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例1．根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）
（2）
（3）1，3，6，10，….
解：（1）
（2）
（3）考虑1＋2=3，1＋2＋3=6，1＋2＋3＋4=10，
得
例2．已知数列的前项和求的通项公式.
解：
当≥2时，
由于也适合此等式，
∴
说明：若不适合≥2）的解析式，则通项结果一般表示成分段函数的形式.
例3．数列满足≥2）.求通项公式.
解：由可得
令，则
又故
故.
1．下列说法中，正确的是 ( )
?Ａ．数列1，3，5，7可表示为｛1，3，5，7｝
?Ｂ．数列1，0，-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列
?Ｃ．数列｛｝的第k项为1+
Ｄ．数列0，2，4，6，8，……，可记为｛２ｎ｝C
2．设数列…，则是这个数列的 ( )
?Ａ．第六项 ? B．第七项 ?Ｃ．第八项 ?Ｄ．第九项
3．数列1，0，1，0，1，……的一个通项公式是 ( )
?Ａ．an= B．
? Ｃ．? Ｄ．
4．数列……的一个通项公式为 .
5．已知数列的通项公式,写出它的前五项 .
6．数列，……的一个通项公式为 .
强化训练
1．已知,那么 ( )
? Ａ．0是数列中的一项 ? B．21是数列中的一项
C．702是数列中的一项 Ｄ．以上都不对
2．函数f(n)=当自变量依次取正整数1，2，3，…，n,…时对应的函数值，以数列形式表示为 ( )
?A．-1,1,-1,1 ?
B．-1,-1,1,1,-1,-1
? C．-1,-1,1,1,-1,-1,…，
?D．-1,-1,1,1,-1,-1,…，，…
3．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝ (n∈Ｎ*)，那么是这个数列的
第 项．
4．已知数列｛ａｎ｝的通项公式an＝它的前8项依次为 ．?5．数列0，1，0，2，0，3……的一个通项公式 .
6.数列｛2n｝的第3n+1项等于 .
7．在直角坐标系中画出下列函数图象，其中n∈N*，(横纵坐标轴上的长度单位可不相
同)
(1)f(n)=
(2)f(n)=(-1)n·
8．数列｛ａｎ｝中，已知ａｎ＝（－１）ｎｎ＋ａ（ａ为常数），且ａ１＋ａ４＝３ａ２，求a１００?．
9．(1)写出数列1，1，3，3，5，5，7，7，……的一个通项公式．
参考答案：
1．C 2．B 3．B 4． 5．
6．
强化训练
1．C 2．D 3．10 4．1，3，
5． 6． 7．图象略 8．97
9．（1）
1.已知数列，…，则是这个数列的( )?
?Ａ．第6项 ?Ｂ．第7项? ?Ｃ．第19项 ?Ｄ．第11项?
2.以下四个数中，哪个数是数列｛n(n+1)｝中的一项?( )?
?Ａ．17 ?Ｂ．32 ?Ｃ．39 Ｄ．380?
3.已知，则数列｛an｝的最大项为_________.?
4．已知数列｛an｝的前n项和Sn是关于n的二次函数，且它的前三项依次是-2,2,6，那么a１００＝_________．?
5．在数列｛an｝中，an＞0，前n项和为Sn，且对任何n∈都有等式成立，(1)求a１、ａ２、ａ３；（２）猜想｛an｝的通项公式，并用数学归纳法证明．???
6.已知数列｛an｝中，ａ１＝，求an=?
参考答案
数 列
Ｂ 2.Ｄ 3.a１２和a１３ 4.394
5.(1)ａ１＝３，a２＝６，ａ３＝９.（２）猜想an＝３ｎ
6.ａｎ＝
1.把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有 个（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：按照数列定义得出答案.
评述：数列的定义中所说的“一定次序”不是要求按自然数次序，所以①②③④这四种排法都可叫做数列.
答案：D
2.已知数列的{an}的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个数有（ ）
①an=［1+（－1）n+1］;②an=sin2;（注n为奇数时，sin2=1;n为偶数时，sin2 =0.）;③an=［1+（－1）n+1］+（n－1）（n－2）;④an=,（n∈N*）（注：n为奇数时，cosnπ=－1,n为偶数时，cosnπ=1.）;⑤an=
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析：要判别某一公式是不是数列的通项公式，只要把适当的n代入an，其不满足即可，如果要确定它是通项公式，必须加以一定的说明.
解：对于③，将n=3代入，a3=3≠1,故③不是{an}的通项公式；由三角公式知；②和④实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{an}的通项公式；①显然是数列{an}的通项公式.
综上可知，数列{an}的通项公式有三个，即有三种表示形式.
答案：C
3.求数列…的通项公式.
分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式.
解法一：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式10·2n－1－5.
故所求数列的通项公式为：
an=.
解法二：设an=
则有
解得：a=5,b=－5,c=5.
∴所求通项公式为：
an=
解法三：设an=,
则有,
得
方程组有无穷多组解，如令a=5,b=0,可得an=.
评述：对于一个公式能否成为一个给出了前n项的数列的通项公式，需逐项加以验证，缺一不可.
根据数列{an}的前n项求其通项公式，一般不惟一，我们常常取其形式上较简便的一个即可.另外，求通项公式，一般可通过观察数列中诸项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要时可加以验证.
用待定系数法求通项公式需根据给出的数列的前n项的特点，并和其他知识相联系，设想通项公式的形状（系数待定），这是关键之处.
4.数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式是 .
答案：an=1+［1+（－1）n］.
5.数列－1，，…的一个通项公式an是（ ）
A.（－1）n
B.（－1）n
C.（－1）n
D.（－1）n
答案：D
6.数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为（ ）
A.an=1+（－1）n－1 B.an=1+（－1）n
C.an=1+（－1）n+1 D.an=2sin
答案：B
7.以下四个数中是数列{n（n+1）}中的一项的是 （ ）
A.17 B.32 C.39 D.380
答案：D
8.数列2，5，11，20，x，47，……中的x等于（ ）
A.28 B.32 C.33 D.27
解析：∵5=2+3×1,11=5+3×2,20=11+3×3,
∴x=20+3×4=32.
