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写出终边在x轴上与y轴上的角的集合．
分析：因为与角α终边相同的角的集合为，因此，先求在０°～360°
间,终边在x轴的正半轴及负半轴上的角,分别为0°与180°,所以终边在x轴上的角是k·360°或k·360°+180°,k∈Z
又k·360°=2k·180°,(k∈Z) (1)
k·360°+180°=(2k+1)·180° (k∈Z) (2)
在(1)式等号右边的前一项是180°的所有偶数倍;在(2)式等号右边的前一项是180°的所有奇数倍,因此,以后可以合并为180°的所有整数倍.
由上可得,终边在x轴上的角的集合是:
.
同理,终边在y轴上的角的集合是:
.
2.写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来.
(1)－15° (2)+124°30′
分析:先利用与α终边相同的角的表示方法,接着取具体的k值.
解:与－15°终边相同的角的集合为:
因为－360°≤α＜720°,所以k可取的值为0、1、2,对应的α分别为:－15°,345°,705°.
解:与+124°30′终边相同的角的集合为:.
因为－360°≤α＜720°,所以k可取的值为－1、0、1,对应的α分别为:
－235°30′,124°30′,484°30′
3.设θ为第一象限角,求2θ,,－θ所在的象限.
分析:先表示出θ的范围k·360°＜θ＜k·360°+90°,(k∈Z)然后求2θ时，不等式的每一边都得乘以2.
所以k·720°＜2θ＜k·720°+180°,(k∈Z)
同理,不等式的每一边都同时乘以,可得Z）而－θ的范围为k·360°－90°＜－θ＜k·360°(k∈Z)所以此题的答案如下:
2θ是第一或第二象限的角,或角的终边在y轴的正半轴上; 是第一象限或第三象限角;－θ是第四象限角.
4.集合,集合,则( )
A.A=B B.A ？？ B C.A ？？ B D.
分析:主要考查B集合,当k为偶数2n时,α=2n·180°+30°,n∈Z.当k为奇数2n+1时,α=(2n+1)180°－30°,
n∈Z,而的真子集,的真子集，所以可得：答案为C.
5.终边在直线y=－x上的角的集合是( )
A. B.
C. D.
分析：先在0°～360°内找终边在直线y=－x上的角分别为135°或315°.所以终边在直线y=－x上的所有角为k·360°+135°,k∈Z或k·360°+315°，而k·360°+35°=2 k·180°+135°, k·360°+135°=(2k+1)180°+135°二者求并集得答案为B
1.下列命题中正确的是( )
A.终边在y轴非负半轴上的角是直角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同
2.与120°角终边相同的角是( )
A.－600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
B.－120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
C.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ
D.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
3.若角α与β终边相同，则一定有( )
A.α＋β＝180° B.α＋β＝0°
C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z
4.与1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 .
5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .
6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).
7.在直角坐标系中，作出下列各角
(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°
8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．
求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ.
9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.
(1)560°24′ （2）－560°24′ （3）2903°15′
(4)－2903°15′ （5）3900° （6）－3900°
参考答案：1.D 2.A 3.C 4.40° 320° 5.三 六 6.－120° －1440°
7.
8.A∩B＝A A∪C＝C
C∩D＝｛α｜k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，k≤0＝
A∪D＝D
9.(1)∵560°24′＝200°24′＋360°
∴560°24′与200°24′终边相同在第三象限
(2)∵－560°24′＝159°36′＋(－2)·360°
∴－560°24′与159°36′终边相同在第二象限
(3)∵2903°15′＝23°15′＋8·360°
∴2903°15′与23°15′终边相同在第一象限
(4)∵－2903°15′＝336°45′＋(－9)·360°
∴－2903°15′与336°45′终边相同在第四象限
(5)∵3900°＝300°＋10·360°
∴3900°与300°终边相同在第四象限
(6)∵－3900°＝60°＋(－11)·360°
∴－3900°与60°终边相同在第一象限
1.若Ａ＝｛α｜α＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；B＝｛α｜α＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝；C＝｛α｜α＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则下列关系中正确的是( )
A.Ａ＝Ｂ＝Ｃ B.Ａ＝Ｂ Ｃ
C.Ａ?Ｂ＝Ｃ D.Ａ?Ｂ?Ｃ
2.若α是第四象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.若α与β的终边互为反向延长线，则有( )
A.α＝β＋180°
B.α＝β－180°
C.α＝－β
D.α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ
4.终边在第一或第三象限角的集合是 .
5.α为第四象限角，则2α在 .
6.角α＝45°＋ｋ·90°的终边在第 象限.
7.写出与370°23′终边相同角的集合S，并把S中在－720°～360°间的角写出来.
8.在直角坐标系中作出角α＝60°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ，β＝60°＋ｋ·90°，ｋ∈Ｚ角的终边.
9.写出角的终边在图4—2阴影区域内的角的集合(包括边界)
参考答案：
1.D 2.C 3.D 4.｛α｜k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z｝
5.第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上
6.一 二 三 四
7.Ｓ＝｛α｜α＝10°23′＋k·360°，k∈Z｝
在－720°～360°之间的角分别是
10°23′ －349°37′ －709°37′.
8.
9.(1)｛α｜45°＋k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z｝
(2)｛α｜－150°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z＝
1.将－885°化为α＋ｋ·360°（0°≤α＜360°，ｋ∈Ｚ的形式是 ( )
A.－165°＋（－2）·360° B.195°＋（－3）·360°
C.195°＋（－2）·360° D.165°＋（－3）·360°
2.下列命题中正确的是( )
A.第一象限角一定不是负角 B.小于90°的角一定是锐角
C.钝角一定是第二象限角 D.终边相同的角一定相等
3.若α是锐角，则180°－α是( )
A.第一象限角 B.第二角限角 C.第三象限角 D.第四象限角
4.与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 .
5.若α为锐角，则180°＋α在第 象限，－α在第 象限.
6.若α为锐角，则－α＋ｋ·360°，ｋ∈Ｚ在第 象限.
参考答案：1.B 2.C 3.B 4.240° 5.三 四 6.四
1.在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在［360°，1620°］中与21°16′终边相同的角有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 ( )
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
4.第二象限角的集合可表示为 .
5.角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是
6.角α是第二象限角，则180°＋α是第 象限角；－α是第 象限角；180°－α是第________象限角．
参考答案：1.C 2.C 3.A
4.｛α｜90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z｝
5.｛α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z｝
6. 四 三 一
1.在△ABC中，A＞Ｂ是tanＡ＞tanＢ的( )
Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
2.方程x－tanx＝0的实根个数为( )
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．无穷多
3.如果α、β∈（，π）且tanα＜cotβ，那么必有( )
Ａ．α＜β Ｂ．β＜α
Ｃ．α＋β＜ Ｄ．α＋β＞
4.函数y＝的定义域为 .
5.函数y＝tanx图象的对称中心坐标是 .
6.直线y=5与正切函数y＝tanx的图象相交的相邻两交点之间的距离是 .
7.求函数y＝的定义域和值域.
8.已知锐角α、β、γ满足tanα＝，tanβ＝，tanγ＝.求证α＋β＋γ＝.
9.已知α、β为锐角且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0，试证：
（1）tanα＝cot2β
（2）α＋2β＝
参考答案：1.D 2.D 3.C
4.｛x∈Ｒ｜x≠＋kπ且x≠－＋kπ，k∈Z｝
5.(kπ，0)，k∈Z 6.π
7.定义域为｛x｜x≠＋kπ，且x≠－＋kπ，k∈Z｝
值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)
8.(略) 9.(略)
1.函数y＝tan（ax＋）（a≠0）的最小正周期为( )
2.以下函数中，不是奇函数的是( )
A.y＝sinx＋tanx Ｂ．y＝xtanx－1
Ｃ．y＝ Ｄ．y＝lg
3.下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数 Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数
Ｃ．y＝｜cos（2x＋）｜的周期是 Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2π的偶函数
4.函数y＝sinx＋tanx，x∈［－，］的值域为 .
5.函数y＝cotx－tanx的周期为 .
6.函数y＝的周期为 .
7.作出函数y＝｜tanx｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间.
8.试证cotx＝－tan（＋x），并指出通过怎样的图象变换可由y＝tanx的图象得到y＝cotx的图象.?
9.作出函数y＝的图象，并观察函数的周期.
参考答案：
1.C 2.B 3.C
4.［－］
5. 6.π
7.函数y＝｜tanx｜的图象如下图：
函数y＝｜tanx｜的周期为π
单调递增区间为［kπ，＋kπ］，k∈Z
单调递减区间为(－＋kπ，kπ］，k∈Z
8.(略)
9.函数y＝的图象如下图：
周期为π.
相关练习
1．函数为（ ）
A.奇函数 B.非奇非偶函数
C.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
分析：要判断函数的奇偶性，首先得到判断定义域是否关于原点对称，此题要求tanx≠0.所以定义域关于原点对称，接着用正切函数是奇函数这一结论求f (–x).而
为奇函数.
答案：A
2．已知不通过求值，判断下列大小关系正确的是（ ）
A.a＞b＞c B. a＜b＜c
C.b＞a＞c D. b＜a＜c
分析：先利用正切函数周期性把以上三个角化为同一周期的角，如
，再用正切函数在（上为增函数可得
答案：C
3．求函数的定义域、值域和周期.
分析：可以利用换元法，令即可.
解：令，那么函数y=tanu–2的定义域是
∵
∴
则函数的定义域是
值域是R，周期为
4．已知函数是以3为周期的奇函数，且f (–1)=1,若，求f (tan2)
分析：已知tan,可用正切的倍角公式求出tan2，再根据f (x)是奇函数和f (x)是周期函数的性质：寻找与f (–1)之间的关系.
解：∵ ∴
∴
∴
5．求函数的最大值和最小值.
分析：正切函数没有最大值和最小值，故此题可以将其变化为关于sinx或cosx的函数式，当然亦可应用判别式法求最值.
解法一：∵
故原函数可变为
当sin2x有最大值1时，有最大值而y有最小值
当sin2x有最小值–1时，有最小值–2，而y有最大值3.
解法二：由得：
由
即
解得：
当函数有最小值时，
当函数有最大值3时，
相关高考真题
函数在一个周期内的图象是（ ）
（1997年全国高考题）
分析：此题主要考查正切函数的周期及其图象的伸缩与平移等基本知识，以及简单计算与识别图象等基本技能、由函数可得，，且过点，这样，根据选择题的特点，可排除B、D、C.
答案：A
1.下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是（0，）上的增函数的是( )
Ａ．y＝tanx Ｂ．y＝cosx Ｃ．y＝tan Ｄ．y＝｜sinx｜
2.下列不等式中正确的是( )
Ａ．tan＞tan Ｂ．tan（－）＞tan（）
Ｃ．＜ Ｄ．
3.若tan（2x－）≤1，则x的取值范围是( )
Ａ．≤x≤，ｋ∈Z Ｂ．ｋπ－≤x＜ｋπ＋，ｋ∈Z
Ｃ．＜x≤，ｋ∈Z Ｄ．ｋπ＋＜x≤ｋπ＋，ｋ∈Z
4.函数y＝的定义域是 .
5.已知f(x)=asinx＋ｂtanx＋1满足f(5)=7,则f(-5)等于 .
6.函数y＝tan（sinx）的值域为 .
参考答案：1.A 2.B 3.C
4.｛x∈Ｒ｜kπ＜x≤＋kπ，k∈Z
5.-5 6.［tan(－1)，tan1］
1.函数y＝tan3πx的最小正周期为( )
2.函数f(x)=lg（tanx＋）为( )
A．奇函数 Ｂ．偶函数
Ｃ．既是奇函数又是偶函数 Ｄ．既不是奇函数又不是偶函数
3.要得到y＝tan2x的图象，只需把y＝tan（2x＋）的图象( )
A．向左平移个单位 Ｂ．向右平移个单位
Ｃ．向左平移个单位 Ｄ．向右平移个单位
4.函数y＝3tan（x＋），－≤x≤的值域为 .
5.函数y＝tan（x＋）图象的对称中心的坐标是 .
6.直线y＝ｍ（ｍ为常数）与函数y＝tanωx（ω＞0）的图象相交的相邻两交点间的距离为 .
参考答案：
1.A 2.A 3.D 4.(3) 5.(－＋kπ，0)，k∈Z 6.
三角函数总复习题
一、选择题?
1.已知角α的终边经过点P(4，-3)，则2sinα+cosα的值等于( )?
A.- B. C. D.-
解析：∵r=?
∴sinα==-
cos=?
∴2sinα+cosα=2×(-)+
答案：D?
2.若sinα·tanα＜0，则角α是( )?
A.第二象限角? B.第三象限角?
C.第二或第三象限角? D.第二或第四象限角?
解析：由sinα·tanα＜0得sinα＞0且tanα＜0
则α为第二象限角?或sinα＜0且tanα＞0?
则α为第三象限角
综上所述：α为第二或第三象限角??
答案：C?
3.已知tanα=，则的值是 ( )?
A.-2+ B.-2- C.2+ D.2-4
解法一：∵tanα=＞0.
∴α为第一、三象限的角.?
(1)当α为第一象限角时，cosα=
sinα=cosα·tanα=
∴
=-2+ .
(2)当α为第三象限角时，cosα==
sinα=-
∴
解法二：∵tanα=
∴sinα=cosα
∴
解法三：∵tanα=2 ∴cosα≠0?
∴
答案：A?
4.若α是第一象限角，则sin2α、cos2α、sin、cos中必定取正值的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个?
解析：由已知得2kπ＜α＜2kπ+ (k∈Z)?
∴4kπ＜2α＜4kπ+π
即2α为第一、二象限角.?
∴sin2α＞0.?
又kπ＜＜kπ+
即为第一或第三象限角.
综上：只有sin2α必定取正值.
答案：B?
5.已知sinα·cosα=，且＜α＜，则cosα-sinα的值是( )?
A. B. C. D.－
解析：∵＜α＜ ∴cosα-sinα＜0?
又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=
∴cosα-sinα=-
答案：C?
6.已知sinx+cosx=(0≤x＜π）则tanα的值等于( )?
A.－ B. C. D.
解析：由
25cos2x-5cosx-12=0?
解得：cosx=或-
又∵0≤x＜π ∴sinx＞0?
若cosx= 则sinx+cosx≠
∴cosx=-,sinx= ∴tanx=-.?
答案：B?
7.θ是第二象限角，且sin-cos=,则是( )?
A.第一象限角? B.第三象限角?
C.第一或第三象限角? D.第二或第四象限角?
解析：∵θ是第二象限角?
∴2kπ+＜θ＜2kπ+π(k∈Z)?
∴kπ+＜＜kπ+
即2kπ+＜＜2kπ+或2kπ+＜＜2kπ+
当2kπ+＜＜2kπ+时，sin＞cos
=sin-cos
当2kπ+＜＜2kπ+时，sin＜cos
=cos-sin
综上所述：2kπ+＜＜2kπ+ (k∈Z)?
即为第一象限角??
答案：A?
8.θ=是sinθ=的 ( )?
A.充分而不必要条件? B.必要而不充分条件?
C.充要条件? D.既不充分也不必要条件?
解析：当θ=时，sinθ=.?
当θ=π-=时，sinθ=.?
∴sinθ=θ=.
θ=sinθ=.
答案：A?
9.cos1°+cos2°+cos3°+…+cos179°+cos180°的值为( )?
A.0 B. 1? C.-1 D.以上答案都不对?
解析：原式=cos1°+cos2°+cos3°+…+cos90°-cos89°
-cos88°-…-cos2°-cos1°+cos180°=-1.?
答案：C?
10.如果扇形所在的圆的半径为R，其圆心角的弧度数为α＞0,则扇形面积是( )
A.αR2 B. αR C.αR D.αR2?
解析：由S=lR l=αR 得S=αR2.
答案：A
11.若θ为锐角，则secθ|logsecθ|的值为( )?
A. B.- C.2 D.-2?
解析：∵θ为锐角 ∴0＜cosθ＜1,secθ＞1
∴logsecθ＜0 ∴|logsecθ|=-logsecθ=logsecθ2?
∴secθlogsecθ=secθlogsecθ2=2.?
答案：C?
12.已知sinα=-,＜α＜,则角α等于( )?
A. B. C. D.
解析：∵sin=sin(π+)=-sin=-且＜＜
∴α=.
答案：D?
13.下列不等式成立的是 ( )?
A.sin123°＞cos1＞tan2＞cot3?
B.sin123°＞cos1＞cot3＞tan2?
C.cos1＞sin123°＞tan2＞cot3?
