｕ＝Ｚ，集合A＝｛ｘ∈Ｚ｜ｘ＜－３或ｘ≥４，则CＺＡ＝ .
强化训练
1.在下列关系中，正确的是（　　）
A.０∈Ｎ B.* C.｛０｝Ｎ D.Ｎ＝ＣZＮ*
2.设全集Ｕ和集合A、B、P，Ａ＝ＣＵＢ，Ｂ＝ＣＵＰ，则A与P的关系是（　　）
A.Ａ＝ＣＵＰ B.Ａ＝Ｐ C.Ａ？？Ｐ D.Ａ？？Ｐ
3.集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝（２ｋ＋１），ｋ∈Ｚ｝与Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＝，ｋ∈Ｚ｝之间的关系是（　　）
A.Ａ＝Ｂ B.ＡＢ C.ＢＡ D.Ａ？？Ｂ
4.已知全集Ｕ＝Ｒ＋，集合Ａ＝｛ｘ｜０＜ｘ－１≤５＝，则ＣＵＡ＝ .
5.设S＝｛四边形｝，Ａ＝｛至少有一组对边平行的四边形｝，则CＳＡ＝ .
6.已知集合Ａ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ２＋＝２ａ－１，ａ∈Ｒ，ｂ∈Ｒ｝，Ｂ＝｛（１，）｝，则Ａ Ｂ（填“＝”或“≠”）.
7.设全集Ｓ＝｛ｘ｜ｘ２－３ｘ＋２＝０｝，Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－ｐｘ＋ｑ＝０｝，若CＳＡ＝?，求p、q.
8.设Ｕ＝｛２，４，１－ａ｝，Ａ＝｛２，ａ２－ａ＋２｝，若CＵＡ＝｛－１｝，求a.
9.已知A＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ２－２ｘ－８＝０｝，Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ２＋ａｘ＋ａ２－１２＝０｝，ＢＡ，求实数a的取值集合.
参考答案：
1.A 2.Ａ 3.Ｄ 4.｛－１｝ 5.｛不等腰梯形｝
6.｛－３，－２，－１，０，１，２，３｝
强化训练
1.Ａ 2.B 3.Ａ 4.｛ｘ｜０＜ｘ≤１或ｘ＞６ 5.｛两组对边都不平行的四边形｝
6.＝ 7.ｐ＝３，ｑ＝２ 8.２
9.｛ａ｜ａ＜－４或ａ＝－２或ａ≤４｝.
1.下列各式中，正确的是（　　）
A.｛ｘ｜ｘ≤４｝ B.∈｛ｘ｜ｘ≤４｝
C.｛｝??｛ｘ｜ｘ≤３｝ D.｛｝∈｛ｘ｜ｘ≤４｝
2.设A＝｛０，ａ｝，且Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ｝，则集合A与集合B的关系是（　　）
A.AＢ B.ＢＡ C.Ａ＝Ｂ D.Ａ∈Ｂ
3.设Ａ｛１，２，３，４，５｝，则符合条件的集合A的个数的最大值是（　　）
A.32 B.31 C.30 D.29
4.能满足关系式｛２，３｝Ａ｛１，２，３，４，５｝的集合M的个数为 .
5.集合｛０，１，２｝的子集是 .
6.设集合Ａ＝｛１，３，ａ｝，Ｂ＝｛１，ａ２－ａ＋１｝，且ＡＢ，则a的集合为 .
强化训练
1.设A＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＞０且ｙ＜０｝，B＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ－ｙ＞０且ｘｙ＜０｝，则下列关系正确的是（　　）
A.ＡＢ B.ＡＢ
C.Ａ＝Ｂ D.以上关系都不正确
2.设集合A＝｛ｘ｜ｘ≤｝，ａ＝，那么下列关系正确的是（　　）
A.ａＡ B.ａ∈Ａ
C.ａＡ D.｛ａ｝∈Ａ
3.已知集合Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ＜０，ｘｙ＞０＝和Ｐ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＜０，ｙ＜０，那么（　　）
A.Ｐ??Ｍ B.Ｍ??Ｐ C.Ｍ＝Ｐ D.Ｍ??Ｐ
4.数集X＝｛（２ｎ＋１）π，ｎ∈Ｚ｝，Y＝｛（４ｋ±１）π，ｋ∈Ｚ｝，则X与Y之间的关系是 .
5.设B＝｛０，１，２｝，Ａ＝｛ｘ｜ｘＢ｝，则A与B的关系是 .
6.已知：Ａ＝｛ａ，０，－１｝，Ｂ＝｛ｃ＋ｂ，，１｝，且Ａ＝Ｂ，则ａ＝ ，ｂ＝ ，ｃ＝ .
7.设集合A＝｛ｘ，ｘ２，ｘｙ｝，Ｂ＝｛１，ｘ，ｙ｝，且Ａ＝Ｂ，求实数x、y的值.
8.已知Ａ＝｛三角形｝，Ｂ＝｛等腰三角形｝，Ｃ＝｛等边三角形｝，Ｄ＝｛直角三角形｝，用文氏图表示它们之间的关系.
9.已知集合A＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ２－３ｘ＋４＝０｝，Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜（ｘ＋１）（ｘ２＋３ｘ－４）＝０｝，Ａ??ＰＢ，求满足条件的集合P.
参考答案：
1.B 2.C 3.B 4.8 5. ，｛０｝，｛１｝，｛２｝，｛０，１｝，｛１，２｝，｛０，２｝，｛０，１，２｝ 6.｛－１，２｝
强化训练
1.C 2.B 3.Ｃ 4.X＝Y 5.Ｂ∈Ａ 6.1,-2,2 7.ｘ＝－１，ｙ＝０ 8.略
9.｛－４｝、｛－１｝、｛１｝、｛－４，－１｝、｛－４，１｝、｛－１，１｝，｛－４，－１，１｝.
二、参考练习题
1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“√”或“×”：
(1)若S＝｛1，2，3｝，A＝｛2，1｝，则 ＝｛2，3｝( )
(2)若S＝｛三角形｝，A＝｛直角三角形｝，则 ＝｛锐角或钝角三角形｝( )
(3)若U={四边形}，A={梯形}，则 ={平行四边形}
(4)若U＝｛1，2，3｝，A＝，则 ＝A( )
(5)若U＝｛1，2，3｝，A＝U，则 ＝?( )
(6)若U＝｛1，2，3｝，A＝｛2，3｝，则 ＝｛1｝( )
(7)若U是全集且AB，则 ( )
解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(1)(5)(6)正确，其余错误.
在(1)中，因S＝｛1，2，3｝，A＝｛2，1｝，则 ＝｛3｝.
(2)若S＝｛三角形｝，则由A＝｛直角三角形｝得 ＝｛锐角或钝角三角形｝.
(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如
既不是梯形，也不是平行四边形.
(4)因U＝｛1，2，3｝，A＝ ?，故 ＝U.
(5)U＝｛1，2，3｝，A＝U，则 ＝.
(6)U＝｛1，2，3｝，A＝｛2，3｝，则 ＝｛1｝.
(7)若U是全集且A＝B，则 ．
评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪( )＝U．
2.填空题
(1)A＝｛x∈R｜x≥3｝，U＝R， ＝_______________.
(2)A＝｛x∈R｜x＞3｝，U＝R， ＝_______________.
(3)已知U中有6个元素， ＝，那么A中有_______________个元素.
(4)U＝R，A＝｛x｜a≤x≤b｝， ＝｛x｜x＞9或x＜3｝，则a＝___________，b＝___________.
(5)设y表示方程 ax2＋bx＋c＝0，U＝｛y｜a、b、c∈R，a≠0｝，A＝｛y∈U｜b2－4ac≥0｝，则有 ＝_______________.
解：由全集、补集意义解答如下：
(1)由U＝R及A＝｛x｜x≥3｝，知 ＝｛x｜x＜3＝(可利用数形结合).对于(2)，由U＝R及A＝｛x｜x＞3｝，知 ＝｛x｜x≤3｝，注意“＝”成立与否．对于(3)，全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R.因A＝｛x｜a≤x≤b｝，其补集 ＝｛x｜x＞9或x＜3＝，则a＝3，b＝9．
3.已知U＝｛x∈N｜x≤10｝，A＝｛小于10的正奇数｝，B＝｛小于11的质数｝，求 、
解：因x∈N，x≤10时，x＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10
A＝｛小于10的正奇数｝＝｛1，3，5，7，9｝，B＝｛小于11的质数｝＝｛2，3，5，7｝，那么 ＝｛0，2，4，6，8，10｝， ＝｛0，1，4，6，8，9，10｝．
4.已知A＝｛0，2，4，6｝， ＝｛－1，－3，1，3｝， ＝｛－1，0，2｝，用列举法写出B.
解：因A＝｛0，2，4，6｝， ＝｛－1，－3，1，3｝，故U＝A∪( )＝｛0，1，2，3，4，6，－3，－1｝
而 ＝｛－1，0，2｝，故B＝｛－3，1，3，4，6｝．
5.已知全集U＝｛2，3，a2－2a－3｝，A＝｛2，｜a－7｜｝， ＝｛5｝，求a的值．
解：由补集的定义及已知有：a2－2a－3＝5且｜a－7｜＝3，由a2－2a－3＝5有a＝4或a＝－2，当a＝4时，有｜a－7｜＝3，当a＝－2时｜a－7｜＝9(舍)
所以符合题条件的a＝4
评述：此题和第4题都用 ＝｛x｜x∈U，且xA｝，有U中元素或者属于A，或者属于 ．二者必居其一，也说明集A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.
6.定义A－B＝｛x｜x∈A，且xB｝，若Ｍ＝｛1，2，3，4，5｝，N＝｛2，4，8｝，求N－Ｍ的表达式.
分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态．
解：由题所给定义：N－Ｍ＝｛x｜x∈N，且xＭ｝＝｛8｝
评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A－B与 中元素的特征相同，但后者要求BA．而前者没有这约束，这样问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题．
7.已知集合Ｍ＝｛x2＋x－2＝0｝，N＝｛x｜x＜a＝，使Ｍ 的所有实数a的集合记为A，又知集合B＝｛y｜y＝－x2－4x－6｝，试判断A与B的关系.
分析：先找M中元素，后求B中元素取值范围．
解：因x2＋x－2＝0的解为－2、1，即Ｍ＝｛－2，1｝，N＝｛x｜x＜a＝，故 ＝
｛x｜x≥a｝，使M 的实数a的集合A＝｛a｜a≤－2｝，又y＝－x2－4x－6＝－(x＋2)2－2≤－2
那么B＝｛y｜y≤－2｝，故A＝B
二、参考练习题
1.判断正误
(1)空集没有子集( )
(2)空集是任何一个集合的真子集( )
(3)任一集合必有两个或两个以上子集( )
(4)若BA，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B( )
(5) ｛0｝( )
分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．
解：该题的5个命题，只有(4)、(5)是正确的，其余全错.
对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．
对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.
对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB．
而(5)符合，空集是任一非空集合的真子集．
2.集合A＝｛x｜－1＜x＜3，x∈Z｝，写出A的真子集．
分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n－1个．
则该题先找该集合元素，后找真子集．
解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1，2
即A＝｛x｜－1＜x＜3，x∈Z｝＝｛0，1，2｝
真子集：、｛1｝、｛2｝、｛0｝、｛0，1｝、｛0，2｝、｛1，2｝，共7个
3.(1)下列命题正确的是( )
A．无限集的真子集是有限集
B．任何一个集合必定有两个子集
C．自然数集是整数集的真子集
D．｛1｝是质数集的真子集
(2)0与的关系( )
A．0＝ B．0 ??
C．0∈? D．0?
