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人教版八年级上册数学期中试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在以下大众、东风、长城、奔驰四个汽车标志中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（ ）
A．12cm，5cm，6cm B．1cm，3cm，4cm C．1cm，2cm，4cm D．8cm，6cm，4cm
3．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．一块三角形草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三条边的距离都相等，凉亭的位置应造在（ ）
A．的三条角平分线的交点 B．的三条高所在直线的交点
C．的三条中线的交点 D．的三边中垂线的交点
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E，若∠CBD：∠DBA=2：1，则∠A为（ ）
A．20° B．25° C．22.5° D．30°
8．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ 　 ）
A． B． C． D．
9．小明把一副直角三角板如图摆放，其中，则等于( )
A． B． C． D．
10．平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______．
12．如图，在等边△ABC的外侧作正方形ABDE，AD与CE交于F，则∠ABF的度数为_________．
13．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(1，2)、A(－2，0)，则点B的坐标是__________.
14．如图，△ABC中，，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时，则原三角形中=_____．
15．如图，五边形ABCDE的外角中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，则∠A的度数是_____．
16．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝________cm.
三、解答题：本大题共9小题，共72分。
17．如图，在△ABC中，∠C=90°
（1）作△ABC的角平分线AD．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若AB=10，CD=3，则△ABD的面积等于　　　　．
18．已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC．求证：BC=EF．
19．已知：如图，在中，，是角平分线，是高，和交于点.
(1)若，则____________，____________；
(2)结合(1)中的结果，探究和的关系，并说明理由.
20．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形 ABC (顶点是网格线交点的三角形)的顶点 A ，C 的坐标分别是(-4 ，6) ，(-1，4) ．
(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
(2)请画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 ；并直接写出 A1B1C1的坐标.
(3)请在 y 轴上求作一点 P ，使△PB1C 的周长最小，
21．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．
（1）证明：BM=CN；
（2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数．
22．如图，点D，E分别在正△ABC的边AB，BC上，且BD＝CE，CD，AE交于点F．
（1）①求证：△ACE≌△CBD；②求∠AFD的度数；
（2）如图2，若D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，BM，CD交于Q．若△ABC的面积为S，请用S表示四边形ANQF的面积　 　；
（3）如图3，延长CD到点P，使∠BPD＝30°，设AF＝a，CF＝b，请用含a，b的式子表示PC长，并说明理由．
23．已知如图，四边形ABCD中，∠B和∠C的平分线交于点O．
求证：∠BOC=（∠A+∠D）．
24．如图，等边三角形中，的平分线交于点I，的垂直平分线分别交于点E，F．求证：．
25．为等腰直角三角形，，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角，.
（1）如图1，作于F，求证：；
（2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值。
（3）如图2，过点E作交CB的延长线于点H，过点D作，交AC于点G，连接GH当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由.
参考答案
1．B
【解析】
A、轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误，
故选B．
2．D
【解析】
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分别判断出即可．
解：∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，∴A. 12cm，5cm，6cm，∵5+6＜12，∴无法围成三角形，故此选项A错误；
B．1cm，3cm，4cm，∵1+3＝4，∴无法围成三角形，故此选项B错误；
C.1cm，2cm，4cm，∵1+2＜4，∴无法围成三角形，故此选项C错误；
D.8cm，6cm，4cm，∵4+6＞8，，∴能围成三角形，故此选项D正确；
故选D．
“点睛”此题主要考查了三角形三边关系，此定理应用比较广泛，同学们应熟练应用此定理．
3．C
【分析】
根据多边形的内角和定理：（n 2）×180°求解即可．
【详解】
解：由题意可得：180° （n﹣2）＝150° n，
解得n＝12．
故多边形是12边形．
故选C．
【点睛】
主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：（n 2）×180°．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
4．B
【分析】
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【详解】
解：点关于轴对称的点的坐标为：
故选：B．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
5．C
【分析】
利用三角形的判定定理结合题目所给条件进行分析即可．
【详解】
A、添加后，利用ASA定理判断，故A选项不合题意；
B、添加，利用SAS定理判定，故B选项不合题意；
C、添加，两边一角对应相等，但角不是两边的夹角，不能判断两个三角形全等，故C选项正确；
D、添加，利用AAS定理判定，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．A
【分析】
直接根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC 三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
7．C
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=DB，再根据等边对等角可得∠A=∠DBA，然后在Rt△ABC中，根据三角形的内角和列出方程求解即可．
解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∴∠A=∠DBA，
∵∠CBD：∠DBA=2：1，
∴在△ABC中，∠A+∠ABC=∠A+∠A+2∠A=90°，
解得∠A=22.5°．
故选C．
考点：线段垂直平分线的性质．
8．B
【详解】
由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
故选B．
考点：作图—复杂作图
9．B
【分析】
根据三角形外角性质分别表示出∠α与∠β，然后进一步计算即可.
