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2.5椭圆及其方程 练习
一、单选题
1．椭圆的短轴长是焦距的（ ）
A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍
2．已知为椭圆上的一个点，点M，N分别为圆和圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．13
3．已知、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率取值范围是
A． B． C． D．
4．若椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．或
5．已知椭圆C：的左焦点为F，右顶点为，上、下顶点分别为，，线段的中点E和坐标原点O的连线OE与垂直，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中）．如图，设点是相应椭圆的焦点，和是“果圆”与轴的交点，若是腰长为1的等腰直角三角形，则的值分别为（ ）
A．5，4 B． C． D．
7．已知椭圆：的左焦点为，若点关于直线的对称点在椭圆上， 则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率与直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D．的周长为
10．关于椭圆：，下列叙述正确的是（ ）
A．焦点在轴上 B．长轴长为4 C．离心率为 D．过点
11．若椭圆上一点与左右焦点，组成一个直角三角形，则点到轴的距离可以是（ ）
A． B． C． D．
12．设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是
C．的面积一定是 D．的周长一定是
三、填空题
13．已知椭圆，点是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为 .
14．已知椭圆两个焦点为、，过的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 ．
15．过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A、两点，为椭圆的左焦点，若，且该椭圆的离心率，则的取值范围为 ．
16．设为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若为直角三角形，则的面积为 ．
参考答案
1．B
【分析】根据椭圆的标准方程求出短轴长和焦距可得答案.
【详解】因为2233，所以，，，
则，，，，.
故椭圆的短轴长是焦距的倍.
故选：B
2．B
【解析】先求椭圆焦点和定义定值，圆心、半径，利用圆的性质判定与焦点连线时最小，再计算即得结果.
【详解】依题意可知，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，根据定义，两圆半径为，
故椭圆上动点与焦点连线时与圆相交于M，N时， 最小，最小值为.
故选：B.
【点睛】本题考查了圆的性质和椭圆的定义，属于中档题.解题关键在于两圆圆心是椭圆的焦点，结合椭圆定义和圆的性质即解决最小距离问题.
3．D
【分析】根据椭圆定义得，进而得，再结合离心率范围即可得答案.
【详解】解：、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，
，
，
，
，，
，当点为右顶点时，可取等号.
故选：D.
4．D
【分析】分类讨论，椭圆焦点分别在轴和轴两种情况，结合椭圆中的关系，求值
【详解】当椭圆焦点在轴时，则: ，
由于椭圆的离心率则，解的：=
当椭圆焦点在轴时，则: ,
由于椭圆的离心率则，解的：=
故选：D
【点睛】考查学生椭圆的性质的理解，结合离心率求参数值
5．C
【分析】由斜率乘积为得的关系式，变形后可求得离心率．
【详解】由已知，，，，则，
∵，∴，，即，，
解得（舍去），
故选：C．
6．D
【分析】由题可得，，进而即得.
【详解】由题可得，，，
∴，，
∴，．
∴．
故选：D．
7．D
【分析】P设为，由点，关于直线对称可列方程组解出P点坐标，将P点坐标代入椭圆方程，即可化简得关于e的方程，从而解出e.
【详解】椭圆左焦点坐标为 ，它关于直线 的对称点P设为，
则有，解得，即 .
则有 ，整理可得：，
又，整理可得：，即，
因为椭圆的离心率 ，则有，即.
故选：D
8．D
【分析】设出点坐标，代入椭圆方程，得到一个等式；代入，得到另一个等式，对比这两个等式求得的值，由此求得离心率的值.
【详解】依题意可知.设，代入椭圆方程得.代入得，即，与对比后可得，所以椭圆离心率为.故选D.
【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆上任意一点坐标的表示，考查向量数量积的坐标运算以及椭圆离心率的求解.属于中档题.椭圆有三个参数，其中是长半轴，如果焦点在轴上，则左右顶点的坐标就是.焦点所在坐标轴不一样时，顶点的坐标是不同的.
9．AC
【分析】AB选项，根据短轴长，离心率和求出，，焦点在y轴上，所以求出椭圆方程；C选项，求出P，Q两点的横坐标，进而得到通径长；D选项利用椭圆的定义进行求解.
【详解】由题意得：，所以，因为，，解得：，，因为焦点在y轴上，所以椭圆C的方程为，A正确，B错误；不妨设，则P，Q两点的纵坐标也为，令中，解得：，所以不妨令，，所以，C正确；根据椭圆的定义可知，的周长为，故D错误.
故选：AC
10．BC
【分析】根据椭圆的标准方程，可判断A项；求出a，b，c的值，可判断B，C项；代入判断D项.
【详解】由已知，椭圆的焦点在轴上，a=2，，c=1，则长轴长为2a=4，离心率为.
将点代入椭圆方程左边得，不满足，即点不在椭圆上.
故选：BC.
11．BC
【分析】先由椭圆的标准方程求得，当时，利用代入法即可求得所求；当时，利用椭圆的对称性即可得解；当时，利用椭圆的定义与勾股定理，结合三角形面积公式即可得解.
【详解】因为椭圆，所以，则，，，，
所以，，
当时，不妨设，则，解得，
所以点到轴的距离为；
当时，由椭圆的对称性可知该情况与的情况类同，故点到轴的距离也为；
当时，不妨设，则，
所以，则，
所以是方程的两根，易得，即存在满足题意，
设点到轴的距离为，则，
所以，即点到轴的距离为；
综上：点到轴的距离为或.
故选：BC.
12．BD
【分析】求出焦点，的坐标，再由直角三角形的直角顶点情况逐项判断作答.
【详解】椭圆的长半轴长，焦点，，为直角三角形，
以为直角顶点的直角有2个，以为直角顶点的直角有2个，
显然椭圆C的半焦距，短半轴长，，以线段为直径的圆与椭圆C有4个公共点，
以为直角顶点的直角有4个，因此，符合条件的M点有8个，A不正确；
以为直角顶点时，设，由消去得：，即M点的纵坐标为，B正确；
由选项B知，以为直角顶点时，的面积，C不正确；
由椭圆定义知，的周长为，D正确.
故选：BD
13．/0.2
【分析】取线段的中点，由已知条件得出，从而三点共线，且，则，再利用，即可求出离心率.
【详解】不妨设点在轴上方，设点的纵坐标为，点的纵坐标为，的内切圆的半径为，椭圆焦距为,

取线段的中点，设点的纵坐标为，
因为，
所以，∴，即，
∴三点共线，且，∴，
∵，∴，
,
，
∴，∴椭圆的离心率，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：椭圆离心率的三种求法：
（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定，求出的值，利用公式直接求解．
（2）求椭圆的离心率时，若不能直接求得的值，通常由已知寻求的关系式，再与组成方程组，消去得只含的方程，再化成关于的方程求解．
（3）求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的．
14．20
【分析】根据椭圆的标准方程，求出a的值，由的周长是求出结果．
【详解】椭圆，∴，
的周长是，
故答案为∶20﹒
15．
【分析】结合图像，由题意得，进而得到，再由正弦函数的图像及求得的取值范围.
【详解】依题意，如图，设右焦点，连接，，得四边形是矩形，
∵，∴，则，
∴，
∴在中，，，
∴，则，
∵该椭圆的离心率，
∴，则，
∵，则，
∴，即，即.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质．有关椭圆的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,解决椭圆离心率的相关问题的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
16．
【分析】分以及三种情况分别进行求解即可求出结果.
【详解】因为，所以，
若，则，,则；
若，设，则，所以，故，舍去；
综上：的面积为，
故答案为：.

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