答案：B
1．在数列｛an｝中，a１＝则a５= ( )
? Ａ． B． ? Ｃ． Ｄ．
2.已知an+1-an-3=0，则数列｛an｝是 ( )
?Ａ．递增数列 ?B．递减数列 ? Ｃ．摆动数列 ?Ｄ．常数列
3．数列｛-2n２+29n+3｝中的最大项是 ( )
?Ａ．107? B．108 ?Ｃ．108 ?Ｄ．109
4．已知f(1)=2,f(n+1)= (n∈N＋)，则f(4)= .
5．已知数列｛an｝的前n项和Sn=2n２-3n,则an= .
6．数列：-2,2,6,10，……的相邻两项an与ａｎ＋１?的关系式为 .
强化训练
1．已知数列｛an｝满足：a１＞0， ,则数列｛an｝是 ( )
?Ａ．递增数列 B．递减数列 ? Ｃ．摆动数列? Ｄ．不确定
2．在数列｛an｝中，an+1=an+2+an,a１＝２，a２=5,则a6的值为 ( )
?Ａ．-3? B．-11? Ｃ．-5? Ｄ．19
3．a１+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)= ，若an=an-1+2 (n≥2),a１=1，则
an= .
4．… ．
若，则an= .
5．已知数列｛an｝中，a１=1,a２=2,an+2=3an+1-2an,则它的前五项分别为： ．
6．已知数列｛an｝的前n项和Sn=3n-2,则an= .
7．数列｛an｝中，a１＝１，对所有的n≥2都有a１·a2·a3·…·an=n２,求a3+a5等于多少．
8．在数列｛an｝中，a１＝０，an+1+Sn=n２+2n(n∈N＋)，求a４．
? *9．已知数列｛an｝的前n项和为n２+pn,数列｛bn｝的前n项和为3n２-2n.(1)若a10=b10,求p的值；(2)取数列｛bn｝的第1项、第3项、第5项、…、第2n-1项，…，作一个数列｛Cn｝,求数列｛Ｃn｝的通项公式．
参考答案：1．B 2．A 3．B 4． 5． 6．
强化训练
1．B 2．A 3． 4． 5．1，2，4，8，16
6． 7． 8．7 *9．
例1．在两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则该数列公差是多少？
解：由等差数列的通项公式可得：
解得.
例2．在等差数列中，求满足的所有的值.
解：由得
再由得
再由求出或9.
另解：由解得
再由求出n的值.
1．数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ＝２ｎ＋５，则此数列 ( )
Ａ．是公差为2的等差数列? Ｂ．是公差为5的等差数列
Ｃ．是首项为5的等差数列 ? Ｄ．是公差为n的等差数列
2．等差数列1，-1,-3,-5,…，-89，它的项数是 ( )
?A．92 ?Ｂ．47 ?Ｃ．46 ?Ｄ．45
3．等差数列0,-3,-7，…的第n＋1项是 ( )
Ａ． Ｂ．? Ｃ． ?Ｄ．
4．等差数列｛ａｎ｝中，ａ４＝０，ａ７＝－６，则ａ１＝ ，ｄ＝ ．
5.等差数列100，96，92，……的第 项开始，以后各项均为负值．?
6.已知一个等差数列的公差则ａ１＝ ．
强化训练
已知等差数列ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ的公差为d,则ｃａ１，ｃａ２，ｃａ３，…，
cａｎ(c为常数，且c≠0)是 ( )
Ａ．公差为d的等差数列 Ｂ．公差为cd的等差数列
Ｃ．非等差数列 ? Ｄ．以上都不对
2.在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝２，２ａｎ＋１?＝２ａｎ＋１，则ａ１０１的值为 ( )
?Ａ．49 ? Ｂ．50 ?Ｃ．51 ?Ｄ．52
3.首项为-24的等差数列从第10项开始为非负数，则公差d的取值范围是 .
4.首项为-70，公差为9的等差数列中第 项与0最靠近.??
5.已知等差数列的第10项为23，第25项为-22，则此数列的通项公式为 .
? 6．等差数列｛ａｎ｝中，ａｍ－ａｎ＝ （用m,n,d表示，d为数列｛ａｎ｝的公差）?
7.在等差数列｛ａｎ｝中，如果ａｍ＝ｎ，ａｎ＝ｍ（ｍ≠ｎ），求ａｍ＋ｎ?．
8.设｛ａｎ｝是等差数列，(1)已知ａ１＝１，求公差d，使ａ１ａ３＋ａ２ａ３最小；(2)已知ａ７＝９，求d，使ａ１ａ２最小．?
9.若x≠y，两个数列：x，ａ１，ａ２，ａ３，ｙ和ｘ，ｂ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４，ｙ都是等差数列，求的值.
参考答案：1．A 2．C 3．A 4．6；—2 5．27 6．—6
强化训练
1．B 2．D
3． 4．9 5． 6． 7．
8．（1）当时，取最小值．
（2）当时，取最小值．
9．
设等比数列｛an｝中，每项均为正数，且a３·ａ８＝８１，则ｌｏｇ３ａ１＋
ｌｏｇ３ａ２＋…＋ｌｏｇ３ａ１０＝( )?
?Ａ．5 ?Ｂ．10 ?Ｃ．20 ?Ｄ．40?
2．“ｌｇ（x-1）,lgx,lg(x+1)成等差数列”是“x-1,x,x+1成等比数列”的( )?
?Ａ．充分不必要条件?
?Ｂ．必要不充分条件?
?Ｃ．充要条件?
?Ｄ．既不充分又不必要条件
3．在递减等比数列｛ａｎ｝中，a４＋ａ５＝１２，ａ２·ａ７＝２７，则a１０＝________．?
４．在等比数列｛an｝中，a９＋ａ１０＝ａ（a≠0），(a１９＋ａ２０)＝b,则a９９＋ａ１０0＝_____．?
5.已知数列｛an｝满足Sｎ＝,求a１＋ａ３＋ａ５＋…＋ａ2n-1的值．????
6.已知函数f(x)=(x-1)２,｛an｝是公差为d的等差数列，｛bn｝是公比为q(q∈R,且q≠1)的等比数列，若a１=f(d-1),a３=f(d+1),b１=f(q+1),b３=f(q-1).?