(3)以下五个式子中，错误的个数为( )
①｛1｝∈｛0，1，2｝ ②｛1，－3｝＝｛－3，1｝③｛0，1，2｝｛1，0，2｝
④∈｛0，1，2｝ ⑤∈｛0｝
A．5 B．2 C．3 D．4
(4)Ｍ＝｛x｜3＜x＜4，a＝π，则下列关系正确的是( )
A．aＭ B．aＭ
C．｛a｝∈Ｍ D．｛a｝Ｍ
解：(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支．必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集，如｛1｝不是｛x｜x＝2k，k∈Z｝的子集，排除A.由于只有一个子集，即它本身，排除B．由于1不是质数，排除D．故选C．
(2)0是一个元素，是不含任何元素的集合，符合上述意义的选D．
(3)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系．
①应是｛1｝｛0，1，2｝，④应是｛0，1，2｝，⑤应是｛0｝
故错误的有①④⑤，选C．
(4)Ｍ＝｛x｜3＜x＜4｝，a＝π
因3＜a＜4，故a是M的一个元素．
｛a｝是｛x｜3＜x＜4＝的子集，那么｛a｝Ｍ．
选D．
4.判断如下A与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝｛x｜x＝2k－1，k∈Z｝，B＝｛x｜x＝2m＋1，m∈Z｝
(2)A＝｛x｜x＝2m，m∈Z｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈Z｝
解：(1)因A＝｛x｜x＝2k－1，k∈Z｝，B＝｛x｜x＝2m＋1，m∈Z｝，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B．
(2)因A＝｛x｜x＝2m，m∈Z｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈Z｝，又 x＝4n＝2·2n
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．
故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA．
评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求．
5.已知集合P＝｛x｜x2＋x－6＝0｝，Q＝｛x｜ax＋1＝0｝满足QP，求a所取的一切值．
解：因P＝｛x｜x2＋x－6＝0｝＝｛2，－3｝
当a＝0时，Q＝｛x｜ax＋1＝0｝＝，QP成立．
又当a≠0时，Q＝｛x｜ax＋1＝0｝＝｛－｝，
要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝．
综上所述，a＝0或a＝－或a＝
评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．
本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集情况．
而当Q＝时，满足QP．
6.已知集合A＝｛x∈R｜x2－3x＋4＝0｝，B＝｛x∈R｜(x＋1)(x2＋3x－4＝0)，要使APB，求满足条件的集合P．
解：由题A＝｛x∈R｜x2－3x＋4＝0｝＝
B＝｛x∈R｜(x＋1)(x2＋3x－4)＝0｝＝｛－1，1，－4｝
由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为：
｛1｝或｛－1｝或｛－4｝或｛－1，1｝或｛－1，－4｝或｛1，－4｝或｛－1，1，－4｝
评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素．
而做到这点，必须化简A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件.
7.已知AB，AC，B＝｛0，1，2，3，4｝，C＝｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合A共有多少个？
解：因AB，AC，B＝｛0，1，2，3，4｝，C＝｛0，2，4，8｝，由此，满足AB，有，｛0｝，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛0，1｝，｛0，2｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛0，3｝，｛0，4｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，4｝，｛3，4｝，｛0，2，4｝，｛0，1，2｝，｛0，1，3｝，｛0，1，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛0，3，4｝，｛0，1，2，3｝，｛1，2，3，4｝，｛0，1，3，4｝，｛0，2，3｝，｛1，3，4｝，｛0，1，2，4｝，｛0，2，3，4｝，｛0，1，2，3，4｝，共25＝32个．
又满足AC的集合A有
，｛0｝，｛2｝｛4｝，｛8｝，｛0，2｝，｛0，4｝，｛0，8｝｛2，4｝，｛2，8｝，｛4，8｝，｛0，2，4｝，｛0，2，8｝，｛0，4，8｝，｛2，4，8｝，｛0，2，4，8｝，共24＝8×2＝16个．
其中同时满足AB，AC的有8个
，｛0｝，｛2｝，｛4｝，｛0，2｝，｛0，4｝，｛2，4｝，｛0，2，4｝，实际上到此就可看出，上述解法太繁.由此得到解题途径.
有如下思路：
题目只要A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少．
显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8(个)
8.设A＝｛0，1｝，B＝｛x｜xA｝，则A与B应具有何种关系？
解：因A＝｛0，1｝，B＝｛x｜xA｝
故x为，｛0｝，｛1｝，｛0，1｝，即｛0，1｝是B中一元素．故A∈B．
评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素．
9.集合A＝｛x｜－2≤x≤5｝，B＝｛x｜m＋1≤x≤2m－1｝，
(1)若BA，求实数m的取值范围．
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数．
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足BA．
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B≤A成立，
需，可得2≤m≤3
综上m≤3时有BA
(2)当x∈Z时，A＝｛－2，－1，0，1，2，3，4，5｝
所以，A的非空真子集个数为：28－2＝254
(3)∵x∈R，且A＝｛x｜－2≤x≤5｝，B＝｛x｜m＋1≤x≤2m－1｝，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立．
则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件.
②若B＝，则要满足条件有：或解之m＞4
综上有m＜2或m＞4
评述：此问题解决：(1)不应忽略；(2)找A中的元素；(3)分类讨论思想的运用．
●教学后记
例1 已知集合A=｛x|x2-px+15=0｝,B=｛x|x2-5x+q=0｝,若A∩B=｛3｝,则p+q= .
解:由于3是集合A、B的公共元素,故应同时符合方程x2-px+15=0与方程x2-5x+q=0,可将3依次代入可得p=8,q=6.故p+q=14.
例2 已知全集I=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝， A∩B=｛2｝,(C )∩(C)=｛1,9｝, (C )∩B=｛4,6,8｝.求集合A、B.
解法一:用文图法将题中给出的数填入相应的位置,3,5,7只能填到图中A∩(C)处,所以,A=｛2,3,5,7｝,B=｛2,4,6,8｝.如右图:
解法二：利用集合运算性质
[(C )∩(C)]∪[(C )∩B]
=(C )∩[ (C)∪B]
=(C )∩I= C=｛1,9,4,6,8｝,故A=｛2,3,5,7｝.
同理(A∩B)∪[(C )∩B]=[A∪[(C ) ]∩B=I∩B=B=｛2,4,6,8｝.
已知A=｛2,4,a2-2a+3｝,B=｛a+1, a2-4a+2,a2-3a+4, a2-5a+3｝,若A∩B=｛2,3｝,求A∪B.
解:由A∩B=｛2,3｝,必有a2-2a+3=3.可得a=0或a=2.
当a=0时, B=｛1,2,3,4｝.∴A∩B=｛2,3,4｝,与题意不符;
当a=2时, B=｛-3,-2,2,3,｝,有A∩B=｛2,3｝,与题意相符.
∴A∪B =｛-3,-2,2,3,4｝.
说明:此题在分类讨论的同时,考查集合元素的互异性.
三、参考练习题
1.设A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝2n，n∈N｝，则A∩B＝_______________，A∪B＝_______________.
解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N*因n∈N*，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B
即对任意m∈A有m∈B，所以AB，而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B．
评述：问题的求解需要分析各集合元素的特征，以及它们之间关系，利用真子集的定义证明A是B的真子集，这是一个难点，只要突破该点其他一切都好求解．
2.求满足｛1，2｝∪B＝｛1，2，3｝的集合B的个数.
解：满足｛1，2｝∪B＝｛1，2，3｝的集合B一定含有元素3，B＝｛3｝还可含1或2，其中一个有｛1，3｝，｛2，3｝，还可含1、2，即｛1，2，3｝,那么共有4个满足条件的集合B.
评述：问题解决的关键在于集合B的元素可以是什么数，分类讨论在解题中作用不可忽视．以集合B元素多少进行分类．
3.A＝｛x｜x＜5｝，B＝｛x｜x＞0｝，C＝｛x｜x≥10｝，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么?
解：因A＝｛x｜x＜5，B＝｛x｜x＞0｝，C＝｛x｜x≥10｝，在数轴上作图，则A∩B＝｛x｜0＜x＜5，B∪C＝｛x｜0＜x，A∩B∩C＝
评述：将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.
4.设A＝｛－4，2，a－1，a2｝，B＝｛9，a－5，1－a｝，已知A∩B＝｛9｝，求a.
解：因A∩B＝｛9｝，则a－1＝9或a2＝9
a＝10或a＝±3
当a＝10时，a－5＝5，1－a＝－9
当a＝3时，a－1＝2不合题意．
a＝－3时，a－1＝－4不合题意.
故a＝10，此时A＝｛－4，2，9，100｝，B＝｛9，5，－9｝，满足A∩B＝｛9｝，那么a＝10．
评述：合理利用元素的特征——互异性找A、B元素．
5.已知A＝｛y｜y＝x2－4x＋6，x∈R，y∈N｝，B＝｛y｜y＝－x2－2x＋7，x∈R，y∈N｝，求A∩B，并分别用描述法，列举法表示它.
解：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，A＝｛y｜y≥2，y∈N｝
又y＝－x2－2x＋7＝－(x＋1)2＋8≤8
∴B＝｛y｜y≤8，y∈N｝
故A∩B＝｛y｜2≤y≤8｝＝｛2，3，4，5，6，7，8｝．
评述：此题注意组成集合的元素有限，还是无限.集合的运算结果，应还是一个集合.
6.已知非空集合A＝｛x｜2a＋1≤x≤3a－5｝，B＝｛x｜3≤x≤22｝，则能使A (A∩B)成立的所有a值的集合是什么？
解：由题有：AA∩B，即AB，A非空，用数轴表示为，
那么
由方程表示为：6≤a≤9
评述：要使AA∩B，需AA且AB，又AA恒成立，故AB，由数轴得不等式.注意A是非空.若去掉这一条件效果如何.求解过程及结果是否会变化.请思考.
1.已知M＝｛平行四边形｝，Ｐ＝｛梯形｝，则Ｍ∩Ｐ等于（　　）
A.M B.P C.｛平行四边形且梯形｝ D.
2.集合A＝｛１，２，３，４｝，Ｂ？？Ａ且1∈Ａ∩Ｂ，4Ａ∩Ｂ，则满足上述条件集合B的个数是（　　）
A.7 B.3 C.4 D.16
3.图1—1中，阴影部分可用集合M、P表示为（　　）
A.Ｍ∩Ｐ B.Ｍ∪Ｐ
C.（ＣＵＭ）∩（ＣＵＰ） D.（ＣＵＭ）∪（ＣＵＰ）
4.已知全集Ｕ＝Ｒ*，集合Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜０＜ｘ－１≤５＝，则ＣＵＡ＝ ．
5.已知集合Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ≥－３｝，集合Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ＞１｝，则CAＢ＝ .
6.若｛３，４，ｍ２－３ｍ－１｝∩｛２ｍ，－３｝＝｛－３｝，则ｍ＝ .
强化训练
1.设Ｘ＝｛０，１，２，４，５，７｝，Ｙ＝｛１，４，６，８，９｝，Ｚ＝｛４，７，9｝，则（Ｘ∩Ｙ）∪（Ｘ∩Ｚ）等于（　　）
AQ.｛１，４｝ B.｛１，７｝ C.｛４，７｝ D.｛１，４，７｝
2.设S，Ｔ是两个非空集合，且Ｓ？？T，Ｔ？？Ｓ，令＝Ｓ∩Ｔ，那么S∪等于（　　）
A. B.Ｔ C. D.Ｓ
3.设集合Ｍ＝｛１，３，ｘ｝，Ｎ＝｛ｘ２－ｘ＋１｝，若Ｍ∪Ｎ＝Ｍ，则x的值是（　　）
A.1 B.-1或0或2 C.±１或2 D.不存在
4.设集合A＝｛矩形｝，B＝｛菱形｝，则A∩Ｂ等于 .
5.A＝｛１，２，４，８｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ是10的正约数｝，Ａ∪Ｂ＝ .
6.全集I含有10个元素，它的子集A含有5个元素，子集B含有4个元素，A∩Ｂ有两个元素，那么A∪Ｂ含有元素的个数是 .
7.集合M＝｛１，ｔ｝，Ｎ＝｛ｔ２－ｔ＋１｝，若Ｍ∪Ｎ＝Ｍ，求t的集合.
8.设A＝｛ｘ｜－４＜ｘ＜－｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≤－４｝，求Ａ∪Ｂ，Ａ∩Ｂ．
9.设集合Ａ＝｛２ａ－１，ａ－３，ａ２＋１｝，Ｂ＝｛ａ２，ａ＋１，－３｝，Ａ∩Ｂ＝｛－３｝，求实数a.
参老答案：
1.D 2.C 3.C 4.｛ｘ∈Ｒ｜０＜ｘ≤１或ｘ＞６
5.｛ｘ∈Ｒ｜－３≤ｘ≤１｝ 6.１
强化训练
1.D 2.Ｄ 3.Ｂ 4.｛正方形｝ 5.｛１，２，４，５，８，１０｝ 6.7 7.｛０｝
8.Ａ∪Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＜－＝ Ａ∩Ｂ＝?9.－１
1．(99年全国高考题)如图1—2，是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)?
?A．(M∩P)∩S　　　??
B．（Ｍ∩Ｐ）∪Ｓ?
?C．（Ｍ∩Ｐ）∩（ＣＩＳ）
?D．（Ｍ∩Ｐ）∪（ＣＩＳ）?
2．已知集合P={(x,y)|y=}，Ｑ＝｛（x,y）|y=x+b｝，且P∩Q＝，则b的取值范围是(　　)?
