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数 列
（江苏省木渎高级中学 王雪元）
1.（填空题）已知等差数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为 ____
分析与解答: 因为数列是等差数列, , ，，设三角形最大角为，由余弦定理，得，。
2.在等差数列中, ，其前项的和为,若,则.
分析与解答：设公差是，由，得，，
3．已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题：⑴；⑵；
⑶；⑷ 数列中的最大项为，其中正确命题的序号是 _______________.
分析与解答：由，得，，，，所以⑴正确；又，所以（2）也正确；而，所以（3）不正确；由上知，数列中的最大项应为，所以（4）也不正确，所以正确命题的序号是（1），（2）。
4．已知数列是公差为1 的等差数列，数列的前100项的和等于100，则数列的前200项的和等于____________________.
分析与解答：由已知，得，，所以数列是以2为公比的等比数列，数列的前100项的和等于100，由定义得，数列的前200项的和等于。
5. 已知等比数列的首项为8，是其前n项和，某同学经计算得，，，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公比是________.
分析与解答：设等比数列的公比为，若计算正确，则有，但此时，与题设不符,故算错的就是,此时, 由可得,且也正确.
6. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，记，则
分析与解答：由，得，又，，
又由得，由得，
，所以，从而有，。
7．数列{an}中，（t>0且t≠1）．是函数的一个极值点．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记，当t=2时，数列的前n项和为Sn，求使Sn>2008的n的最小值；
（3）当t=2时，是否存在指数函数g（x），使得对于任意的正整数n有成立？若存在，求出满足条件的一个g（x）；若不存在，请说明理由．
分析：利用是函数的一个极值点求出与的关系式，从而加以证明第（1）问，而第（2）问的解决关键在于运用等比数列的求和公式，再利用函数的单调性得出n的最小值。第（3）问中先将拆项并求和，通过观察与分析得出指数函数g（x）的表达式。
（1）．由题意，即
，∴，
∵且，∴数列是以为首项，t为公比的等比数列，
以上各式两边分别相加得，∴，
当时，上式也成立，∴
（2）当t=2时，


由，得，，
当，
因此n的最小值为1005．
（3）∵
令，则有：
则

即存在函数满足条件．
说明：数列综合题一般都以等差、等比数列为基础，往往可以通过化归将所求解的问题化为为等差与等比数列的有关问题来解；对于数列中的探索型问题，往往运用“特殊到一般”的归纳推理思想，必要时要能够有依据的猜想，然后加以证明。
8、已知分别以和为公差的等差数列和满足，．
（1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；
（2）若，且数列，，…，，，，…，的前项和满足，求数列和的通项公式；
（3）在（2）的条件下，令，，，且，问不等式≤ 是否对一切正整数恒成立？请说明理由．
分析：本题第（1）问中，先由得出与的关系式，然后运用基本不等式加以证明；第（2）问是利用条件求出两个等差数列的公差求出来，然后写出数列的通项公式。第（3）问利用指数函数的性质结合分类讨论进行不等式的证明。
解答：（1）依题意，，
即，即；
等号成立的条件为，即 ，，等号不成立，原命题成立
（2）由得：，即：，
则，得 ，，，
则，；
（3）在（2）的条件下，，，
要使≤，即要满足≤0，
当时，，数列单调减；单调增
当正整数时，，，；
当正整数时，，，；
当正整数时，，，，
则不等式≤对一切的正整数恒成立；
同理，当时，也有不等式≤对一切的正整数恒成立．
综上所述，不等式≤对一切的正整数恒成立．
说明：本题以较新的角度考查数列与不等式问题，处理这类问题时，要充分利用条件，运用通性通法加以解决，必要时往往要结合函数的性质。

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