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3.2.2双曲线的简单几何性质（第二课时）
班级 姓名
【学习目标】
熟练掌握双曲线的几何性质
2能解决简单的直线与双曲线问题
基础知识
双曲线的几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
性 质 图形
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或　x≥a y∈R 　y≤－a或　y≥a x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：____2a____；虚轴：线段B1B2，长：____2b____；半实轴长：___a_____，半虚轴长：____b____
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
将y＝kx＋m与＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
Δ的取值 位置关系 交点个数
k＝±且m≠0时 相交 只有___1_____交点
k≠±且Δ＞0 有____2____交点
k≠±且Δ＝0 相切 只有___1_____交点
k≠±且Δ＜0 相离 ____0____公共点
双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(3)双曲线为等轴双曲线 双曲线的离心率e＝ 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，
(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝.
典型例题
例1　已知定点，，动点到两定点、距离之差的绝对值为．
（1）求动点对应曲线的轨迹方程；
（2）过点作直线与曲线交于、两点，若点恰为的中点，求直线的方程．
例2 已知椭圆的焦点在x轴上，满足短轴长等于焦距，且长轴两端点与上顶点构成的三角形面积为.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）若双曲线与（1）中椭圆有相同的焦点，且过点，求双曲线的标准方程.
例3已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程
（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．
例4 过双曲线Γ：的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.
(1)若是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得，求Γ的离心率的取值范围.
【课堂检验】
1．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
2．已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案
例1．（1）；（2）．
【详解】解：（1）由题意知：，
故动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且，，
∴，故曲线的方程为：；
（2）设，，满足，
两式相减得，即，
因为点为的中点，故，
∴，即直线的斜率为，又过点，
故直线的方程为：，即．
例2 （1）椭圆的标准方程为，离心率为；（2）.
【详解】（1）由题意得：在椭圆中，，且.
根据，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
椭圆的离心率为.
（2）由题意，椭圆的焦点为和.
因为双曲线过点，根据双曲线的定义，
得，
所以，又因为，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
例3 （1）；（2）24.
【详解】因为，所以，．
所以双曲线的方程为，即．
因为点在双曲线上，所以，所以．
所以所求双曲线的方程为．
设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
由，得，
所以．
同理可得，，
所以．
设，
则，
所以，即当且仅当时取等号．
所以当时，取得最小值24．
例4 (1)；
(2).
【详解】（1）依题意，结合双曲线的对称性得，，
所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，，，b2＝c2－a2＝2，
此时Γ的标准方程为.
（2）依题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝my－c，
联立，消去，得，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，
由AF2⊥BF2得，故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，
整理得，即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，
则(m2＋1)b4＝4a2c2，所以，故4a2c2≥(c2－a2)2，
所以c4＋a4－6a2c2≤0，两边除以，得e4－6e2＋1≤0，解得，
又因为e>1，所以，故，
又A，B在左支且l过F1，所以y1y2<0，即，故，
所以，所以，
即4a25，即，
综上：，即.
课堂检验
1．B
【详解】双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，
∴kl，
∴直线l的方程为y（x﹣c），
与y＝±x联立，可得y或y，
∵，
∴2 ，
∴ab，
∴c＝2b，
∴e．
故选B．
2．B
【详解】由题意可知即为等腰三角形，

故是锐角三角形，只需，
将代入可得，
故在中，，，
则，化简整理，得，
∴，∴，
又，∴，
故选：B.

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