?A．｜ｂ｜≤３　　　　?　　　　　B．｜ｂ｜≤３?
?C．－３＜ｂ＜３　　　　　?　D．－３≤ｂ≤３
3．集合A、B各有12个元素，A∩B中有4个元素，则A∪B中元素的个数是＿＿＿个．
4．已知全集I＝Ｒ，集合A＝｛x|x２＋ｐｘ＋１２＝０，x∈Ｎ＊｝，B＝｛ｘ｜ｘ２－
５ｘ＋ｑ＝０，x∈Ｎ＊｝，而且（ＣＩＡ）∩Ｂ＝｛２｝，Ａ∩（ＣＩＢ）＝｛４｝，ｐ、ｑ∈Z，那么p+q的值等于＿＿＿＿＿．
5．已知集合A＝｛(x,y)|y=-x２＋mx-1｝,B={(x,y)|x+y=3,0≤ｘ≤３}，若A∩B是单元素集，实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
6．设A={x|x２－７ｘ２＋１４ｘ－８＝０}，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ３＋２｝２－ｃ２ｘ－２ｃ２＝０，ｃ＞0｝．??
(1)求A、B的各个元素；?
(2)以集合A∪B的任意元素a,b作为二次方程x２＋px+q=0的两个根，试在f(x)=x２＋
ｐｘ＋ｑ的最小值p，求出最大的或最小的．?
参考答案：集合的运算
1.Ｃ 2.D 3.20 4.－１ 5.｛３｝∪（,＋∞）.6.略
1.下列各组对象中不能形成集合的是（　　）
A.正三角形的全体 B.大于2的所有整数
C.所有的无理数 D.《高一代数》中的所有难题
2.集合A＝｛ａ３＋１，２ａ－３，３ａ＋ｂ｝，Ｂ＝｛周长等于9的三角形｝，Ｃ＝｛ｘ｜ｘ＋１６＞０，ｘ∈Ｒ｝，Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｙ＝２ｘ２＋ｘ＋１｝，其中用描述法表示的集合有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列各对集合中相等的有多少对（　　）
(1)到∠ＡＢＣ两边距离相等的点的集合M与∠ＡＢＣ的平分线上的点组成的集合N
(2)不能被3整除的所有整数与｛ｘ｜ｘ＝３ｎ±１，ｎ∈Ｚ｝
(3)集合｛（ｘ，ｙ）｜＋ｙ２＋４ｙ＋４＝０｝与｛ｘ｜ｘ２－４＝０｝
（４）｛ｘ｜４ｘ３－3ｘ－１＝０｝与｛１，－｝
（５）Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝（２ｋ＋１），ｋ∈Ｚ｝与B＝｛ｘ｜ｘ＝，ｋ∈Ｚ｝
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
4.设全集U＝Ｚ，Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜ｘ＜５＝，Ｂ＝｛ｘ∈Ｚ｜ｘ≤２｝，则CＵＡ
ＣＵＢ．
5.满足条件“｛０，１｝∪Ａ＝｛０，１，－１｝”的所有集合A的个数是 .
6.已知全集Ｕ＝｛０，１，２｝，则满足ＣＵ（Ａ∪Ｂ）＝｛２｝的集合A、B共有组数是 组.
参考答案：
1.Ｄ 2.C 3.C 4.? 5.４ 6.9
三、参考练习题
1.(1)已知集合P＝｛x∈R｜y2＝－2(x－3)，y∈R｝，Q＝｛x∈R｜y2＝x＋1，y∈R｝，则P∩Q为( )
A．｛(x，y)｜x＝，y＝±｝ B．｛x｜－1＜x＜3
C．｛x｜－1≤x≤3｝ D．｛x｜x≤3｝
(2)设S、T是两个非空集合，且ST，TS，记X＝S∩T，那么S∪X等于( )
A．S B．T C． D．Ｘ
(3)已知，M＝｛3，a｝，N＝｛x｜x2－3x＜0，x∈Z｝，M∩N＝｛1｝，P＝M∪N，则集合P的子集的个数为( )
A．3 B．7 C．8 D．16
解析：(1)因P＝｛x∈R｜y2＝－2(x－3)，y∈R｝，x＝－y2＋3≤3，即 P＝｛x｜x≤3｝又由Q＝｛x∈R｜y2＝x＋1，y∈R｝，x＝y2－1≥－1即Q＝｛x｜x≥－1｝
∴P∩Q＝｛x｜－1≤x≤3｝即选C
另解：因P∩Q的元素是x，而不是点集.故可排除A．令x＝－1，有－1∈P，－1∈Q，即－1∈P∩Q，排除B取－2，由－2Q，否定D，故选C．
评述：另解用的是排除法，充分利用有且只有一个正确这一信息，通过举反例，取特殊值而排除不正确选项，找到正确选择支，在解集合问题时，对元素的识别是个关键.
本题若开始就解方程组，这样就易选A
(2)因X＝S∩T，故XS，由此S∪X＝S，选A
另解：若X≠，则有文氏图
∴有S∪X＝S若Z＝，
则由文氏图
S∪X＝S∪＝S，综上选A
评述：本题未给出集合中元素，只给出两个抽象集合及其间关系，这时候想到利用文氏图．
(3)因N＝｛x｜x2－3x＜0，x∈Z｝
即N＝｛x｜0＜x＜3，x∈Z｝＝｛1，2｝
又 M∩N＝｛1｝，故M＝｛3，1｝
此时P＝M∪N＝｛1，2，3｝，子集数23＝8，选C．
2.填空题
(1)已知集合M、N满足，cardM＝6，cardN＝13，若card(M∩N)＝6，则card(M∪N)＝_______________．若M∩N＝，则card(M∪N)＝_______________．
(2)已知满足“如果x∈S，且8－x∈S”的自然数x构成集合S
①若S是一个单元素集，则S＝_______________.
②若S有且只有2个元素，则S＝_______________．
(3)设U是一个全集，A、B为U的两个子集，试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合．
①U(A∪B)∪(A∩B)
②(UA)∩B
解析：(1)因cardM＝6，cardN＝13，由文氏图，当card(M∩N)＝6时，card(M∪N)＝6
+7＝13
又当M∩N＝，则card(M∪N)＝19
评述：充分利用文氏图．
(2)①若S中只有一个元素，则x＝8－x即x＝4 ∴S＝｛4｝
②若S中有且只有2个元素.
则可由x分为以下几种情况，使之两数和为8
即｛0，8｝，｛1，7｝，｛2，6｝，｛3，5｝
评述：由集合S中元素x而解决该题．
(3)符合题意的集合用阴影部分表示如下：
①U(A∪B)∪(A∩B)
②(UA)∩B
3.设全集I＝｛不超过5的正整数｝，A＝｛x｜x2－5x＋q＝0｝，B＝｛x｜x2＋px＋12＝0｝且(UA)∪B＝｛1，3，4，5｝，求实数p与q的值.
解析：因(UA)∪B＝｛1，3，4，5｝
则B｛1，3，4，5｝且x2＋px＋12＝0
即B＝｛3，4｝
∴｛1，5｝UA
即｛2，3，4｝A
又 x2－5x＋q＝0，即A＝｛2，3｝
故p＝－(3＋4)＝－7，q＝2×3＝6
评述：此题难在于寻找B及A中元素是什么，找到元素后运用韦达定理即可得到结果．
4.设A＝｛－3，4｝，B＝｛x｜x2－2ax＋b＝0｝，B≠且BA，求a、b．
解析：因A＝｛－3，4｝，B＝｛x｜x2－2ax＋b＝0｝
B≠，BA，那么x2－2ax＋b＝0的两根为－3，4，或有重根－3，4．
即B＝｛－3｝或B＝｛4｝或B＝｛－3，4｝
当x＝－3时，a＝－3，b＝9
x＝4时，a＝4，b＝16
当x＝－3，x2＝4时，a＝ (－3＋4)＝，b＝－12
评述：此题先求B，后求a、b．
5.A＝｛x｜a≤x≤a＋3｝，B＝｛x｜x＜－1或x＞5，分别就下面条件求a的取值范围．
①A∩B＝，②A∩B＝A．
解：①因A＝｛x｜a≤x≤a＋3｝，B＝｛x｜x－1或x＞5｝
又 A∩B＝，故在数轴上表示A、B
则应有a≥－1，a＋3≤5即－1≤a≤2
②因A∩B＝A，即AB
那么结合数轴应有a＋3＜－1或a＞5
即a＜－4或a＞5
评述：集合的交、并运算利用数形结合，即可迅速找到解题思路，该题利用数轴，由A∩B＝及A∩B＝A，分别求a．
6.已知全集I＝｛x｜x2－3x＋2≥0｝，A＝｛x｜x＜1或x＞3，B＝｛x｜x≤1或x＞2｝，求UA，UB，A∩B，A∪B，(UA)∩(UB)，U(A∪B)．
解析：I＝｛x｜x2－3x＋2≥0｝＝｛x｜x≤1或x≥2｝
又A＝｛x｜x＜1或x＞3，B＝｛x｜x≤1或x＞2｝
则UA＝｛x｜x＝1或2≤x≤3｝
UB＝｛x｜x＝2｝＝｛2｝
A∩B＝A＝｛x｜x＜1或x＞3｝
A∪B＝｛x｜x≤1或x＞2｝＝B
(UA)∩(UB)＝U(A∪B)＝｛2｝
评述：清楚全集、补集概念，熟练求解，并运算.
●教学后记
1.下列写法中正确的是（　　）
A.０∈？？ B.０∪＝｛｝ C.０？？｛０｝ D.？？｛０｝
2.已知A和B是任意两个集合，集合C和D满足Ｃ＝Ａ∪Ｂ，Ｄ＝Ａ∩Ｂ，则C和D的关系是（　　）
A.Ｃ？？Ｄ B.Ｃ？？Ｄ C.Ｃ＝Ｄ D.以上都不对
3.设全集Ｕ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｙ＝ｘ＋１，ｘ，ｙ∈Ｒ｝，Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）｜＝１｝，则CＵＭ是（　　）
A. B.｛（２，３）｝ C.（２，３） D.｛２，３｝
4.设Ａ＝｛ｘ｜－２＜ｘ＜４＝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≥ａ｝，若Ａ∩Ｂ＝，则a的取值范围是 ．
5.设集合Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝０｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｇ（ｘ）＝０｝，则方程f(x)·ｇ（ｘ）＝０的解集是 .
6.设全集U＝Ｚ．集合Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜ｘ＜－１或ｘ≥３＝，则ＣＵＡ＝ .
7.集合Ａ＝｛ｘ｜－２≤ｘ＜１，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≤ａ｝，若Ａ∩Ｂ？？?，则实数a满足 .
8.Ａ＝｛ｘ｜ｘ２＋５ｘ－６＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜ａｘ＋１＝０｝，若B？？Ａ，则实数a的可能取值是 .
9.已知集合A＝｛ｘ｜ｘ＝ａ＋ｂ，ａ、ｂ∈Ｚ｝.判断下列元素x与集合A之间的关系.
(1)x=0 (2)x= (3)x=
10.设A∩Ｂ＝，Ｍ＝｛Ａ的子集｝，Ｎ＝｛Ｂ的子集｝，求M∩Ｎ.
11.已知A＝｛ｘ｜２ｘ２＝sx-ｒ｝，Ｂ＝｛ｘ｜６ｘ２＋（s＋２）ｘ＋ｒ＝０｝，且Ａ∩Ｂ＝｛｝，求A∪Ｂ．
12.已知A＝｛１，1+d,1+2d｝，Ｂ＝｛１，ｑ，ｑ２｝，当Ａ＝Ｂ时，求ｄ，ｑ的值，并求集合A.
参考答案：
1.Ｄ 2.Ｄ 3.B 4.ａ≥４ 5.Ｍ∪Ｎ 6.｛－１，０，１，２｝
7.ａ≥－２ 8.－１，０，
9.（１）ｘ∈Ａ （２）ｘ∈Ａ （３）ｘ?Ａ
10.｛｝
11.｛｝12.｛１，｝
1.已知Ｕ＝｛１，２，３，４，５，６，７，８｝，Ａ＝｛３，４，５｝，Ｂ＝｛１，３，６｝，那么集合Ｃ＝｛２，７，８｝是（　　）
A.ＡＵＢ B.Ａ∩Ｂ
C.（ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ） D.（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）
2.设Ｕ＝Ｒ，Ａ＝｛ｘ｜０≤ｘ＜５｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≥１｝，则（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）等于（　　）
A.｛ｘ｜ｘ≥０｝ B.｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ≥５
C.｛ｘ｜ｘ≤１或ｘ＞５｝ D.｛ｘ｜ｘ＜０或ｘ≥５｝
3.若集合Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ∩Ｂ＝Ａ，Ｂ∪Ｃ＝Ｃ，则A与C之间的关系必定是（　　）
A.Ａ？？Ｃ B.Ｃ？？Ａ C.ＡＣ D.ＣＡ
4.设全集Ｕ＝｛三角形｝，Ａ＝｛钝角三角形｝，Ｂ＝｛锐角三角形｝，在下列空格处填上适当的集合：
(1)A∪Ｂ＝ ．
（２）（ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）＝ ．
（３）（ＣＵＡ）∩Ｂ＝ ．
（４）（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）＝ ．
5.若全集U＝｛ｘ｜ｘ≤９，ｘ∈Ｎ*｝，Ｍ＝｛１，７，８｝，Ｐ＝｛２，３，５，７｝，Ｓ＝｛１，４，７｝，则（Ｍ∪Ｐ）∩（ＣＵＳ）＝ .
