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华东师大版九年级数学上册第22章一元二次方程单元复习题
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3． 把方程x2+8x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（　　）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
4．如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）
A．p2-4q≥0 B．p2-4q≤0 C．p2-4q>0 D．p2-4q<0
5．关于的方程有两个不相等的实数根，则的值范围是（　　）
A．且 B．且
C． D．
6．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．已知：关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根分别为 ， 其中 ，若 是关于 的函数，且 ，若 ，则（　　）
A． B． C． D．
8．如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的最小整数值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则 的值为（　　）
A． B． C． 或2 D． 或2
10．某公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司，两个月营业额的月平均增长率．设该公司，两个月营业额的月平均增长率为，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11． 已知是关于的一元二次方程，则　 　．
12．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
13．若、是方程的两个实数根，则　 　．
14．用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门该门用其他材料，若墙长，则该长方形场地的长为　 　
三、计算题
15．解下列方程
（1）
（2）
四、解答题
16．先化简，再求值：（a2+4a）÷（ ），其中a是方程x2﹣3x﹣1＝0的根．
17．已知关于的方程．
（1）求证：无论为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根为，求该方程的另一个实数根．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
19．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为元个时，七月销售个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到个．
（1）求八，九两月销量的月平均增长率；
（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低元，月销量在九月销量的基础上增加个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利元？
五、综合题
20．小明解关于 的一元二次方程 时，在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2．
（1）求 的值；
（2）若菱形的对角线长是关于 的一元二次方程 的解，求菱形的面积．
21．已知关于x的方程．
（1）当方程一个根为x=3时，求m的值.
（2）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根.
（3）若等腰△ABC的一腰长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为　 　．
22．方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别是．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
23．请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解： A：是一元一次方程，不符合题意；
B：是分式方程，不符合题意；
C：∵，
∴，
∴3x=0，是一元一次方程，不符合题意；
D：∵，
∴，是一元二次方程，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个非零根，
∴，
∴，
∴，
∴b=0或b-a+1=0，
∴b-a=-1，
∴a-b=1，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根求出，再求出b=0或b-a+1=0，最后计算求解即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解： x2+8x﹣3＝0，
移项，得x2+8x=3，
配方，得x2+8x+16=3+16，
即（x+4)2=19，
m，n的值分别是 4、19.
故答案为：D。
【分析】配方法的一般步骤是：把常数项移到方程的一边，把二次项系数化为1，方程两边加上一次项系数的一半的平方进行配方，再写成 （x+m）2＝n的形式。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ =p2-4q≥0，
∴一元二次方程x2+px+q=0的根为x=，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的求根公式x=（b2-4ac≥0），得出一元二次方程x2+px+q=0的根为x=（p2-4q≥0），即可得出答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴且a-3≠0，
解得： 且 ，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，求出且a-3≠0，再计算求解即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴．
∴．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程的定义可得，再求出m的取值范围即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解： 是关于 的一元二次方程，
，
由求根公式，得 .
或 .
， ，
， .
，
解得 ，
.
故答案为：D.
【分析】由题意用一元二次方程的求根公式x=并结合已知可求得两个实数根x1、x2的值，然后把x1、x2的值代入y=x1-ax2并结合y0可得关于a的不等式，解这个不等式即可求解.
8．【答案】D
【解析】【解答】根据题意，一元二次方程没有实数根
则
即
解得
k的最小整数值是3
故选：D。
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，方程没有实数根则判别式一定小于0，即，由此计算出k的取值范围，进而找到符合条件的值。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，
∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2=0的两个根，
∴a+b=7，ab=2，
∴ = = = = ．
故选A．
【分析】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2=0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：设该公司，两个月营业额的月平均增长率为，由题意可得：
故答案为：D.
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），即可求出答案.
11．【答案】
【解析】【解答】∵是关于的一元二次方程，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程的定义可得，再求出m的值即可.
12．【答案】且
【解析】【解答】解： ∵关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×k×（-1）＞0，
∴k＞-1，且k≠0.
故答案为：k＞-1，且k≠0.
