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1.在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（ ）?
?A. 与共线 ?B. 与共线?
?C. 与相等 D. 与相等
2.下列命题正确的是（ ）?
A.向量与是两平行向量? ?
B.若a、b都是单位向量,则a=b?
C.若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形?
?D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3.在下列结论中,正确的结论为（ ）?
(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件?
(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件?
(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件?
(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件??
?A.(1)(3) B.(2)(4) C.(3)(4) D.(1)(3)(4)??
4.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 .?
5.已知||=1,| |=2,若∠BAC=60°,则||= .?
6.在四边形ABCD中, =,且||=||,则四边形ABCD是 .?
7.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,
求证： =.??
8.某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C
点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点.?
(1)作出向量、、 (1 cm表示200 m)?.?
(2)求的模.????????
9.如图5—2,已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A、B、C、D},求集合T={、Q∈M,且P、Q不重合}.???
参考答案：
1.B 2.A 3.D 4.一条直线两点?5. 6.菱形 7.(略)?
8.(1)如图所示?
(2)450 m?
9.{、、、、、、、}?
向量相关练习
1．有以下物理量：①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功，其中不能称为向量的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析：确定一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量，而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，不能称为向量.
2．讨论以下问题（ ）
(1)平行向量是否一定方向相同？
(2)共线向量是否一定相等？
(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是不是相等的向量？
(4)不相等的向量，则一定不平行
(5)非零向量的单位向量惟一
分析：（1）否，还可以方向相反；
（2）否，共线向量仅方向相同或相反，大小不一定相等；
（3）是，因为向量与起点位置无关；
（4）不对，因为a、b方向相同，但只要|a|≠|b|，则a≠b；
（5）否，任一非零向量a的单位向量为
3．为什么说平行向量就是共线向量？试说出共线向量a、b的四种不同情况.
分析：向量的共线与几何中“共线”的含义不同，向量的共线可以是不重合的，平行向量也称共线向量.
解：因为向量可以平行移动，两个平行向量通过平移可以使之成为在同一条直线上的两个向量，即共线向量.
共线向量a、b可有以下四种不同的情况：
（1）方向相同且模相等；（2）方向相同但模不等；（3）方向相反且模相等；（4）方向相反但模不等.
4．两个长度相等的向量在什么情况下才一定相等？
分析：向量有两个要素：一是大小，二是方向，两个向量只有当它们的模相等，同时方向相同时，才称为相等的向量.即a=b就意味着|a|=|b|且a和b的方向相同.零向量与零向量相等.
解：两个长度相等的向量只有在它们的方向相同或两个向量的长度都为零时，才是相等的向量.
1.下列各量中不是向量的是（ ）?
A.浮力? B.风速? ?C.位移 ?D.密度?
2.下列说法中错误的是（ ）
A.零向量是没有方向的? ?B.零向量的长度为0?
C.零向量与任一向量平行? ?D.零向量的方向是任意的?
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.一条线段? B.一段圆弧?
C.圆上一群孤立点? D.一个单位圆?
4.“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件.?
5.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定 .
6.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定 .
参考答案：1.D 2.A 3.D 4.必要非充分 5.c∥b 6.不共线?
相关练习
1．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值为（ ）
A．－ B． C．－ D．
分析：先用正弦定理：可求出a∶b∶c=3∶2∶4，
所以可设a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理：
即
答案：A
2．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度.
分析：先画图，再利用正弦定理求解.
解：如图所示，∠SMN=15°+30°=45°
∠SNM=180°－45°－30°=105°
∴∠NSM=180°－45°－105°=30°
答：货轮的速度为里/小时.
3．△ABC中，a+b=10，而cosC是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.
分析：由余弦定理可得，然后运用函数思想加以处理.
解：
又∵cosC是方程2x2－3x－2=0的一个根.
由余弦定理可得
则
当a=5时，c最小且c=
∴△ABC周长的最小值为.
4．在湖面上高h米处，测得云的仰角为α,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为β，试证：云高为米.