6.若集合A＝｛ｘ｜－１≤ｘ＜２＝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≤ａ｝，若Ａ∩Ｂ≠，则实数a的集合为 .
强化训练
1.如果全集U＝｛a,b,c,d,e｝，Ｍ＝｛a,c,d｝，Ｎ＝｛ｂ，ｄ，ｅ｝，那么(ＣＵＭ）∩（ＣＵＮ）等于（　　）
A. B.｛ｄ｝ C.｛ａ，ｃ｝ D.｛ｂ，ｅ｝
2.图1—4阴影部分可用集合M、P表示为（　　）
A.（Ｍ∩Ｐ）∪（Ｍ∩Ｐ）
B.［（ＣＵＭ）∩Ｐ］∪［Ｍ∩（ＣＵＰ）］
C.Ｍ∩ＣＵ（Ｍ∩Ｐ）
D.Ｐ∪ＣＵ（Ｍ∩Ｐ）
3.设全集Ｕ＝Ｚ，Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝２ｎ，ｎ∈Ｚ｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＝３ｍ，ｍ∈Ｚ｝，则集合A∩（ＣＵＢ）＝（　　）
A.｛ｘ｜ｘ＝３ｋ±１，ｋ∈Ｚ｝ B.｛ｘ｜ｘ＝４ｋ±１，ｋ∈Ｚ｝
C.｛ｘ｜ｘ＝６ｋ±１，ｋ∈Ｚ｝ D.｛ｘ｜ｘ＝６ｋ±２，ｋ∈Ｚ｝
4.设集合Ａ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋３ｙ=７｝，集合B＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ－ｙ＝－１｝，则Ａ∩Ｂ＝ ．
5.已知全集U＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ，ｙ∈Ｒ｝，Ａ＝｛（ｘ，ｙ）｜＝３，ｘ，ｙ∈Ｒ｝，Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｙ＝３ｘ－２，ｘ，ｙ∈Ｒ｝，则（ＣＵＡ）∩Ｂ＝ .
6.已知全集Ｕ＝｛ｘ｜ｘ为不大于20的质数｝，Ａ∩（ＣＵＢ）＝｛３，５｝，（ＣＵＡ）∩Ｂ＝｛７，１９｝，（ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）＝｛２，１７｝，则集合A＝ ，
Ｂ＝ .
7.设U＝｛ａ,b,c,d,e,f,g,h｝，已知
(1)（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）＝｛a,b,c,e,f,g,h｝
（２）（ＣＵＡ）∩Ｂ＝｛ｃ，ｇ｝
（３）（ＣＵＢ）∩Ａ＝｛ｂ，ｈ｝，求A，B.
8.设Ｕ＝Ｒ.集合M＝｛ｍ｜方程ｍｘ２－ｘ－１＝０有实根｝，Ｎ＝｛ｎ｜方程ｘ２－ｘ＋ｎ＝０有实根｝，求（ＣＵＭ）∩Ｎ.
9.若A＝｛ｘ｜ｘ２－ａｘ＋ａ２－１９＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－５ｘ＋６＝０｝，Ｃ＝｛ｘ｜ｘ２＋２ｘ－８＝0｝，又Ａ∩Ｂ≠，Ａ∩Ｃ＝，求实数a.
参考答案：
1.Ｃ 2.Ｂ 3.Ｃ
4.（１）｛斜三角形｝(2)｛直角三角形｝(3)｛锐角三角形｝(4)｛三角形｝
5.｛２，３，５，８｝ 6.｛ａ｜ａ≥－１｝
强化训练
1.Ａ 2.Ｂ 3.Ｄ 4.｛（１，２）｝ 5.｛（２，４）｝
6.Ａ＝｛３，５，１１，１３｝，Ｂ＝｛７，１１，１３，１９｝
7.Ａ＝｛b,d,h｝，Ｂ＝｛ｃ，ｄ，ｇ｝
8.｛ｍ｜ｍ＜－ 9.－２或５
基本训练题
1、六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的关系式有　　　　　　　　　　　　 ??( C )
(A)６个　　　　　　(B)５个　　　　　　?(C)４个　　　　　　???(D)３个及３个以下
2、已知集合，集合，若，那么a的值是 ( D )
(A)1 (B)-1 ?(C)1或-1 ? (D)0、1或-1
3、已知集合，则有( A )
(A)AB ?(B)AB (C)A=B ?(D)
4、已知全集I={x|x＜11,x∈N},P={x|0＜x≤10,x=2k,k∈Z},Q={x|0＜x≤10,x为质数},则PQ是 ( C )
(A){1,9} (B){9} (C){0,1,9} (D){2,3,4,5,6,7,8,10}
5、已知全集合I＝{1，3，5，7，8}，设集合M={1，3，7}，N={3，7，8}，则(M∩N）等于 ( A )
(A){1，5，8} (B){1，3，5，7，8}
(C){1，3，5，7} (D){3，5，7，8}
6、已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6，7}，则A∩B等于 ( C )
(A){2，4，5，8} (B){3} (C){4，5} (D)φ
7、已知A、B是两个集合,那么“A∩B=A”是“AB”的 ( B )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条
8、已知A、B是两非空集合,对于集合A中的任何一个元素x,都有,那么( D )
(A) (B) (C) (D)
9、已知集合Pn={x|2n＜x＜2n+1且x=7m+1, m、n∈N，则P6中各元素之和等于.
10、已知集合A={y|y=2x＋1,x>0}，B={y|y=－x2＋9,x∈R},则A∩B=.
小结：①集合的运算性质；②两个无穷集合关系考察方法；③要区分数集与点集.
课后练习题
1、设A={锐角三角形} B={钝角三角形},则 为 ( C )
(A) {锐角三角形} (B){钝角三角形} (C){斜三角形} (D){直角三角形}
2、方程组的解集是 ( D )
(A) (B) (C) (D)
3、设集合,若,则实数a的取值集合为
( B )
(A) (B) (C) (D)
4、不等式组的解集为 ( B )
(A) (B) (C) (D)
5、设全集为R，A={x|x2-5x-6>0},B={x||x-5|(A)UB=R (B)A∪B=R (C)A=R (D)A∪B=R
6、设全集U=R, 则集合补集= {x|x<0，或x>1}
7、下列几个命题
①空集是任何集合的真子集； ②；
③任意集合有:； ④不等式的解集是空集.
其中正确命题的序号为 ④
8、已知全集，，,，则 ，且.（用或填空）
例１：已知|x+1|+|x-2|＞a的解集是R,求a的取值范围.
解:由绝对值的几何意义求解.
因为在数轴上-1,2两点的距离为3,,因此在数轴上任何一点与-1及2的距离之和均不小于3,故依题意a＜3.
也可令t=|x+1|+|x－2|,由绝对值定义可得:t= ∴t≥3.
故a＜3.
例2 解不等式|x+1|+|x－2|≤5.
解法一:找零点:－1,2分三种情况:
或或
解得－2≤x＜－1或－1≤x＜2或2≤x≤3.
故原不等式的解集为[-2,3].
解法二:根据绝对值的几何意义并结合数轴求解.
由图可知:点-2到-1及2距离之和为5,点3到-1及2的距离之和为5,-2与3之间的点到-1及2的距离小于5,-2左侧及3右侧的点到-1及2的距离大于5.
故原不等式的解集为.
1.不等式｜ｘ－２｜＞１的解集是（　　）
A.｛ｘ｜ｘ＜３} B.｛ｘ｜－１＜ｘ＜３}
C.｛ｘ｜ｘ＜１} D.｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝
2.不等式－｜ｘ－５｜＞－１５的解集是（　　）
A.｛ｘ｜－１０＜ｘ＜２０} B.｛ｘ｜ｘ＜２０}
C.｛ｘ｜ｘ＜－１０或ｘ＞２０} D.｛ｘ｜ｘ＞－１０｝
3.已知ａ＜０，ｂ＞０且｜ａ｜＞｜ｂ｜．则a,-a,b,-b的大小关系为（　　）
A.－ａ＜ａ＜－ｂ＜ｂ B.ａ＜－ｂ＜ｂ＜－ａ
C.ａ＜－ａ＜ｂ＜－ｂ D.－ｂ＜ａ＜－ａ＜ｂ
4.－１＞＋４的解集为 .
5.若＝－ａ且｜ａ｜＞１，则＝ .
6.不等式｜ｘ２－１｜＜ｘ２＋１的解集为 .
参考答案：1.Ｄ 2.Ａ 3.Ｂ 4.｛ｘ｜ｘ＞２１或ｘ＜－２１｝ 5.－２ａ 6.｛ｘ｜ｘ≠０｝
1.下列不等式中，解集为R的是（　　）
A.｜ｘ＋２｜＞１ B.｜ｘ＋２｜＋１＞１
C.（ｘ－７８）２＞－１ D.（ｘ＋７８）２－１＞０
2.在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是（　　）
A.｛ｘ｜－２＜ｘ＜２ B.｛ｘ｜０＜ｘ≤２}
C.｛ｘ｜－２≤ｘ≤２｝ D.｛ｘ｜ｘ≥２或ｘ≤－２｝
3.不等式｜１－２ｘ｜＜３的解集是（　　）
A.｛ｘ｜ｘ＜１＝ B.｛ｘ｜－１＜ｘ＜２＝
C.｛ｘ｜ｘ＞２｝ D.｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞２
4.不等式－２｜ｘ｜＞－７的解集是 .
5.不等式｜ｘ＋４｜＞９的解集是 .
6.当ａ＞０时，关于x的不等式｜ｂ－ａｘ｜＜ａ的解集是.
强化训练
1.下列各组不等式中同解的是（　　）
A.ｘ＞５与ｘ（ｘ－７）２＞５（ｘ－７）２
B.ｘ＞５与ｘ＋＞５＋
C.ｘ＜５与ｘ（ｘ＋７）２＜５（ｘ＋７）２
D.ｘ＜５与ｘ＋＜５＋
2.下列不等式中，解集为｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３的不等式是（　　）
A.｜ｘ－２｜＞５
B.｜２ｘ－４｜＞３
C.１－｜－１｜≤
D.１－｜－１｜＜
3.已知集合A＝｛ｘ｜｜ｘ－１｜＜３，Ｂ＝｛ｘ｜－１＞０｝，则Ａ∩Ｂ＝（　　）
A.｛ｘ｜－２＜ｘ＜４＝ B.｛ｘ｜ｘ＞２｝
C.｛ｘ｜＜ｘ＜４＝ D.以上都不对
4.不等式组的解集是 ．
5.设A＝｛ｘ｜｜３－２ｘ｜≥｝，则A与集合｛１，２｝的关系为 ．
6.不等式｜５－３ｘ｜≤０的解集是 .
7.求不等式组的整数解.
8.解下列不等式
(1)｜ｘ｜－３＜－１；（２）１－｜ｘ－５｜＜－４.
9.解不等式｜２ｘ＋１｜＜３ｘ.
