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圆锥曲线复习资料
目录
圆锥曲线复习资料 2
椭双定义 2
焦点三角形 4
通径 7
椭圆焦半径公式 9
弦中点 11
第三定义 13
抛物线定义 15
抛物线焦半径公式 16
定义法求解轨迹方程 18
相关点法求解轨迹方程 21
弦中点法求解轨迹方程 22
解析几何条件翻译 23
圆锥曲线复习资料
椭双定义
椭圆第一定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。即：
双曲线第一定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。即：
1
配套练习
例题1、点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是　　
， B．， C． D．
练习1、已知定点，是椭圆的一个焦点，是椭圆上的点，求的最大值　 　．
例题2、已知双曲线的左右焦点分别为，，定点，点在双曲线的右支上运动，则的最小值等于　　．
练习2、若、是双曲线的左右焦点，，，为双曲线上的动点，求的最小值．
焦点三角形
椭圆：①周长
②面积
双曲线：①面积
配套练习
例1．若过椭圆上焦点的直线交椭圆于点，，为椭圆下焦点，则三角形的周长为 　　．
练1．定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆的焦距为，焦点三角形的周长为，则椭圆的方程是　 　．
例2．椭圆与双曲线有公共点，则与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为 　　．
练2．椭圆与双曲线有公共点，则与双曲线的两个焦点连线构成三角形面积为 　　．
例3．是椭圆上位于轴上方的一点，，是椭圆两焦点，三角形内切圆半径为，则的纵坐标为　　
A．2 B．4 C． D．
练3．我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆为“最美椭圆”，且以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆的方程为　　
A． B． C． D．
例4．已知椭圆的焦点、在轴上，它与轴的一个交点为，且△为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为 　　．
练4．已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为，椭圆的长轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为椭圆的左焦点，求三角形的面积．
通径
经过椭圆或双曲线的焦点作轴的垂线，与椭圆或双曲线交于点，弦为椭圆或双曲线的通径，通径的长为：
配套练习
例1、椭圆的通径长为_________.
练1．椭圆的通径长为　　
A． B． C． D．1
例2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为________
练2．双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的准线过且与双曲线的实轴垂直，若抛物线上的任意一点到的距离比它到轴的距离大3，过的直线与双曲线的右支相交于、两点，若弦长等于抛物线的通径长的2倍，且的周长为56，求双曲线和抛物线的方程．
例3．过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于，两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为　　
A．， B． C． D．，
练3．过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于，两点，当轴，称为双曲线的通径．若过焦点的所有焦点弦中，其长度的最小值为，则此双曲线的离心率的范围为　　
A． B．， C．， D．，
椭圆焦半径公式
横坐标版焦半径公式：（为点横坐标，点到左焦点距离为，右焦点距离为）
夹角版焦半径公式：（为焦点和准线间的距离，为开口朝向就近定点的夹角）
夹角版焦点弦公式：
配套练习
例1．椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上，则的取值范围为_______.
练1．设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为_______.
例2．已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则______；若，则=______.
练2．已知椭圆的左焦点为F，过F且斜率为2的直线l交椭圆C于A、B两点，则______.
