资源简介

第一部分 集合与简易逻辑与不等式（学案）
1．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。（最好将集合都表示成区间）元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；
2． 集合元素具有 性、无序性和
3．注意补集思想、数形结合：
借助 、直角坐标系或韦恩图等工具
4．对集合，“极端”情况： ；“极端”情况： ；
5．四种命题：
⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；
⑶否命题：若p则q；⑷逆否命题：若q则p
注：1。原命题与 等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时常常借助判断其 的真假。
2．命题的否定是“P命题的非P命题，也就是‘ 不变，
仅否定 ’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的 ，又否定原命题的 ”
6．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。；
（2）集合解释，满足条件满足条件，
若 ；则是的充分非必要条件 ；
若 ；则是的必要非充分条件 ；
若 ；则是的充要条件 ；
若 ；则是的既非充分又非必要条件
7．判断命题的真假
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；
“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；
“非命题”的真假特点是“一真一假”
8．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用 表示；
全称p：；全称p的否定p：
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用 表；
特称p：；特称p否定p： ；
9.不等式的性质：
（1）若，则
（2）若，则
（3）不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变：若，，取倒数则 ；
若，，取倒数则 。
10. 不等式大小比较的常用方法：
（1）作差；（2）作商；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ； (8)图象法。
11重要不等式（求函数最值时，要“一 二 三 ，和定积最 ，积定和最 ”）
12.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；
（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。
13.含绝对值不等式的性质：
同号或有；
异号或有.
复数：
向量：
14.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法
1).恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于 ；
若不等式在区间上恒成立,等价于。
2).能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的 .
3).恰成立问题
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.
15.二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）B＞0时，
①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的 ；
②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的
对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数
当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0 的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0 的区域
注意：当两个点位于直线Ax+By+C=0的两侧，则满足
16.线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的 的问题，统称为线性规划问题 其步骤如下：
（1）设出变量x、y； （2）找线性约束条件；
（3）确定目标函数z=f（x，y）； （4）画出可行域；
（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；
（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解
[自测题]
1.A、B是非空集合，定义，若,，则= ．
2：设集合，则等于（ ）（A） (B) (C) (D)
3：在上存在的值，求的取值范围
4：若集合，，，则实数=
5：函数的定义域是
6：命题“”的否命题是

7. 命题“，有”的否定是
8．下列四个命题：①； ②；
③；④．
其中真命题的序号是 ．
9. 已知命题与命题
都是真命题,则实数
的取值范围是
10. 已知函数f (x)= 在区间[－1，2 ]上函数值恒为非正数，那么b＋c最大值
11. 如果实数满足不等式组，则的最小值为 .
12：正数满足，则的最小值为______
13. 若函数()在上的最大值为,则的值为
14．已知复数，那么的最大值是
15.设集合A=，B=，若，求实数的范围。
16．关于的方程的两根满足
，求的范围
17．若关于的不等式的解集为正实数集，则字母a的取值范围。

18．若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋（a-2）x-2>0成立，则实数x的取值范围．
19．已知，的定义域是Q，若，求字母的取值范围。