D.cos1＞sin123°＞cot3＞tan2?
解析：∵sin123°＞0，cos1＞0
tan2＜0,cot3＜0?
又∵sin123°=cos33°且33°＜1?
∴sin123°＞cos1?
cot3=tan(-3) -3＜2?
∴cot3＜tan2?
答案：A?
14.有以下三个命题?
①因为sin(0+π)=sinπ=0,sin(π+π)=sin2π=0,sin(2π+π)=sinπ=0,所以π是y=sinx的周期；②因为sin3x=sin(3x+2π),所以y=sin3x的最小正周期是2π;③设ω≠0,因为sinωx=sin(ωx+2π)
=sinω(x+),所以y=sinωx的周期为.
其中正确的命题的个数是( )?
A.0 B.1 C.2 D.3?
解析：若取x=,则sin(+π)=-≠sin.可知①错误.
验证可知sin3x=sin3(x+).则是y=sin3x的一个周期.可知②错误.
若ω＜0,则＜0,所以③错误.
答案：A
15.以下命题中的正确命题是( )?
A.小于90°的角是锐角?
B.若角α与角β的终边相同，那么α=β
C.若sinα=sinβ，则α=β?
D.在△ABC中，若cosA=cosB,那么A=B
答案：D?
16.以下命题中的正确命题是( )?
A.若secα·tanα＜0,那么α是第一象限角?
B.若sinα≥0,那么α是第一或第二象限角?
C.若角α与角β的终边关于x轴对称，那么α+β=0
D.若α是钝角，则cosα＜0?
答案：D
17.已知sinxtanx＜0,那么的值为( )?
A.cosx B. sinx? C.- cosx D.- sinx
解析：∵sinxtanx=＜0 ∴cosx＜0?
∴.?
答案：C?
18.化简tan(α+45°)-tan(α-45°)等于( )?
A.2tan2α B.-2tan2α C.2cot2α D.-2cot2α
解析：原式=
答案：A?
19.设5π＜θ＜6π,|cos|=a，则sin等于( )?
A.- B.- C.- D.
解析：∵5π＜θ＜6π?
∴＜＜3π ＜＜?
∴cos＜0 sin＜0?
cos=1-2sin2=-a?
∴sin=-.?
答案：C?
20.在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间(0，)上的增函数，又是以π为周期的偶函数( )
A.y=x2 B.y=|sinx|? C.y=cos2x D.y=esin2x?
答案：B
21.有下列四个命题
①函数y=tanx在定义域内是增函数；②函数y=|cotx|是偶函数，且是周期函数，其最小正周期为;③因为1＜2＜4,所以cot1＞cot2＞cot4;④没有x能使2tan2x=sinx
其中正确的命题是( )?
A.①和② B.③和④? C.② D.④?
答案：D?
22.函数ｙ＝log｜x＋1｜的单调增区间是( )?
A.(－∞，0) B.(－∞，－1)? C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
关于y轴对称
解析：ｙ＝logx ｙ＝log｜x＋1｜
保留原图象
左移1个单位
ｙ＝log｜x＋1｜
如右图：?
答案：B?
23.函数ｙ＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1是( )
A.周期是2π的奇函数? B.周期是π的偶函数?
C.周期是π的奇函数? D.周期是2π的偶函数?
解析：原式＝
答案：B?
24.若f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋sinx，则x＜0时，f(x)等于( )
A.x2＋sinx B.－x2＋sinx?
C.x2－sinx D.－x2－sinx
解析：设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2＋sin(－x)＝x2－sinx
又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2＋sinx(x＜0)?
答案：B?
25.下列不等式中，正确的是( )?
A.tan＜tanπ B.cｏt(－4)＞cｏt(－3)?
C.sin(π－1)＜sin1°? D.cos＞cos(－)
答案：A?
26.α是三角形的内角，则函数ｙ＝cos2α－3cosα＋6的最值情况是( )?
A.既有最大值，又有最小值?
B.既有最大值10，又有最小值
C.只有最大值10?
D.只有最小值
解析：∵ｙ＝cos2α－3cosα＋6＝2cos2α－3cosα＋5
＝2(cosα－)2＋
∵α是三角形内角，∴－1＜cosα＜1?
当cosα＝时，y有最小值.
答案：D?
27.函数ｙ＝sin(－x)cos(－x)的单调增区间为( )?
A.［ｋπ－，ｋπ＋］，(ｋ∈Z)
B.［2ｋπ＋，2ｋπ＋］，(ｋ∈Z)?
C.［ｋπ＋，ｋπ＋］，(ｋ∈Z)?
D.［2ｋπ－，2ｋπ＋］，(ｋ∈Z)?
解析：∵ｙ＝
∴2ｋπ－＜－2x＜2ｋπ＋
即－ｋπ－＜x＜－ｋπ＋ (ｋ∈Z)?
即kπ-＜x＜kπ+π(k∈Z)?
答案：A?
28.先将函数ｙ＝2sin(2x＋)的周期扩大至原来的3倍，再将图象向右平移个单位，则所得函数的解析式是( )?
A.ｙ＝2sin(x－)?
B.ｙ＝2sinx?
C.ｙ＝2sin(x＋)?
D.ｙ＝2sin(6x-)?
解析：ｙ＝2sin(2x＋) ｙ＝2sin(x＋) ｙ＝2sin［ (x－)＋］ｙ＝2sinx
答案：B?
29.函数ｙ＝sin(2x＋)的图象( )?
A.关于原点对称?
B.关于y轴对称?
C.关于直线x＝对称?
D.关于直线x＝对称?
解析：当x＝时，2x＋＝＋＝，sin(2x＋)＝sin＝1
∴ｙ＝sin(2x＋)关于直线＝x对称.
答案：D?
30.设是第三象限角，那么( )?
A.sin＞0 B.cos＞0 C.tan＞0 D.cｏt＜0
解析：∵2ｋπ＋π＜＜2ｋπ＋ (ｋ∈Z)
∴ｋπ＋＜＜ｋπ＋
即为第二或第四象限角
∴cot＜0
答案：D
31.若α是第四象限角，则π－α是( )?
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析：∵2ｋπ＋＜α＜2ｋπ＋2π(ｋ∈Z)
∴－2ｋπ－2π＜－α＜－2ｋπ－，－2ｋπ－π＜π－α＜－2ｋπ－
即2ｋπ－π＜π－α＜2ｋπ－ (ｋ∈Z)
∴π－α为第三象限角?
答案：C?
32.若cos(α＋β)＝－1，则( )?
A.sinα＝－sinβ B.sinα＝sinβ
C.cosα＝cosβ D.tanα＝tanβ
解析：由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2ｋπ＋π，即α＝2ｋπ＋π－β
∴sinα＝sin［2ｋπ＋(π－β)］=sin(π－β)＝sinβ
答案：B
33.设x＝10，则下列各值中一定是负值的是( )
A.sin(－) B.cos(－2x) C.cｏtx D.tan
答案：D
34.有以下四个命题?
①第一象限是锐角；②存在一个角α，使sinα＝cosα＝；③存在无穷多个角α，使tanα＝2，
cｓcα＝；④若sinαcosα＝，则sinα＋cosα＝0
其中正确命题是( )
A.①和② B.①和③? C.③ D.④?
答案：C
35.已知x∈(0，)，化简等于( )?
A.sin B.2sin C.cos D.2cos
解析：原式
∵x∈(0，)，∴∈(0，)?
∴sin＜cos，∴原式＝2cos
答案：D?
36.设sinθ为有理数，下列各函数中一定是有理数的是( )
A.cosθ B.tanθ C.sin2θ D.cos2θ?
解析：∵cos2θ=1-2sin2θ?
若sinθ为有理数，则cos2θ一定为有理数.
答案：D?
37.已知sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=,且β为第三象限角，则cosβ等于( )?
A. B.- C. D.-
解析：由已知得sin(-β)=
即sinβ=-
又β为第三象限角?
∴cosβ=-.
答案：B
38.设tan＝，那么mcosφ－nsinφ等于( )?
A.－m B.m C.－n D.n
解析：
答案：A?
39.对于等式sin3x＝sinx＋sin2x，下列说法中正确的是( )?
A.对于任意的x∈R等式成立?
B.对于任意的x∈R等式都不成立?
C.存在无数个x∈R使等式成立?
D.等式只对有限个x∈R成立
解析：∵sin3x＝sin(x＋2x)＝sinxcos2x＋cosxsin2x
当x＝2ｋπ(ｋ∈Z)时cosx＝1且cos2x＝1，
∴sin3x＝sinx＋sin2x
答案：C
40.2sin14°cos31°＋sin17°等于( )?
A. B.－ C. D.－
解析：原式＝2sin14°cos31°＋sin(31°－14°)
＝sin31°cos14°＋cos31°sin14°＝sin(31°＋14°)
＝sin45°＝
答案：A?
41.化简为( )?
A.tanα＋tanβ B.tan C.－tan D.cｏt
解析：原式＝
答案：B?
42.化简cos－sin为( )?
A.2sin(－) B.2sin(＋)
C.2cos(＋) D.2cos(＋)
解析：原式＝2(cos－sin)
＝2(coscos－sinsin)
＝2cos(＋)?
答案：C?
43.cos2(－)－cos2(＋)可化简为( )?
A.sinx B.－sinx? C.sinx D.－sinx?
解析：原式＝
答案：D?
44.等于( )
A.2＋ B.2－ C.2＋ D.2－
解析：原式＝
答案：B?
45.化简等于( )
A.sin5＋cos5 B.sin5－cos5
C.－sin5＋cos5 D.－sin5－cos5
解析：原式＝
∵
∴｜sin5＋cos5｜＝－(sin5＋cos5)?
即＝－sin5－cos5?
答案：D
46.已知tan76°≈4，则tan7°等于( )
A.＋4 B.－4 C.＋2 D.－2
解析：由tan76°＝4，得tan14°＝cｏt76°＝，设tan7°＝x，则tan14°＝
解得x＝－4± (负值舍去)?
∴x＝－4?
答案：B?
47.已知2sinα＝1＋cosα，那么tan( )
A.等于 B.等于或不存在?
C.等于2 D.等于2或不存在
解析：当sinα＝0，cosα＝－1时，tan不存在
当sinα≠0，cosα≠－1时，tan＝
答案：B?
48.设＜θ＜3π，且｜cosθ｜＝，那么sin的值等于( )
A. B.－ C.－ D.
解析：∵＜θ＜3π，
∴cosθ＜0，∴cosθ＝－
＜＜，∴sin＜0?
又cosθ＝1－sin2，∴sin2＝
答案：C?
49.在△ABC中，若0＜tanΑ·tanB＜1，那么△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.形状不确定
解析：∵A、B是△ABC内角，
又∵0＜tanΑ·tanB＜1，∴A、B∈(0，)
∵0＜＜1，cosAcosB＞0，
∴cosAcosB－sinAsinB＞0?
即cos(A＋B)＞0，∴0＜A＋B＜，
∴π－(A＋B)＝C＞
∴△ABC一定是钝角三角形
答案：B?
50.函数ｙ＝cosx－sin2x－cos2x＋的最大值是( )
A. B.2 C. D.
解析：原式＝cosx－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋＝－cos2x＋cosx＋＝－(cosx－)2＋2
当cosx＝时，y有最大值2.
答案：B
二、填空题
1.若｜cosα｜＝cos(－α＋π)，则α的取值范围是 .
解析：由｜cosα｜＝cos(π－α)＝－cosα，得cosα＜0
∴2ｋπ＋＜α＜2ｋπ＋ (ｋ∈Z).
答案：［2kπ+,2kπ+］(k∈Z)
2.若tanα、tanβ是方程x2－ｐx＋q＝0的两根，cｏtα、cｏtβ是方程x2－ｒx＋S＝0的两个根，则r·S＝ .(用p、q表示)
解析：由tanα＋tanβ＝ｒ＝
得：ｒS＝
又由tanα＋tanβ＝p，tanα·tanβ＝q
得ｒS＝.
答案：
3.若cos(－α)＝，则cos(＋α)＝ ；若tan(α－)＝2，则cｏt(＋α)＝ .
解析：cos(＋α)＝cos［π－(－α)］
＝－cos(－α)＝－；
cｏt(＋α)＝cｏt［π＋(α－)］?
＝cｏt(α－)＝.
答案：-
4.在△ABC中，若B＝40°，且sin(A＋C)＝sin(A－C)，则A＝ ；C＝ ．
解析：∵sin(A＋C)＝sin(A－C)，即
sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC－cosAsinC
=2cosAsinC＝0
∵在△ABC中，∴A，B，C∈(0，π)，
∴cosA＝0即A＝90°
又∵A＋C＝π－B＝π－40°＝140°，
∴C＝50°.?
答案：90° 50°?
5.对于正整数n，我们记f(n)＝sinnα＋cosnα，若f(1)＝a(｜a｜≤)，则f(3)＝ ．
解析：f(3)＝sin3α＋cos3α＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)
＝a(1－sinαcosα)＝a［1－ (a2－1)］＝ (3a－a3).
答案： (3a-a3)
6.已知sinα＋cosα＝m，则m的取值范围是 ．
解析：m＝sinα＋cosα
＝ (sinα·
答案：
7. ＝ (＜α＜2π）.
解析：∵＜α＜2π，∴
∴原式＝
答案：
8. ＝ .
解析：原式＝.
答案：-cos4
9.函数ｙ＝的定义域为 ．
解析：由题意得
解得
∴函数的定义域是｛x｜0＜x＜或π≤x≤4｝.
答案：{x|0＜x＜或π≤x≤4｝
10.函数y＝的最小正周期是 .
解析：∵ｙ＝1＋
∴Ｔ＝＝2π.
答案：2π
11.函数ｙ＝log (sinx－cosx)的单调递增区间是 ．
解析：由题意得：∵ｙ＝logsin(x－)
则2ｋπ＋＜x－＜2ｋπ＋π(ｋ∈Z)
即2ｋπ＋＜x＜2ｋπ＋ (ｋ∈Z)
答案：［2kπ+,2kπ+］(k∈Z)
12.已知角α的终边上的一点P(1＋，1－)，则sinα＝ ，tanα＝ .
解析：∵ｒ2＝(1＋)2＋(1－)2，∴ｒ＝4
sinα＝，cosα＝
tanα＝.
答案：
13.函数ｙ＝的定义域是 .
解析：由logsinx≥0，得0＜sinx≤1，∴2ｋπ＜x＜2ｋπ＋π，(ｋ∈Z)
答案：(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)
14.函数ｙ＝a＋bsinx的最大值是，最小值是－，则a＝ ，b＝ ．
解析：当b＞0时得方程组
解得
当b＜0时，得方程组
解得.
答案： ±1
15.求函数ｙ＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最大值为 .
解析：设sinx＋cosx＝t，t∈［－，］，原函数可转化为ｙ＝ (t2－1)＋t＝(t＋1)2－1
当t＝时，函数有最大值，即：
ｙmax＝(2＋1)2-1= (2+1)
答案：(2+1)
三、解答题
1.已知cos(π＋α)＝－，sinαcosα＜0，求sin(α－7π)的值.
解析：∵cos(π＋α)＝－cosα＝－，
∴cosα＝，
又∵sinαcosα＜0，∴sinα＜0，
∴α为第四象限角?
∴sinα＝－，
∴sin(α－7π)＝sin(α＋π－8π)＝sin(π＋α)＝－sinα＝.
2.求值
解析：原式＝｜sin672°｜－sin582°
＝｜sin(360°＋312°)｜＋sin(360°＋222°)
＝｜sin312°｜＋sin222°·
＝｜sin(360°－48°)｜＋sin(180°＋42°)
＝｜－sin48°｜－sin42°＝sin48°－cos(90°－42°)
＝sin48°－cos48°＝0.
3.化简 (n∈Z)?
解法一：若n＝2ｋ(ｋ∈Z)
原式＝
解法二：若n=2k+1(k∈Z)
原式＝
4.已知2sinα－cosα＝1，求的值.?
解析：设＝ｋ，
则(1－ｋ)sinα＋(1＋ｋ)cosα＝ｋ－1，
又∵2sinα－cosα＝1，?
∴sinα＝，cosα＝，(ｋ≠－3)?
由sin2α＋cos2α＝1，得()2＋()2＝1
即12ｋ2－24ｋ＝0，∴ｋ＝0或ｋ＝2
故所求式的值为0或2.
5.已知sinx＋sinｙ＝1，求cosx＋cosｙ的取值范围.?