【详解】
如图所示，利用三角形外角性质可知：
∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠α+∠β=∠2+∠D+∠3+∠F
=90°+30°+90°
=210°，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
10．C
【详解】
解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；
②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；
③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB
∴符合条件的点C共7个
故选C
11．10．
【解析】
试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为10．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
12．15
【解析】
∵△ABC是等边三角形，ABDE是正方形，
∴AC=AE，
∴∠CAB=60°,∠EAB=90°,
∴∠CAE=150°，
∴∠ACE=∠AEC=15°，
∵△AEF和△ABF中，
，
∴△AEF≌△ABF(SAS)，
∴∠ABF=∠AEF=15°.
故答案为15°.
13．(3，－1)
【解析】
分析：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
详解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°；∠CAD=∠BCE，AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴DC=BE，AD=CE，
∵点C的坐标为(1,2),点A的坐标为( 2,0)，
∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，
∴则B点的坐标是(3, 1).
故答案为(3, 1).
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键在于结合坐标、图形性质和已经条件.
14．78°
【分析】
由两次折叠可知∠ABE=∠A′BE=∠CBD，∠BDC=∠BDC′=82°，而∠BDC是△ABD的外角，由外角的性质列方程求解．
【详解】
解：由折叠的性质得∠ABE=∠A′BE=∠CBD，设∠ABE=x，
同理得∠BDC=∠BDC′=82°，
而∠BDC=∠A+∠ABD，即82°=30°+2x，
解得x=26°，
∴∠B=3x=78°．
故答案为：78°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形的外角和定理的运用．关键是根据折叠的性质得出相等的角，运用外角和定理列方程解题．
15．120°．
【分析】
根据多边形的外角和求出与∠A相邻的外角的度数，然后根据邻补角的和等于180°列式求解即可．
【详解】
∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，
∴与∠A相邻的外角＝360°﹣75°×4＝360°﹣300°＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°＝120°．
故答案为120°．
【点睛】
本题主要考查了多边形外角和定理，熟练掌握相关概念是解题关键.
16．4
【详解】
分析：先证明△ABC是等边三角形，再证明AD是BC的垂直平分线，即可得出BE=BC=4cm．
详解：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC=AB=8cm．
∵DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，∴BE=BC=4cm．
故答案为4．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；证明AD是BC的垂直平分线是解题的关键．
17．（1）答案见解析；（2）15．
【分析】
（1）根据尺规作图作∠BAC平分线交BC于D即可；
（2）作DE⊥AB于E，证明DE=CD=3，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）如图，线段AD为所求的图形
（2）如图，作DE⊥AB于E，
∵AD为△ABC角平分线，DE⊥AB, ∠C=90°,
∴DE=CD=3，
∴．
故答案为：15
【分析】
本题考查了角平分线的尺规作图和角平分线的性质，熟知基本作图步骤和角平分线的性质是解题关键．
18．证明见解析.