(1)求数列｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的通项公式；?
(2)设数列｛cｎ｝的前n项和为Sn，且对一切正整数n均有：成立，求.
参考答案：等比数列
Ｃ　 2.Ｄ 3. 4. 5．.
6.(1)ａｎ＝２ｎ－２，ｂｎ＝（－２）n+1?.(2)证明略
1.已知则a、b的等差中项为 ( )
?Ａ． B．? Ｃ．? Ｄ．
2.已知等差数列｛ａｎ｝的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的第n项an等于( )
?A.2n-5 B.2n-3? C.2n-1 ?D.2n+1
3.lgx,lgy,lgz成等差数列是y２=xz成立的 ( )
?Ａ．充分非必要条件 ?B．必要非充分条件
?Ｃ．充要条件 ?Ｄ．既非充分又非必要条件
4.一个等差数列中a１５=33,a２５=66,则a35= .
5.48，a,b,c,-12是等差数列中的连续五项，则a、b、c的值依次为 .
6.数列｛an｝中，a３、a１０?是方程x２-3x-5=0的两根，若｛an｝是等差数列，则a５+a８
＝ .
强化训练
下列各命题中，真命题是 ( )
Ａ．若｛an｝成等差数列，则｛｜an｜｝也成等差数列
?B．若｛｜an｜｝成等差数列，则｛an｝也成等差数列
? Ｃ．若存在自然数n使2an+1=an+an+2,则｛an｝是等差数列
?Ｄ．若｛an｝是等差数列，则对任意正整数n都有2an+1=an+an+2?
2．在等差数列｛an｝中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于 ( )
?Ａ．45 ?B．75 Ｃ．180 ?Ｄ．300
3.已知等差数列的前n项和为7n２-5n,则a100= .
4.已知数列｛an｝的前n项和Sn=n２-2n，则a2+a3-a4+a5+a6= .
5.已知数列｛an｝，若an=-2n+25,则Sn达到最大值时的n为 ( )
?Ａ．13 ?B．12 ?Ｃ．11 ?Ｄ．10
6.一个等差数列共10项，其中奇数项的和为12,偶数项的和为15，则公差d= .
7.等差数列的首项是2，第二项与第三项分别是两个连续正整数的平方，求此数列
8.已知数列｛ａｎ｝的前n项和为Sｎ＝３ｎ２－２ｎ，求证：数列｛ａｎ｝成等差数列．?
9.若两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项?
参考答案：
1．A 2．B 3．A 4．99 5．33，18，3 6．3
强化训练
1．D 2．C 3．1388 4．15 5B 6． 7．2，9，16
8．证明略 9．25
例1．设分别是两个等差数列和的前项和，若对于所有的，都有求的值.
解：∵
∴
说明：此题利用了等差中项的推广性质，注意了等差数列中任一项与前n项和的联系.
例2．已知数列的前n项和又求的前n项和Tn.
解：＞1）
又符合上式.
∴≥1，n∈N+)
由＞0，＜0，可知
当≤5时，
当n＞5时，
即
例3．已知成等差数列，奇数项的和为60，偶数项的和为45，则该数列的项数为 .
解：利用项数为奇数的等差数列的性质：
=S奇－S偶，S奇＋S偶=(2n+1)，
∴由105=（2n＋1）×15得n=3.
∴项数
1．等差数列｛an｝中，已知S１５＝９０，那么a８= （ ）
?Ａ．3 B．4 ?Ｃ．6 ?Ｄ．12
2．在等差数列｛an｝中，已知a１=d,d≠0(d为公差)，若S20=10m,则m应是 ( )
?Ａ．a５＋ａ１５??B．a２+a１０ ?Ｃ．a１+19d ?Ｄ．a２０+d
3．等差数列｛an｝的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 ( )
? Ａ．130 ?B．170 Ｃ．210 ?Ｄ．260
4．等差数列中前15项的和为—67，前45项的和为405，则前30项的和等于 .
5．等差数列中，前10项的和与其次10项的和之比等于2∶1,则首项与公差的比为 .
6．在等差数列中，已知Sm=Sn(m≠n),则Sm+n= .
强化训练
1．等差数列｛an｝中，公差d=则a１+a３＋a５＋…+a９９的值为 ( )
?Ａ．57 B．58 ?Ｃ．59 ?Ｄ．60
2．在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则
n等于 ( )
?Ａ．9 ?B．10 ?Ｃ．11 ?Ｄ．12
3．首项为3，公差为2的等差数列，Sk为其前k项之和，则 ．
4．在数列｛an｝中，a１=2,an+1=an—4，则a４+a6+a８+…+a５０= .
5．数列的通项公式 ，
若，则数列{}的前项和= ．
6．在等差数列｛an｝中，a１=13,S３=S１１,则Sn的最大值为 ．
7．已知等差数列｛an｝中，前30项的和S３０＝５０，前50项的和S50=30,求前80项的和．
8．若a１,a２，……，ａｎ是非零实数，且成等差数列，
求证：
9．已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n—n２,求数列｛｜an｜｝的前n项和S′n．
参考答案：
1．C 2．D 3．C 4．68 5． 6．0
强化训练
1．D 2．B 3． 4．—2448 5．
6．49 7．—80 8．证明略
9．
1.等差数列｛an｝中，S１０=120,那么a１+a１０的值是 ( )
?Ａ．12? B．24 ?Ｃ．36 ?Ｄ．48
2.等差数列｛an｝和｛bn｝中，a１=25,b１=75,a１００+b１００=100,则数列｛an+bn｝的前100
项之和为 ( )
?Ａ．0? B．100 ?Ｃ．1000 ?Ｄ．10000
3.已知等差数列的通项公式an=2n-19,那么这个数列的前n项和Sn ( )
? Ａ．有最小值且是整数 ?B．有最小值且是分数
?Ｃ．有最大值且是整数 Ｄ．有最大值且是分数
4.一切被7除余1的所有三位数之和是 .
5.已知等差数列｛an｝中，a２+a５=19,S5=40,则a１０= .
6.在等差数列｛an｝中，已知a１１=10,则S２１= .