解析：设cosx＋cosｙ＝ｋ，则ｋ2＝cos2x＋2cosxcosｙ＋cos2ｙ ①
由sinx＋sinｙ＝1，
得sin2x＋2sinxsinｙ＋sin2ｙ=1 ②
①＋②得：cos(x－ｙ)＝，∴｜｜≤1，即｜ｋ｜≤，∴－≤cosx＋cosｙ≤.
6.化简
解析：原式
7.化简，其中θ∈(0，).
解析：原式?
∴原式＝sin＋cos－(cos－sin)＝2sin.
8.已知tanα＝2，求sin2α－sin2α＋1的值.
解析：∵tanα＝＝2，∴sinα＝2cosα，
∴(2cosα)2＋cos2α＝1，∴cos2α＝
sin2α－sin2α＋1＝sin2α－2sinαcosα＋sin2α＋cos2α＝2sin2α－2sinαcosα＋cos2α
＝cos2α(2tan2α－2tanα＋1)＝ (2·22－2·2＋1)＝1.
9.已知π／2＜α＜π，－π＜β＜0，tanα＝－，tanβ＝－，求2α＋β的值.?
解析：∵tanα＝－，tanβ＝－，
∴tan2α＝
tan(2α＋β)＝＝－1?
又∵tan2α＝－＜0，且＜α＜π，?
∴＜2α＜2π，tanβ＝－＜0，且－π＜β＜0，
∴－＜β＜0?
∴π＜2α＋β＜2π，∴2α＋β＝．
10.已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a为大于1的常数)的两根为tanα、tanβ，且α、β∈(－)，求tan的值.?
解析：∵tanα＋tanβ＝－4a＜0，tanα·tanβ＝3a＋1＞0，
∴tanα＜0，tanβ＜0，?
∴α、β∈(－，0)，即－＜＜0?
tan(α＋β)＝
＝tan［2·()］＝
整理得2tan2＋3tan－2＝0，
解得tan = (舍去)?
tan＝－2.
11.若5sinα·cosα＝2，求tanα.?
解析：∵5sinα·cosα＝2×1，∴5sinα·cosα＝2(sin2α＋cos2α)，
∴2sin2α－5sinαcosα＋2cos2α＝0
∴2tan2α－tanα＋2＝0，∴tanα＝2或tanα＝.
12.已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求tanα.?
解析：∵sinα－cosα＝－，
∴(sinα－cosα)2＝
1－2sinαcosα＝，2sinαcosα＝，?
∴(sinα＋cosα)2＝
又∵180°＜α＜270°，∴sinα＋cosα＝－
即有
解得sinα＝－，cosα＝－，∴tanα＝2.?
13.求的值.?
解析：原式
14.已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β，求证：2cos2α＝cos2β.
证法一：∵sinθ＋cosθ＝2sinα，
∴2cos2α＝2(1－2sin2α)＝2－4sin2α＝2－(sinθ＋cosθ)2
＝1－2sinθcosθ＝1－2sin2β＝cos2β.?
证法二：∵sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β
∴4sin2α＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sin2β，
∴2－4sin2α＝1－2sin2β，∴2cos2α＝cos2β.
15.已知函数f(x)＝tanx，x∈(0，)，若x1，x2∈(0，)，且x1≠x2，求证：
.
证明：∵f(x)＝tanx，∴原不等式为
(tanx1＋tanx2)＞tan
①?
∵x1，x2∈(0，)，∴sin(x1＋x2)＞0，cosx1cosx2＞0，1＋cosx1cosx2＞0
①式同解于1＋cos(x1＋x2)＞2cosx1cosx21＋cos(x1＋x2)＞cos(x1＋x2)＋cos(x1－x2) 1＞cos(x1－x2) ②
∵x1，x2∈(0，)，且x1≠x2，∴②式成立.
综上可知，在所给条件下，原不等式成立.?
16.求函数ｙ＝sin(x－)＋sin2x(0≤x≤π)的最大值与最小值.?
解析：设t＝sin(x－)，则由0≤x≤π，可得：－≤x－≤
故－≤sin(x－)≤1，∴－1≤t≤
又因sin2x＝cos［2(x－)］＝1－2sin2(x－)＝1－t2
原函数转化为ｙ＝－(t－)2＋
∴当t＝∈［－1，］时，y有最大值.
当t＝－1∈［－1，］时，y有最小值－1.
17.已知α是常数.求证：函数f(x)＝cos2x－2cosαcosxcos(x＋a)＋cos2(x＋α)的图象是与x轴平行(或重合)的直线.
证明：f(x)＝(1＋cos2x)－2cosα·［cos(2x＋α)＋cosα］＋［1＋cos2(x＋α)］
＝1－cos2α＋［cos2x＋cos2(x＋α)］－cosαcos(2π＋α)
＝sin2α＋cos(2x＋α)cosα－cosαcos(2x＋α)＝sin2α(常数)
故图象是与x轴平行(或重合)的直线.?
18.在锐角△ABC中，求证：
cosA＋cosB＋cosC＜sinA＋sinB＋sinC.
证明：∵在锐角△ABC中，∴90°＜A＋B＜180°，即90°＞A＞90°－B＞0
∴cosA＜cos(90°－B)，即cosA＜sinB?
同理：cosB＜sinC，cosC＜sinA，∴cosA＋cosB＋cosC＜sinA＋sinB＋sinC.?
19.用三角代换法解下列各题?
(1)已知a＞0，x＞a，ｙ＞a，求证：；?
(2)已知函数ｙ＝，当x＝－时，ｙ有最小值0，试求a、b之值.
证明：(1)∵xｙ＞0，原不等式就是
已知x＞a＞0，ｙ＞a＞0，故0＜＜1，0＜＜1，?
可设＝cosα，＝cosβ，(0＜α＜，0＜β＜)
于是不等式左边就是?
所以，原不等式得证.?
(2)由x∈R，故设x＝tanθ，θ∈(－，)
(其中tan＝b)
∵当x＝－，即θ＝－时，ｙmｉn＝0，
∴2θ－＝－(2ｋ＋1)π，(ｋ∈Z)?
即＝(2ｋ＋1)π－，故b＝tan＝，此时a＋＋
即a＝，∴a＝，b＝.
三角函数章节检测题
一、选择题(本大题有14个小题，第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.与－463°终边相同的角可以表示为(k∈Z)( )
A.k·360°＋463° B.k·360°＋103°
C.k·360°＋257° D.k·360°－257°
答案：C
2.已知θ是第三象限的角，且cos＜0，那么为( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第三象限的角 D.第四象限的角
答案：B
3.若sinx＋cosx＝1，那么sinｎx＋cosｎx的值是( )
A.1 B.0 C.－1 D.不能确定
答案：A
4.在函数y＝｜tanx｜，y＝｜sin(x＋)｜，y＝｜sin2x｜，y＝sin(2x－)四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间(0，)上的增函数个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
5.下列四个命题正确的是( )
A.sin2＜sin3＜sin4 B.sin4＜sin2＜sin3
C.sin3＜sin4＜sin2 D.sin4＜sin3＜sin2
答案：D
6.的值为( )
A.1 B.4 C.－4 D.－1
答案：C
7.满足等式sin4xcos5x＝－cos4xsin5x的x的一个值是( )
A.10° B.20° C.50° D.70°
答案：B
8.若ｂ＞ａ＞0，满足tanα＝，且sinα＝的角α的集合是( )
A.｛α｜0＜α＜｝
B.｛α｜＋2kπ≤α≤π＋2kπ，k∈Z｝
C.｛α｜2kπ≤α≤π＋2kπ，k∈Z｝
D.｛α｜＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}
答案：D
9.要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象( )
A.向右平行移动个单位 B.向右平行移动个单位
C.向左平行移动个单位 D.向左平行移动个单位
答案：A
10.已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时取最大值y＝2，当x＝时，取得最小值y＝－2，那么函数的解析式为( )
A.y＝sin(x＋) B.y＝2sin(2x＋)
C.y＝2sin(－) D.y＝2sin(2x＋)
答案：B
11.若sinα＝m，α为第二象限角，则tan2α的值为( )
A. B.
C.± D.以上全不对
答案：A
12.设f(x)＝ａsin(πx＋α)＋ｂcos(πx＋β)＋4，其中ａ、ｂ、α、β均为非零实数，若f(1988)＝3，则f(2002)的值为( )
A.1 B.5 C.3 D.不确定
答案：C
13.函数f(x)＝｜sinx｜＋｜cosx｜的取值范围是( )
A.［0，］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［1，］
答案：D
14.若θ是三角形的一个内角，且函数y＝cosθ·x2－4sinθ·x＋6对于任意实数x均取正值，那么cosθ所在区间是( )
A.(，1) B.(0，) C.(－2，) D.(－1，)
答案：A
二、填空题(本大题有4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
15.若α、β为锐角，且cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，则cosα等于 .
答案：
16.函数y＝sin＋cos，x∈(－2π，2π)为增函数的区间是 .
答案：［－］
17.设f(x)是以5为周期的函数，且当x∈［－］时，f(x)＝x，则f(6.5)＝ .
答案：1．5
18.已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，则θ值为 .
答案：kπ－(k∈Z)
三、解答题(本大题共6个小题，共74分)
19.(满分12分)
已知tan(180°＋α)－tan(450°－α)＝2(0＜α＜90°)，
求的值.
答案：－1
20.(满分12分)
已知cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－且450°＜β＜540°，
求cos2β和sin(＋2β).
答案：cos2β＝，sin(＋2β)＝.
21.(满分12分)
如图，在半径为R，中心角为2α(0＜2α＜)的扇形OAB内作矩形CDEF，使C、D两点在半径OA上，F点在半径OB上，E在弧AB上，求矩形CDEF面积的最大值.
解：设E(Rcosθ，Rsinθ)，则
S矩＝，
当θ＝α时，
22.(满分12分)
已知tanθ＝(0＜ａ＜1),
化简.
答案：－2
23.(满分12分)
已知:cosα＝cosx·sinγ，cosβ＝sinx·sinγ
求证：sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2
证明：(略)
24.在锐角△ABC中，A、B、C是它的三个内角，记，求证：
(1)S＜1；(2)S＜
∴tanA·tanB＞1，∴S＜1
1.若α是三角形的一个内角，且sinα＝，则α等于( )
A．30° Ｂ．30°或150° Ｃ．60° Ｄ．120°或60°
2.若0＜α＜2π，则满足5sin2α－4＝0的α有( )
A．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
3.满足sin2x＝的x的集合是( )
A．｛x｜x＝ｋπ＋（－1）ｋ，ｋ∈Z｝
Ｂ．｛x｜x＝2ｋπ±，ｋ∈Z｝
Ｃ．｛x｜x＝ｋπ＋，ｋ∈Z｝
Ｄ．｛x｜x＝＋，ｋ∈Z｝
4.若sin2x＝－，且0＜x＜2π，则x= .
5.若sin2x＝，则x＝ .
6.若sinα＝sin，α∈R，则α＝ .
7.已知sinx＋cosx＝，x∈（0，），求x.
8.已知sin2x＝sin2，求x
9.已知方程sinx＋cosx＝ｍ在［0，π］内总有两个不同的解，求m的范围.
参考答案：
1.B 2.D 3.D
4.
5. ＋kπ或＋kπ，k∈Z
6，k∈Z
7. 8.x＝＋2kπ或x＝或x＝－＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z
9.1＜ｍ＜
1.方程cosx＝a（｜a｜＜1，x∈［0，2π的解的集合是( )
A．｛arccosa，－arccosa｝ Ｂ．｛arccosa｝
Ｃ．｛arccosa，π－arccosa｝ Ｄ．｛arccosa，2π－arccosa｝
2.适合cosx＝－，x∈（－π，－）的x值是( )
arccos（－） Ｂ．π－arccos
Ｃ．－arccos（－） Ｄ．－arccos
3.若tanα＝8，且α∈（，），则α等于( )
A．arctan8 Ｂ．arctan8－π Ｃ．π－arctan8 Ｄ．π＋arctan8
4.已知3tan2x＝1，x是第三象限角，则x的集合是 .
5.若tanθ＝8.8，且tan83°31′＝8.8，则θ的集合为 .
6.若cos2x＝－且0＜x＜2π，则x等于 .
7.求满足sinxcosx－sinx－cosx－1＝0的x.
8.已知sinx＋cosx＝1，求．
9.求满足cos（πsinx）＝的x的集合.
参考答案：
1.D 2.C 3.D 4.x＝＋2kπ，k∈Z
5.｛θ｜θ＝83°31′＋k·180°，k∈Z｝
6.
7.x＝－＋2kπ或x＝π＋2kπ，k∈Z
8.1 9.｛x｜x＝±arcsin＋kπ，k∈Z｝
相关练习
1．根据下列条件，求△ABC的内角A
（1） （2）
分析：因为∠A为△ABC的内角，所以0＜A＜.根据余弦函数在内是单调递减的，故符合条件的∠A只有一个，而根据正弦函数的单调性，在中符合条件的有两个.
解：（1）∠A为△ABC的内角 ∴0＜A＜
∵余弦函数在区间中为减函数，所以符合条件的角A只有一个
∵ ∴ ∴
（2）∵0＜A＜，根据正弦函数的单调性，在内符合条件的角A有两个
∵
∴
2．求适合下列条件的角x:
（1） （2）
分析：应注意将2x与作为一个整体，求出整体后，再从整体中求出个体x来.
解：（1）∵且
∴、、、
即、、、
（2）解法一：∵
∴
即
解法二：由得.∴则
解法三：由得可得
3．已知分别是方程的两个根，求.
分析：利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式求k，然后利用的值求.
解：∵是方程两个根
∴
①2–②×2，得：
整理得：
解得：
又∵ ∴
∵ ∴k=3应舍去，k=–1
当k=–1时，原方程为
∴
∵ ∴
4．已知
分析：由正切函数的单调性可知，在开区间内，符合条件的角只有一个，而在内，符合条件的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角就有无穷多个了.
解：（1）由正切函数在开区间上是增函数可知；符合的角只有一个，即
（2）∵∴是第二或第四象限角，又∵，由正切函数在区间、上是增函数知，符合的角有两个. ∵且
∴
（3）∵正切函数的最小正周期为
∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的，再加上即可
在（1）中，
∴
5.求证arctan1+arctan2+arctan3=
分析：由于等式右边的三个角都在开区间内，故三个角的和在开区间（0，）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.
证明：令则、、
∴
∵
而 ∴ ∴
即arctan1+arctan2+arctan3=
相关高考真题
若sin2x＞cos2x,则x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D． （1996年全国高考题）
分析：本题主要考查同角的三角函数关系.化简成一个三角函数时再求角.由sin2x＞cos2x可得sin2x＞1–sin2x，即2sin2x＞1，sin2x，解不等式可得或，因–1≤sinx≤1,所以可得再由正弦函数图象可得答案为D.或由sin2x＞cos2x可得即cos2x＜0.,有 .
答案：D
1.5个人排成一行，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同排法的种数为( )
A.48 B.72 C.96 D.144
2.在某班学生中，选出四个组长的总方法数与只选出正、副组长的总方法数的比为13∶2，则该班学生的人数为( )
A.10人 B.15人 C.20人 D.22人?
3.(1+x)ｎ展开式中xr的系数与xr+1的系数之和是(1+x)ｎ＋1展开式中( )
A.xr的系数 B.xｒ＋1的系数 C.xｒ＋2的系数 D.xr+3的系数
4.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别去坐在编号为1，2，3，4，5的五个座位上，其中有且只有两个号码一致的坐法种数为( )
A.45 B.30 C.20 D.10?
5.设f(x)=x5－５ｘ4＋10ｘ3－10ｘ2＋５ｘ＋1，则f(x)的反函数f－1(x)等于( )
A.1+ B.1+ C.-1+ D.1-
6.某游人上山游玩，从前山上山的道路有3条，从后山上山的道路有2条，其中有一条路最近.若游人从上山到下山随意选择道路，那么游人所走路程最近的概率为( )
A. B. C. D.
7.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )
A.150种 B.147种? C.144种 D.141种?
8.停车场划出一排12个位置，今有8辆车需停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有( )
A.种 B. 种? C. 种 D. 种
9.由（）100展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有( )
A.50项 B.17项? C.16项 D.15项
10.某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是( )
A.（）6 B.0.01?
C. D.
11.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个.（用数字作答）
12.用数字0，1，2，3，5组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列起来，得到一个数列｛ａｎ｝，则a2５＝ .
13.(x-1)-(x-1)2＋（x-1）3－(x-1)4＋（x-1）５的展开式中，x2的系数等于 .