分析：因湖而相当于一平面镜，故云C与它在湖中之影D关于湖面对称，设云高为x=CM，则从△ADE，可建立含x的方程，解出x即可.
解：如图所示，设湖面上高h米处为A，测得云的仰角为α，而C在湖中的像D的俯角为β，CD与湖面交于M，过A的水平线交CD于E，设云高CM=x.
则CE=x－h，DE=x+h

5．在某定点A测得一船初始位置B在A的北偏西α1处，十分钟后船在A正北，又过十分钟后船到达A的北偏东α2处.若船的航向与程度都不变，船向为北偏东θ，求θ的大小.(α1＞α2)
分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题.
解：如图所示，在△ABC中，由正弦定理可得：
①
在△ACD中，由正弦定理可得：
②
根据题意，有BC=CD
∴由①、②得：
即
（α1＞α2）
相关高考真题
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sinB的值.
（1998年全国高考题）
解：∵a+c=2b,∴sinA+sinC=2sinB
由和差化积公式得
1.某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰
好km，那么x的值为?
?A. B.2 ?C.2或 ?D.3
? 2.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
?A.米? B.米 C.200米? D.200米
? 3.如图5—22，为了测量障碍物两测A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据
?A.α、A、B? B.α、β、A? ?C.A、B、γ? D.α、β、B
? 4.如图5—23，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得
∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m，则河的宽度为 .? 5.如图5—24，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走A米到B，
又测得山顶P的仰角为γ，则山高为 .?
6.我舰在敌岛A南50°西相距12nmile?的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向
以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 .
7.如图5—25，河塘两侧有两物A、B，不能直接量得它们间的距离，但可以测算出它们的距离，为此，在河塘边选取C、D两点，并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=
90°,CD=80米，试求A、B两物间的距离（精确到0.1米）.? 8.甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以10海里/小时的速度
向正北方向行驶，而甲船同时以8海里/小时的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？????????
9.图5—26是曲柄连杆装示意图，连杆AC=l，曲柄AB=r，曲柄AB和曲轴BL所成的角为α.?
（1）求连杆AC和曲轴BL间的夹角β的正弦.?
（2）当α取什么值时，β最大？?
（3）求滑块C的位移x.??
参考答案：1.C 2.A 3.C 4. 60m
5.米?
6.14nmile/h 7.258.8米? 8.小时?
9.(1) (2)90° (3)r(1-cosα)+l(1-cosβ)?
1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为（ ）?
?A.α＞β ?B.α=β ?C.α+β=90° ?D.α+β=180°
? 2.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是?
?A.10海里 B.海里?
?C.5海里? D.5海里
? 3.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速
度是每小时?
A.5海里? B.5海里? ?C.10海里? D.10海里
? 4.一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为 .?
5.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 .?
6.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是 .?
参考答案：1.B 2.D 3.C 4.20米?
5.20米，米? 6.小时?
平面向量检测题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6O分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.?
1.a与b是非零向量，下列结论正确的是( )?
A．｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜?
B．｜a｜－｜b｜＝｜a－b｜?
C．｜a｜＋｜b｜＞｜a＋b｜?
D．｜a｜＋｜b｜≥｜a＋b｜?
解：在三角形中，两边之和大于第三边，当a与b同向时，取“＝”号.?
答案：D?
2.在四边形ABCD中，＝，且｜｜＝｜｜，那么四边形ABCD为( )?
A．平行四边形 B．菱形?
C．长方形 D．正方形?
解：由＝可得四边形ABCD是平行四边形，由｜｜＝｜｜得四边形ABCD的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.?
答案：B?
3.已知?ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D的坐标为( )?
A．（2，2） B．（－6，O）?
C．（4，6） D．（－4，2）?
解：设D（x，y），则＝（5，3），＝（－1－x，3－y），＝（x＋2，y－1），＝（－4，－1）.?
又∵∥，∥，
∴5（3－y）＋3（1＋x）＝O，?
－（x＋2）＋4（y－1）＝O，?
解得x＝－6，y＝O.?