强化训练
1.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于 ( )
? Ａ．12 ?B．16 ?Ｃ．9 Ｄ．16或9
2.等差数列｛an｝中，若S１２=8S４,则等于 ( )
?Ａ．? B． Ｃ． Ｄ．
3.等差数列｛an｝中，a１：a３=1∶3且S５＝４５，则a４＝ .
4.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一
共有 项．
5.等差数列｛an｝中，若a１-a４+a８-a１２+a１５=2,则S１５＝ .
6.在等差数列｛an｝中，a３+a７-a１０=8,a１１-a４=4,则S１３= .
7.在等差数列｛an｝中，a４=9,a９=-6,求满足Sn=54的所有n的值．
8.在不大于100的正整数中，能被2或3整除的各数之和是多少?
9.已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它们的前n项和分别是Sn、，若,求．
参考答案：
1．B 2．D 3．A 4．70460 5．29 6．210
强化训练
1．C 2．A 3．12 4．48 5．30 6．156 7．4或9 8．3417
9．
1．数列3，1，9，2，27，3，81，4，……的通项公式为 ( )
Ａ． ?B．?
Ｃ． ? Ｄ．
2．一个无穷等差数列｛ａｎ｝，公差为d，则｛ａｎ｝中有有限个负数的充要条件是( )
?A.ａ１＞０且ｄ＞０ ?B.ａ１＞０且ｄ＜０
?C.ａ１＜０且ｄ＜０? D.ａ１＜０且ｄ＞０
3．一个等差数列的第6项是5，第3项与第8项的和也是5，则这个等差数列的第5项
为 ( )
?A.5 B.0? C.10? D. －5
4．等差数列｛ａｎ｝的首项a１＝－５，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，
余下的10项的平均值为4．6，则抽去的是 ( )
?A.ａ６ ?B.ａ８ ?C.ａ１０? ?D.ａ１１?
5．一个等差数列的前10项之和为140，其中奇数项之和是125，则该数列的第6项的
值是 ．?
6．等差数列｛ａｎ｝中，若ａ１＋ａ２＝５，ａ３＋ａ４＝１７，则ａ５＋ａ６＝ ．?
7．求和：１２－２２＋３２－４２＋５２－……＋９９２－１００２＝ ．
8．等差数列｛an｝中，已知｜ａ３｜＝｜ａ9｜,d＜0,则使它的前n项和Sn取得最大值的
自然数n= .
9．已知a,b,ｌｇ６，２ｌｇ２＋ｌｇ３为等差数列，求a,b的值．?
１０．在等差数列｛ａｎ｝中，前n项和为Ｓｎ且Ｓｎ－ａ１＝４８，Ｓｎ－ａｎ＝３６，
Ｓn－ａ１－ａ２－ａｎ－１－ａｎ＝２１，求这个数列．
11．在等差数列｛an｝中，a１=-60,a１７＝－１２，取数列各项的绝对值组成新数列，求
此新数列前30项之和．
12．设数列｛ａｎ｝的前n项和为Ｓｎ，若对于任意正整数n都有Ｓｎ＝，证
明｛｝是等差数列．
参考答案：
1．C 2．D 3．B 4．B 5．3 6．29 7．—5050 8．5或6
9． 10．1，3，5，7，9，11，13 11．765 12．证明略
1.数列：0，1，2，……，n—1,n,n+1,……能记为 ( )
?A.｛ｎ｝ B.｛ｎ－１｝? C.｛ｎ＋１｝ ?D.以上都不对
2.等差数列｛ａｎ｝的首项为70，公差是—9，则这个数列中绝对值最小的一项是( )
?A.ａ８ ?B.ａ９ ?C.ａ１０? ?D.ａ１１?
3.一个凸五边形的内角的度数成等差数列，且最小角是４６°，则最大角是 ( )
?A.１０８° ?B.１３９°? C.１４４° ?D.１７０°
4.数列—1,7,—13,19,—25,……的一个通项公式为ａｎ＝ ．
5．若等差数列｛ａｎ｝的公差d≠０，且ａ１，ａ２是关于x的方程ｘ２－ａ３ｘ＋ａ４＝0
的两根，则｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝ ．
? 6．在等差数列｛ａｎ｝中，若Ｓ３＝０，Ｓ６＝－１８，则Ｓｎ＝ ．
参考答案：
1．B 2．B 3．D 4．
例1.等比数列{an}中，，求.
解：此题利用等比数列性质可知：
仍成等比数列，其中公比.
.
例2.在和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n个数之积.
解：此题主要利用等比数列的基本性质.
设公比为q，插入n个正数为则，
又
例3.在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列；若插入两个数b, c，使x，b,c,y成等比数列.
求证：≥.
证明：设＞0）
则，
因为
≥0
所以≥
说明：此题主要利用了等差中项、等比中项性质作了变量之间的转换.
1．ac=b2是a、b、c成等比数列的 ( )
?Ａ．充分不必要条件 B．必要不充分条件
?Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
2．在等比数列｛an｝中，a３·ａ４·ａ５＝３，ａ６·ａ７·ａ８＝２４，则ａ９·ａ１０·a11
的值等于 ( )
?Ａ．48 ?B．72 ?Ｃ．144 ?Ｄ．192
3．若等比数列｛an｝的公比为q,n为偶数，则项等于 ( )
?Ａ．? B． ? Ｃ．? Ｄ．
4．在等比数列中，已知首项为，末项为，公比为，则项数n= .
5．在等比数列｛ａｎ｝中，公比为q，若ａｍ＝ｘ·ａｎ，则ｘ＝ ．
6．已知等比数列｛an｝的公比q=,则= .
强化训练
1．若数列｛an｝为等比数列，则下面四个命题：①数列｛a２n｝也是等比数列②数列｛a2n｝也是等比数列③数列｛｝也是等比数列④数列｛ｌｇ｜an｜｝也是等比数列，正确的个数是 ( )
?Ａ．1个 ?B．2个 ?Ｃ．3个 ?Ｄ．4个
2．设a１，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为 ( )
? Ａ．? B．? Ｃ．? Ｄ．1
3．设｛an｝是由正数组成的等比数列，公比q=2,且a１a２a３……a30=2３０,那么a3a6a9…a30
等于 ( )
?Ａ．2１０? ?B．２２０? ?Ｃ．２1６ ?Ｄ．２１５
4．在等比数列｛an｝中，am＋４＝ａ４，则公比q= .