14.某市电话号码是6位数，则电话号码由6个不同数字组成的概率是 .
1５.有5张卡片，正反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意3张并排，组成三位数，通过这种方式可以组成多少个没有重复数字的三位数?
x=2cosθ
16.已知椭圆： ，取θ值分别为0，可得椭圆上

8个点，它们与两个焦点共10个点，两两相连，问共可得多少条直线?
17.求()11的展开式里x3的系数，这个展开式里有没有不含x 的项?如果有，把这一项求出来，如果没有，说明理由.
18.生产某种零件需经过四道工序.这四道工序的次品率分别为2%、3%、5%、3%.
假定各道工序互不影响，求加工出来的零件的次品率.(结果保留三个有效数字)
19.n∈N*,求证：
20.若x=5,问(1+x)1５的展开式中最大的项为第几项?并求出这一项的值.
参考答案：1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.D 8.D 9.B 10.C?
11. 32 12. 32150 13.-20 14. 0.1512 15. 432 16. 36?
17.没有(理由略)
18. 0.124?
19.（略）?
20.第14项，T14＝21×５14
1.若｜x｜≤，则函数f（x）＝cos2x＋sinx的最小值为( )
A. B.－ C.1 D.
2.下列函数中不是周期函数的是( )
A．y＝sinx，x∈R Ｂ．y＝sinx，x∈［0，＋∞］
Ｃ．y＝sinx，x∈（－∞，0） Ｄ．y＝sinx，x∈［－100π，100π］
3.函数y＝2sin（x＋）图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝－ Ｂ．x＝0 Ｃ．x＝ Ｄ．x＝－
4.下列函数中，既是（，π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是( )
A．y＝｜sinx｜ Ｂ．y＝sin｜x｜
Ｃ．y＝｜cos2x｜ Ｄ．y＝cos｜2x｜
5.在△ABC中，若sin2A＝sin2Ｂ，则该三角形一定是 .
6.函数y＝的值域为 .
7.给出下列命题
①存在实数α，使sinα·cosα＝1
②存在实数α，使sinα＋cosα＝
③y＝sin（－2x）是偶函数
④x＝是函数y＝sin（2x＋）的图象的一条对称轴方程
⑤若α、β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ
其中正确命题的序号是 .
8.下列命题中
①若sinx＋siny＝，则siny－cos2x的最大值是
②函数y＝sin（－2x）的单调增区间是［－＋ｋπ，+kπ，ｋ∈Z
③函数y＝tan的最小正周期为π
④函数f（x）＝，x∈（－，）为奇函数.?
其中正确的是 .
9.求方程sin4x－cos4x＝在［－π，π］上所有解的和.?
10.如图4—30是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象(其中A＞0，ω＞0)，写出函数的解析式；写出以y轴为对称轴的对称曲线的函数解析式.?
11.函数f（x）＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f（x）≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
12.已知f(x)=asin2x＋ｂcos2x＋2asinx，其中a,b∈R且a≠0
(1)求证：f(x)=0在［0，2π］上有两相异解
(2)若f（x）在x＝时有最大值7，求a,b的值(其中b＞2a＞0)．
参考答案：
1.D 2.D 3.C 4.D
5.等腰或直角三角形
6.［－，2］ 7.③④ 8.③④ 9.0
10.所求函数解析式为y＝3sin(2x＋π)
关于y轴对称图象的解析式y＝3sin(-2x＋π)
11.3≤a≤4 12.(1)(略) (2)a＝2，b＝6
1.已知sinα＝0则角α等于( )
A．0 Ｂ．π Ｃ．2ｋπ，ｋ∈Z Ｄ．ｋπ，ｋ∈Z
2.已知sinα＝1，则角α等于( )
A． Ｂ．＋2ｋπ，ｋ∈Z
Ｃ．＋ｋπ，ｋ∈Z Ｄ．±＋2ｋπ，ｋ∈Z
3.适合sinx＝，x∈R的角x的集合是( )
A．｛x｜x＝arcsin＋2ｋπ，ｋ∈Z｝
Ｂ．｛x｜x＝（π－arcsin）＋2ｋπ，ｋ∈Z｝
Ｃ．｛x｜x＝（－1）ｋarcsin＋ｋπ，ｋ∈Z｝
Ｄ．｛x｜x＝±arcsin＋2ｋπ，ｋ∈Z｝
4.若x∈（－π，π）且sinx＝－，则x＝ .
5.若sin（x－π）＝－且－2π＜x＜0，则x= .
6.满足sinx＝的x集合为 .
参考答案：
1.D 2.B 3.C 4.arcsin(－) －π－arcsin(－) 5.－
6.｛x｜x＝arcsin＋2kπ或x＝π－arcsin＋2kπ，k∈Z｝
1.若cosx＝0，则角x等于( )
A．ｋπ，（ｋ∈Z）
Ｂ．＋ｋπ，（ｋ∈Z）
Ｃ．＋2ｋπ，（ｋ∈Z）
Ｄ．－＋2ｋπ，（ｋ∈Z）
2.若tanx＝0，则角x等于( )
A．ｋπ，（ｋ∈Z）
Ｂ．＋ｋπ，（ｋ∈Z）
Ｃ．＋2ｋπ，（ｋ∈Z）
Ｄ．－＋2ｋπ，（ｋ∈Z）
3.已知cosx＝－，π＜x＜2π，则x等于( )
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.若tan（3π－x）＝－，则x= .
5.满足tanx＝的x的集合为 .
6.在闭区间［0，2π］上，适合关系式cosx＝－0．4099的角有 个，用0．4099的反余弦表示的x值是 ；用－0.4099的反余弦表示的x的值是 .
参考答案：
1.B 2.A 3.A
4.x＝＋kπ，k∈Z
5.｛x｜x＝arctaｎ＋kπ，k∈Z｝
6.两 π－arccos0.4099 π＋arccos0.4099
arccos(－0.4099)，2π－arccos(－0.4099)
强化训练（第一课时）
1.下列各对角中终边相同的角是( )
A.（ｋ∈Ｚ） B.－和π
C.－和 D.
2.若α＝－3，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .
5.7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .
6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .
7.求值：.
8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B＝｛α｜－4≤α≤4｝，求
A∩B.
9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.
参考答案：
1.C 2.C 3.C
4.｛α｜2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z
｛α｜kπ＜α＜＋kπ，k∈Z｝
5.一 7－2π 6. 7.2
8.A∩B＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝
9.
强化训练（第二课时）
1.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的比为( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶ D.1∶8
2.在半径为1的单位圆中，一条弦AB的长度为，则弦AB所对圆心角α是( )
A.α＝ B.α＜ C.α＝ D.α＝120
3.下列命题中正确的命题是( )
A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2
B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D.任意角的集合可以与实数集R之间建立一种一一对应关系
4.时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了 弧度.
5.已知扇形AOB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则弦AB的长等于 cm.
6.已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，则扇形所含弓形的面积为 .
7.2弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积.
8.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L最小?
9.在时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角的弧度数是多少?
参考答案：1.C 2.C 3.D 4.－ 5.2sin1
6.12π－9 7. 8.2 9.－
1.用弧度制表示终边与已知角α关于x轴对称的角的集合.
分析:先用角度制表示出来,再转化为弧度制，与角α关于x轴对称的角为－α，那么与－α终边相同的角为,所以答案为.
2.已知扇形AOB的圆心角为120°,半径为6,求扇形弧长及所含弓形的面积.
分析:利用2π=360°,π=180°可知:扇形的弧长L=|α|R,面积.
其中R是扇形的半径,α是扇形的中心角,它的单位必须是弧度制,而由此公式中求得的中心角,只是弧度制的绝对值.并且采用弧度制后,使弧长及扇形面积公式得到了简化.
解:设弧长为L,弓形面积为S.
因为120°=
所以(长度单位)
3.计算的值.
分析:会应用角度制与弧度制之间的转化公式即可.
解:原式
4.设集合,则集合A与集合B之间有什么关系?
分析:先以集合B为对象,
而2k+1与2k－1均为奇数,而A中k为整数,所以答案为A ？？ B.
5.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,扇形面积最大?求出这个最大面积.
分析:先根据周长、半径、圆心角及面积之间的关系，得出面积的函数表达式，然后再求最值.
解:设弧长l,半径r,圆心角α,则有
.
即
当r=5 cm时,S有最大值25 cm2,这时
随堂训练（第一课时）
1. 化为α＋2ｋπ（0≤α＜2π，ｋ∈Ｚ的形式是( )

2.下列各式中正确的是( )
A.π＝180 B.π＝3．14 C.90°＝rad D.1rad＝π
3.下列表示中不正确的是( )
A.终边在x轴上角的集合是｛α｜α＝ｋπ，ｋ∈Ｚ｝
B.终边在y轴上角的集合是｛α｜α＝＋ｋπ，ｋ∈Ｚ｝?
C.终边在坐标轴上角的集合是｛α｜α＝ｋ·，ｋ∈Ｚ｝?
D.终边在直线y=x上角的集合是｛α｜α＝＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝
4.将下列各角写成α＋2ｋπ（0≤α＜2π，ｋ∈Ｚ的形式：－= ；
．
5.(用弧度制表示)终边在y=－x上的角的集合为 ．
参考答案：1.B 2.C 3. D 4.
5.｛α｜α＝－＋kπ，k∈Z｝
随堂训练（第二课时）
1.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
2.时钟经过一小时，时针转过了( )
A. rad B.－ rad C. rad D.－rad
3.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是( )
4.圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍.
5.若α＝－216°，l＝7π，则ｒ＝ (其中扇形的圆心角为α，弧长为l，半径为r).
6.在半径为的圆中，圆心角为周角的的角所对圆弧的长为 .
参考答案：1.B 2.B 3.D 4.2 5. 6.40
任意角的三角函数单元复习题?
一、选择题?
1.下列叙述正确的是 ( )?
A.180°的角是第二象限的角?
B.第二象限的角必大于第一象限的角?
C.终边相同的角必相等?
Ｄ.终边相同的角的同一个三角函数的值相等
答案：Ｄ?
2.若扇形圆心角为60°，半径为a，则内切圆与扇形面积之比为 ( )?
A.1∶2 B.1∶3? C.2∶3 Ｄ.3∶4?
答案：C?
3.若θ∈（），则等于 ( )?
A.cosθ－sinθ B.sinθ＋cosθ?
C.sinθ－cosθ Ｄ.－cosθ－sinθ?
答案：A?
4.若，则θ角的终边在 ( )?
A.第一象限 B.第二象限?
C.第三象限 Ｄ.第四象限?
答案：Ｄ?
5.已知，则tan（π＋α）的值是 ( )?
A. B. C.± Ｄ.
答案：C?
6.若，则（cosθ＋3）（sinθ＋1）的值为 ( )?
A.4 B.2? C.0或4 Ｄ.0?
答案：A?
7.将角α的终边顺时针旋转，则它与单位圆的交点坐标是 ( )?
A.（cosα，sinα） B.（cosα，－sinα）?
C.（sinα，－cosα） Ｄ.（sinα，cosα）?
答案：C?
8.cosα≠是α≠的 ( )?
A.充分不必要条件? B.必要不充分条件?
C.充要条件? Ｄ.既不充分也不必要条件?
答案：A?
9.若cotθ＝3，则cos2θ＋sinθcosθ的值是 ( )?
A.－ B.－ C. Ｄ.
答案：Ｄ?
10.若tanα、tanβ是方程x2－px＋ｑ＝0的两个根，cotα、cotβ是方程x2－ｒx＋s＝0的两个根，则p、ｑ、ｒ、ｓ满足的关系式是 ( )?
A. B.
C. Ｄ.?
答案：B?
二、填空题?
11.已知α是第二象限的角，且，?则是第 象限的角.?
答案：二?
12.已知θ角终边上一点M（x，－2），且，则sinθ＝ ；tanθ＝ .?
答案：
13.已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos3θ的值为 .?
答案：
14.若secα－2tanα＝1，bsecα＋tanα＝2，则2＋b2＝ .?
答案：5?
15.若，则cosα＝ .?
答案：±
三、解答题?
16.设，求θ的其他三角函数值.?
解：∵ｍ＞ｎ＞0 ∴
∴θ是第一象限角或第四象限角.?
当θ是第一象限角时?
当θ是第四象限角时?
17.化简：（1）tan1°·tan2°·tan3°·…tan88°·tan89°?
(2)2－sin221°－cos221°＋sin417°＋sin217°cos217°＋cos217°
解：(1)∵tanα＝cot（90°－α）?
∴原式＝tan1°·tan2°·tan3°·…tan44°·tan45°·cot44°…cot2°cot1°＝tan45°＝1?
(2)原式＝2–（sin221°＋cos221°）＋sin217°（sin217°+cos217°）＋cos217°＝2–1＋sin217°＋cos217°＝1＋1＝2
18.证明?
(1)
(2)
(3)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ?
(1)证法一：左＝
(∵cosθ≠0，∴分子、分母可同除以cosθ)
＝＝右，证毕.?
还可用其他证法.?
(2)证明：左＝＝右，证毕.
(3)证明：左＝
＝右，证毕.?
19.已知
求证：
证明：由
得tanθ－xtanθcos＝xsin?
x（sinφ＋tanθcos）＝tanθ?
∴x＝?
同理，由
∴
，证毕.
强化训练（第一课时）
1.角α的终边经过点P(0，b)，ｂ≠0，则sinα等于( )
A.0 B.1 C.－1 D.±1
2.若角α的终边在直线ｙ＝3ｘ上，则cosα等于( )
3.若角α的终边经过点P(－3，ｂ)，且cosα＝－，则b的值为( )
A.4 B.－4 C.±4 D.5
4.已知角α的终边在直线ｙ＝x上，则sinα＋cosα＝ .
5.已知点P(x,4)在角α的终边上，且满足sinα＝，则tanα＝ .
6.sin135°＋sin315°等于 .
7.求sin150°的值.
8.利用单位圆，求使下列不等式成立的x的范围(其中0≤x＜2π
(1)cosx≥ （2）tanx≤1.
9.若0＜ｘ＜，试用单位圆证明1＜sinx＋cosx≤.
参考答案：1.D 2.C 3.C 4.± 5.±6.0 7..
8.(1)0≤x≤或≤x＜2π.
(2)0≤x≤或＜x≤或＜x＜2π.
9.(略)
强化训练（第二课时）
1.若Ａ＝｛α｜α＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；B＝｛α｜α＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝；C＝｛α｜α＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则下列关系中正确的是( )
A.Ａ＝Ｂ＝Ｃ B.Ａ＝Ｂ Ｃ
C.Ａ?Ｂ＝Ｃ D.Ａ?Ｂ?Ｃ
2.若α是第四象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.若α与β的终边互为反向延长线，则有( )
A.α＝β＋180°
B.α＝β－180°
C.α＝－β
D.α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ
4.终边在第一或第三象限角的集合是 .
5.α为第四象限角，则2α在 .
6.角α＝45°＋ｋ·90°的终边在第 象限.
7.写出与370°23′终边相同角的集合S，并把S中在－720°～360°间的角写出来.
8.在直角坐标系中作出角α＝60°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ，β＝60°＋ｋ·90°，ｋ∈Ｚ角的终边.
9.写出角的终边在图4—2阴影区域内的角的集合(包括边界)
参考答案：
1.D 2.C 3.D 4.｛α｜k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z｝
5.第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上
6.一 二 三 四
7.Ｓ＝｛α｜α＝10°23′＋k·360°，k∈Z｝
在－720°～360°之间的角分别是
10°23′ －349°37′ －709°37′.
8.
9.(1)｛α｜45°＋k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z｝
(2)｛α｜－150°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z＝
1．已知角的终边经过，求它的六个三角函数值.
分析:根据三角函数定义,由点P的坐标知:
从而先求出r,再求出三角函数值.
解:设角为α,∵
∴,于是
2.确定下列各式的符号
(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5
分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号.
解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角.
∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0.
(2)∵∴5是第四象限的角
∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0.
3.x取什么值时,有意义?
分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.
解:由题意得解得:
即:
所以,当时，有意义.
4.计算下列各式
(1)
(2)
分析:求任意角的三角函数值,可应用诱导公式一一将它们化为0°到360°范围的角后再求值.
解:(1)∵
∴原式=－m
5.角α的终边上的点P与A(a,b)(ab≠0)关于x轴对称,角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求的值.
分析:根据对称性先求出P、Q两点坐标,再根据三角函数定义去求值.