【分析】
由已知AB∥ED，AF=DC可以得出∠A=∠D，AC=DF，又因为AB=DE，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出BC=EF．
【详解】
证明：∵AB∥ED，
∴∠A=∠D，
又∵AF=DC，
∴AC=DF．
在△ABC与△DEF中 ，
∴△ABC≌△DEF．
∴BC=EF．
【点评】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．（1），；（2），见解析.
【分析】
（1）根据∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，可得∠ACD=∠B，再根据AE是角平分线，可得∠BAE=∠CAF，再根据∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，即可得到∠CFE和∠CEF的度数；
（2）根据∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，可得∠ACD=∠B，再根据AE是角平分线，可得∠BAE=∠CAF，再根据∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，即可得到∠CFE=CAF+∠ACD，∠CEF=∠B+∠BAE，进而得出∠CFE=∠CEF．
【详解】
（1）∵∠ACB=90°，CD是高，∠B=40°，
∴∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，
∴∠ACD=∠B=40°，∠BAC=50°，
又∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠CAF=25°，
∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，
∴∠CFE=∠CAF+∠ACD=65°，∠CEF=∠B+∠BAE=65°，
故答案为65；65；
（2）∠CFE和∠CEF相等，
理由：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，
∴∠ACD=∠B，
又∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠CAF，
∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，
∴∠CFE=CAF+∠ACD，∠CEF=∠B+∠BAE，
∴∠CFE=∠CEF．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
20．（1）作图见解析；（2）作图见解析； A1(-4，-6)、B1(-2，-2)、C1 (-1，-4) ；
（3）作图见解析；P（0，2）．
【分析】
（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）作出点B关于y轴的对称点B2，连接A、B2交y轴于点P，则P点即为所求．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）如图所示：A1、B1、C1的坐标是A1(-4，-6)、B1(-2，-2)、C1 (-1，-4)
（3）作点B1关于y轴的对称点B2（2，-2），连接C、B2交y轴于点P，则点P即为所求．
设直线CB2的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵C（-1，4），B2（2，-2），
，
解得
∴直线CB2的解析式为：y=-2x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴P（0，2）．
【点睛】
本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质，熟知在直线上找一个点，使它到两个已知点距离之和最小的作图方法是解答此题的关键．
21．（1）见解析；（2）∠DCB=35°
【分析】
（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；
（2）由HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出∠ADM=∠ADN=55°，由于∠BDM=∠CDN，因此∠BDC=110°，因此∠EDC=55°，根据两角互余的关系即可求得∠DCB的度数．
【详解】
（1）证明：连接BD、CD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分线BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN；
（2）由（1）得：∠BDM=∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，
∴∠ADM=∠ADN
∵∠BAC=70°
∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，
∵∠BDM=∠CDN
∴∠BDC=∠MDN=110°
∵AD是BC的垂直平分线
∴∠EDC=55°
∴∠DCB=90°-∠EDC=35°
∴∠DCB=35°
故答案为∠DCB=35°．
22．（1）①见解析，②∠AFD＝60°（2）S；（3）PC＝a+2b，见解析
【分析】
（1）①由等边三角形的性质AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，且BD＝CE，可证△BDC≌△CEA；
②由三角形的外角性质可求∠AFD的度数；
（2）由等边三角形的性质可得BD＝CE＝AM＝DN，且AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，可证△ABM≌△CAE≌△BCD和△BDQ≌△CEF，由全等三角形的性质和三等分点性质，可求四边形ANQF的面积；