5．已知各项都为正数的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公
比q= .
6．某工厂生产总值的月平均增长率为p,则年平均增长率为 .
7．某容器中盛满10千克的纯酒精，倒出2千克后再补上同样多的水，混合后倒出2千
克，又补上同样多的水，如此继续下去，求n次后容器中纯酒精的质量(千克)．?
8．若三角形的三边构成以q为公比的等比数列，求q的取值范围．
9．在和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数
之积．
参考答案：
1．B 2．D 3．C 4．4 5． 6．-3
强化训练
1．C 2．A 3．B 4．±1 5． 6．
千克
8．
设等比数列｛an｝中，每项均为正数，且a３·ａ８＝８１，则ｌｏｇ３ａ１＋
ｌｏｇ３ａ２＋…＋ｌｏｇ３ａ１０＝( )?
?Ａ．5 ?Ｂ．10 ?Ｃ．20 ?Ｄ．40?
2．“ｌｇ（x-1）,lgx,lg(x+1)成等差数列”是“x-1,x,x+1成等比数列”的( )?
?Ａ．充分不必要条件?
?Ｂ．必要不充分条件?
?Ｃ．充要条件?
?Ｄ．既不充分又不必要条件
3．在递减等比数列｛ａｎ｝中，a４＋ａ５＝１２，ａ２·ａ７＝２７，则a１０＝________．?
４．在等比数列｛an｝中，a９＋ａ１０＝ａ（a≠0），(a１９＋ａ２０)＝b,则a９９＋ａ１０0＝_____．?
5.已知数列｛an｝满足Sｎ＝,求a１＋ａ３＋ａ５＋…＋ａ2n-1的值．????
6.已知函数f(x)=(x-1)２,｛an｝是公差为d的等差数列，｛bn｝是公比为q(q∈R,且q≠1)的等比数列，若a１=f(d-1),a３=f(d+1),b１=f(q+1),b３=f(q-1).?
(1)求数列｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的通项公式；?
(2)设数列｛cｎ｝的前n项和为Sn，且对一切正整数n均有：成立，求.
参考答案：等比数列
Ｃ　 2.Ｄ 3. 4. 5．.
6.(1)ａｎ＝２ｎ－２，ｂｎ＝（－２）n+1?.(2)证明略
1．一个直角三角形三边的长成等比数列，则 ( )
?Ａ．三边边长之比为3∶4∶5
? B．三边边长之比为1∶∶3
? Ｃ．较小锐角的正弦为?
Ｄ．较大锐角的正弦为
2．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为 ( )
?Ａ．1 ? B．2 ? Ｃ．3 ?Ｄ．4
3．2，x,y,z,162是成等比数列的五个正整数，则z的值是 ( )
?A.54 ?B.27 ? C. 9 ?D.3
4．已知等比数列中a４·a８=10,则a3·a9= ．
5．已知等比数列中a３=-4,a６=54,则a９= .
6．在两数a,b(ab＞０)之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间一个数是 ．
强化训练
1．在等比数列｛an｝中，若a２·a８=36,a３＋ａ７＝１５，则公比q值的可能个数为( )
?Ａ．1 ?B．2 ?Ｃ．3 ?Ｄ．4
2．在各项都为正数的等比数列｛an｝中，若a５·a６＝９，则ｌｏｇ３ａ１+ｌｏｇ３ａ2+
ｌｏｇ３ａ3+…+ｌｏｇ３ａ１０?= ( )
?Ａ．8 ?B．10 ?Ｃ．12 ?Ｄ．2＋ｌｏｇ３5
3．已知｛an｝是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于 ( )
?Ａ．5 ?B．10 ?Ｃ．15 ?Ｄ．20
4．已知等差数列｛an｝的公差d≠0,且a１，ａ３，ａ９成等比数列，则的
值为 .
5．已知等比数列｛ａｎ｝中，a１＋a２＝３０，ａ３＋ａ４＝１２０，则ａ５＋ａ６＝ ．
6．已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若an+1=2Sn+1，则公比q= .
7．已知数列｛ａｎ｝是等比数列，m、n、p∈Ｎ*，且n是m与p的等差中项，求证：
an是am与ａｐ的等比中项．
8．某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总
产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值．
9．三个数成等比数列，其和等于26，平方和等于1092，求这三个数．
参考答案：
1．C 2．C 3．A 4．10 5．-729 6．±
强化训练
1．D 2．B 3．A 4． 5．480 6．3 7．证明略
8．90万元，100万元，110万元． 9．2，-8，32或32，-8，2．
例1.已知等比数列{an}的第七项与第五项的差是48，第六项与第五项的和为48，前n项和为1023，求n.
解：由已知，得
①÷②得：得q=2或q=－1(舍去)
把q=2代入①得a1=1，所以Sn=
由2n－1=1023,解得n=10.
例2.求数列1，的前n项和Sn.
解：所求数列的每一项都是一个等比数列的和，第k项.
当|a|≠1时，
当a=1时，Sn=
当时，


1．等比数列｛ａｎ｝的各项都是正数，若ａ１＝８１，ａ５＝１６，则它的前5项的和是
?A.179 ? B.211 ?C.243 ?D.275
2．若等比数列｛an｝的前n项之和Sn=3n+a,则a= ( )
?Ａ．3 ?B．1 ?Ｃ．0 ?Ｄ．-1
3．在等比数列｛an｝中，a１=4,q=5,使Sn＞１０７的最小n值是 ( )
?Ａ．11 ?B．10 ?Ｃ．12 ?Ｄ?．9
4．在等比数列｛an｝中，Sn=65,n=4,,则a１= .
5．已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于 ( )
? A.15 ?B.17 ?C.19 ?D.21
6．在等比数列｛an｝中，a１＋ａ２＝２０，ａ３＋ａ４＝４０，则S6= .