解:∵A(a,b),P与A关于x轴对称,Q与A关于y=x对称,ab≠0
∴可得P(a,－b),Q(b,a),a≠0且b≠0
则
则原式=
随堂训练（第一课时）
1.角α的终边经过P(2，3)点，则有( )
2.若角α的终边在直线ｙ＝2ｘ上，则sinα等于( )
3.α的终边经过P(－ｂ，4)且cosα＝－，则b的值为( )
A.3 B.－3 C.±3 D.5
4.已知角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＋cosα＝ .
5.已知点P(3，y)在角α的终边上，且满足ｙ＜0，cosα＝，则tanα＝ .
6.5sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°等于 .
参考答案：1.C 2.C 3.A 4.－ 5.－ 6.0
随堂训练（第二课时）
1.若sinαtanα＞0，则α的终边在( )
A.第一象限 B.第四象限
C.第二或第三象限 D.第一或第四象限
2.sin等于( )
3.α是三角形的内角，则sinα、cosα、tanα中可能取负值的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.若－＜ｘ＜0，则的值等于 .
5.sin（－1290°）等于 .
6.下列各三角函数值中，取负值的是 .
①sin（－660°） ②tan160°
③cos（－740°） ④sin（－420°）·cos570°
参考答案：1.D 2.A 3.C 4.－1 5. 6.②
1.已知sinα＝ｍ，0＜｜ｍ｜＜1，且tanα＝，则α在( )
A.第一或第二象限 B.第三或第四象限
C.第一或第四象限 D.第二或第三象限
2.已知cosα＝ｍ，0＜｜ｍ｜＜1，且tanα－＝，则α在( )
A.第一或第二象限 B.第三或第四象限
C.第一或第四象限 D.第二或第三象限
3.若α是三角形的内角且sinα＋cosα＝，则这个三角形是( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
4.等于 .
5.若sinx－cosx＝1，则sin4x＋cos4x的值是 .
6.若tanα＝cosα，则sinα等于 .
7.若cosα＝－且tanα＞0，求的值.
8.已知sinαcosα＝且＜α＜，求cosα－sinα.
9.已知tanα＝ｍ，求sinα、cosα.
参考答案：1.D 2.A 3.D 4.1－sinα 5.1 6.
7.－ 8.－
9.若ｍ＝0，当α＝2kπ，k∈Z时，sinα＝0，cosα＝1
当α＝π＋2kπ，k∈Z时，sinα＝0，cosα＝－1
若ｍ≠0，当α在第一或第四象限时
cosα＝－sinα＝－
当α在第二或第三象限时
cosα＝－ sinα＝－
1.已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，则tanα的值为( )
2.若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为( )
A.0 B.1 C.－1 D.±1
3.若tanθ＋cotθ＝2，则sinθ＋cosθ的值为( )
A.0 B. C.－ D.±
4.若＝10，则tanα的值为 .
5.若tanα＋cotα=2，则sin4α＋cos4α＝ .
6.若tan2α＋cot2α＝2，则sinαcosα＝ .
7.求证.
8.已知tanθ＋sinθ＝ｍ，tanθ－sinθ＝ｎ.
求证：(1)cosθ＝
（2）
9.已知tanθ＋cotθ＝2，求sin3θ－cos3θ的值.
参考答案：1.A 2.D 3.D 4.－2 5. 6.±
7.(略) 8.略 9.0
1．已知sinα=cosα,求sinα、cosα、tanα的值.
分析:因为cosα=0时,sinα=±1≠cosα,
所以cosα≠0,故可根据公式
由已知条件推出tanα=1,再根据同角三角函数关系式求sinα和cosα的值.
解:由已知得:cosα≠0,则tanα=1
∵tanα=1＞0,∴α是第一或第三象限角
又
若α是第一象限角,那么
若α是第三象限角,那么
2.化简:(1)
(2)(θ为第三象限角)
分析:所谓化简,就是要求结果尽可能简单,即项数尽可能少,次数尽可能低,函数种类尽可能少,能去根号的要去根号(去根号要注意符号),能求值的要求出值.
解:(1)因为θ为第二象限角,所以
原式
原式

3.已知tanα=3,求的值.
分析:这题当然可以由tanα=3,分别求出sinα和cosα的值(分角α是第一象限或第三象限两种情况
讨论),再求出表达式的值,但这样做,显然过于繁琐;我们从另一个角度考虑,是否可将表达式变形,化为tanα的函数.如果将1化为sin2α+cos2α,那么表达式的分子、分母都是形如asin2α+bsinα·cosα+ccos2α的表达式，对于这样的表达式，我们可根据tanα=3,得出cosα≠0，可将分子、分母都除以cos2α，这样表达式中就只含有tanα一种三角函数，当然求值就容易多了.
解:∵tanα=3,∴cosα≠0,于是
原式=
4.求证:
分析：从题上看，左边比右边繁，一般应按从繁到简的原则，此外，还有切割化弦等，中间还要用到同角的三角函数关系.
证明:左边=
所以等式成立.
5.已知sinα、cosα是方程25x2－5(2a+1)x+a2+a=0的两个根,α是锐角,求a的值.
分析:此题是一道二次方程与三角函数的综合题目,不仅要用到一元二次方程中根与系数的关系,主要还得用同角三角函数的一个关系式sin2α+cos2α=1.
解:由韦达定理可得
∵
∴①2－②×2=1
即
整理得,.
当a=3时,原方程的两根是,符合题意;
当a=－4时,原方程的两根是,与α是锐角矛盾,
所以舍去a=－4,答案为a=3.
1.下面四个命题中可能成立的一个是( )
A.sinα＝且cosα＝ B.sinα＝0且cosα＝－1
C.tanα＝1且cosα＝－1 D.α在第二象限时，tanα＝－
2.已知cosα＝－，α在第二象限，则sinα等于( )
A. B.－ C.± D.±
3.已知sinθ＝则ｍ( )
A.可取［－，9］中的一切值 B.等于0
C.等于8 D.等于0或8
4.已知sinα＝且tanα＜0，则cosα＝ .
5.已知sinα＝ｍ（0＜ｍ＜1，cosα＋｜cosα｜＝0，则tanα＝ .
6.等于 .
参考答案：1.B 2.A 3.D 4.－ 5.－ 6.－cos4
1.已知sinα－cosα＝－，则tanα＋cotα的值为( )
A.－4 B.4 C.－8 D.8
2.已知tanα＝－，则的值是( )
A. B.3 C.－ D.－3
3.已知tanα＝－2，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若sinα＋cosα＝1，则sin4α＋cos4α＝ .
5.若tanα＋cotα=3，则tan2α＋cot2α＝ .
6.已知tanα＝，α∈（π，），则cosα－sinα＝ .
参考答案：1.C 2.C 3.C 4.1 5.7 6.
1.若ｋ∈Ｚ，下列等式中正确的个数是( )
①sin（ｋπ＋α）＝（－1）ｋsinα
②cos（ｋπ＋α）＝（－1）ｋsinα
③sin（α＋2kπ）＝（－1）ｋsinα
④cos（α＋2kπ）＝（－1）ｋcosα
A.1 B.2 C.3 D.4
2.当n∈Ｚ时，下列函数值中与相等的是( )
①sin（ｎπ＋） ②sin(2ｎπ±) ③sin［（2ｎ＋1）π－］ ④sin［ｎπ＋（－1）n］
A.①和③ B.②和④ C.③和④ D.①和④
3.已知α是三角形的一个内角，下列各式中不一定正确的是( )
A.cot＞0 B.sin（π＋α）＝－sinα
C.cosα＞0 D.1＋sinα＞0
4.sin420°cos750°＋sin(－330°)cos(－660°)＝ .
5.= .
6.cos(－2640°)＝ .
7.已知sin(3π＋θ)＝，求
的值.
8.已知cos（＋α）＝1，求sin（＋α）的值.
9.化简
参考答案：1.B 2.C 3.C 4.1 5.－cosθ
6.－ 7.32 8.0 9.－1
1.sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是( )
2.下列等式中不成立的是(其中x∈R)( )
A.sin(π－x)＝sinx B.sin（π－x）＝sin（π＋x）
C.cos（π－x）＝cos（π＋x） D.sin（＋x）＝sin（－x）
3.若A、B、C为△ABC的三个内角，则下列等式( )
A.sin（Ｂ＋Ｃ）＝sinA B.cos（Ｂ＋Ｃ）＝cosA
C.tan（Ｂ＋Ｃ）＝tanA D.cot（Ｂ＋Ｃ）＝cotＡ
4.若tan（11π＋α）＝－3，则sin（π＋α）cos（π－α）＝ .
5.已知sin18°＝，则sin198°＝ ；cos2342°＝ ．
6. .
7.化简（n∈Ｚ）.
8.已知sinβ＝，sin（α＋β）＝1，求sin（2α＋β）的值.
9.求证
参考答案：1.A 2.B 3.A 4.－ 5.－
6.0 7.(－1)ｎ·2cos(＋α) 8. 9.(略)
1.求下列三角函数式的值.
分析:求任意角的三角函数值的一般步骤是:先化负角的三角函数为正角的三角函数,然后化大于360°
的三角函数为0°到360°的角的三角函数,再化成锐角三角函数,从而求值.
解:(1)
2.化简为第三象限角)
分析:化简时要注意诱导公式与同角三角函数关系式结合使用,当遇上算术平方根、绝对值等符号时，要
注意根据已知条件取值或进行讨论.
解:原式
∵α为第三象限角,∴sinα＜0,cosα＜0
则原式=－(sinα+cosα)
3.已知,那么= .
分析:先用诱导公式化简,然后再求值.
则得:原式
是第一或第四象限角.
此题答案为:
当α是第一象限角时
当α是第四象限角时
4.已知为第三象限角,求的值.
分析:因为(75°+α)+(105°－α)=180°,所以可利用公式四,cos(180°－α)=－cosα求出cos(105°－α)
的值,再运用同角关系式求出本题答案.解题中需根据α是第三象限角决定sin(105°－α)的符号.
解:∵(75°+α)+(105°－α)=180°
∴cos(75°+α)=cos[180°－(105°－α)]=－cos(105°－α)=
∴cos(α－105°)=－
∵α为第三象限角,则有180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z
Z
∴α－105°在第一、第二象限
则sin(α－105°)＞0
即sin(α－105°)=
则sin(105°－α)+cos(α－105°)=－sin(α－105°)+cos(α－105°)
5.已知且0＜α＜π,0＜β＜π
求：sinα、sinβ的值.
分析:利用诱导公式将已知条件化简,再利用同角三角函数式sin2α+cos2α=1消去一个角的三角函数,
从而达到求解的目的.
解:由 (1)
由 (2)
(1)2+(2)2得:sin2α+3cos2α=2 即3－2sin2α=2, 解得:sin2α=
∵0＜α＜π,∴sinα= 又∵
1.设α是第二象限角，且｜cos｜＝－cos，则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.已知sinα＝sinβ，则角α与β的终边的位置关系是( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.重合或关于y轴对称
3.已知，则的值等于( )
4.已知α、β均为锐角，2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα的值是( )
5.半径为2 cm，含120°角的弓形面积等于 ．
6.函数y＝的定义域为 .
7.若3sinα＋5cosα＝5，则3cosα－5sinα＝ .
8.若tanα＝2，则＝ ．
9.已知α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=kx上，若sinα＝，且cosα＜0，试求实数k的值.
10.已知，求证tan2Ａ＝tan2Ｂsin2Ｃ.
11.已知＝2，求sinα＋2cosα的值.
12.设α是第三象限角，问是否存在这样的实数m，使得sinα、cosα是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根.
参考答案: 1.C 2.D 3.A 4.C 5. cm2
6.｛x∈R｜x≠＋kπ，k∈Z｝ 7.±3
8. 9.－2 10.(略) 11.－ 12.不存在.
1.如果α、β满足α－β＝π，那么下列式子中一定正确的是( )
A.sinα＝sinβ B.cosα＝cosβ C.tanα＝tanβ D.cotα＝－cotβ
2.已知cos（π＋α）＝－且α是第四象限角，则sin［α＋（－2π）］等于( )
A. B.－ C. D.±
3.sin2（π＋α）－cos（π＋α）cos（－α）＋1的值是( )
A.1 B.2sin2α C.0 D.2
4.sin（－π）＝ ；cos(－960°)＝ .
5. .
6.若｜cosα｜＝cos(－α＋π)，则α角终边在 .
参考答案：1.C 2.B 3. D 4. － 5.0
6.第二或第三象限或在y轴上或在x轴的非正半轴上
1.如果α、β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( )
①sinα＝sinβ ②sinα＝－sinβ ③cosα＝cosβ ④cosα＝－cosβ
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知α和β的终边关于y轴对称，则下列各式中正确的个数是( )
①sinα＝sinβ ②cosα＝cosβ ③sinα＝－sinβ ④cosα＝－cosβ
A.1 B.2 C.3 D.4
3.以下四种化简过程，其中正确的有( )
①sin（360°＋220°）＝sin220°
②sin（180°－220°）＝－sin220°
③sin（180°＋220°）＝sin220°
④sin（－220°）＝sin220°
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
4.＝ .
5.tan（5π＋θ）＝－2且cosθ＞0，则sin（－π＋θ）＝ .
6.已知cos（－α）＝，则cos（＋α）等于 .
参考答案：1.B 2.B 3.A 4.
两角和与差的三角函数
(时间60分, 满分100分)
一、选择题(每小题6分,共36分)
　　　　　　　　 [　　 ]　A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件　C.充要条件　 　　　 D.既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　 [　　 ]　A.sin21　　 B.-sin21　　 C.cos21　　 D.-cos21
3.cos36°+cos108°的值为　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　 ]　
　　　　　　　 　 [　　 ]　
[　　 ]　?
6.根据下列条件解△ABC,其中只有一个解的是　　　　　　　　　　　 [　　 ]　A.a=15,b=16,A=95° 　 　　 　D.a=4,b=5,A=30°　
二、填空题(每小题6分,共24分)
?
4.已知△ABC中,A=60°,B=75°,a=36,则c=　　　　　　　　 .　
三、解答题(每小题10分,共40分)
?求:cos(α+β)的值.
?
3.已知:cos(θ-α)=a,sin(θ-β)=b.求证:cos2(α-β)=a2+b2-2absin(α-β)
4.水塔(CD)高30米,从塔顶C测得河对岸两个目标A、B的俯角分别为30°和45°,又塔底D对A、B的视角∠ADB=150°,求A、B的距离.
两角和与差的三角函数单元复习题?
一、选择题?
1.若sin，则θ在（ ）?
A.第一象限 B.第二象限?
C.第三象限 Ｄ.第四象限?
解：由sin＞，cos＝－＜－
得为第二象限角.?
即2ｋπ＋＜＜2ｋπ＋π （ｋ∈Ｚ）?
∴4ｋπ＋＜θ＜4ｋπ＋2π （ｋ∈Ｚ）?
∴θ在第四象限.?
答案：Ｄ?
2.cos2＋cos2＋coscos的值等于 ( )?
A. B. C. Ｄ.1+
解：原式＝sin2＋cos2＋sincos＝1＋sin＝
答案：C?
3.已知π＜α＜，且sin（＋α）＝，则tan等于 ( )?
A.3 B.2 C.－2 Ｄ.－3?
解：由sin（＋α）＝－cosα＝，π＜α＜，得cosα＝－，＜＜
∵cosα＝1－2sin2 ∴sin＝
cos＝－ ∴tan＝－3?
答案：Ｄ?
4.若tanθ＋cotθ＝ｍ，则sin2θ等于 ( )?
A. B. C.2ｍ Ｄ.
解：∵tanθ＋cotθ＝tanθ＋＝ｍ?
即：
又∵sin2θ＝
答案：B?
5.下列关系式中不正确的是 ( )?
A.sinα＋sinβ＝2sincos
B.sinα－sinβ＝2coscos
C.cosα＋cosβ＝2coscos
Ｄ.cosα－cosβ＝2sinsin
解：因为sinα－sinβ＝2cossin.?
答案：B?
6.如果tan，那么cosα的值是 ( )?
A. B. C.－ Ｄ.－?
解：cosα＝.?
答案：B?
7.化简的值是 ( )?
A.tan B.tan2x C.－tanx Ｄ.cotx?
解：原式＝
答案：C?
8.若sinα＝，α在第二象限，则tan的值为 ( )?
A.5 B.－5 C. Ｄ.－
解：由sinα＝，α在第二象限得cosα＝－.?
∴tan＝
答案：A?
9.设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于 ( )?