弦中点
1、椭圆
直线l与椭圆交于A、B两点，M为AB中点，则OM的斜率与AB的斜率满足：
2、双曲线
直线l与双曲线交于A、B两点，M为AB中点，则OM的斜率与AB的斜率满足：
配套练习
例1．若椭圆的动弦斜率为1，则弦中点坐标可能是　　
A． B．， C． D．，
练1．已知双曲线被直线截得的弦，弦的中点为，则直线的斜率为　　
A．1 B． C． D．2
例2．已知椭圆的一个焦点为，该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为2，则该椭圆的标准方程为 　　．
练2．已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为4的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的方程为　　
A． B． C． D．
例3．已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为 　　．
练3．直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是　　
A． B． C． D．
第三定义
椭圆
为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上任一点（与不重合）与椭圆上两点的连线的斜率之积为定值:
双曲线
为椭圆上关于原点对称的两点，双曲线上任一点（与不重合）与椭圆上两点的连线的斜率之积为定值:
配套练习
例1、 已知椭圆，，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上的动点，且直线，的斜率分别为，，，若的最小值为，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
例2、 已知椭圆，，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则的最小值为　 　．
例3 、已知椭圆上点到点的最大距离为，离心率为．
（1）求此椭圆方程；
（2）若、为椭圆上关于原点的对称的两点，为椭圆上异于、的一点，且、都不垂直于轴，求．
练1、已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是该椭圆上不同于，的一点，若直线的斜率的取值范围为，，则直线的斜率的取值范围为　　
A． B． C． D．
练2、已知椭圆，，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则　　．
抛物线定义
1、定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。即：
2、方程
例1、已知，为抛物线焦点，为抛物线上动点，则的最小值为　　
A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能确定
练习1、若点的坐标为，点在抛物线上移动，为抛物线的焦点，则的最小值为　　
A．3 B．4 C．5 D．
抛物线焦半径公式
横坐标版焦半径公式：
开口向右：，
开口向左：
开口向上：
开口向左：
横坐标版焦点弦公式：
夹角版焦半径公式：
（为开口朝向原点的夹角）
夹角版焦点弦公式：
（当焦点弦垂直于对称轴时为通径）
抛物线焦点三角形面积
例1．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，连接点和坐标原点的直线交抛物线准线于点，则　　
A．坐标为 B．最小值为4
C．一定平行于轴 D．可能为直角三角形
例2．设点为抛物线的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是　　
A． B．
C． D．的面积为为坐标原点）
例3．已知抛物线上有两点，、，，焦点为，下列选项中是“直线经过焦点”的必要不充分条件的是　　
A． B． C． D．
定义法求解轨迹方程
圆：
第一定义：平面内一动点到定点的距离为定值的点的轨迹，即（）；
第二定义（阿波罗尼斯圆）：平面内一动点到定点与到定点的距离之比为一定值的点的轨迹，即（）；
椭圆:
定义：平面内一动点到定点和定点的距离之和为定值的点的轨迹，即（）；
双曲线:
定义：平面内一动点到定点和定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，即；
抛物线:平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹，即
配套练习
例1、已知动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹的方程，并说明它是什么曲线
练1、设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过点作的平行线且交于点．证明为定值，并写出点的轨迹方程．
例2、已知圆，直线（与轴不重合）过点交圆于两点，过点作直线的平行线交直线于点．
证明：为定值，并求点的轨迹方程；
练2、已知一动圆与圆、圆都外切，求动圆圆心的轨迹方程.
例3、已知点到点的距离比点到直线的距离小1，求点的轨迹方程.
练3、已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，求曲线的方程；
相关点法求解轨迹方程
例1、已知点为椭圆上的任意一点，为原点，M满足，求点的轨迹方程．
练1、已知点P在圆上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足,求动点M的轨迹方程E；
例2、已知圆，为圆上任一点，为定点，的中点为．求：
动点的轨迹方程；
练2、已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程；
弦中点法求解轨迹方程
弦中点模型
直线与椭圆交于两点，为中点，则有
例1.过点的直线与椭圆相交于，两点，且恰为，中点，则直线的方程为 　　．
练1、已知椭圆，若直线与椭圆相交于，两点，椭圆内一点是线段的中点，求直线的方程；
解析几何条件翻译
设直线与曲线C相交于点，，点A、B不与原点O重合，点，将下列信息转化为关于的表达式：
1．或，即
2．
3．
4．
．直线MA与直线MB的斜率之和为－1
．锐角
7．为直角
8．为钝角
9．点M在以为直径的圆内为钝角，同8
10．点在以为直径的圆上为直角，同7
11．点在以为直径的圆外为锐角，同6
12．，或垂直与轴
13． 大角对大边，即
14．为直角或，同1
A、B、M三点共线，，，
17．A、B、M三点共线或，即（亦可转化为直线过定点的证明）
18．四边形为平行四边形，即
19．△ABM为等边三角形或AB中点为N，
20．△ABM是以M为顶点的等腰三角形，同3
21．以M为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点同20
22．点M为△OAB的重心
圆锥曲线复习资料
椭双定义
例1．点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：，
那么，