【分析】根据跟的判别式的性质，直接列出不等式，求得k的解集，同时再根据一元二次方程二次项系数不等于0，即可得出答案。
13．【答案】
14．【答案】4
【解析】【解答】解：设长方形场地垂直于墙一边长为xm，
由题意可得：，
解得：x=2或，
∴当x=2时，8-2×2+1=5（m），5＞4.5，不符合题意；
当时，，
即该长方形场地的长为4m，
故答案为：4.
【分析】根据题意找出等量关系求出，再解方程求出x=2或，最后计算求解即可。
15．【答案】（1）解：分解因式得：，
可得或，
解得：；
（2）解：分解因式得：，
可得或，
解得：；
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可.
16．【答案】解：原式＝a（a+4）÷ ＝a（a+4） ＝a2﹣3a，
由a是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，得到a2﹣3a﹣1＝0，即a2﹣3a＝1，
则原式＝1．
【解析】【分析】先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再根据方程根的概念得出 a2﹣3a＝1 ，最后代入求值即可.
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
无论为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把代入原方程得：，
解得，
，
两根之和为，
，
该方程的另一个实数根为．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）根据一元二次方程的根求出 ， 再求出k=3，最后计算求解即可。
18．【答案】（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4（2k﹣3）
＝k5+2k+1﹣4k+12
＝k2﹣6k+13
＝（k﹣2）2+4＞5，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当AB＝3为腰时，则AC或BC有一条边为腰，
x2﹣（k+2）x+2k﹣3＝4的解为3，
∴9﹣3（k+1）+2k﹣6＝0，
解得：k＝3，
当AB＝5为底时，则AC，
方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0有两个相等的实数根，
由（1）得无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
综上所述，k＝8．
19．【答案】（1）解：设八，九两月销量的月平均增长率为，
由题意可得：，
解得：，，不符合题意，舍去，
答：八，九两月销量的月平均增长率为；
（2）解：设该品牌头盔售价降低元，
，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
元，
答：该品牌头盔售价为元时，超市十月能获利元．
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据利润公式求出 ， 再求出a的值，最后代入计算求解即可。
20．【答案】（1）解：由题意得，设看错的常数为 ，
，
∴ ．
（2）解：原方程为 ，
解方程得 ， ．
由菱形面积公式可得： ．
【解析】【分析】（1）设看错的常数为 ，列出方程组，解之即可；
（2）解方程得出x的值，即可求出菱形面积。
21．【答案】（1）解：把x=3代入方程得：9-3（m+1）+2（m-1）=0，
解得m=4；
（2）证明：∵
∴无论m取何值，这个方程总有实数根.
（3）.
【解析】【解答】（3）解：∵△ABC是等腰三角形，
∴b=c或b、c中有一个等于a，即值为6，
①当b=c时，△=（m-3）2=0， 解得m=3，
∴方程为x2-4x+4=0， 解得x1=x2=2，
即b=c=2，
∵2、2、6不能组成三角形，故舍去；
②当b、c中有一个等于6时，将x=6代入原方程得：36-6（m+1）+2（m-1）=0， 解得m=7，
方程为x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6，
∴三边为2，6，6，
∴△ABC底边上的高为，
∴ △ABC的面积为×2×=；
故答案为：.
【分析】（1）把x=3代入方程即可求出m值；
（2）计算出△=m-3）2≥0，据此即可判断；
（3）由△ABC是等腰三角形，可得b=c或b、c中有一个等于a，即值为6，分两种情况分别求出三边的长，再利用三角形的面积公式即可求解.
22．【答案】（1）解：方程有两个实数根，
，
，，，
，
解得：；
（2）解：根据题意得，，
，
，
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式即可得到，进而即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
23．【答案】（1）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
化简得，，
这个一元二次方程为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
去分母得，，
若，则，于是方程有一根为0，不符合题意，
，
所求方程为：．
【解析】【分析】（1）设所求方程的根为，则，再将代入方程即可求出一元二次方程；
（2）设所求方程的根为，则，再把代入已知方程结合题意即可求解。
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