A.－ B.－ C.－ Ｄ.－
解：∵cos＝1－2sin2 5π＜θ＜6π? ＜＜
∴sin2＝
即sin＝－.?
答案：Ｄ?
10.若tan，则ｍcosA－ｎsinA等于 ( )?
A.ｎ B.－ｎ C.－ｍ Ｄ.ｍ?
解：ｍcosA－ｎsinA＝ｍ·
答案：C?
二、填空题?
11.若tanα＝－2且sinα＜0，则cosα＝ .?
解：由得cosα＝.?
答案：
12.tan＋tan＋tan＋tan＝ .?
解：原式＝tan＋tan＋tan（π－）＋tan（π－）＝tan＋tan－tan－tan＝0.?
答案：0?
13.已知sinθ＝－，3π＜θ＜，则tan＝ .?
解：∵3π＜θ＜ ∴＜＜?
又∵sinθ＝
∴tan＝－3.?
答案：－3?
14.已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos＝ .?
解：∵2π＜α＜3π ∴π＜＜
（sin＋cos）2＝1＋sinα＝
∴sin＋cos＝－.?
答案：－
15.coscos＝ .?
解：coscos＝cos（＋）cos?＝－sincos＝－sin＝－.
答案：－?
16.sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）＝ .?
解：设θ＋15°＝α?
原式＝sin（α＋60°）＋cos（α＋30°）－cosα
＝sinαcos60°＋cosαsin60°＋cosαcos30°－sinαsin30°－cosα＝0.?
答案：0?
17.已知π＜θ＜，cosθ＝－，则cos＝ .?
解：由π＜θ＜得＜＜
又cosθ＝2cos2－1＝－
∴cos＝－.?
答案：－
18.tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝ .?
解：原式＝tan（19°＋26°）（1－tan19°tan26°）＋tan19°tan26°＝1.
答案：1?
19.若cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，且＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，则cos2α＝ ，cos2β＝ .?
解：∵2α＝（α＋β）＋（α－β）?
∴cos2α＝cos［（α＋β）＋（α－β）］＝－
∵2β＝（α＋β）－（α－β）?
∴cos2β＝cos［（α＋β）－（α＋β）］＝－1.?
答案：－ －1?
三、解答题?
20.求2sin160°－cos170°－tan160°sin170°的值.?
解：原式＝2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°?
?
21.已知sin（x－）cos（x－）＝－，求cos4x的值.?
解：由sin（x－）cos（x－）＝－
［sin（2x－π）＋sin（－）］＝－
sin2x＝－
cos4x＝1－2sin22x＝.?
22.求证tan
证明：左边＝
＝右边.?
23.求证cos3α＝4cos3α－3cosα
证明：左边＝cos（2α＋α）＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝（2cos2α－1）cosα－2sin2αcosα?
＝2cos3α－cosα－2sin2αcosα?
＝2cos3α－cosα－2（1－cos2α）cosα?
＝4cos3α－3cosα＝右边.?
24.若函数ｙ＝x2－4px－2的图象过点(tanα，1)，及点(tanβ，1).?
求2cos2αcos2β＋psin2（α＋β）＋2sin2（α－β）的值.?
解：由条件知tanα、tanβ是方程?
x2－4px－2＝1的两根.?
∴
∴tan（α＋β）＝.?
∴原式＝2cos2αcos2β＋tan（α＋β）sin2（α＋β）＋2sin2（α－β）?
＝cos2（α＋β）＋cos2（α－β）＋2sin2（α＋β）＋2sin2（α－β）?
＝cos2（α＋β）＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β))＋［1－cos2(α－β)］＝2
1.若sinα·sinβ＝1，则cos（α＋β）的值为( )
A.0 B.1 Ｃ.±1 Ｄ.－1
2.在△ABＣ中，cosA＝，则cosＣ等于( )
A.－ B. Ｃ.－ Ｄ.
3.若在△ABC中满足tanA·tanΒ＞1，则这个三角形一定是( )
A.正三角形 B.等腰直角三角形
Ｃ.锐角三角形 Ｄ.钝角三角形
4.已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝，则cos（α－β）＝ .
5.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝则tanα·tanβ＝ .
6.已知α、β为锐角，cosα＝，cos（α＋β）＝－，则β＝ .
7.已知：sinα＋sinβ＋sinγ＝0，且cosα＋cosβ＋cosγ＝0.
求证：cos（α－β）＝－.
8.求值.
9.在△ABC中，若tanA·tanΒ＜1，试证△ABＣ为钝角三角形.
参考答案：1.D 2.B 3.C 4. 5.－ 7.(略) 8. 9.(略)
1.已知tan（α＋β）＝，tan（β－）＝，那么tan（α＋）等于( )
2.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个根，则tanＣ等于( )
A.2 B.－2 Ｃ.4 Ｄ.－4
3.在△ABC中，若0＜tanA·tanB＜1则△ABＣ一定是( )
A.等边三角形 B.直角三角形 Ｃ.锐角三角形 Ｄ.钝角三角形
4.= .
5.(1＋tan10°)·（1＋tan35°）＝ .
6.在△ABC中，tanA＝，tanB＝－2，则C＝ .
7.已知tanα、tanβ是方程x2－5x＋6＝0的两个实根，求2sin2（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）＋cos2（α＋β）.
8.在△ABC中，证明tannA＋tannB＋tannＣ＝tannAtannBtannＣ(其中n∈Z)．
参考答案：1.C 2.A 3.B 4.taｎ3α 5.2 6. 7.3 8.(略)
1.若3sinx－cosx＝2sin（x＋φ），φ∈（－π，π）则φ等于( )
A.－ B. Ｃ. Ｄ.－
2.等于( )
A.- B. C.-sin D.sin
3.设α、β为锐角且满足sinα＝，则α＋β的大小为( )
－ B. C. D.或
4.已知sin（α＋β）＝，sin（α－β）＝，则tanαcotβ＝ .
5.已知sinα－cosβ＝，cosα－sinβ＝,?则sin（α＋β）＝ .
6.已知cos（α＋β）·cos（α－β）＝,则cos2α－sin2β的值是 ．
7.化简.
8.已知.求sin2α的值.
9.证明sin（α＋β）sin（α－β）＝sin2α－sin2β，并用该式计算sin220°＋sin80°·
sin40°
参考答案：1.A 2.B 3.B 4.5 5. 6. 7.0
8.－ 9.(略)
1.tan67°30′－tan22°30′等于( )
A.1 B. Ｃ.2 Ｄ.4
2.tan17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan30°tan43°的值为( )
A.－1 B.1 Ｃ. Ｄ.－
3.已知α＋β＝kπ＋（k∈Ｚ），则（1＋tanα）（1＋tanβ）等于( )
A.－1 B.1 C.－2 D.2
4.tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝ .
5.＝ .
6.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanＣ＝3，tan2B＝tanAtanＣ，则∠B等于 .
7.已知
8.求证tan（x－y）＋tan（y－ｚ）＋tan（ｚ－x）＝tan（x－y）·tan（y－ｚ）·tan（ｚ－x）.
9.已知β－α＝γ－β＝，求tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα的值.
参考答案：1.C 2.B 3. 4. 5. 6. 7.5 8.(略) 9.－3
参考答案
　
一、1.B　 2.A　 3.B　 4.B　 5.C　 6.C
二、1.2cosθ2. 43.secα?
三、1.解:根据已知条件,?
2.证明:?=tg2x-tgx=右边∴原式成立.
3.证明:由已知得cosθcosα+sinθsinα=a……①sinθcosβ-cosθsinβ=b……②①×sinβ+②×cosα,得sinθ·cos(α-β)=asinβ+bcosα……③①×cosβ-②×sinα,得cosθ·cos(α-β)=acosβ-bsinα……④③2+④2,得cos2(α-β)=a2+b2+2ab(sinβcosα-cosβsinα)=a2+b2-2absin(α-β)　
4.解:根据题意,图中
?CD=30m,CD⊥平面ABD,∠1=30°,∠2=45°,∠ADB=150°.?Rt△BCD中,BD=CD=30.∵△ABD中,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos150°?=900×7?
两角和与差的三角函数单元复习题?
一、选择题?
1.若sin，则θ在（ ）?
A.第一象限 B.第二象限?
C.第三象限 Ｄ.第四象限?
解：由sin＞，cos＝－＜－
得为第二象限角.?
即2ｋπ＋＜＜2ｋπ＋π （ｋ∈Ｚ）?
∴4ｋπ＋＜θ＜4ｋπ＋2π （ｋ∈Ｚ）?
∴θ在第四象限.?
答案：Ｄ?
2.cos2＋cos2＋coscos的值等于 ( )?
A. B. C. Ｄ.1+
解：原式＝sin2＋cos2＋sincos＝1＋sin＝
答案：C?
3.已知π＜α＜，且sin（＋α）＝，则tan等于 ( )?
A.3 B.2 C.－2 Ｄ.－3?
解：由sin（＋α）＝－cosα＝，π＜α＜，得cosα＝－，＜＜
∵cosα＝1－2sin2 ∴sin＝
cos＝－ ∴tan＝－3?
答案：Ｄ?
4.若tanθ＋cotθ＝ｍ，则sin2θ等于 ( )?
A. B. C.2ｍ Ｄ.
解：∵tanθ＋cotθ＝tanθ＋＝ｍ?
即：
又∵sin2θ＝
答案：B?
5.下列关系式中不正确的是 ( )?
A.sinα＋sinβ＝2sincos
B.sinα－sinβ＝2coscos
C.cosα＋cosβ＝2coscos
Ｄ.cosα－cosβ＝2sinsin
解：因为sinα－sinβ＝2cossin.?
答案：B?
6.如果tan，那么cosα的值是 ( )?
A. B. C.－ Ｄ.－?
解：cosα＝.?
答案：B?
7.化简的值是 ( )?
A.tan B.tan2x C.－tanx Ｄ.cotx?
解：原式＝
答案：C?
8.若sinα＝，α在第二象限，则tan的值为 ( )?
A.5 B.－5 C. Ｄ.－
解：由sinα＝，α在第二象限得cosα＝－.?
∴tan＝
答案：A?
9.设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于 ( )?
A.－ B.－ C.－ Ｄ.－
解：∵cos＝1－2sin2 5π＜θ＜6π? ＜＜
∴sin2＝
即sin＝－.?
答案：Ｄ?
10.若tan，则ｍcosA－ｎsinA等于 ( )?
A.ｎ B.－ｎ C.－ｍ Ｄ.ｍ?
解：ｍcosA－ｎsinA＝ｍ·
答案：C?
二、填空题?
11.若tanα＝－2且sinα＜0，则cosα＝ .?
解：由得cosα＝.?
答案：
12.tan＋tan＋tan＋tan＝ .?
解：原式＝tan＋tan＋tan（π－）＋tan（π－）＝tan＋tan－tan－tan＝0.?
答案：0?
13.已知sinθ＝－，3π＜θ＜，则tan＝ .?
解：∵3π＜θ＜ ∴＜＜?
又∵sinθ＝
∴tan＝－3.?
答案：－3?
14.已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos＝ .?
解：∵2π＜α＜3π ∴π＜＜
（sin＋cos）2＝1＋sinα＝
∴sin＋cos＝－.?
答案：－
15.coscos＝ .?
解：coscos＝cos（＋）cos?＝－sincos＝－sin＝－.
答案：－?
16.sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）＝ .?
解：设θ＋15°＝α?
原式＝sin（α＋60°）＋cos（α＋30°）－cosα
＝sinαcos60°＋cosαsin60°＋cosαcos30°－sinαsin30°－cosα＝0.?
答案：0?
17.已知π＜θ＜，cosθ＝－，则cos＝ .?
解：由π＜θ＜得＜＜
又cosθ＝2cos2－1＝－
∴cos＝－.?
答案：－
18.tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝ .?
解：原式＝tan（19°＋26°）（1－tan19°tan26°）＋tan19°tan26°＝1.
答案：1?
19.若cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，且＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，则cos2α＝ ，cos2β＝ .?
解：∵2α＝（α＋β）＋（α－β）?
∴cos2α＝cos［（α＋β）＋（α－β）］＝－
∵2β＝（α＋β）－（α－β）?
∴cos2β＝cos［（α＋β）－（α＋β）］＝－1.?
答案：－ －1?
三、解答题?
20.求2sin160°－cos170°－tan160°sin170°的值.?
解：原式＝2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°?
?
21.已知sin（x－）cos（x－）＝－，求cos4x的值.?
解：由sin（x－）cos（x－）＝－
［sin（2x－π）＋sin（－）］＝－
sin2x＝－
cos4x＝1－2sin22x＝.?
22.求证tan
证明：左边＝
＝右边.?
23.求证cos3α＝4cos3α－3cosα
证明：左边＝cos（2α＋α）＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝（2cos2α－1）cosα－2sin2αcosα?
＝2cos3α－cosα－2sin2αcosα?
＝2cos3α－cosα－2（1－cos2α）cosα?
＝4cos3α－3cosα＝右边.?
24.若函数ｙ＝x2－4px－2的图象过点(tanα，1)，及点(tanβ，1).?
求2cos2αcos2β＋psin2（α＋β）＋2sin2（α－β）的值.?
解：由条件知tanα、tanβ是方程?
x2－4px－2＝1的两根.?
∴
∴tan（α＋β）＝.?
∴原式＝2cos2αcos2β＋tan（α＋β）sin2（α＋β）＋2sin2（α－β）?
＝cos2（α＋β）＋cos2（α－β）＋2sin2（α＋β）＋2sin2（α－β）?
＝cos2（α＋β）＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β))＋［1－cos2(α－β)］＝2
.
1.下列等式中一定成立的是( )
Ａ.cos（α＋β）＝cosα＋cosβ
Ｂ.cos（α－β）＝cosα－cosβ
Ｃ.cos（＋α）＝cosα
Ｄ.cos（－α）＝sinα
2.若cosα＝a，sinβ＝b，α∈（0，），β∈（0，π），则cos（α＋β）的值的个数是( )
Ａ.1 Ｂ.2 Ｃ.3 Ｄ.4
3.在△ABC中，若sinA·sinB＜cosA·cosB则△ABＣ一定为( )
A.等边三角形 B.直角三角形 Ｃ.锐角三角形 Ｄ.钝角三角形
4.sin（α－β）sinβ－cos（α－β）cosβ＝ .
5.cos（α－35°）cos（25°＋α）＋sin（α－35°）sin（25°＋α）＝ ．
6.已知锐角α、β满足cosα＝，cos（α＋β）＝－，则cosβ＝ .
参考答案：1.C 2.B 3.D 4.－cosα 5.
1.已知cotα＝2，tan（α－β）＝－，则tan（β－2α）的值是( )
2.已知，则的值等于 ( )
3.下列等式中正确的是( )
A.tan（α＋β）＝tanα＋tanβ B.tan（α－β）＝tanα－tanβ
Ｃ.tan（－α）＝cotα Ｄ.tan（＋α）＝cotα
4.＝ .
5.若0＜α＜，0＜β＜且tanα＝，tanβ＝，则α＋β的值是 .?
6.若＜β＜π，且tanα＝，tan（β－α）＝－2则β＝ .
参考答案：1.A 2.A 3.C 4.－ 5. 6.
1.下列等式中一定正确的是( )
A.sin（α＋β）＝sinα＋sinβ B.sin（α－β）＝sinα－sinβ
C.sin（＋α）＝cosα D.sin（－α）＝cosα
2.在△ABC中已知sin（A－B）cosB＋cos（A－B）sinB≥1，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 Ｃ.直角三角形 Ｄ.等边三角形
3.sin37．5°cos187．5°－sin187．5°cos37．5°的值等于 .
4.在△ABC中，若sinA＝,cosB＝－，则sinＣ＝ ．
5.［2sin50°＋sin10°（1＋tan10°）］·＝ .
参考答案：1.C 2.C 3.－ 4.
1.若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos（A＋B）的值为( )
2.已知α＋β＝kπ－（k∈Ｚ）则（1－tanα）（1－tanβ）的值为( )
A.－1 B.1 Ｃ.－2 Ｄ.2
3.若a＝tan100°，b＝tan25°，c＝tan55°，则a、b、ｃ之间的关系是( )
A.a＋b＋ｃ＝abｃ B.ab＋bｃ＋ｃa＝1
Ｃ.ab＋bｃ＋ｃa＝a＋b＋ｃ Ｄ.ab＋bｃ＋ｃa＝a2＋b2＋ｃ2
4.tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝ .
5.＝ .
6.(1＋tan1°)（1＋tan2°）（1＋tan3°）……（1＋tan44°）（1＋tan45°）＝ .