强化训练
1．在等比数列｛an｝中，Sn表示前n项和，若a３=2S２＋１，a４=2S３+1,则公比q（ ）
?Ａ．3 B．-3 ?Ｃ．-1 ?Ｄ．1
2．一个小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第
n次着地时，共经过了an米，则当n≥2时，有 ( )
?Ａ． B．
?Ｃ． Ｄ．
3．在公比为整数的等比数列｛ａｎ｝中，已知a１＋a４＝１８，a２＋a３＝１２，那么a５＋a６＋a７＋a８等于 ( )
?A.480 ?B.493 ?C.495 ?D.498
4．等比数列｛an｝中，公比q=2,log２a１+log２a2+…+log２a１０=25,则a１+a２+…+a10= .
5． ．
6．若等比数列｛an｝中，a１+a３=10,a４＋ａ６＝，则a４= ,S５= .
7．一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，
求这个数列的公比及项数．
8．某工厂在两年内(24个月)，若生产总值的月增长率都相同，证明：这两年内第二年每
月的产值比第一年的同期的产值增长率等于这两年间的年增长率．
??*9．设｛an｝是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，
求证：.
参考答案：1．B 2．D 3．A 4．27 5．B 6．140
强化训练
1．A 2．B 3．A 4． 5． 6．1；
7．公比为2，项数为 8．8～9证明略．
1.等差数列｛ａｎ｝的通项an=2n+1,则bｎ=(a1+a２＋…＋ａｎ)／ｎ（ｎ∈Ｎ*）所确定的数列｛ｂｎ｝的前n项和是( )?
?Ａ．n(n+2) Ｂ． (n+4) ?Ｃ． (n+5) Ｄ． (n+7)
2．在等比数列｛ａｎ｝中，已知对n∈Ｎ*有a１＋ａ２＋…＋ａｎ＝２ｎ－１，那么等于( )?
?Ａ．4ｎ－１?Ｂ．（４ｎ-１）Ｃ．（２ｎ－１）２ Ｄ．（２ｎ－１）２
３．数列｛ａｎ｝的前n项和Sｎ＝ｎ２，则= ?
４．等差数列｛ａｎ｝的公差d＞0，前n项和为Sn，已知S６＝５１，ａ2a５＝５２，那么S７＝ ．
5．设等差数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，且Sn=(（ｎ∈Ｎ*），若bn=(-1)nSn,求数列｛bn｝的前n项和Tn.
???
6．已知数列｛ａｎ｝的前n项之和Sn=32n-n２，求数列｛｜ａｎ｜｝的前n项和Ｓn′．
参考答案：数列求和．
Ｃ 2.Ｂ 3. 4.２８
5.（１）当n为偶数时，.
(2)当n为奇数时，（－１）ｎ（ｎ∈Ｎ*）.
6.ｎ２－３２ｎ＋５１２.
1．数列｛an｝成等比数列的充分必要条件是 ( )
?Ａ．an+1=anq(q为常数) ? B．a２n+1=an·an+2≠0
?Ｃ．an=a１ｑn-1(q为常数) ? Ｄ．an+1=
2．已知0＜a＜b＜c,且a、b、c成等比数列，n为大于1的整数，则logａｎ，logｂｎ，?logｃｎ成 ( )
? Ａ．等差数列 B．等比数列?
Ｃ．各项倒数成等差数列 D．以上都不对
3．等比数列｛ａｎ｝的首项a１＝１，公比ｑ≠１，如果ａ１，ａ２，ａ３依次是某等差数
列的第1，2，5项，则q等于 ( )
?A.2 ?B.3 ?C.-3 ?D.3或-3
4．有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层
所点灯的盏数是 ( )
?Ａ．190 ?B．191 ?Ｃ．192 Ｄ．193
5．若一首项为1的等差数列前5项和等于其紧接后5项和的，则这等差数列的通项
公式为 .
6．等差数列｛an｝中，已知an=4+(n-1)d,若它的第一、七、十项分别为等比数列的前三
项，且Sn=11，则n= .
参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．C 5． 6．22
1．数列｛an｝是等差数列的一个充要条件是 ( )
? Ａ．? B．?
Ｃ． Ｄ．
2．设2a=3,2b=6,2c=12,那么a、b、c成 ( )
?Ａ．等差非等比数列 ?B．等比非等差数列
?Ｃ．既等差又等比数列 ?Ｄ．既非等差又非等比
3．若相异三数组成以q为公比的等比数列，则q应满足方程 Ａ．? B．
?Ｃ． ?Ｄ．
4．非零实数x,y,z成等差数列，x+1,y,z与x,y,z+2都成等比数列，则y等于 ( )
?Ａ．16 ?B．14 ?Ｃ．12 ?Ｄ．10
5．1、a、b、c、25这5个数中，1、a、b与b、c、25都成等比数列，且a、b、c成等
差数列，则a、b、c的值分别为 .
6．在等比数列｛an｝中，若a５－ａ４＝５７６，ａ２－ａ１=9,则前5项的和为 .
7．｛an｝是等差数列，a１=1,｛bn｝是等比数列，cn=an+bn,c１=3,c２=12,c３=23,则c１+c２+…
+c９＝ .
8．a、b、c、d成等差数列，a+4、b+3、c+3、d+5成等比数列，则a、b、c、d的值分
别为 .
9．求和
10．互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后，可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数．
11．设｛ａｎ｝为等比数列，Ｔｎ＝ｎａ１＋（ｎ－１）ａ２＋…＋２ａｎ－１＋ａｎ，已知
Ｔ１＝１，Ｔ２＝４．
（１）求数列｛ａｎ｝的首项和公比；
（2）求数列｛Ｔｎ｝的通项公式．?
１２．已知数列｛ａｎ｝的前n项和Ｓｎ＝１０ｎ－ｎ２（ｎ∈Ｎ*）又ｂｎ＝｜ａｎ｜，求
｛ｂｎ｝的前n项和Ｔｎ．
参考答案：
1．D 2．A 3．A 4．C 5．3，9，15或—2，4，10 6．1023
7．1283 8．—3、—1、1、3
9．
10．4，1,—2或—2，1，4
11．（1）
12．
1．设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若Sｎ＝Ａ，Ｓ２ｎ—Ｓｎ＝Ｂ，Ｓ３ｎ－Ｓ２ｎ=Ｃ，则下列各式一定成立的是 ( )
?Ａ．A+B=C ?B．A+C=2B ?Ｃ．AB=C Ｄ．AC=B２
2．已知等比数列｛an｝中，前n项和Sn=54,S2n=60,则S3n= ( )
?Ａ．64 ?B．66 ?Ｃ．60 Ｄ．66
3．数列1，1+2,1+2+22，…，(1+2+2２+…+2n-1)，…前n项和等于 ( )
? Ａ．2n+1-n ?B．2n+1-n-2 ?Ｃ．2n-n ?Ｄ．2n
4．等比数列｛an｝中，a１＝１，ａｎ＝－５１２，Ｓｎ＝—３４１，则q= ,
n= .