参考答案：
1.Ｃ 2.C 3.B 4．｛x｜－＜ｘ＜ ５．｛ｘ｜ｘ＞５或x＜－１３
６．｛ｘ｜－１＜ｘ＜＋１}
强化训练
1.Ｂ 2.Ｄ 3.Ｃ 4.｛ｘ｜－＜ｘ＜ 5.Ａ？？｛１，２｝
6.｛ｘ｜ｘ＝｝ 7.x=0,x=1
8.（１）｛ｘ｜－２＜ｘ＜２ （２）｛ｘ｜ｘ＞10或ｘ＜0
9.｛ｘ｜ｘ＞１｝
1.若ｘ＜ａ＜０则（　　）
A.ｘ２＜ａｘ＜０ B.ｘ２＜ａｘ＜ａ２
C.ｘ２＞ａｘ＞ａ２ D.ｘ２＞ａ２＞ａｘ
2.不等式１≤｜ｘ－３｜≤６的解集是（　　）
A.｛ｘ｜－３≤ｘ≤２或４≤ｘ≤９｝ B.｛ｘ｜－３≤ｘ≤９｝
C.｛ｘ｜－１≤ｘ≤２｝ D.｛ｘ｜４≤ｘ≤９｝
3.不等式｜ｘ＋ａ｜＜１的解集是（　　）
A.｛ｘ｜－１＋ａ＜ｘ＜１＋ａ}
B.｛ｘ｜－１－ａ＜ｘ＜１－ａ}
C.｛ｘ｜－１－｜ａ｜＜ｘ＜１－｜ａ｜}
D.｛ｘ｜ｘ＜－１－｜ａ｜或ｘ＞１－｜ａ｜}
4.不等式｜－１｜＜３的解集为（　　）
A.｛ｘ｜－４＜ｘ＜４＝ B.｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞７
C.｛ｘ｜－１＜ｘ＜７ D.｛ｘ｜－８＜ｘ＜１６
5.设２＜ｘ＜３，化简｜３－２ｘ｜－｜３ｘ－１０｜＝ .
6.不等式｜ｘ＋２｜＞｜ｘ－１｜的解集为 .
7.已知不等式｜x－2｜＜a(a＞０)的解集是｛ｘ｜－1＜ｘ＜c，则a+2c= .
8.对不等式｜ｘ－ａ｜＞ｂ，①当ｂ＜０时，解集为R，②当ｂ＝０时，解集为｛ａ｝，③当ｂ＞０时，解集为｛ｘ｜ｘ＜ａ－ｂ或ｘ＞ａ＋ｂ，其中正确答案的序号为 .
9.解不等式组.
10.若A＝｛ｘ｜｜ｘ＋７｜＞１0｝,Ｂ＝｛ｘ｜｜ｘ－５｜＜ｋ且Ａ∩Ｂ＝Ｂ，求k的范围.
*11.解不等式｜ｘ－２｜－｜２ｘ＋５｜＞２ｘ.
１２．若集合Ｍ＝｛ｘ｜｜ｘ－５｜＜，ｘ∈Ｚ，Ｎ＝｛ｘ｜｜ｘ｜＜１０，ｘ∈Ｚ＝，且Ｍ∩Ｎ＝Ｐ，则P的所有元素的和是多少?
参考答案：
1.Ｃ 2.Ａ 3.Ｂ 4.Ｃ 5.５ｘ－１３ 6.｛ｘ｜ｘ＞－｝ 7.13
8.①③ 9.｛｝ 10.ｋ≤２ 11.｛ｘ｜ｘ＜－ １２．45.
基本训练题
1、不等式的解集是 ( C )
(A) (B) (C) (D)
2、已知关于x的方程的两根异号，且负根的绝对值比正根大，则实数m的取值范围是 ( A )
(A) (B) (C)，或 (D)，或
3、当时，关于x的不等式的解集是 ( B )
(A) (B) (C) (D)
4、若关于x的不等式的解集是，则实数m的取值是 ( C )
(A)1 (B) (C)1或 (D)0
5、已知全集U=R，A= ( D )
(A) (B)
(C) (D)
6、已知不等式的解是1（A） （B） （C） （D）
7、不等式的解集是.
8、关于x的不等式 恒成立，则a的取值范围是.
9、不等式的解集是 .
10、不等式的解集是 .
小结：①含有绝对值符号的不等式的解法；②解一元二次不等式的步骤；③分式不等式与高次不等式的解法.
课后练习题
1、不等式的解集是 （ B ）
（A）或 （B）或
（C） （D）或
2、若不等式与不等式的解集相同，则a，b的值分别为 （ A ）
（A） （B） （C）（D）
3、不等式的解集是 .
4、如果不等式对一切实数x都成立，则a的取值范围是.
5、不等式4≤x2－3x＜18的整数解集为 .
6、已知,求实数的取值集合.
解：，由可得
（1）当，即时，
（2）当，即时，因为方程的两根是
，明显，故
从而
由（1）、（2）可知，p的取值范围是.
7、已知二次函数满足下列条件：
①对任意实数恒有；
②当时，的最大值为，最小值为，且
试求之值.
解：由条件①得
∵，∴
依题意得，所以
8、已知函数在上的最小值是，最大值是，又方程的两根为，且满足，试求的表达式.
解：由条件①得
又得，∴.
小结：二次函数问题要注意结合二次函数的图象来求解.
例1 已知不等式ax2+bx+2＞0的解为－,求a、b的值.
分析:结合二次函数图象可知,二次项系数应小于0,且－是一元二次方程ax2+bx+2=0的两根,进一步用根与系数关系求解.
解:由题意可知: －是一元二次方程ax2+bx+2=0的两根.
∴由韦达定理可得:
解得
例2 若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立,求x的取值范围.
分析:若将x视为主变量,则将陷入复杂的讨论,而将m视为主变量,使问题简化.
解:原不等式变形为(x2－1)m－(2x－1)＜0
记f(m)= (x2－1)m－(2x－1),(－2≤x≤2)
(1)当x2－1=0时,x=±1.
x=1,f(1)=－1＜0,x=－1,f(－1)=3＞0
(2)当x2－1≠0时,依题意有

即 解得：
综合(1)(2)可得: .
1.不等式(3x+1)(2x-1)≤０的解集是（　　）
Ａ．｛x｜x≤－或x≥｝ Ｂ．｛x｜－＜x＜}
Ｃ.｛x｜x＜－或x＞} Ｄ｛x｜－≤x≤｝．
2.不等式(x+5)(3-2x)≥６的解集是（　　）
A．｛ｘ｜ｘ≤－１或ｘ≥｝ B.｛x｜－１≤ｘ≤｝
C.｛x｜x≤-或x≥１｝ D.｛x｜－≤ｘ≤１｝
3.若0＜t＜1，则不等式(x-t)(x-)＜0的解集是（　　）
A．｛x｜＜x＜t B.｛x｜x＞或ｘ＜ｔ
C.｛x｜x＜-或x＞ｔ D.｛x｜ｔ＜ｘ＜
4.不等式｜｜＞的解集是 ．
5.不等式3x２-16x+16＞0的解集是 .
6.＜的解集是 .
强化训练
1.已知Ｕ＝Ｒ，Ａ＝｛ｘ｜｜ｘ＋２｜≥１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－ｘ－６＜０｝，则（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）等于（　　）
A.｛ｘ｜ｘ≤1或ｘ≥３｝ B.｛ｘ｜ｘ≤－３或ｘ＞－２｝
C.｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ≥３} D.｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝
2.设a＜－１，则关于x的不等式a(x-a)(x-)＜0的解集是（　　）
A.｛x｜x＜a或x＞} B.｛x｜x＞a｝
C.{x｜x＞a或x＜} D.{x｜x＜}
3.不等式≤0的解集为A，不等式(x２＋１)（x-a）＞0的解集为B.若AB，则a的取值范围是（　　）
A.a＜2 B.a≤2 C.a＞2 D.a＜3
4.不等式＞0的解集是 .
5.不等式＜0的解集是 .
6.若关于x的不等式(x-a)(x-b)＞0的解集为｛x｜x＜a或x＞b，则实数a,b的大小关系是 ．
7.解不等式＞１００.
8.已知x=3是不等式k２x２－4kx+4＞０（k≠0）的解，求k的取值范围.
9.已知A＝｛ｘ｜ｘ２－３ｘ－１０≥０｝，Ｂ＝｛ｘ｜２ｍ－１＜ｘ＜３ｍ＋２＝且Ａ∩Ｂ＝?，求实数m的取值范围.
参考答案：
1.D 2.D 3.D 4.｛x｜－１＜x＜0 5.｛x｜＜x＜4} 6.｛ｘ｜ｘ＜０或ｘ＞１｝
强化训练
1.Ｃ 2.A 3.B 4.｛x｜＜x＜１} 5.｛x｜－＜x＜且x≠1}
6.b＞a 7.｛x｜＜x＜＝ 8.k∈R且k≠．
9.｛ｍ｜ｍ≤－３或－≤ｍ≤1｝
1.在下列不等式中，解集是的是（　　）
A.2x２-3x+2＞０ B.x２+4x+4≤0
C.4-4x-x２＜0 D.-2+3x-2x２＞0
2.已知二次方程ax２＋bx+c=0的两个根是－２，３，a＞0，那么ax２+bx+c＞0的解集是（　　）
A.｛x｜x＜－２或x＞3} B.｛x｜x＜－３或x＞２}
C.｛x｜－２＜x＜3} D．｛x｜－３＜x＜2｝
3.二次不等式ax２＋bx+c＞0的解集是全体实数的条件是（　　）
A. B．
C． D．
4.方程x２＋（m-3）x+m=0有两个实根，则m的取值范围是 .
5.已知不等式x２＋mx+n＞0的解集是x＜－１或x＞2，则m= ,n= .
6.已知集合Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ２－ｘ－２≤０｝，Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜ａ＜ｘ＜ａ＋３且Ａ∩Ｂ＝，则实数a的取值范围是 .
强化训练
1.不等式x２＋mx+＞0恒成立的条件是（　　）
A.m＞2 B.m＜2 C.m＜0或m＞2 D.0＜m＜2
2.二次函数y=ax２+bx+c中，ac＜0，则其图象与x轴交点个数是（　　）
A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定
3.若函数y=ax２+bx+c(a≠０)图象的开口向下，且与x轴的交点的坐标为x１，x２（x１＜x２，则不等式ax２＋bx+c＜0的解集为（　　）
A.｛x｜x1＜x＜x2＝ B．｛x｜x２＜x＜x１＝
C．｛x｜x＜x１或x＞x２ D．｛x｜x＜x２或x＞x１
4.如果方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０中，ａ＜０，它的两根ｘ１，ｘ２满足ｘ１＜ｘ２，那么不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０的解集是 ．
5.对于任意实数x，不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4＜０恒成立，则实数a的取值范围是 ．
6.二次函数y=x２－４x+3在y＜0时x的取值范围是 .
7.x是什么实数时，有意义?
8.m是什么实数时，方程mx２－（１－m）x+m=0有实根?
9.若不等式（１－ａ）ｘ２－４ｘ＋６＞０的解集是｛ｘ｜－３＜ｘ＜１｝，求a的值.
参考答案：
1.D 2.A 3.Ｂ 4.m≥9或m≤1 5.-1,-2 6.ａ≥２或ａ≤－４
强化训练
1.D 2.B 3.C 4.｛x∈Ｒ｜ｘ＞ｘ２或ｘ＜ｘ1 5.｛ａ｜－２＜ａ≤２
6.｛ｘ｜4－＜x＜4＋ 7.x=1
8.m∈｛m｜－１≤ｍ≤｝ 9.３
1.不等式(x+3)２＜1的解集是（　　）
A.｛x｜x＞－２｝ B.｛x｜x＜－４}
C.｛x｜－４＜x＜－２ D.｛x｜－４≤x≤－２｝
2.若不等式ax２+5x+b＞0的解集为｛x｜＜x＜}．则a,b的值分别为（　　）
A.－６，－１ B.１，６ C.－１，－６ D.－１，－１
3.已知M=｛x｜－４＜x＜０｝，Ｎ＝｛x｜m２x－mx－１＜０，对一切m∈R成立｝.则下列关系中成立的是（　　）
A.M∩N＝ B.Ｍ＝Ｎ C.M？？N D.Ｎ？？Ｍ
4.已知A＝｛x｜x２－x－６≤０｝，B＝｛x｜x２＋x－６＞０｝，Ｓ＝Ｒ，则CS（A∩B）等于（　　）
A.｛x｜－２≤x≤３｝ B.｛x｜２＜x≤３}
C.｛x｜x≥３或x＜2 D.｛x｜x＞３或x≤2｝
5.不等式(2x-1)(x+2)＞7的解集是 ．
6.不等式(x２－４)(x-6)２≤０的解集是 ．
7.关于x的方程x２+ax+a-1=0有异号两实根，则a的取值范围是 ．
8.不等式＜0的解集是 ．
9.解不等式｜x２-x-2｜＞6.
10.解不等式＜１.
11.关于x的不等式ax２+bx+c＜0的解集为｛x｜x＜α或x＞β｝（α＜β＜０），求不等式ax２－bx+c＞0的解集.
12.不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1＜０的解集为R，求m的取值范围.