所以，
当点位于时，的差最小，其值为
此时，也得到最小值，其值为．
当点位于时，的差最大，其值为此时，
也得到最大值，其值为．
故选：．
练1．已知定点，是椭圆的一个焦点，是椭圆上的点，求的最大值　　．
【解答】解：是椭圆的一个焦点，
，
，
椭圆，
根据椭圆的第一定义：
取得最大值时，
即最大，
如图所示：，
当，，共线时取得最大值．
的最大值为：，
故答案为：．
例2．已知双曲线的左右焦点分别为，，定点，点在双曲线的右支上运动，则的最小值等于　11　．
【解答】解：在双曲线的右支上，
，
，又，双曲线右焦点，
（当且仅当、、三点共线时取“” ．
故答案为：11．
练2．若、是双曲线的左右焦点，，，为双曲线上的动点，求的最小值．
【解答】解：双曲线，
，，双曲线右焦点为，，
由双曲线定义可得：，
而，
当且仅当、、三点共线时等号成立．
的最小值：．
第23页（共56页）
焦点三角形
例1．若过椭圆上焦点的直线交椭圆于点，，为椭圆下焦点，则三角形的周长为 　16　．
【解答】解：由椭圆知，所以，
根据椭圆的定义，可得，
，
，
的周长为．
故答案为：16．
练1．定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆的焦距为，焦点三角形的周长为，则椭圆的方程是　　．
【解答】解：由题意可知：焦点，，
则，，
由椭圆的定义可知：，
焦点三角形周长，
则，
，
椭圆的标准方程为：，
故答案为：，
例2．椭圆与双曲线有公共点，则与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为 　24　．
【解答】解：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点，，
由椭圆定义可知：，
故与双曲线两焦点的距离之和为14，
又，
因此与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为．
故答案为：24．
练2．椭圆与双曲线有公共点，则与双曲线的两个焦点连线构成三角形面积为 　3　．
【解答】解：由双曲线可得，，
所以可得可得双曲线的左右焦点，，
联立消整理可得，
解得：，
所以，
故答案为：3．
例3．是椭圆上位于轴上方的一点，，是椭圆两焦点，三角形内切圆半径为，则的纵坐标为　　
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：椭圆中，，，
，可得焦点坐标为，．
根据椭圆的定义，可得，，
设△的圆心为，
△的内切圆半径为，
，
又设的纵坐标为，可得，
，解得，即的纵坐标为4．
故选：．
练3．我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆为“最美椭圆”，且以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知，得，故，
，即，
，得，故，
所以椭圆的方程为．
故选：．
例4．已知椭圆的焦点、在轴上，它与轴的一个交点为，且△为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为 　　．
【解答】解：椭圆与轴的一个交点为，且△为正三角形，可得，
再由焦点到椭圆上的点的最短距离为，则，而，
所以，可得，即，，，
所以椭圆的方程为：；
故答案为：．
练4．已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为，椭圆的长轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为椭圆的左焦点，求三角形的面积．
【解答】解：（1）经过两点，的直线为：，即，
由已知原点到直线的距离，
可得，又，
所以，，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）由（1）可得，
设，，，，
由题意可得，，
代入，作差可得，
可得，即直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
所以到直线的距离；
联立，整理可得：，
可得，，
所以弦长，
所以．
通径
例1．椭圆的通径长为　3　．
【解答】解：由椭圆，可得，，
所以椭圆的通径长：．
故答案为：3．
练1．椭圆的通径长为　　
A． B． C． D．1
【解答】解：由椭圆的方程，，
所以椭圆的通径长：．
故选：．
例2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为 　　．
【解答】解：设内切圆的半径为，
椭圆，
其中，，，则，
与轴垂直，
则有，，
解得：，，
的周长，
其面积，
由内切圆的性质可知，有，解得．
圆心横坐标为，即圆心坐标为，，
则的内切圆方程是，
故答案为：．
练2．双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的准线过且与双曲线的实轴垂直，若抛物线上的任意一点到的距离比它到轴的距离大3，过的直线与双曲线的右支相交于、两点，若弦长等于抛物线的通径长的2倍，且的周长为56，求双曲线和抛物线的方程．
【解答】解：依题可知抛物线的焦点为，所以，
抛物线上的任意一点到的距离比它到轴的距离大3，
由抛物线的定义可知，，所以，
所以抛物线的方程为，
其通径长为，从而，
由双曲线的定义可知，，，
所以，
所以的周长为，
解得，又因为，所以，
所以双曲线的方程为．
综上所述，双曲线的方程为，
抛物线的方程为．
例3．过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于，两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为　　
A．， B． C． D．，
【解答】解：当经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上，
可得双曲线的通径最小，令，可得，
即有最小值为；
当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时，
即为实轴，最小为．
由题意可得，
即为，
即有，
则离心率，，
故选：．
练3．过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于，两点，当轴，称为双曲线的通径．若过焦点的所有焦点弦中，其长度的最小值为，则此双曲线的离心率的范围为　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：当经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上，
可得双曲线的通径最小，令，可得，
即有最小值为；
当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时，
即为实轴，最小为．
由题意可得，
即为，
即有，
则离心率，．
故选：．
椭圆焦半径公式
例1 椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上，则的取值范围为_______.