5．等比数列｛an｝中，已知a１＝３，q=4，则使Sn＞3000的最小自然数n= .
6． ．
强化训练
1．若n项等比数列的首项为a１＝１，公比为q，这n项和为S(S≠０)，则此数列各
项的倒数组成的新数列的和是 ( )
?A.? B. C.? D.
2．等比数列｛an｝的前n项和Sn=2n-1,则a２１＋ａ２２＋…＋ａ２ｎ= ( )
?Ａ．? B．
Ｃ． Ｄ．
3．若等比数列｛an｝中，S４＝２，Ｓ８＝６，则a１７＋ａ１８＋ａ１９+a２０的值等于 .
4．在等比数列中，S３０＝１３Ｓ１０，Ｓ１０＋Ｓ３０＝１４０，则S２０＝ ．
5．设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，Wn=，如果a８＝１０，则
S１５∶W１５＝ .
6．5+55+555+… ．
7．已知等比数列的第一项是2，第三项是2a(a＞0)，求数列的前10项的和．
8．一个等比数列前n项之和为S，积为p，各项倒数之和为T，求证：p２=
??*9．某林场原有森林木材存量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材总存量翻两番，求每年砍伐量的最大值．
(ｌｇ２＝０.３)
参考答案：1．D 2．C 3．B 4．—2 5．6 6．
强化训练
1．D 2．D 3．32 4．40 5．100 6．
7． 8．证明略 9．
1.已知等比数列｛ａｎ｝的公比q＜0，前n项和为Sn，则S４a５与S５ａ４的大小关系是
?Ａ.S４a５＝S５ａ４ ?Ｂ.S４a５＞S５ａ４?
?Ｃ.S４a５＜S５ａ４ ?Ｄ.不能确定?
2.若A是a,b的等差中项，G是a,b的等比中项(其中a,b,G∈R＋)，则( )?
?Ａ.ab≥AG ?Ｂ.ab≤AG ?Ｃ.ab＞AG ?Ｄ.ab＜AG?
3.某工厂生产总值月平均增长率为p,则年平均增长率为 .?
4.已知等比数列｛ａｎ｝中，an＞0，a１、ａ９９为方程x２-10x+16=0的两个根，则a４０·
ａ５０·ａ６０＝ .?
5.1992年，某内河可供船只船行的河段长1000公里，从1993年起，该内河每年船只
可行驶的河长度仅为上一年的，求?
(1)到2001年，该内河可行驶的河段长度为多少公里??
(2)若有一条船每年在该内河上行驶一个来回，问从1992年到2001年该船行的总路程为多少公里????????
6.某城市1990年底人口为500万，人均住房面积为6ｍ２，如果该城市每年人口平均增长率为2‰，每年平均新增加住房面积为300万ｍ２，求2000年底该城市人均住房面积是多少平方米?(精确到0.01平方米).
参考答案：数列的应用
1.Ｂ 2.Ｂ 3.（１＋ｐ）１２?－１
4.６４ 5.(1)1000×（）９(公里)
(2)６０００［１－（）１０?］公里.
6.11.77ｍ２.
1.已知等比数列｛ａｎ｝的公比q＜0，前n项和为Sn，则S４a５与S５ａ４的大小关系是
?Ａ.S４a５＝S５ａ４ ?Ｂ.S４a５＞S５ａ４?
?Ｃ.S４a５＜S５ａ４ ?Ｄ.不能确定?
2.若A是a,b的等差中项，G是a,b的等比中项(其中a,b,G∈R＋)，则( )?
?Ａ.ab≥AG ?Ｂ.ab≤AG ?Ｃ.ab＞AG ?Ｄ.ab＜AG?
3.某工厂生产总值月平均增长率为p,则年平均增长率为 .?
4.已知等比数列｛ａｎ｝中，an＞0，a１、ａ９９为方程x２-10x+16=0的两个根，则a４０·
ａ５０·ａ６０＝ .?
5.1992年，某内河可供船只船行的河段长1000公里，从1993年起，该内河每年船只
可行驶的河长度仅为上一年的，求?
(1)到2001年，该内河可行驶的河段长度为多少公里??
(2)若有一条船每年在该内河上行驶一个来回，问从1992年到2001年该船行的总路程为多少公里????????
6.某城市1990年底人口为500万，人均住房面积为6ｍ２，如果该城市每年人口平均增长率为2‰，每年平均新增加住房面积为300万ｍ２，求2000年底该城市人均住房面积是多少平方米?(精确到0.01平方米).
参考答案：数列的应用
1.Ｂ 2.Ｂ 3.（１＋ｐ）１２?－１
4.６４ 5.(1)1000×（）９(公里)
(2)６０００［１－（）１０?］公里.
6.11.77ｍ２.
1.设n是正整数，关于等式1２＋２２＋３２＋…＋ｎ２＝，下列命题中正确的是( )?
Ａ.对任何正整数等式都成立?
Ｂ.对3≤n≤5的正整数等式都成立?
Ｃ.对2≤n≤4的正整数等式都成立?
Ｄ.对1≤n≤3的正整数等式都成立?
2.不等式2k＞k２在k=1,2,3,4,5,6的范围内( )
Ａ.只有当k=1时正确?
Ｂ.只有当k=1,3,5时正确?
Ｃ.只有当k=1,5,6时正确?
Ｄ.只有当k=1,6时正确?
3.用数学归纳法证明(n≥2)时，从n=k到n=k+1时项数发生的变化是________.
4.k棱柱有f(k)个对角面，则k+1棱柱的对角面个数f(k+1)为_________.?