参考答案：
1.C 2.Ａ 3.C 4.D 5.｛x｜x＞或x＜－３}． 6.｛x｜－２≤x≤2或x＝6｝
7.a＜1. 8.｛x｜x＞５或x＜－６} 9.｛x｜ｘ＜或ｘ＞}
10.｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞且ｘ≠３|
11.｛x｜－β＜x＜－α 12.－＜m≤３
1.不等式(－x)( -x)＞0的解集为（　　）
A.｛x｜＜x＜} B.｛x｜x＞｝
C.｛x｜x＜} D.｛x｜x＜或x＞｝
2.不等式1＜的解集为（　　）
A.｛x｜x＞1｝ B.｛x｜x＜1}
C.｛x｜0＜x＜1} D.｛x＞1或x＜-1｝
3.已知二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两根是-2，3且ａ＞０，那么ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集是（　　）
A.｛ｘ｜ｘ＜－２或ｘ＞３} B.｛ｘ｜ｘ＜－３或ｘ＞２}
C.｛ｘ｜－２＜ｘ＜３} D.｛ｘ｜－３＜ｘ＜２}
4.不等式kx２＋1＞kx对任意实数都成立，则k的取值范围是 ．
5.二次不等式ax２＋bx+c＞0的解集是全体实数的条件是 .
6.不等式4x２＋１≤4x的解集是 ．
参考答案：
1.D 2.C 3.A 4.０≤k＜４ 5.a＞０且b２－４ac＜0 6.｛｝
1.命题“方程｜ｘ｜＝１的解是ｘ＝±１”中，使用逻辑联结词的情况是（B　　）.
A.没有使用逻辑联结词 B.使用了逻辑联结词“或”
C.使用了逻辑联结词“且” D.使用了逻辑联结词“非”
2.以下判断中正确的是（C　　）
A.命题p是真命题时，命题“p且q”一定是真命题
B.命题“p且q”是真命题时，命题p一定是真命题
C.命题“p且q”是假命题时，命题p一定是假命题
D.命题p是假命题时，命题“p且q”不一定是假命题
3.如果命题“ｐ或ｑ”与命题“非p”都是真命题，那么（C　　）
A.命题p不一定是假命题 B.命题q一定是真命题
C.命题q不一定是真命题 D.命题p与命题q的真值相同
4.分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题.
(1)p：6是12的约数，q：6是24的约数.
(2)p：菱形的对角线相等.q：菱形的对角线互相垂直平分.
5.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空.
(1)命题“7是自然数且是偶数”是 p且q 的形式.
(2)命题“6是偶数或奇数”是 p或q 的形式.
(3)命题“3不是8的约数”是 非p 的形式.
6.命题p:0不是自然数，命题ｑ：π是无理数，在命题“ｐ且ｑ”“ｐ或q”“非p”“非q”中，假命题是,p且q ，真命题是 非p; p或q .
强化训练
1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是（C　　）
A.简单命题 B.“ｐ或ｑ”形式的复合命题
C.“ｐ且ｑ”形式的复合命题 D.“非p”形式的复合命题
2.若命题p:0是偶数 (错) ，命题q:2是3的约数，则下列命题中为真的是（ B　）
A.p且q B.p或q C.非p 0 D.非p且非q
3.对命题ｐ：Ａ∩＝，命题ｑ：Ａ∪＝Ａ，下列说法正确的是（D　　）
A.ｐ且ｑ为假 B.ｐ或ｑ为假 C.非ｐ为真 D.非ｐ为假
4.有以下四个命题
(1)60是5和4的倍数；
(2)梯形不是平行四边形；
(3)有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或平行四边形.
(4)等腰三角形的底角相等.
其中简单命题是 (4) (填命题的序号)
5.命题p:若两三角形全等，则这两三角形相似，命题ｑ：若两三角形相似，则这两三角形全等.在命题“ｐ或ｑ”“ｐ且ｑ”“非p”中，真命题是 p或 q ，假命题是ｐ且ｑ；非p.
6.3≥３是 ｐ或ｑ 形式的复合命题，它是 真 命题.
7.指出下列复合命题的形式及构成.
(1)36是12和9的公倍数. ｐ且ｑ
(2)方程x４－x２－２＝０没有有理根.　非p　
(3)集合｛2m-1,m∈Z｝是集合Q或Z的子集.p或Q
(4)菱形的对角线互相垂直平分.P且q
8.判断下列命题的真假
(1)10≤8假
（２）２＋２＝５或３＞２真
(3)π是无理数且是实数真
(4)方程x２＋x＋１＝０的判别式小于或等于0真
9.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题的真假.
(1)p：4+3=7 q：5＜4 p或q为真，p且 q为假，非 p为假
(2)p：9是质数 q：8是12的约数p或q为 假 ，p且 q为假 ，非 p为真
(3)p：1∈｛１，２｝ q：？？｛１，２｝
(4)p：＝｛０｝ q：
参考答案：
1.Ｂ 2.Ｂ 3.Ｂ 4.略 ５．p且q；p或q;非p
6．“p且q”“非q”“p或q”“非p”
强化训练
1.C 2.B 3.D 4.(4) 5.p或q；ｐ且ｑ、非p 6.ｐ或ｑ；真 7.略
8.假 真 真 真 9.略
1.命题“方程x2＝2的解是x＝±是( )
A．简单命题 B．含“或”的复合命题
C．含“且”的复合命题 D．含“非”的复合命题
答案：B
2.用否定形式填空：
(1)a＞0或b≤0； (2)三条直线两两相交
(3)A是B的子集.___________________ (4)a，b都是正数.___________________
(5)x是自然数.___________________(在Z内考虑)
答案：(1)a≤0且b＞0
(2)三条直线中至少有两条不相交
(3)A不是B的子集
(4)a，b不都是正数
(5)x是负整数．
3.分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“┐p”形式的复合命题：
(1)p：N是R的子集.q：N是Z的子集.
(2)p：四边形两组对边分别平行.q：四边形两组对边分别相等．
答案：(1)N是R或Z的子集；N是R和Z的子集；N不是R的子集．
(2)四边形的两组对边平行或相等；四边形的两组对边平行且相等；四边形的两组对边互不平行．
4.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空：
(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素也是B中的元素，是_______________形式.
(2)命题“非空集A∪B中的元素，是A中的元素或B中的元素，是___________形式．
(3)命题“非空集UA中的元素是U中的元素但不是A中的元素，是____________形式．
答案：(1)p且q (2)p或q (3)┐p．
5.指出下列复合命题的形式及构成：
(1)3是偶数或奇数.
(2)小张是学生，小王也是学生.
(3)中国既是朝鲜的邻国，也是日本的邻国.
(4)4的算术平方根不是－2．
答案：(1)p或q的形式.p：3是偶数．q：3是奇数
(2)p且q的形式.其中p：小张是学生．q：小王是学生
(3)p且q的形式，其中p：中国是朝鲜的邻国；q：中国是日本的邻国．
(4)┐ p”的形式，其中p：4的算术平方根是－2．
6.已知命题p：a∈A，q：a∈B，试写出命题“p或q”“p且q”“┐p”的形式．
答案：命题“p或q”：a∈A或a∈B．“p且q”：a∈A且a∈B．“┐p”：aA
7.设命题p：△ABC是等腰三角形．q：△ABC是直角三角形.写出由其构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题．
答案：命题“p或q”：△ABC是等腰三角形或直角三角形”“p且q”：△ABC是等腰直角三角形．“┐p”：△ABC不是等腰三角形．
［例1］分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
(1)圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
(2)小李是体操运动员也是跳高运动员.
(3)平行线不相交.
解：(1)“p且q”的形式，其中p：圆内接四边形的对角互补；q：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
(2)是“p且q”的形式．其中p：小李是体操运动员；q：小李是跳高运动员．
(3)是“┐p”形式，其中p：平行线相交.
评述：分析复合命题的构成，要重视理解逻辑联结词在复合命题中的不同表达方式.
［例2］分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.
(1)5和7是30的约数.
(2)菱形的对角线互相垂直平分.
(3)8x－5＜2无自然数解.
解：(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的约数；q：7是30的约数，为真命题．
(2)是“p且q”的形式．其中p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分；为真命题．
(3)是“┐p”的形式.其中p：8x－5＜2有自然数解.∵p：8x－5＜2有自然数解．如x＝0，则为真命题．故“┐p”为假命题．
［例3］设p：1∈，q：｛x｜x＞3｝，写出由其构成的“p或q”“p且q”“┐p”形式的复合命题．
解：p或q：1∈或｛x｜x＞3｝，p且q：1∈且｛x｜x＞3｝，┐p：1．
例1 写出命题“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假.
原命题:若x2+y2=0，则x=0且y=0;(真)
逆命题:若x=0且y=0,则x2+y2=0;(真)
否命题: 若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0;(真)
逆否命题: 若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0;(真)
说明:此题应注意条件中含有逻辑联结词的否定,即“x=0且y=0”的否定形式为“x≠0且y≠0”。
例2 判断命题“若x+y≤5，则x≤2或y≤3”的真假.
分析:此命题从正面判断较为困难,可利用两个互为逆否命题的命题真假一致,转化为判断原命题的逆否命题真假,从而得出原命题的真假.
逆否命题:“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”，容易判断逆否命题为真，故原命题为真.
四种命题
1.当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是（　　）
A.若q则p B.若┐p则┐q C.若┐q则┐p D.p且q
2.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的（　　）
A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.无关命题
3.命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是（　　）
A.上述四个命题 B.原命题与逆命题
C.原命题与逆否命题 D.逆命题与否命题
4.判断下列说法是否正确
(1)原命题真，逆命题不一定真.
(2)逆否命题真，原命题一定真.
5.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
(1)有两个角对应相等的两个三角形相似.
(2)若ac＞bc则a＞b.
6.根据四种命题之间的关系，判断下列命题的正确性.
(1)不在角的平分线上的点，到这个角的两边距离不相等.
(2)过半径的端点不与半径垂直的直线，不是这个圆的切线.
强化训练
1.如果原命题的结论是“p且q”形式，那么否命题的结论形式为（　　）
A.┐p且┐q B.┐p或┐q C.┐p或q D.┐q或p
2.命题“若a＞b，则ac2＞bc2”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）
A.3 B.2 C.1 D.0
3.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的（　　）
A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题
4.填空题
(1)命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”与它的逆命题、否命题中假命题的个数为 ，真命题个数为 ，真命题是 .
(2)命题“若关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根，则Δ=b2-4ac＜0”的逆否命题是 ，它为 命题.(填真、假)
5.设x表示命题“若A则B”.试问下列命题中哪些是彼此等价的?
(1)x的逆否命题的逆命题 (2)x的逆命题的否命题
(3)x的否命题的逆否命题 (4)x的逆否命题的逆否命题
(5)x的逆命题的逆否命题的否命题 (6)x的否命题的逆命题的否命题
6.判断下列命题的真假
(1)命题“若b２-4ac＜0，则方程ax２＋bx+c=0(a≠0)无实数解”的否命题.
(2)命题“△ABC中，若AB＝BC＝CA，那么△ABC是等边三角形”的逆命题.
(3)命题“若a＞b，则＞”的逆否命题.
7.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.
(1)若a是无理数，则a是有理数
(2)全等三角形的对应中线相等
8.已知m、n为实数，命题“若mn=0，则m=0或n=0”的否命题、逆否命题各是什么?命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题、逆否命题各是什么?
9.用反证法证明
(1)如果a２是偶数，则a必是偶数.
(2)一条直线如果与两条平行直线中的一条相交，则它与另一条直线也相交.
参考答案：
1.C 2.A 3.C 4.(1)正确. (2)正确. 5.略 6.(1)正确 (2)正确
强化训练
1.A 2.B 3.C
4.(1)0；3；原命题、逆命题、否命题；
(2)若Δ=b2-4ac≥0，则关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；真.
5.(1)(3)(6)彼此等价，(2)(4)(5)彼此等价.
6.(1)真 (2)真 (3)真 7～9.略
1.在△ABC中，sinA=sinB是A＝Ｂ的( )?
A.充分不必要条件 ?B.必要不充分条件?
C．充要条件　　　　　　　　?D．既不充分也不必要条件
2．(92年上海)设集合M＝｛ｘ｜ｘ＞2｝，P＝｛ｘ｜ｘ＜３，那么“x∈M或x∈P”是“x∈Ｍ∩Ｐ”的(　　)?
?A．充分条件但非必要条件?　?B．必要条件但非充分条件?
?C．充分必要条件?　　　　　?D．非充分条件也非必要条件?
3．如果┐ＡＢ，那么A是┐B的＿＿＿＿＿条件．?