【解析】由题意，，，，设，其中，
则，，所以
练1 设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为_______.
【解析】为等腰三角形，
点在M第一象限，且，
又，所以，故只能，
设，由椭圆焦半径公式知，
解得：，代入椭圆方程得，故
例2 已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则______；若，则=______.
【解析】如图，设，则
由焦点弦公式，，
由焦半径公式，，
，所以.
练2 已知椭圆的左焦点为F，过F且斜率为2的直线l交椭圆C于A、B两点，则______
【解析】设直线l的倾斜角为，则，所以，
由焦点弦公式，.
弦中点
例1．若椭圆的动弦斜率为1，则弦中点坐标可能是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：设，，，，，，
，，，．
由，①
，②
①②整理可得：，
即，
，又，
故选：．
练1．已知双曲线被直线截得的弦，弦的中点为，则直线的斜率为　　
A．1 B． C． D．2
【解答】解：设，，，，由题意可得，，
代入双曲线的方程：，作差可得，
可得，
即直线的斜率为1，
故选：．
例2．已知椭圆的一个焦点为，该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为2，则该椭圆的标准方程为 　　．
【解答】解：因为椭圆的一个焦点为，所以该椭圆的焦点在纵轴上，
因此可设该椭圆的标准方程为：，且，
设该椭圆被直线所截得弦为，设，，，，
把代入直线方程中，得，即的中点坐标为，
因此有，，
由，
因为，在椭圆上，
所以有，②①，得，
由，，
所以该椭圆的标准方程为，
故答案为：．
练2．已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为4的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由直线与椭圆的中点的横坐标可得纵坐标，
即弦的中点坐标为，设交点，，，，
由直线的方程可知，，，
设椭圆的方程为，
将交点的坐标代入，作差可得，
所以可得，
所以，
即，
由题意可得，即，
而，
所以，，
所以椭圆的方程为：，
故选：．
例3．已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为 　　．
【解答】解：设过的直线与椭圆的交点为，，，，由题意可得，，
代入椭圆的方程：，整理可得：，
可得，
即直线的斜率，
所以直线的方程为：，整理可得：，
故答案为：．
练3．直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：联立，得．
设直线被双曲线所截得的弦的两端点分别为，，，，
则，，即中点的横坐标为，代入，可得中点的纵坐标为，
则直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是．
故选：．
第三定义
例1．已知椭圆，，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上的动点，且直线，的斜率分别为，，，若的最小值为，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，，，，
则，．
又、、都在椭圆上，
，，
，
．
，即．
又．
，即，
，即，
，即，
．
故选：．
例2．已知椭圆，，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则的最小值为　1　．
【解答】解：设，，，
则有，，
两式相减得，，
则有，
由于椭圆的离心率为，
则，即有，
即有，
即有，
，
则有．
当且仅当，取得最小值1．
故答案为：1．
例3．已知椭圆上点到点的最大距离为，离心率为．
（1）求此椭圆方程；
（2）若、为椭圆上关于原点的对称的两点，为椭圆上异于、的一点，且、都不垂直于轴，求．
【解答】解：（1），
，
，即，
椭圆方程可表示为：，
设，则，
，
当时，取到最大值，
，即，
椭圆方程为：；
（2）依题意，设，，，
则，，
两式相减得：，
，
又，，
．
练1．已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是该椭圆上不同于，的一点，若直线的斜率的取值范围为，，则直线的斜率的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，由题意可得，，，，
则，作差可得：，
，
所以，
又因为率，，所以，，
所以，
所以，，
故选：．
练2．已知椭圆，，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则　　．
【解答】解：椭圆的离心率为，可得，
可得，
设，，，
可得，，
相减可得，
即有．
故答案为：．
抛物线定义
例1．已知，为抛物线焦点，为抛物线上动点，则的最小值为　　
A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能确定
【解答】解：如图所示，过作准线，垂足为．
则，
当且仅当，，三点共线时，取得最小值为，
故选：．
练1．若点的坐标为，点在抛物线上移动，为抛物线的焦点，则的最小值为　　
A．3 B．4 C．5 D．
【解答】解：抛物线的焦点的坐标是 1，0 ；
设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知
要求取得最小值，即求取得最小
当，，三点共线时最小，为
故选：．
抛物线焦半径公式