参考答案：1.C 2. 3.A 4.1 5.－ 6.223
1.若≤α≤，则等于( )
2.的值等于( )
Ａ.sin2 Ｂ.－cos2 Ｃ. cos2 Ｄ.－cos2
3.sin6°cos24°sin78°cos48°的值为( )
4.的值等于 .
5.已知sinｘ＝，则sin2（ｘ－）的值等于 .
6.若sinαsinβ＋cosαcosβ＝0，则sinαcosα＋sinβcosβ的值为 .
7.已知
8.求值tan70°cos10°（tan20°－1）.
9.已知：α、β为锐角且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求证：α＋2β＝.
参考答案：1.C 2. 3.A 4. 5.2－
6.0 7. 8.－1 9.(略)
1.如果｜cosθ｜＝，＜θ＜3π,则sin的值等于( )
2.设5π＜θ＜6π且cos＝a,则sin等于( )
3.已知tan76°≈4，则tan7°的值约为( )
4.tan－cot的值等于 .
5.已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜π，则tan＝ .
6.已知tanα、tanβ是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan＝ .
7.设25sin2ｘ＋sinｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan.
8.已知cos2θ＝，求sin4θ＋cos4θ的值.
9.求证
参考答案：1.C 2.D 3.A 4.－2 5.2－ 6.－2
7. 8. 9.(略)
1．如果那么的值是（ ）
A． B.1 C. D.
分析：先化简为（即为然后用倍角公式：用可得 ∴原式
答案：C
2．若求sin2A的值.
分析：角2A与不是倍角关系，但，故我们可以结合诱导公式与倍角公式来解决这个问题.
解：
3．求证：.
分析：因为是2的半角.所以可以将等式右边用倍角公式展开证得.
证明：∵
同理，
所以原式成立.
4．已知求证：为定值.
分析：求证一个三角函数式为定值，就是证它等于一个常数.我们发现已知条件算式的左边是两个角的正弦函数相乘的形式，所以我们得用如下公式：
证明：∵
∴
∵
∴原命题成立.
5．已知、，且求证：并求、、、的值.
分析：本题前半部分实际上是一个给值求角类型题，因此在确定范围的前提下，利用两个已知条件，求得的某一三角函数值.而要求的三角函数值必须用到和角公式，且应找到、与角的三角函数值之间的关系.
解：由已知得：
即 ① ②
∴
∵、, ∴
于是有，原式成立.
由①2+②2得：
∵， ∴
将代入得：
即 ∵ ∴
相关高考真题
1．若则（ ）
A．ab C.ab<1 D.ab>2 （2001年全国高考题）
分析：此题可用倍角公式化简后再比较.把的两边平方，则有
，同理因所以则而a＞0,b＞0,则有a＜b.
答案：A
2．已知是第三象限角，且，那么等于（ ）
A． B. C. D. （1995年全国高考题）
分析：此题主要考查同角三角函数关系及倍角公式 则因为第三象限角，则即所以
答案：A
1.的值等于( )
2.若（4tanα＋1）（1－4tanβ）＝17，则tan（α－β）的值为( )
3.已知sin(α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝0，则sin（α＋2β）＋sin（α－2β）等于( )
Ａ.1 Ｂ.－1 Ｃ.0 Ｄ.±1
4.已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ等于( )
5.若sinα＋cosα＝－，则tanα＋cotα等于 .
6.(tan5°－cot5°)· .
7.设，则sin2x＝ .
8.已知等于 .
9.求证tan3A－tan2A－tanA＝tan3A·tan2A·tanA.
10.已知tanα、tanβ是方程x2＋ｐx＋ｑ＝0的两个根.求sin2(α＋β）＋ｐsin（α＋β）cos（α＋β）＋ｑcos2（α＋β）?的值.?
11.已知非零常数a、ｂ满足
12.已知8sinα＋10cosβ＝5，8cosα＋10sinβ＝，求证
sin（α＋β）＝－sin（＋α）.
参考答案：
1.B 2.C 3.C 4.A 5.2 6.－2 7. 8. 9.(略) 10.ｑ 11. 12.(略)
1.若sinα＋cosα＝－，则tanα＋cotα等于( )
Ａ.1 Ｂ.2 Ｃ.－1 Ｄ.－2
2.的值等于( )
Ａ. Ｂ. Ｃ.2 Ｄ.4
3.设f（tanx）＝cos2ｘ，则f（2）的值等于( )
4.已知θ为第三象限角，sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ等于 .
5.若sin2α＝，则tan2α＋cot2α的值等于 .
6. .
参考答案：1.B 2.A 3.B 4. 6.－2
1.已知180°＜α＜360°，则cos的值等于( )
2.的值等于( )
Ａ.2 Ｂ.3 Ｃ.4 Ｄ.6
3.下列等式中不正确的是( )
4.已知450°＜α＜540°，则等于（ ）
Ａ．－sin 　 Ｂ．cos 　 Ｃ．sin 　Ｄ．－cos
5.已知sinθ＝－，3π＜θ＜，则tan＝ .
6.已知sin2θ＝－且450°＜θ＜495°，则sinθ＝ .
参考答案：1.C 2.C 3.D 4.A 5.－3 6.
三角函数的图象和性质单元复习题
一、选择题
1.命题甲：“x是第一象限角”，命题乙：“sinx是增函数”，则命题甲是命题乙的( )
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：由x是第一象限角推不出sinx是增函数，如；
由sinx是增函数也推不出x是第一象限角，如sinx在区间是增函数，但内的所有角都不是第一象限角.
答案：D
2.右图是函数y＝2sin(ωx＋)(｜｜＜＝的图象，那么( )
A.ω＝，＝
B.ω＝，＝－
C.ω＝2，＝
D.ω＝2，＝-
解析：由点(0，1)在其图象上，可知1＝2sin，又｜｜＜，∴＝.
又∵ω＋＝2πω＝2.
答案：C
3.已知cosx＝，x∈(－，0)，则x的值是( )
A.－ａrccos B.π－arccos
C.arccos D.－arccos
解析：∵arccos∈(0，)，而x∈(－，0)
∴x＝－arccos.
答案：A
4.要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只要将y＝sin2x的图象( )
A.向左平移 B.向右平移
C.向左平移 D.向右平移
解析：当x→x－时，2x→2(x－)＝2x－
答案：D
5.函数y＝sin2(ωx)－cos2(ωx)的周期T＝4π，那么常数ω为( )
A. B.2 C. D.4
解析：∵y＝－cos(2ωx)，T＝=4
∴ω＝.
答案：C
6.函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程为( )
A.x＝ B.x＝－ C.x＝ D.x＝
解析：∵y＝sin(2x＋)＝cos2x，
∴x＝－是它的一条对称轴.
答案：B
7.函数y＝ｌｏｇcos1cosx的值域是( )
A.［－1，1］ B.(－∞，＋∞) C.(－∞， D.［0，＋］
解析：由题意知0＜cos1＜1，0＜cosx≤1,∴y≥0.
答案：D
8.如果｜x｜≤，那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是( )
A. B. C.－ D.－1
解析：f(x)＝(1－sin2x)＋sinx＝－(sinx－)2＋
由｜sinx｜≤，知当sinx＝－时
f(x)ｍｉｎ＝－(－－)2＋＝.
答案：B
9.函数f(x)＝sin，ｇ(x)＝cos，则( )
A.f(x)与ｇ(x)皆为奇函数
B.f(x)与ｇ(x)皆为偶函数
C.f(x)是奇函数，ｇ(x)是偶函数
D.f(x)是偶函数，ｇ(x)是奇函数
解析：∵f(x)＝sin＝=sin(＋)＝cos
ｇ(x)＝cos(＋)＝－sin
答案：D
10.下列函数中，图象关于原点对称的是( )
A.y＝－｜sinx｜ B.y＝－x·sin｜x｜
C.y＝sin(－｜x｜) D.y＝sin｜x｜
解析：∵点(x,y)关于原点的对称点P(－x，－y)，把P点坐标逐一代入选择支，知y＝－x·sin｜x｜关于原点对称.
答案：B
二、填空题
11.函数y＝3sin(πx＋3)的振幅是 ，周期是 ，初相是 .
答案：3 2 3
12.的值域是 .
解析：由＝＝,
x≠2kπ+＋,k∈Z
∴y≠±＜1
∴y∈(－，)
答案：(-，)
13.若函数y＝Acos(ωx－3)的周期为2，则ω＝ ；若最大值是5，则A＝ ．
答案：π 5
14.在下列函数中：①y＝4sin(x－)，②y＝2sin(x－)，③y＝2sin(x＋)，④y＝4sin(x＋),⑤y＝sin(x－)关于直线x＝对称的函数是 (填序号).
解析：∵y＝4sin(－)＝4sin＝4，y取最大值.
∴x＝为它的一个对称轴.
又y＝sin(－)＝sin＝－1
∴x＝是对称轴.
答案：①⑤
15.使函数y＝2tanx与y＝cosx同时为单调递增的区间是 .
解析：当x∈(kπ－，kπ＋)时，y＝2tanx是增函数,
当x∈(kπ－π，kπ)时，y＝cosx是增函数,
∴当x∈(kπ－，kπ)时，y＝2tanx与y=cosx均是增函数.
答案：(kπ-，kπ)k∈Z
16.函数y＝tan的周期为 ，y＝sin22x的周期是 ，y＝－cos(5x＋)的周期是 ．
答案：
17.在y＝arcsin中，x∈ ，y∈ 的一个 .
答案：［0，1］ ［0，］ 角
18.利用单位圆将sin2，sin3，sin4由小到大排列的顺序为 .
答案：sin4＜sin3＜sin2
19.由y＝sinx变为y＝Asin(ωx＋)，若“先平移，后伸缩”，则应平移 个单位；若“先伸缩，后平移”，则应平移 个单位即得y＝sin(ωx＋)；再把 坐标 原来的A倍，就是y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0).
答案：| | || 纵 扩大到
20.y＝(2＋cosx)(5－cosx)的最大值为 ，最小值为 .
解析：∵y＝－cos2x＋3cosx＋10＝－(cosx－)2＋
当cosx＝－1时，yｍｉｎ＝6
当cosx＝1时，yｍｉｎ＝12
答案：12 6
三、解答题
21.求的定义域.
解：由题意得
22.已知函数y＝ａ－ｂcosx的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4ａsin3ｂx的最大值、最小值、周期、振幅、频率.
解：当ｂ＞0时
∴最小值是－2，最大值是2，T＝
A＝－2(ｂ＞0)或2(ｂ＜0＝，f＝.
23.若f(x)＝Asin(x－)＋B，且f()＋f()＝7，f(π)－f(0)＝2，求f(x).
解：由已知得：
24．若，试求y＝f(x)的解析式.
解：由x＝sinθ＋cosθx2＝1＋2sinθcosθsinθcosθ＝
∴y＝f(x)＝sinθcosθ＝
又x＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)
而｜sin(θ＋)｜≤1 ∴｜x｜≤，
∴y＝f(x)＝x2－，x∈［－，］．
1.下列各对角中终边相同的角是( )
A.（ｋ∈Ｚ） B.－和π
C.－和 D.
2.若α＝－3，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .
5.7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .
6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .
7.求值：.
8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B＝｛α｜－4≤α≤4｝，求
A∩B.
9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.
参考答案：
1.C 2.C 3.C
4.｛α｜2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z
｛α｜kπ＜α＜＋kπ，k∈Z｝
5.一 7－2π 6. 7.2
8.A∩B＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝
9.
1.函数y＝sin（x＋φ）是偶函数，则φ的一个值为( )
A.φ＝－π Ｂ.φ＝－ Ｃ.φ＝－ Ｄ.φ＝－
2.下列函数中奇函数的个数是( )
①y＝sin（x－）　②y＝xcosx ③y＝sin（sinx）　④y＝lg（sinx＋）
A.1 Ｂ.2 Ｃ.3 Ｄ.4
3.下列函数是周期函数的是( )
4.函数y＝4sin（3x＋）＋3cos（3x＋）的周期为 .
5.函数y＝cos（x＋）的周期不大于2，则正整数ｋ的最小值是 .
6.已知函数f（x）＝ax3＋bsinx＋1且f（1）＝5，则f（－1）＝ .
7.判断下列函数的奇偶性
(1)f（x）＝lg(1－sinx）－lg（1＋sinx)
(2)f（x）＝3sinx＋4cosx
8.若函数y＝f（x）对任意的实数α、β满足f（α）＋f（β）＝2f（）f（），f（x）不恒为0，试证明y＝f（x）为偶函数.
9.设f（x）是(－∞，＋∞)上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时f（x）＝x，求f（7．5）的值.
参考答案：1.B 2.C 3.D 4. 5.13 6.－3
7.(1)f(x)是奇函数 (2)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
8.(略) 9.－0.5
1.函数y＝cos（x＋），x∈［0，］的值域是( )
2.函数y＝2sin2x＋2cosx－3的最大值是( )
A.－1 Ｂ. Ｃ.－ Ｄ.－5
3.函数y＝（x∈R）的最大值是( )
A. Ｂ. Ｃ.3 Ｄ.5
4.方程x2＝cosx的实根的个数是 .
5.函数y＝lgsinx＋的定义域是 .
6.函数y＝sin｜x｜＋sinx的值域是 .
7.已知函数y＝a－bsin（4x－)的最大值是5，最小值是1，求a，b的值.
8.求函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最大值.
9.若函数y＝2sin2x＋acosx＋b的最大值是－，最小值是－5，求a，b的值．（其中a＞0）
参考答案：1.B 2.C 3.C 4.2
5.(－4，－π)∪(0，π) 6.［－2，2］
7.当b＞0时，a＝3，b＝2；当b＜0时，a＝3，b＝－2.
8. 9.a＝2，b＝3
1.在区间（0，）上，下列函数中为增函数的是( )
2.下列函数中，哪一个既是区间(0，)上的增函数，又是以π为周期的偶函数( )
A.y＝｜sinx｜ Ｂ.y＝sin｜x｜ Ｃ.y＝cos2x Ｄ.y＝lgsin2x
3.下列不等式中正确的是( )
①sin1＜cos1　②sin2＜cos2　③sin4＜cos4 ④sin5＜cos5
A.①与② Ｂ.①与③ Ｃ.①与④ Ｄ.③与④
4.函数y＝的递减区间是 .
5.函数y＝sin2x的递增区间为 .
6.函数y＝sinx－cosx的递增区间为 .
7.利用公式cosα－cosβ＝－2sin证明y＝cosx在［0，π］上递减.
8.作出函数y＝｜sinx｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间.
9.证明函数f（x）＝的一个周期为，作出函数图象，并指出函数的单调区间.
参考答案：
1.D 2.A 3.D 4.［2kπ，＋2kπ］，k∈Z 5.［kπ，＋kπ］，k∈Z
6.［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z
7.(略)
8.函数y＝｜sinx｜的图象为
函数y＝｜sinx｜为偶函数，周期为Ｔ＝π
递增区间为［kπ，＋kπ］，k∈Z
递减区间为［＋kπ，π＋kπ］，k∈Z
9.证明(略)f(x)的图象为
函数f(x)的递增区间为［］,k∈Z
函数f(x)的递减区间为［］，k∈Z
1．用“五点法”画函数的简图时，正确的五个点是（ ）
A．
B．
C．
D．
分析：“五点法”是在所给定区间内找五个关键点，一般在正、余弦函数图象中找时，需五个点距离相等，所以需又cos0=1.所以答案为C.
2．求下列函数的值域：
（1）
（2）
（3）
分析：求含有三角函数成分的函数值域时，一般应化为某一个角的三角函数，然后利用正弦函数、余弦函数的值域去求.
解：（1）
∵ ∴函数值域为［–6，6］.
(2)
∵ ∴
则函数值域为
（3）
∵ ∴
又∵ ∴
∵
∴函数值域为.
3．求函数的最值.
分析：将原函数式先化成关于sinx的二次函数，然后配方，由二次函数的最值求法求值.
解：
∵–1≤sinx≤1
∴当sinx=–1时，y有最大值13；当sinx=1时，y有最小值1.
4．已知函数且f (5)=7,求f (–5)的值.
分析：已知f (5)，求f (–5)的问题，如果f (x)是奇函数或偶函数此问题就很容易了，而f (x)既非奇函数也非偶函数.但是仔细观察，发现函数式中除掉常数项1后，就成了奇函数了，因此，可用此特征来解该问题.
解：令
则
∵ ∴
则
5．比较的大小.