答案：B?
4.有下列命题：①＋＋＝O；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c；③若a＝（ｍ，4），则｜a｜＝的充要条件是ｍ＝；④若的起点为A(2，1)，终点为B(－2，4)，则与x轴正向所夹角的余弦值是.其中正确命题的序号是( )?
A．①② B．②③?
C．②④ D．③④?
解：∵＋＋＝2，∴①错.?
②是数量积的分配律，正确.?
当ｍ＝－时，｜a｜也等于，∴③错.?
在④中，＝（4，－3）与x轴正向夹角的余弦值是，故④正确.?
答案：C?
5.已知a＝（－2，5），｜b｜＝2｜a｜，若b与a反向，则b等于( )?
A．(－1，) B．（1，－）?
C．（－4，1O） D．（4，－1O）?
解：b＝－2a＝（4，－1O），选D.?
答案：D?
6.已知｜a｜＝8，e是单位向量，当它们之间的夹角为时，a在e方向上的投影为( )?
A．4 B．4?
C．4 D．8＋2
解：由两个向量数量积的几何意义可知：a在e方向上的投影即：?
a·e＝｜a｜｜e｜cos＝8×1×＝4.?
答案：B?
7.若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b且2a＋3b与ｋa－4b也互相垂直，则ｋ的值为( )?
A．－6 B．6? C．3 D．－3?
解：∵a⊥b?
∴a·b＝O?
又∵（2a＋3b）⊥（ｋa－4b）
∴（2a＋3b）·（ｋa－4b）＝O?
得2ｋa2－12b2＝O?
解得ｋ＝6.?
答案：B?
8.已知a＝（3，4），b⊥a，且b的起点为（1，2），终点为(x，3x)，则b等于( )?
A．（－，） B．（－，）?
C．（－，） D．（，）?
解：b＝（x－1，3x－2）?
∵a⊥b?
∴a·b＝O?
即3（x－1）＋4（3x－2）＝O，?
解得x＝.
答案：C?
9.等边△ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于( )?
A．O B．1
C．－ D．－
解：由已知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，?
∴a·b＋b·c＋c·a
＝cos12O°＋cos12O°＋cos12O°＝－.
答案：D?
1O.把函数y＝的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为( )?
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解：把函数y＝的图象按a＝（－1，2）平移到Ｆ′，则Ｆ′的函数解析式为A，即按图象向左平移1个单位，用(x＋1)换掉x，再把图象向上平移2个单位，用（y－2）换掉y，可得y－2＝.
整理得y＝
答案：A?
11.已知向量e1、e2不共线，a＝ｋe1＋e2，b＝e1＋ｋe2，若a与b共线，则ｋ等于( )?
A．±1 B．1?
C．－1 D．O?
解：∵a与b共线?
∴a＝λb（λ∈Ｒ），
即ｋe1＋e2＝λ（e1＋ｋe2），?
∴（ｋ－λ)e1＋（1－λｋ）e2＝O?
∵e1、e2不共线?
∴
解得ｋ＝±1，故选A.?
答案：A?
12.已知a、b均为非零向量，则｜a＋b｜＝｜a－b｜是a⊥b的( )?
A．充分非必要条件?
B．必要非充分条件?
C．充要条件?
D．非充分非必要条件?
解：｜a＋b｜＝｜a－b｜?
（a＋b）2＝（a－b）2?
a·b＝O?
a⊥b.?
答案：C?
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案写在题中的横线上.?
13.如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，＝a，＝b，则＝ .
解：＝－＝b－a，?
∴＝＝（b－a）.?
答案：（b-a）
14.a、b、a－b的数值分别为2，3，，则a与b的夹角为 .?
解：∵（a－b）2＝7
∴a2－2a·b＋b2＝7
∴a·b＝3?
∴cosθ＝
∴θ＝.
答案：
15.把函数y＝－2x2，的图象按a平移，得到y＝－2x2－4x－1的图象，则a＝ .
解：y＝－2x2－4x－1＝－2（x＋1）2＋1?