4．命题A：两曲线F(x,y)-0和G(x,y)=0相交于点P(x０，y０)，命题B：曲线F(x,y)+λＧ（x,u）＝０(λ为常数)，过点P(x0,y0)，则A是B的＿＿＿＿条件．?
5．设全集为u，在下列条件中，哪些是BA的充要条件??
(1)A∪Ｂ＝Ａ；　　　　　　　　（2）ＣｕＡ∩Ｂ＝，?
(3)ＣｕＡＣｕＢ； （4）Ａ∪ＣｕＢ＝ｕ????
6.设x,y∈R，求证：｜ｘ＋ｙ｜＝｜ｘ｜＋｜ｙ｜成立的充要条件是xy≥0.?
参考答案：充分、必要条件
1.Ｃ 2.Ｂ 3.必要不充分条件 4.充分不必要.
5.四个均为BA的充要条件.6.证明略
1.在△ABC中，sinA=sinB是A＝Ｂ的(c )?
A.充分不必要条件 ?B.必要不充分条件?
C．充要条件　　　　　　　　?D．既不充分也不必要条件
2．(92年上海)设集合M＝｛ｘ｜ｘ＞2｝，P＝｛ｘ｜ｘ＜３，那么“x∈M或x∈P”是“x∈Ｍ∩Ｐ”的(　　)?
?A．充分条件但非必要条件?　?B．必要条件但非充分条件?
?C．充分必要条件?　　　　　?D．非充分条件也非必要条件?
3．如果┐ＡＢ，那么A是┐B的＿＿＿＿＿条件．?
4．命题A：两曲线F(x,y)-0和G(x,y)=0相交于点P(x０，y０)，命题B：曲线F(x,y)+λＧ（x,u）＝０(λ为常数)，过点P(x0,y0)，则A是B的＿＿＿＿条件．?
5．设全集为u，在下列条件中，哪些是BA的充要条件??
(1)A∪Ｂ＝Ａ；　　　　　　　　（2）ＣｕＡ∩Ｂ＝，?
(3)ＣｕＡＣｕＢ； （4）Ａ∪ＣｕＢ＝ｕ????
6.设x,y∈R，求证：｜ｘ＋ｙ｜＝｜ｘ｜＋｜ｙ｜成立的充要条件是xy≥0.?
参考答案：充分、必要条件
1.Ｃ 2.Ｂ 3.必要不充分条件 4.充分不必要.
5.四个均为BA的充要条件.6.证明略
1.命题“能被4整除的数一定是偶数”，等价命题是( )
A．偶数一定能被4整除
B．不能被4整除的数一定不是偶数
C．不能被4整除的数不一定是偶数
D．不是偶数一定不能被4整除
答案：D
2.命题：“若a∈A，则｛a｝A”的逆命题是( )
A．若a∈A，则｛a｝A
B．若｛a｝A，则a∈A
C．若｛a｝A，则aA
D．若aA，则｛a｝A
答案：B
3.命题：“若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题( )
A．是假命题
B．与原命题同真或同假
C．与原命题的逆否命题同真同假
D．与原命题的逆命题同真同假
答案：D
4.若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的____________命题．
答案：逆否
5.命题“若a＞0，则”的相关命题如下，在题后括号内注明它是这一命题的什么命题：
(1)若a≤0，则．( )
(2)若，则a＞0( )
(3)若，则a≤0( )
答案：(1)否命题 (2)逆命题 (3)逆否命题
6.写出下列命题的逆命题的逆否命题：
(1)若a＞4则a＋3＞6
(2)若x与y成正比关系，则y＝kx．
答案：(1)若a≤4则a＋3≤6
(2)x与y不成正比关系，则y≠kx．
7.把下列命题改写成“若p则q”的形式：
(1)15是5的倍数.
(2)正方形四边相等．
答案：(1)若a＝15，则a是5的倍数．
(2)若一个四边形是正方形，那么这一四边形的四边相等．
8.写出命题：“若ab＝0，则a、b中至少有一个为0”的逆否命题．
答案：若a、b都不为零，则ab≠0．
［例1］写出命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题、否命题，逆否命题．并判断其真假．
分析：应注意分析清楚原命题的条件与结论，并充分利用四种命题的定义，还要注意条件和结论中“或”“且”“非”的否定的语句表述的准确性．
解：原命题：“若x≥2且y≥3则x＋y≥5”为真命题．
逆命题为：“若x＋y≥5，则x≥2且y≥3”，为假命题．
否命题是：“若x＜2或y＜3，则x＋y＜5．”其为假命题．
逆否命题是：“若x＋y＜5，则x＜2或y＜3其为真命题．
评述：本题应注意理解掌握“p且q”的否定为“┐p或┐q”，“p或q”的否定为“┐p且┐q”．
［例2］写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．
(1)若x2＝1，则x＝1．
(2)对顶角相等．
(3)等腰三角形的两腰相等．
(4)x2＋2x＋8＞0的解集为空集．
分析：应先将原命题改写成“如果……，那么……的形式”然后再构造它的逆命题．
解：(1)逆命题是“若x＝1，则x2＝1．”
原命题为假命题，逆命题是真命题．
(2)逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．
原命题为真命题，逆命题为假命题．
(3)逆命题是“如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形．”
原命题是真命题，逆命题也是真命题．
(4)逆命题是“空集是x2＋2x＋8＞0的解集”.原命题和逆命题都是假命题．
［例3］写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：
(1)如果x＞－3，那么x＋8＞0
(2)如果一个三角形的三边都相等，那么这个三角形的三角都相等．
(3)矩形的对角线互相平分且相等．
(4)相似三角形一定是全等三角形．
分析：将原命题的条件和结论同时加以否定，便得到其否命题．
解：(1)否命题是：“如果 x≤－3，那么x＋8≤0”原命题为真命题，否命题为假命题．
(2)否命题是：“如果一个三角形的三边不都相等，那么这个三角形的三角不都相等．
原命题为真命题，否命题也为真命题．
(3)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”．
原命题是真命题，否命题也是真命题．
(4)否命题是“不相似的三角形一定不是全等三角形．”
原命题是假命题，否命题是真命题．
评述：一个命题的否定应当包含除了本身以外的所有情况.如：“都相等”的否定应为“不都相等”，即至少有两个元素不相等；“p或q”与“p且┐q”互为否定；“一定是”的否定是“一定不是”．
例1 如果A是B充分条件,则B是A的 条件;┌A是┌B的 条件.
分析:因为AB,所以B是A的必要条件;又因为原命题与逆否命题等价,所以由AB有┌B┌A,即┌A是┌B的必要条件.
例2 设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
分析:由题意有:甲乙丙丁
则甲丁,丁甲,故选D.
例3 已知集合p：|5x-2|＞3,q:≥0,则┌p是┌q的什么条件?
分析:首先将不等式|5x-2|＞3, ≥0分别解出,它们解集的补集分别为┌p,┌q,否则,容易漏掉x2+4x-5=0的情形.
解:由|5x-2|＞3,可得x＜或x＞1;
由≥0,可得＞0;
即x2+4x-5＞0,解得x＜-5或x＞1;
所以: ┌p: ≤x≤1;
┌q:-5≤x≤1.
又┌p┌q, ┌q┌p.
故┌p是┌q的充分但不必要条件.
(1)设A、B、C为非空集合，若“a∈A的充分又必要条件是a∈B且a∈C”，则“a∈B”是“a∈A”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既充分又必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
(2)如果甲是乙的必要而不充分条件，丙是乙的既充分又必要条件，那么丙是甲的( )
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．不充分也不必要条件
解析：由题设乙甲，丙乙
则丙乙甲，即有丙甲．
答案：C
(3)填空：
设A是B的充分不必要条件，则┐A是┐B的___________________条件．
解析：由A是B的充分不必要条件得：AB，即┐B┐A，则┐A是┐B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
1.设原命题“若p则q”真而逆命题假，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的（　　）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.x,y∈Ｒ，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的命题是（　　）
A.甲：xy=0 乙：x２＋y２＝０
B.甲：xy=0 乙：｜x｜＋｜y｜＝｜x＋y｜
C.甲：xy=0 乙：xy至少一个为零
D.甲：x＜y 乙：＜1
4.x＞y＞0是＜的 条件；
5.x≥0是x2≤x的 条件.
6.设A、B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么┐Ａ是┐B的 ，┐B是┐A的 ．
强化训练
1.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（　　）
A.丙是甲的充分条件但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件也不是甲的必要条件
2.若┐Ａ是B的充分不必要条件，则A是┐B的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设p：0＜x＜5，q：｜x-2｜＜5，那么p是q的（　　）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
(1)“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的 ；
(2)“△ABC∽△A′B′C′”是“△ABC≌△A′B′C′”的 .
5.从“”、“？？”与“”中选出适当的符号填空(U为全集，A、B为U的子集)：
(1)A=B AB
(2)AB CUBCUA
6.设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分但不必要条件；丙是乙的充要条件，丙是丁的必要但不充分条件，那么丁是甲的 ．
7.以下的说法对吗?若不对，正确的说法应是什么?
(1)a２＞4是a＞2的充分条件
(2)a＞2是a２＞4的必要条件
(3)(x+1)(x+2)=0是x=2的充要条件
(4)a２＝b２是｜a｜＝｜b｜的充要条件
8.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种)?
(1)p：｛x｜x＞-2或x＜3＝;q:｛x｜x2-x-6＜0｝.
(2)p:a与b都是奇数；q:a+b是偶数.
(3)p:0＜m＜；q:方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根.
9.△ABC中，AD交BC于D.命题甲：AD平分∠BAC；命题乙：．试判断这两个命题的充要关系，说明理由.
参考答案：
1.A 2.A 3.B 4.充分不必要 5.必要不充分 6.必要条件；充分条件.
强化训练
1.A 2.B 3.A 4.必要条件；必要条件. 5. 6.既不充分也不必要条件.
7.(1)不正确 (2)不正确 (3)不正确 (4)正确.
8.(1)必要而不充分条件. (2)充分而不必要条件. (3)充要条件.
9.互为充要条件
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和负根的充要条件是( )
A．ab＞0 B．ab＜0 C．ac＞0 D．ac＜0．
答案：D
(2)x2＞y2是x＞y的____________条件．
答案：既不充分也不必要
(3)设A、B是非空集合，则A∩B＝A是A＝B的_______________条件．
答案：必要不充分
(4)已知p：x(2x＋3)＝x3，q：2x＋3＝x2，试判断p是q的什么条件，并说明理由．
解：∵p：x＝－1或x＝0或x＝3；q：x＝－1或x＝3．
∴pq而qp．则p是q的必要而不充分条件．
(5)设集合A＝｛a｜a2＋a－6＝0｝，B＝｛b｜mb＋1＝0｝，试写出BA的一个充分不必要条件．
答案：m＝－ (或m＝)
(6)A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D也是B的充分条件．则D是C的什么条件?A是B的什么条件?
解：由题设得AC，BCDB，则CD，CB．
则D是C的充要条件．
A是B的充分不必要条件．
(7)写出方程：ax2＋bx＋c＝0(a＜0)有两个正根的充要条件．
解：要使方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0＝有两个正根．
b2≥2ac且b＞0，c＜0．
1.在△ABC中，sinA=sinB是A＝Ｂ的(c )?
A.充分不必要条件 ?B.必要不充分条件?
C．充要条件　　　　　　　　?D．既不充分也不必要条件
2．(92年上海)设集合M＝｛ｘ｜ｘ＞2｝，P＝｛ｘ｜ｘ＜３，那么“x∈M或x∈P”是“x∈Ｍ∩Ｐ”的(　　)?
?A．充分条件但非必要条件?　?B．必要条件但非充分条件?
?C．充分必要条件?　　　　　?D．非充分条件也非必要条件?
3．如果┐ＡＢ，那么A是┐B的＿＿＿＿＿条件．?
4．命题A：两曲线F(x,y)-0和G(x,y)=0相交于点P(x０，y０)，命题B：曲线F(x,y)+λＧ（x,u）＝０(λ为常数)，过点P(x0,y0)，则A是B的＿＿＿＿条件．?
5．设全集为u，在下列条件中，哪些是BA的充要条件??
(1)A∪Ｂ＝Ａ；　　　　　　　　（2）ＣｕＡ∩Ｂ＝，?
(3)ＣｕＡＣｕＢ； （4）Ａ∪ＣｕＢ＝ｕ????
6.设x,y∈R，求证：｜ｘ＋ｙ｜＝｜ｘ｜＋｜ｙ｜成立的充要条件是xy≥0.?
参考答案：充分、必要条件
1.Ｃ 2.Ｂ 3.必要不充分条件 4.充分不必要.