分析：利用函数的单调性判断比较函数值的大小，应将函数化为同名函数，且在同一单调区间内.
解∵
∴都在第三象限，且
∴由余弦函数单调性得：
相关高考真题
1．函数y=–xcosx的部分图象是（ ）
（2000年全国高考题）
分析：本题主要考查三角函数的奇偶性等基础知识以及奇函数图象的特征.因函数y=x·cosx为奇函数，故图象关于原点对称，可排除A、C，又因为函数当时，y=0,故图象与x轴交于点，当时，cosx>0,故有y<0,排除B.
答案：D
2．若f (x)sinx是周期为的奇函数，则f (x)可以是（ ）
A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x
分析：本题主要考查三角函数的周期性与奇偶性，因y=sinx是一奇函数，若f (x)sinx还是奇函数，那f (x)不会是奇函数了，所以排除A、C，当f (x)=cosx时，f (x)·sinx=cosx·sinx=为奇函数，且.所以有以下结果.
答案：B
1.要得到正弦曲线，只需将余弦曲线( )
A.向右平移个单位 Ｂ.向左平移个单位
Ｃ.向右平移个单位 Ｄ.向左平移个单位
2.正弦函数y＝sinx，x∈R的图象的一条对称轴是( )
A.y轴 Ｂ.x轴 Ｃ.直线x＝ Ｄ.直线x＝π
3.y＝1＋sinx，x∈［0，2π］的图象与直线y＝交点的个数是( )
A.0 Ｂ.1 Ｃ.2 Ｄ.3
4.要得出y＝sinx，x∈R的图象，只需将y＝sinx，x∈［0，2π］的图象左右平移 .
5.余弦函数y＝cosx，y∈［0，2π］的图象的对称轴是 .
6.不等式sinx≥，x∈［0，2π］的解集为 .
参考答案：
1.A 2.C 3.C 4.2kπ个单位(k∈Ｎ+) 5.x＝π 6.［］
1.下列函数中是偶函数的为( )
A.y＝sin｜x｜ Ｂ.y＝sin2x Ｃ.y＝－sinx Ｄ.y＝sinx＋1
2.函数y＝3sin（2x＋）的最小正周期是( )
A.4π Ｂ.2π Ｃ.π Ｄ.
3.下列函数中，奇函数的个数为( )
①y＝x2sinx　②y＝sinx，x∈［0，2π］　③y＝sinx，x∈［－π，π］?　④y＝xcosx
A.1 Ｂ.2 Ｃ.3 Ｄ.4
4.函数y＝3sinx＋4cosx的周期是 .
5.函数y＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x的周期是 .
6.函数y＝sin（ωx＋）(ω＞0)的周期为，则ω＝ .
参考答案：1.A 2.C 3.C 4.2π 5.π 6.3
1.函数y＝1－sinx的最大值为( )
A.1 Ｂ.0 Ｃ.2 Ｄ.－1
2.函数y＝＋sinx－sin2x的最小值是( )
A.2 Ｂ. Ｃ.－ Ｄ.不存在
3.已知x∈（0，2π），函数y＝的定义域是( )
A.［0，π］ B.［，］ Ｃ.［，π］ Ｄ.［，2π］
4.函数y＝lg（3－4sin2x）的定义域是 .
5.函数y＝｜sinx｜＋sinx的值域为 .
6.函数y＝的值域是 .
参考答案：
1.C 2.C 3.C 4.｛x∈Ｒ｜－＋2kπ＜x＜＋2kπ或＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z 5.［0，2］ 6.［，＋∞］
1.如果y＝cosx是增函数，且y＝sinx是减函数，那么x的终边在( )
A.第一象限 Ｂ.第二象限 Ｃ.第三象限 Ｄ.第四象限
2.在［－π，π］上既是增函数，又是奇函数的是( )
A.y＝sinx Ｂ.y＝cosx Ｃ.y＝－sinx Ｄ.y＝sin2x
3.函数y＝sin（－2x）的单调减区间是( )
4.函数y＝log2sinx的单调减区间是 .
5.函数f（x）＝cos2x＋2的递增区间是 .
6.若f（x）＝x2＋bx＋ｃ对任意实数x都有f（1＋x）＝f（1－x），则f（cos1）与f（cos）的大小关系是 .
参考答案：1.C 2.A 3.D
4.［＋2kπ，π＋2kπ］，k∈Z
5.［＋kπ，π＋kπ］，k∈Z
6.f(cos1)＜f(cos)
参 考 答 案　
一.选择题:1.A　　　 2.C　　　 3.C　　　 4.C　　　 5.B　　　　 6.B7.C　　　 8.D　　　 9.A　　　 10.A　 　 11.B　　　　12.D　
二.填空题:1.(1)重合或关于y轴对称.　(2)重合或关于x轴对称.　 　(3)重合或互为反向延长线.
?
4.4π　
三.解答题
1.解:?
2.证:由已知有sin4αsin2β+cos4αcos2β=cos2βsin2βsin4α(1-cos2β)+(1-sin2α)2cos2β=cos2β(1-cos2β)化简、整理得:sin4α-2sin2αcos2β+cos4β=0所以有(sin2α-cos2β)2=0sin2α=cos2β　　　　　　 (1)于是又可得cos2α=sin2β　　 (2)把(1)和(2)代入已知,可得?
三角函数
(时间60分,满分100分)
一.选择题:(每题5分,共60分)
1.一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,则它的中心角是　 [　　 ]　A.2弧度　　　 B.3弧度　　　　 C.4弧度　　　 D.5弧度
　　　　　　　　　　　 [　　 ]　?
　　　　　　　　 [　　 ]　A.cos2θ＜sin2θ＜ctg2θ　　　 B.ctg2θ＜sin2θ＜cos2θ　C.sin2θ＜cos2θ＜ctg2θ　　　 D.cos2θ＜ctg2θ＜sin2θ
　　　　　　　 [　　 ]　?
5.函数y=x3sinx+cos2x为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　 ]　A.奇函数 　　　　　　　　　　 B.偶函数　C.既是奇函数又是偶函数　　 D.既非奇函数又非偶函数
　　　　　　　　　　　　　 [　　 ]　?
　　　　　 [　　 ]　A.第一象限　　　 B.第二象限　　　 C.第三象限　　　 D.第四象限
?y=sin3x的图象，这种平移可以是　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　 ]　?
　　　　　 [　　 ]　?
10.若函数y=sin(π+x),y=cos(2π-x)都是减函数,则x的集合是[　　 ]　　?
　　　　　　　 [　　 ]　　?
12.0≤θ＜2π,sinθ＜0且cos2θ＜0,则θ是　　　　　　　　 [　　 ]　?　
二.填空题:(每空3分共21分)
1.写出下式中,角α与角β的终边位置关系.(1)sinα=sinβ,则　　　　　　　　　　　 .(2)cosα=cosβ,则　　　　　　　　　　　 .(3)tgα=tgβ,则　　　　　　　　　　　　　 .
　
三.解答题(第1题7分,第2题12分)
?
1.下列命题中正确的是( )
A.将y＝cosx的图象向右平移个单位，得到y＝sinx的图象
B.将y＝sinx的图象向右平移2个单位，得到y＝sin（x＋2）的图象
C.将y＝sin（－x）的图象向左平移2个单位，得到y＝sin（－x＋2）的图象
D.函数y＝sin（2x＋）的图象是由y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到的
2.要得到y＝sin（x＋）的图象，可将y＝sinx的图象( )
A.各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
B.各点的横坐标缩小到原来的倍，再向左平移个单位?
C.向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍
D.向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍
3.要得到y＝sin（－x）的图象，只须将y＝sin（－x－）的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
4.先将y＝sinx的图象向右平移个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为的函数y＝sin（ωx＋φ）(其中ω＞0)的图象，则ω＝ ，φ＝ .
5.函数y＝｜5sin（2x＋）｜的最小正周期为 .
6.函数y＝｜5sin（2x＋）＋4｜的最小正周期为 .
7.作出函数y＝的简图.
8.作出函数y＝sin4x＋cos4x的简图.
9.怎样变换y＝sin2x＋cos2x的图象，可得到y＝sin2x－cos2x的图象.
参考答案：
1.A 2.D 3.B 4.3 － 5. 6.π
7.
8.
9.将y＝sin2x＋cos2x的图象向右平移个单位，即可得到y＝sin2x－cos2x的图象.
1.如图4—18是周期为2π的三角函数y＝f（x）的图象，那么f（x）可以写成( )
A.sin（1＋x)
B.sin（－1－x）
C.sin（x－1）
D.sin（1－x）
2.如图4—19是函数y＝Asin(ωx＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )
A.A＝3，Ｔ＝，φ＝－
B.A＝1，Ｔ＝，φ＝－
C.A＝1，Ｔ＝，φ＝－
D.A＝1，Ｔ＝，φ＝－
3.如图4—20是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，它的解析式为( )
A. B.
C. D.
4.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在同一周期内，当x＝时，有yｍax＝2，当x＝0时，有ymin＝－2?，则函数表达式是 .
5.如图4—21是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜的一段图象，则函数
f（x）的表达式为 .
6.如图4—22，是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜的一段图象，则f（x）的表达式为 .
7.如图4—23所示的曲线是y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式.
8.函数y＝Asin（ωx＋φ）＋ｋ（A＞0，ω＞0）在同一周期内，当x＝时，y有最大值为，当x＝时，y有最小值－，求此函数的解析式.
9.已知f（x）＝sin（x＋θ）＋cos（x－θ）为偶函数，求θ的值.
参考答案：
1.D 2.B 3.D 4.y＝2sin(3x－)
5.2sin(3x＋) 6.
7.y＝2sin(2x＋) 8.y＝
9.θ＝kπ－，k∈Z
1.函数y＝cos2（x－）＋sin2（x＋）－1是( )
A.奇函数而不是偶函数 B.偶函数而不是奇函数
C.奇函数且是偶函数 D.非奇非偶函数
2.函数y＝sin（2x＋）图象的一条对称轴方程是( )
A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝
3.设条件甲为“y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝”，则甲是乙的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 ．
5.函数y＝sin2xtanx的值域为 .
6.函数y＝x－sinx，x∈［0，π］的最大值为( )
A.0 B. －1
C.π D.
7.求函数y＝2sin22x＋4sin2xcos2x＋3cos22x的最小正周期.
8.求函数f（x）＝sin6x＋cos6x的最小正周期，并求f（x）的最大值和最小值.
9.已知f（x）＝，问x在［0，π］上取什么值时，f（x）取到最大值和最小值.
参考答案：
1.A 2.A 3.B 4. 5.［0，2 6.C 7.
8.Ｔ＝ 函数最大值为1 函数最小值为.
9.x＝时，f(x)取到最小值；
x＝时，f(x)取到最大值3.
相关练习
1．某同学在直角坐标系中，用1 cm代表一个单位长度，作出了一条正弦曲线的图象，若他将纵坐标改用2 cm代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用
2 cm代表一个单位长度，纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？
分析：直角坐标系中，若代表单位长度的长度单位变了，而曲线形状不变，那么曲线的函数解析式肯定会发生变化，单位长度缩短，就等于曲线的坐标伸长；单位长度伸长，就等于曲线的坐标缩短.
解：该同学原作的曲线为，由于纵坐标改用2 cm代表一个单位长度，当原来1 cm代表一个单位长度比较，单位长度增加到原来的2倍，所以原来的1 cm只能代表个单位长度了，由于横坐标没有改变，曲线形状没有变化，而原曲线图象的解析式变为同理，若纵坐标保持不变，横坐标改用2 cm代表一个单位，则横坐标被压缩到原来的，原曲线周期就由变为，故改变横坐标后，原曲线的图象解析式为
2．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
分析：图象上的点向右平移k个单位，可由得到，在这特别注意，x的系数需是1，如，因为此题是图象上的点向右平移个单位，所以得出的函数解析式应为
答案：C
3．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到曲线C，如果曲线C′与C关于原点对称，求曲线C′的解析式.
分析：将y=sinx的图象向左平移个单位就得到的图象；向下平移个单位就得到的图象.又因为两条关于原点对称的曲线，它们的解析式若一个为则另一个为
解：由题意得：曲线C的解析式为，因为C′与C关于原点对称，所以曲线C′的解析式为即.
4．设三角函数
（1）写出f (x)的最大值M，最小值m，最小正周期T；
（2）试求最小正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f (x)至少有一个值是M和另一个值是m.
分析：第（1）题可直接由正弦函数值域和周期公式得到，对于第（2）题，我们首先审题，在每一个周期都恰有一个M和一个m，且任意两个整数间的距离都大于1或等于1，因此，要使任意两个整数之间至少有一个M和一个m，必须使周期T≤1.
解：（1）
（2）由题意知：f (x)在相邻两整数之间有一个M与一个m，所以最小正周期T≤1
则≤1 即
又k是正整数
所以最小正整数k为32.
相关高考真题
1．函数的周期、振幅依次是（ ）
A． B. C. D.
(2001年全国高考题)
分析：此题主要考查函数的有关性质，因则，而振幅是表示距离的一个量，不能为负数，所以为3.
答案：A
2．函数在区间[a,b]上是增函数，且则函数在[a,b]上（ ）
A．是增函数 B.是减函数
C．可取得最大值M D.可取得最小值M
(1999年全国高考题)
分析：本题主要考查对正、余弦函数理解得是否透彻，因此对逻辑思维能力要求比较高.此题可以用特例法，也可用下面方法：由条件知则由代入得从而g (x)在[a,b]不具有单调性，可排除A、B；其次，在正弦函数的单调区间上，余弦函数的正负性不变，又因f (x)为增函数，且取，所以g (x)取正值，可排除D.
答案：C
3．关于函数有下列命题：
①由f (x1)=f (x2)=0,可得x1–x2必是的整数倍；
②y=f (x)的表达式可改写为
③y=f (x)的图象关于点（对称；
④y=f (x)的图象关于直线对称.
其中正确的命题的序号是 （注：把你认为正确的命题序号都填上）
（1998年全国高考题）
分析：本题综合考查正弦型函数的性质、图象特征及诱导公式等基本知识.
①由知而图象是每半个周期与x轴相交一次，所以x1–x2必是的整数倍，此命题不正确.
②因，此命题正确.
③因的图象关于原点对称，则的图象关于对称，此命题正确.
④的对称轴为即故不是对称轴，此命题不正确.
答案：②③
1.要得到y＝3sin(2x＋)的图象，只需将y＝3sin2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
2.函数y＝cos2x的图象可以看作是把函数y＝cos（2x＋）的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
3.要得到y＝sin（－2x＋）的图象，只需将y＝sin（－2x）的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
4.将函数y＝sinx的图象作关于y轴的对称图象，再将所得图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式是 .
5.将函数y＝cosx的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的二倍，则所得图象的函数解析式为 .
6.将函数y＝cosx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的二倍，再将得到函数图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为 .
参考答案：1.C 2.D 3.D 4.y＝sin(－x－)
1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时，取得最大值2，当x＝时取得最小值－2，那么( )
2.如图4—17，已知函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象(的部分)，则函数的表达式为( )
A.y＝2sin（）
B.y＝2sin（）
C.y＝2sin（2x＋）
D.y＝2sin（2x－)
3.函数y＝2sin（）在一个周期内的三个“零点”横坐标是( )
4.函数y＝｜sin（ωx－2）｜（ω＞0）的周期为2，则ω＝ .
5.若函数y＝asinx＋b（a＜0的最小值为－，最大值为，则a、b的值分别为____________.
6.函数y＝3sin（2x＋φ）(0＜φ＜π为偶函数，则φ＝ .
参考答案：
1.B 2.C 3.B 4. 5.－1 － 6.
1.函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是( )
A.π B.2π C. D.4π
2.函数y＝sin（x＋）在闭区间( )
A.［－，］上是增函数 B.［－，］上是增函数
C.［－π，0］上是增函数 D.［－，］上是增函数
3.函数y＝sin（2x＋θ）的图象关于y轴对称的充要条件是( )
A.θ＝2ｋπ＋，ｋ∈Ｚ B.θ＝ｋπ＋，ｋ∈Ｚ
C.θ＝2ｋπ＋π，ｋ∈Ｚ D.θ＝ｋπ＋π，ｋ∈Ｚ
4.函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的单调递减区间是 .
5.已知函数y＝asinx+b(a＜0最大值是2，最小值－4，则a，b的值分别是 .
6.函数y＝sin（x－）cosx的最小值是 .
参考答案：1.Α 2.B 3.B 4.［＋kπ，＋kπ］，k∈Z
5.－3，－1 6.－

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