5.是否存在常数A，B，C，使１＋３·２１＋５·２２＋…＋（２ｎ-1）·２n-1=(An+B)·
２n+C对任何正整数n都成立?证明你的结论.???????
6.设，是否存在n的整式g(n),使得等式a１＋ａ２＋…
＋ａn-1=g(n)(an-1)对大于1的一切正整数n都成立?证明你的结论.
参考答案：数学归纳法
Ｄ 2.D
３.增加两项,少了一项.
4.f(k)+(k-1).5.Ａ＝２，Ｂ＝－３，Ｃ＝３.证明略 6.证明略
数列 极限 数学归纳法
(时间:90分, 满分:100分)
一.选择题:(有且仅有一个答案正确,每小题4分,共10小题,满分40分)
1.等差数列中,已知a4+a5=15 a7=12,则a2等于　　　　　　　　　　　　 [　　 ]　?
2.设a,x,y,b成等差数列,x,y,u,v成等比数列,则用a、b表示v的值是　　 [　　 ]　 ?
3.若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an,满足条件log2Sn=n,那么{an}是　　　 [　　 ]　A.公比为2的等比数列 　?　C.公差为2的等差数列　D.既不是等差数列也不是等比数列
4.数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N),当n≥2时有　　　　　　　　　　　　 [　　 ]　A.Sn＞na1＞nan　　　　　 B.Sn＜nan＜na1 　C.na1＜Sn＜nan　　　　　 D.nan＜Sn＜na1
5.等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n项和为　　　　　[　　 ]　A.125　　　 B.200　　　 C.225　　　 D.275
6.已知{an}是等差数列,且a1-a3+a7-a11+a13=10,则a6+a8的值是　　　　　[　　 ]　A.20　　　 B.30　　　 C.40　　　 D.50　
7.某工厂一年中,十二月份的产值是一月份产值的m倍,那么该厂这一年的月平均增长率是 [　　 ]　?
8.一个等差数列的首项为4,它的第一项、第七项与第十项成等比数列，那么这个数列的通项公式是 [　　 ]　?
9.在数列{an}中,已知a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N),则a1997等于　　　　　 [　　 ]　A.4　　　　 B.5　　　　 C.-4　　　　　 D.-5
　　　　　　　　　　　　　　 [　　 ]　　
二.填空题:(每小题4分,共5小题,满分20分)
1.在等比数列{an}中,若a4·a7+a3·a8=20,则此数列前10项的积是　　　　　　　　 .
2.在等比数列{an}中,Sn=a1+a2+a3+…+an,已知a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=　　　　　　　　　 　.
?
4.等差数列{an}中,a1=1,前10项之和S10=100,又an=log2bn(n∈N),那么b1+b2+b3+b4+b5=　　　　　　 　.
.　
三.解答题:(每小题10分,共4小题,满分40分)
1.A、B两人同时从相距27千米处相向出发,A以匀速前进,每小时走4千米,B以匀加速前进,第一小时走2千米,第二小时走2.5千米,则当A与B相遇时,所用的时间是多少?
?求a3+a7.
3.设三角形ABC中,三边a,b,c成等差数列,a、b、c所对的角分别为A、B、C,问B是否具有最大值?如果有,求出来;如果没有,说明理由.
4.已知等差数列{an},等比数列{bn},且a1=b1,a2=b2,a1≠a2,an＞0,(n∈N).
(1)试比较a3与b3,a4与b4的大小,并猜想an和bn(n≥3)的大小关系;
(2)证明你猜想的an与bn大小关系的正确性.　
参考答案
一.选择题1.B　　 2.A　　　 3.D　　　 4.D　　　 5.C6.A　　 7.B　　　 8.C　　　 9.D　　　 10.D
提示:
1.a2+2d+a2+3d=15　　　 a2+5d=12
?
4.an=5-4n,　 d＜0,　 a1=1＞0
5.Sn,　 S2n-Sn,　 S3n-S2n 构成等差数列
6.a1+a13=a3+a11=2a7=a6+a8
7.(1+x)11=m
8.(4+6d)2=4(4+9d)
9.由a1=1,a2=5,a3=4,a4=-1,a5=-5,a6=-4 a7=1,a8=5.知道此数列是以六项为周期重复出现的.而1997=332×6+5　　 ∴a1997=a5
　
二.填空题:
?
?
提示:
1.a1·a10=a2·a9=a3·a8=a4·a7=a5·a6　
2.a4=2(S2+a3)+1=2S2+1+2a3=3a3　
?
?b1+b2+b3+b4+b5=2+23+25+27+29=682 　
三.解答题:
1.解:设所用时间为t时,根据题意:?整理得,t2+23t-108=0解方程,得 t=4,　 t=-27(舍)答:4小时以后A,B相遇.
?得 (a3+a7)3+8=0a3+a7=-2 　
3.解: ∵ a,b,c 成等差数列∴2b=a+c由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC??B有最大值是60°　
4.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,根据题意,得,a1+d=a1q又∵ a1≠a2　　 an＞0(n∈N) ∴ d＞0,由 d=a1(q-1)　 得q＞1. b3-a3=a1q2-a1-2d=a1[q2-1-2(q-1)]=a1(q-1)2＞0b4-a4=a1q3-a1-3d=a1(q-1)(q2+q+1-3)=a1(q-1)2(q+2)＞0∴ b3＞a3,　 b4＞a4由此猜想 bn＞an(n≥3,n∈N)
(2)用数学归纳法证明 bn＞an(n≥3,n∈N)(Ⅰ)当n=3时(1)中已证明b3＞a3　 结论成立(Ⅱ)假设n=k(k≥3)时 bk＞ak 那么 bk+1-ak+1=bkq-ak-d　　　　　　=bkq-ak-a1(q-1)　　　　　　=(bk-ak)q+ak(q-1)-a1(q-1)　　　　　　=(bk-ak)q+(q-1)(ak-a1)∵ bk＞ak,q＞1,d＞0,∴ q-1＞0,ak-a1＞0即 (bk-ak)q+(q-1)(ak-a1)＞0亦即 bk+1-ak+1＞0∴ 当n=k+1时　 bk+1＞ak+1 成立根据(Ⅰ)、(Ⅱ),∴对一切n≥3(n∈N) bn＞an成立.

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