（3）在AC上截取AM＝CE，由题意可证△BHC≌△CFA，可得BH＝CF＝b，AF＝CH＝a，∠PHB＝60°，即可求PC的长．
【详解】
证明：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，且BD＝CE，
∴△BDC≌△CEA（SAS）；
②∵△BDC≌△CEA，
∴∠CAE＝∠BCD，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACF＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，
∴∠AFD＝60°；
（2）∵D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，
∴BD＝CE＝AM＝DN，且AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴△ABM≌△CAE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠ABM＝∠BCD，∠AMB＝∠AEC＝∠BDC，且BD＝CE，
∴△BDQ≌△CEF（ASA），
∴S△BDQ＝S△CEF，
∵BD＝DN，
∴S△BDQ＝S△DNQ＝S△CEF，
∵D，E是AB，BC上三等分点，
∴S△BDC＝S△CEA＝S△ABC＝S，
∵四边形ANQF的面积＝S△ABC﹣S△AEC﹣S△DNQ﹣S四边形DFEB＝S﹣S﹣S，
∴四边形ANQF的面积＝S，
故答案为:S；
（3）PC＝a+2b，
理由如下：如图，在AC上截取AM＝CE，即AM＝CE＝BD，
∵AM＝CE＝BD，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝CB，
∴△CBD≌△ACE≌△BAM（SAS），
∴∠CAE＝∠BCD＝∠ABM，且∠ABC＝∠ACE，
∴∠MBC＝∠ACD，且BC＝AC，∠EAC＝∠BCD，
∴△BHC≌△CFA（ASA），
∴BH＝CF＝b，AF＝CH＝a，
∵∠PHB＝∠MBH+∠HCB＝∠ABM+∠MBC＝∠ABC，
∴∠PHB＝60°，且∠BPD＝30°，
∴∠PBH＝90°，且∠BPH＝30°，
∴PH＝2BH＝2b，
∴PC＝PH+HC＝a+2b.
23．证明见解析
【分析】
先利用角平分的定义，找出∠OBC与∠ABC，∠OCB与∠BCD的关系，再根据三角形的内角和定理，和四边形内角和为360°进行计算整理即可.
【详解】
∵OB和OC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠BCD)，
∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-(∠A+∠D)，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠BCD)=180°-[∠360°-(∠A+∠D)]= (∠A+∠D)，
即∠BOC=(∠A+∠D)．
【点睛】
解此题的关键在于根据角平分找到三角形中的角与四边形中的角的关系，本题利用三角形和四边形的内角和公式构造等式，将三角形的角用四边形的角来表示，整理即可求证.
24．证明见解析
【分析】
连接，先根据线段的垂直平分线的性质和角平分线性质得到有关的角和线段之间的等量关系：∠IBC=∠ICB=30°，IE=BE，IF=FC；再利用三角形的外角等于不相邻的两内角和求出∠IEF=60°，∠IFE=60°．从而判定△IEF是等边三角形即IE=IF=EF，通过线段的等量代换求证即可．
【详解】
证明：连接．
∵垂直平分，
∴，同理．
又∵是等边三角形，
∴，
而分别平分，
∴．
∵，
∴，
同理，
∴为等边三角形．
∴，
∴．
25．（1）证明见解析；（2）2；（3）不变，理由见解析.
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据“AAS”可证明△DBC≌△CFE；
（2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以；
（3）在EH上截取EQ=DG，如图2，先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG=HQ，然后可计算出.
【详解】
证明：(1)∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°．
∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°，
又∵EF⊥BC，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DCB=∠CEF，
在△DBC和△CEF中， ，
∴△DBC≌△CFE；
（2）解：如图1，
∵△DBC≌△CFE，
∴BD=CF，BC=EF，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∴AB=EF，AD=BF，
在△ABM和△EFM中， ，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=FM，
∴BF=2BM，
∴AD=2BM，
∴
（3）解：的值不变．
在EH上截取EQ=DG，如图2，
在△CDG和△CEQ中 ，
∴△CDG≌△CEQ，
∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，
∵∠DCG+∠DCB=45°，
∴∠ECQ+∠DCB=45°，
而∠DCE=90°，
∴∠HCQ=45°，
∴∠HCQ=∠HCG，
在△HCG和△HCQ中， ，
∴△HCG≌△HCQ，
∴HG=HQ，
∴
即式子的值不会发生变化.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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