例1．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，连接点和坐标原点的直线交抛物线准线于点，则　　
A．坐标为 B．最小值为4
C．一定平行于轴 D．可能为直角三角形
【解答】解：对选项，，，，即，故错误；
对选项，设直线方程为，，，，，
联立抛物线得，则，
，
两式相乘得，，
当且仅当时等号成立，故，故正确；
对选项，，
令，则，故，因为，故一定平行于轴，故正确；
对选项，因为，故不为直角；
两式作差得，故，
即，
，故不为直角，同理
故不为直角，故错误，
故选：．
例2．设点为抛物线的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是　　
A．
B．
C．
D．的面积为为坐标原点）
【解答】解：如图，
设，，，，
，，
，，
，，
又，
，解得，故选项不正确；
由上述分析可知，，，，
又容易知，，
则，，，故成立，故选项正确；
，故选项正确；
，故选项不正确．
故选：．
例3．已知抛物线上有两点，、，，焦点为，下列选项中是“直线经过焦点”的必要不充分条件的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设直线的方程为，
则直线交轴于点，且抛物线的焦点的坐标为，，
将直线的方程与抛物线的方程联立，得，
得，
则，，
对于，
即，解得或，
所以“，”是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于，
解得，
所以“”是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于，得，
此时直线过抛物线的焦点，
所以“”是“直线经过焦点”的充要条件；
对于
，
化简得，得，
所以“”是“直线经过焦点”的必要不充分条件．
故选：．
定义法求解轨迹方程
例1．已知动圆与圆外切，同时与圆内切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程，并说明它是什么曲线；
【解答】解：设动圆的半径为，
由动圆与圆外切可知：，
由动圆与圆，内切可知：，
则，
所以动圆的轨迹是以，，为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆，
动圆圆心的轨迹方程为．
练1．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过点作的平行线且交于点．证明为定值，并写出点的轨迹方程．
【解答】证明：因为，，
所以，
所以，
所以，
又圆的标准方程为，
所以，
所以，
由题设，，
所以，
由椭圆的定义可得点的轨迹方程为．
例2．已知圆，直线（与轴不重合）过点交圆于、两点，过点作直线的平行线交直线于点．
（1）证明：为定值，并求点的轨迹方程；
【解答】解：（1）圆可化为，点，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以点在以、为焦点，实轴为2的双曲线上，
设双曲线的方程为，所以，解得，
所以点的轨迹方程为；
练2．已知一动圆与圆、圆都外切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
【解答】解：（1）由题意设动圆半径为，则，，，
故圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左支（去掉顶点），
其方程为．
例3．已知点到点的距离比点到直线的距离小1．
（1）求点的轨迹方程；
【解答】解：（1）由题可知，点到点的距离与到直线的距离相等，
所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
点的轨迹方程为：．
练3．已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等．
（Ⅰ）求曲线的方程；
【解答】解：（1）曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．
曲线的轨迹是以为焦点的抛物线，且，
曲线的方程为；
相关点法求解轨迹方程
例1．已知点为椭圆上的任意一点，为原点，满足，求点的轨迹方程．
【解答】解：设，，，
由，得，所以，，
因为，在椭圆上，
所以点的轨迹的方程为．
练1．已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足．
（1）求动点的轨迹方程；
【解答】解：（1）设，，，
由，得，即，
轴，，
点，在圆上，，即，
可得动点的轨迹的方程为；
例2．已知圆，为圆上任一点，为定点，的中点为．求：
（1）动点的轨迹方程；
【解答】解：（1）设，，，
为定点，的中点为，
，得，
圆，为圆上任一点，
，即，
动点的轨迹方程为；
练2．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动．
（1）求线段的中点的轨迹方程；
【解答】解：（1）设，，，由中点公式得，，则，，
因为在圆上，所以，即，
所以线段的中点的轨迹方程为．
弦中点法求解轨迹方程
例1．过点的直线与椭圆相交于，两点，且恰为，中点，则直线的方程为 　　．
【解答】解：椭圆，化简为，设，，，，则，
恰为，中点，，，
，，在椭圆上，
，①
，②
②①得：，即，
又，故．
则直线的方程为，即．
故答案为：．
练1．已知椭圆．
（1）若直线与椭圆相交于，两点，椭圆内一点是线段的中点，求直线的方程；
【解答】解：（1）设，，，，
由题意可得，，
将，的坐标代入椭圆的方程，作差可得，
可得，
所以直线的方程为，
即；

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