20．已知函数。若，对于任意的，恒成立，试确定实数的取值范围。
21．已知函数，当时，恒有，求m的取值范围．
22．已知向量，向量．已知常数满足≤≤2，求使不等式≥成立的的解集；求使不等式≥对于一切恒成立的实数取值集合．
23. 知.（1）若,求的单调区间；
（2）若当时,恒有,求实数的取值范围.
第一部分集合与简易逻辑与不等式（教案）
1．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。（最好将集合都表示成区间）元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；
2． 集合元素具有确定性、无序性和互异性
3．注意补集思想、数形结合：
借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具
4．对集合，“极端”情况：或；“极端”情况：；
求集合的子集：是任何集合的子集
5．四种命题：
1。原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时常常借助判断其逆否命题的真假。
2．命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题”
6．充要条件的判断：
（1）定义法
（2）从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；
若，则A是B必要条件；若A=B，则A是B充要条件。
7．判断命题的真假
关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”。 “或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”
8．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；
全称p：；全称p的否定p：⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表；
特称p：；特称p否定p：；
9.不等式的性质：
（1）若，则
（2）若，则
（3）若，，取倒数；若，，则。
10. 不等式大小比较的常用方法：
（1）作差；（2）作商；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ； (8)图象法。
11利用重要不等式求函数最值时，要“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”。
12.简单的一元高次不等式的解法：标根法：
13.含绝对值不等式的性质：
同号或有；
异号或有.
复数：
向量：
14.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法
1).恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上；若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
2).能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.
3).恰成立问题
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.
15.二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）B＞0时，
①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；
②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方
对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数
当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域
16.线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解
[自测题]
1：答案：。解析：，。，。所以=。
2：解析：正确理解集合P和集合Q的意义,数集不是点集..
前者是指函数的值域，后者指函数的自变量的取值范围。答案：（D）
3：错解：，则。的取值范围。错因分析：上述解法中把问题当成：“在上恒成立，求的取值范围。”而本题仅仅是存在的值，能使得成立，，的取值范围。
4：-1（0舍去）；5： 不是 ；
6： ；7. 8．④；9. ；10. 解析：，两式相加，得，。答案：有最大值－
11.答案：5。；12：（答：）；13.
14．答案：。应用几何意义：
15.正确答案：。忽视B=
16．解；，
可行域如图AED，的几何意义相当于点到AED内的任意连线的斜率，等价于点A、D在直线的两侧，解得。
17．解：，若该不等式的解集是，
则 即恒成立，。所以，
18．解析：“存在”不同于“任意”， 存在a∈[1，3]，使得关于的一次不等式能够成立，
或。
19．解：若，不等式在上不成立，即不等式在上恒立，分离参数，在上恒立。令，，则。
所以，字母的取值范围。
20．已知函数。若，对于任意的，恒成立，试确定实数的取值范围。
解析：（法一）任意的，恒成立等价于恒成立，也即恒成立，从而问题转化为求在上的最小值，。所以实数的取值范围。
（法二）任意的，恒成立等价于恒成立，等价于的图象在上总是在的上方覆盖，只需求出直线与曲线相切时的斜率即可。于是，问题进一步转化成求过点（0，0）曲线的切线的斜率。容易求出此时，所以实数的取值范围。
21．已知函数，当时，恒有，求m的取值范围．
解:。当即时,当即时,.综上得:或.
22．已知向量，向量．
（1）已知常数满足≤≤2，求使不等式≥成立的的解集；
（2）求使不等式≥对于一切恒成立的实数取值集合．
解：∵，，∴
∴
（1）∵，
则∴恒成立．
∴∴所求的不等式的解集为 （2）∵，∴，当且仅当时等号成立，∴函数有最小值2．要使恒成立恒成立，所以．∴的取值集合为．
23. 知.（1）若,求的单调区间；
（2）若当时,恒有,求实数的取值范围.
解：（1）
当,单调递增区间和,单调递减区间
（2）(i)当时,显然成立;
(ii)当时,由,可得,
令,则有
.由单调递增,可知.又是单调减函数,故,故所求的取值范围是.
第一部分 集合与简易逻辑与不等式（备用）[自测题]
1：答案：。解析：，。，。所以=。
2：解析：正确理解集合P和集合Q的意义,数集不是点集..
前者是指函数的值域，后者指函数的自变量的取值范围。答案：（D）
3：在上存在的值，求的取值范围。
错解：，则。的取值范围。
错因分析：上述解法中把问题当成：“在上恒成立，求的取值范围。”而本题仅仅是存在的值，能使得成立，，的取值范围。
4： 集合，，若，则实数的值-1（0舍去）
5：函数的定义域是不是
6：
7. 命题“，有”的否定是 ．
8．④
9. 已知命题与命题
都是真命题,则实数
的取值范围是
10. 已知函数f (x)= 在区间[－1，2 ]上函数值恒为非正数，那么b＋c最大值
解析：，两式相加，得，。答案：有最大值－
11. 如果实数满足不等式组，则的最小值为 .
答案：5。
12：正数满足，则的最小值为______
（答：）；
13. 若函数()在上的最大值为,则的值为
14．已知复数，那么的最大值是
答案：。应用几何意义：
15. 设集合A=，B=，若，求实数的范围。
正确答案：。忽视B=
16．关于的方程的两根满足
，求的范围
解；，，
可行域如图AED，的几何意义相当于点到AED内的任意连线的斜率，等价于点A、D在直线的两侧，解得。
17．若关于的不等式的解集为正实数集，则字母a的取值范围。
解：，若该不等式的解集是，
则 即恒成立，。所以，
18．若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋（a-2）x-2>0成立，则实数x的取值范围．
解析：“存在”不同于“任意”， 存在a∈[1，3]，使得关于的一次不等式能够成立，
或。
19．已知，的定义域是Q，若，求字母的取值范围。
解：若，不等式在上不成立，即不等式在上恒立，分离参数，在上恒立。令，，则。
所以，字母的取值范围。
20．已知函数。若，对于任意的，恒成立，试确定实数的取值范围。
解析：（法一）任意的，恒成立等价于恒成立，也即恒成立，从而问题转化为求在上的最小值，。所以实数的取值范围。
（法二）任意的，恒成立等价于恒成立，等价于的图象在上总是在的上方覆盖，只需求出直线与曲线相切时的斜率即可。于是，问题进一步转化成求过点（0，0）曲线的切线的斜率。容易求出此时，所以实数的取值范围。
21．已知函数，当时，恒有，求m的取值范围．
解:。当即时,当即时,.综上得:或.
22．已知向量，向量．
（1）已知常数满足≤≤2，求使不等式≥成立的的解集；
（2）求使不等式≥对于一切恒成立的实数取值集合．
解：∵，，∴
∴
（1）∵，
则∴恒成立．
∴∴所求的不等式的解集为 （2）∵，∴，当且仅当时等号成立，∴函数有最小值2．要使恒成立恒成立，所以．∴的取值集合为．
23. 知.（1）若,求的单调区间；
（2）若当时,恒有,求实数的取值范围.
解：（1）
当,单调递增区间和,单调递减区间
（2）(i)当时,显然成立;
(ii)当时,由,可得,
令,则有
.由单调递增,可知.又是单调减函数,故,故所求的取值范围是.

展开更多......

收起↑