5.四个均为BA的充要条件.6.证明略
1.若p:a＞b＞0,q:a2＞b2，则下述关系正确的是（　　）
A.pq B.p？？q,pq C.pq,q？？p D.pq,pq
2.若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是（　　）
A.p且q B.p或q C.非p D.非p且非q
3.命题“2x2-5x-3＜0”的一个必要不充分条件是（　　）
A.-＜x＜3 B.- ＜x＜4 C.-3＜x＜ D.-1＜x＜6
4.复合命题s具有p或q的形式，已知p且r是真命题，则（　　）
A.s的真假与q的真假有关 B.s的真假与r的真假有关
C.s是假命题 D.s是真命题
5.≥3是 形式的复合命题，它是 命题.
6.若命题p：一元一次不等式ax+b＞0的解集为｛x｜x＞-｝，命题q:关于x的不等式(x-a)(x-b)＜0的解集为｛x｜a＜x＜b}，则“p且q”“p或q”及“非p”形式的复合命题中的真命题是 .
7.｜x-｜＜ε(ε＞0)成立的充要条件是 .
8.命题“若a＞b，则ac＞bc”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，有 个真命题.
9.已知命题p:a∈A，命题q:a∈B，写出命题“p或q”；命题“p且q”；命题“非p”.
10.写出下列命题的等价命题：
(1)圆内接四边形的对角互补.
(2)若x=1或x=-3，则x2+2x-3=0.
(3)奇数不能被2整除.
*11.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0.
12.已知：a、b都是正整数且ab能被5整除.求证：a、b中至少有一个能被5整除.
参考答案：
1.C 2.Ｂ 3.B 4.D 5.p或q；真 6.非p 7. -ε＜x＜+ε.
8.0 9.p或q：a∈A∪B p且q：a∈A∩B 非p：aA
10.(1)对角不互补的四边形不是圆内接四边形.
(2)若x2+2x-3≠0，则x≠1且x≠-3.
(3)能被2整除的数不是奇数.
*11～12.略
［例1］若已知A是B的充分条件，C是D的必要条件，而B是D的充要条件，则D是C的_______________条件；D是A的_______________条件；A是C的_______________条件，D是B的_______________条件．
分析：运用充分条件，必要条件和充要条件的定义考虑本题条件.易知存在下面的关系：ABDC，然后再回到定义，本题可解．
解：D是C的充分条件，D是A的必要条件，A是C的充分条件，D是B的充要条件.
评述：如果pq，则p是q的充分条件.同时q是p的必要条件，说明充分条件和必要条件是相对的．
［例2］已知p：｜5x－2｜＞3，q：＞0．则┐p是┐q的什么条件?
分析：先确定命题┐p和┐q，然后再作判断；或者先直接判断p和q的关系，然后再判断┐p和┐q的关系.
解：┐p：｜5x－2｜≤3，即：－≤x≤1
┐q：－5≤x≤1，则┐p┐q；而┐qp．则┐p是┐q的充分而不必要条件．
评述：要注意准确把握一个命题的否定．特别是不等式所表示的区域的否定，在命题的条件的确定中常用．
［例3］设x，y∈R，求证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜的充要条件是xy≥0．
分析：充分性即证：xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即证：｜x＋y｜＝｜x｜＋
｜y｜xy≥0．
证明：①充分性.
若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0．
此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．
若xy＞0，则x，y同号．
当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜．
当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝(－x)＋(－y)＝｜x｜＋｜y｜
综上所述，xy≥0?｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．
②必要性
∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R．
∴(x＋y)2＝(｜x｜＋｜y｜)2
即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2xy＝｜xy｜xy≥0．
因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0．
故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．
评述：证明“p的充要条件是q”时，即等价于“q是p的充要条件”．
也就是需证明充分性：qp；必要性pq不能颠倒证反”．
注：本题也可用绝对值的概念证明之：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜
｜x＋y｜2＝(｜x｜＋｜y｜)2
x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜xy｜＋y2
｜xy｜＝xy
xy≥0．
故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜
［例1］已知两个命题：p：2x＋3＝x2，q：x＝x2，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既充分又必要条件
D．不充分也不必要条件
分析：注意到本题的两个命题实际上是所表示方程的解集，因此可运用集合的观点解决．
解析：命题p就是x∈｛x｜2x＋3＝x2｝＝｛－1，3｝．
q就是x∈｛x｜x＝x2｝＝｛0，3｝．
则p q，又有qp，则p是q的不充分也不必要条件.
答案：D
［例2］(1)xy＞0的一个充分而不必要条件是_______________．
(2)x＜0的一个必要而不充分条件是_______________．
分析：对于(1)要找命题q：xy＞0的一个充分而不必要条件就是要找一个命题p满足：p?q且qp，这样的命题p易找到的，且不惟一；对于(2)可仿(1)解决．
解：(1)xy＞0的一个充分而不必要条件是：x＞0且y＞0．
(2)x＜0的一个必要不充分条件是x＜2．
评述：由于其答案不惟一，本例实际上是一个开放性命题．
［例3］已知：p：a＞2且b＞2，q：a＋b＞4且ab＞4．则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：由a＞2且b＞2可得a＋b＞4且ab＞4．则p是q的充分条件.反之，若取a＝2，且b＝3．则有a＋b＝5＞4，且ab＝6＞4，但a＝2不满足p．即：qp；故p是q的充分不必要条件．
答案：A
评述：这个问题具有典型性，学生由于形式上受：a＞0且b＞0a＋b＞0且ab＞0的影响，往往出现错误：a＞2且b＞2a＋b＞4且ab＞4．
1.下列语句中，不表示命题的一个是（　　）
A.5＞12 B.0是自然数 C.济南是省会城市 D.你去哪儿?
2.下列命题中，其否命题为假命题的是（　　）
A.若两直线平行，则同位角相等 B.若x、y全为0，则xy=0
C.若方程x2+2x-m=0有实根，则m≥0 D.若x2-3x+2＞0，则x2-3x＞0
3.设原命题“若p则q”真而逆命题假，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.命题“方程=0有实根-1或1”是 形式.①p或q②p且q③非p(把你认为正确的结论序号都填上)
5.命题“锐角的三角函数值都非负”的否命题是 .
6.“0＜x＜5”是“｜x-2｜＜3”的 条件.
参考答案：
1.D 2.B 3.A 4.① 5.钝角或直角的三角函数值都是负数 6.充分
基本训练题
1、设命题p：大于90o的角叫钝角；命题q：三角形三边的垂直平分线交于一点。则p，q的复合命题的真假是
（A）“p或q”假 （B）“p且q”真 （C）“非q”真 （D）“p或q”真
2、命题“方程的解是”中，使用的逻辑联结词的情况是
（A）没有使用逻辑联结词 （B）使用逻辑联结词“且”
（C）使用逻辑联结词“或” （D）使用逻辑联结词“非”
3、“”是指
（A），且 （B），或
（C）x，y中至少一个不为0 （D）不都是0
4、下列五个命题
①若命题“p且q”是真命题，则命题“p或q”也是真命题；
②若命题“p或q”是真命题，则命题“p且q”也是真命题；
③若命题“p且q”和“非p”都是假命题,则命题q也是假命题.
④若命题“p或q”和“非p”都是真命题,则命题q也是真命题.
⑤若一个命题的否命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题。
中，正确命题的个数是
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
5、若命题“若p则q”为真，则
（A） （B） （C） （D）q p
6、条件甲：x=1；条件乙：，则条件甲是条件乙成立的
（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）不充分又不必要条件
7、“”是“”的条件。
8、命题P：“不等式对一切实数x都成立”，则复合命题“非P”是。
9、命题“p或q”的否定是，命题“p且q”的否定是。
10、如果p，q是两个简单命题，以1表示真，0表示假，填写下面的真值表
p
q
P且q
P或q
非(p且q)
非p
非q
非(p或q)
非(非p)
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
小结：①真值表关键记三点：（1）命题“p”与命题“非p”中一真一假；（2）命题p，q都要为真命题时，命题“p且q”才为真命题；（3）命题p，q只要其中一个为真命题时，命题“p或q”就为真命题。
②命题是可以判断真假的语句，所以“x>5”不是命题。
③要严格区分复合命题“非p”与命题P的否命题。
④判断条件P与条件Q之间的关系，关键是判断，还是
课后练习题
1、原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是
（A）0 （B）2 （C）3 （D）4
2、原命题“若x+y=0，则x，y互为相反数”，则
（A）逆命题真、否命题真、逆否命题真 （B）逆命题真、否命题假、逆否命题真
（C）逆命题真、否命题真、逆否命题假 （D）逆命题假、否命题真、逆否命题真
3、设条件甲：0（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）不充分也不必要条件
4、命题“当c<0时,若a>b,则acb 。
5、命题“若，则x=y=0”的否命题是
6、“”是“”的 充分必要??条件。
7、若，。那么是的条件
8、写出命题“若p，则q”的逆命题、否命题、逆否命题，填补在以下的空格内。
9、已知 p： | 5 x - 2 | > 3；q ：，则p是q的什么条件?
思路：p：，或；q ：，或，明显，所以
10、已知条件P：；条件q：关于x的方程有两个小于1的正根。试问p是q的什么条件？并说明理由。
思路：结合二次函数f(x)=的图象易得条件q的的充要条件，或者由q推出p，举一个反例说明p推不出q。
11、命题p：正方形是菱形；q：正方形是梯形。写出由其构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并指出其真假。
1.下列条件中，可以组成集合的是（　　）
A.高个子的人 B.鲜艳的颜色 C.视力差的人 D.某校2001年毕业生
2.已知集合M＝｛(x，y）｜x＋y＜０且xy＞0｝和P＝｛（x，y）｜x＜０且y＜0｝，那么（　　）
A.M？？P B.M＝P
C.M？？P D.M和P之间不存在互相包含的关系
3.已知方程x２－px＋１５＝０与x２－５x＋q＝０的解集分别是S与M且S∩M＝｛３｝，则p+q的值是（　　）
A.14 B.11 C.7 D.2
4.若a＜b＜0，则下列不等关系中不能成立的是（　　）
A. ＞ B. ＞ C.｜a｜＞｜b｜ D.a２＜b２
5.下列不等式中与不等式x＜｜x－１｜解集相同的一个是（　　）
A.x＜x－１ B. C. D.
6.若ax２+ax+a+3＞0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A.(－４，０) B.(－∞－４)∪（０，＋∞）
C.［０，＋∞ D.（－∞，０）
7.设A是B的充分条件，B是C的充要条件，C是D的必要条件，那么D是A的（　　）
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.设集合M＝｛ｘ｜ｘ２＋ｘ＋２＝０｝，Ｎ＝｛ｘ∈Ｎ｜３ｘ２－ｘ＝０｝，集合Ｍ与N的关系是 ．
9.集合｛既是6又是10的正约数｝中的元素为 ．
10.已知集合M、P都是全集U的子集，S=｛x｜x∈Ｍ，但xP｝，则CUS＝ ．
11.不等式x２－２x＋５＜0的解集是 ．
12.命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是 ．
13.在横线上分别填上由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假.
p：３×３＝６ q：３＋３＝６
p或q ，p且q ，非p .
14.已知集合A＝｛x｜x２－x－２≤0｝，B＝｛x｜a＜x＜a＋３且满足A∩B＝，则实数a的取值范围是 ．
15.设方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的解集是A，方程ｘ２＋ｑｘ＋２ｐ＝０的解集是B，如果Ａ∩Ｂ＝｛－１｝，求ｐ、ｑ的值.
16.已知A＝｛x｜｜x－１｜＜c，c＞０＝，B＝｛x｜｜x－３｜＞4｝，且A∩B＝，求c的取值范围.
17.已知x２－５x＋６≤0，求代数式x２＋５x＋６的取值范围.
18.如果一个三角形的两边不相等，那么这两条边所对的角也不相等.
已知：在△ABC中，AB≠AC
求证：∠B≠∠C.
19.某工厂1998年生产了750台拖拉机，该厂计划到2000年使产量超过1080台，求平均每年的增长率应超过百分之几?
20.设Ａ＝｛x｜x２＋４x＝０｝，Ｂ＝｛x｜x２＋２（a＋１）x＋a２－１＝０｝，若A∩B＝B，求实数a的值.
参考答案：
1.D 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.D 8.Ｍ？？Ｎ 9.1，2 10.CＵS=(CUM)∪(M∩P)
11. 12.圆的切线到圆心的距离等于半径 13.真；假；真 14.a＜－４或a＞2.
15. 16.0＜c≤2 17.20≤x２＋５x＋６≤30 18.略 19.20%
20.ａ＝１或ａ≤－１

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