∴y－1＝－2（x＋1）2
即原函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴a＝（－1，1）.?
答案：（-1，1）
16.已知向量a、b的夹角为，｜a｜＝2，｜b｜＝1，则｜a＋b｜·｜a－b｜的值是 .
解：∵a·b＝｜a｜·｜b｜cos＝2×1×＝1?
∴｜a+b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×1＋12＝7，?
｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×1＋1＝3
∴｜a＋b｜2·｜a－b｜2＝3×7＝21?
∴｜a＋b｜·｜a－b｜＝.
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.?
17.(本小题满分1O分)?
已知A(4，1)，B(1，－)，C（x，－），若A、B、C共线，求x.?
解：∵＝（－3，－）?
＝（x－1，－1）?
又∵∥
∴根据两向量共线的充要条件得：－（x－1）＝3
解得x＝－1.?
18.(本小题满分12分)?
已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a与b的夹角为6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－b，c⊥d，求ｍ的值.?
解：a·b＝｜a｜·｜b｜·cos6O°＝3?
∵c⊥d，?
∴c·d＝O?
即（3a＋5b）（ｍa－b）＝O?
∴3ｍa2＋（5ｍ－3）a·b－5b2＝O?
∴27ｍ＋3（5ｍ－3）－2O＝O?
解得ｍ＝.
19.(本小题满分12分)?
已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.?
解：由已知，（a＋3b）·（7a－5b）＝O，?
（a－4b）·（7a－2b）＝O，?
即7a2＋16a·b－15b2＝O①?
7a－3Oa·b＋8b2＝O②?
①－②得：2a·b＝b2代入①式得?
a2＝b2
∴cosθ＝，
故a与b的夹角为6O°.?
2O.(本小题满分12分)?
已知：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AB上的中线CD＝ｍ，求证：a2＋b2＝c2＋2ｍ2.
证明：∵＝＋，
＝＋，
两式平方相加可得?
a2＋b2＝c2＋2ｍ2＋2（·＋·）?
∵·＋·＝｜｜·｜｜·cosBDC＋｜｜｜｜cosCDA＝O
∴a2＋b2＝c2＋2ｍ2.
21.(本小题满分14分)?
设ｉ、j分别是直角坐标系x轴、y轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A、B、C，且＝
－2ｉ＋ｍj，＝ｎｉ＋j，＝5ｉ－j，⊥求实数ｍ、ｎ的值.?
解：∵⊥，
∴－2ｎ＋ｍ＝O①?
∵A、B、C在同一直线上，?
∴存在实数λ使＝λ，
＝－＝7ｉ＋［－（ｍ＋1）j］?
＝－
＝（ｎ＋2）ｉ＋（1－ｍ）j，?
∴7＝λ（ｎ＋2）?
ｍ＋1＝λ（ｍ－1）?
消去λ得ｍｎ－5ｍ＋ｎ＋9＝O②?
由①得ｍ＝2ｎ代入②解得?
ｍ＝6，ｎ＝3；?
或ｍ＝3，ｎ＝.
22.(本小题满分14分)?
如图，△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径
PQ＝2ｒ，问：当Ｐ、Ｑ取什么位置时，·有最大值??
解：·＝（－）·（－）?
＝（－）·（－－）?
＝－ｒ2＋·＋·
设∠BAC＝α，PA的延长线与BC的延长线相交于b，∠PDB＝θ，则
·＝－r2＋cbcosθ＋racosθ?
∵a、b、c、α、ｒ均为定值，?
∴当cosθ＝1，即AP∥BC时，·有最大值.
1.人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为( )?
?A.v1-v2 ?B.v1+v2 C.|v1|-|v2|? ?D.
? 2.用力F推动一物体水平运动sm，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为
A.|F|·s B.Fcosθ·s? ?C.Fsinθ·s ?D.|F|cosθ·s
3.初速度v0,发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行时间)为?
?A.y=|v0|t ?B.y=|v0|sinθ·t-|g|t2?
?C.y=|v0|sinθ·t ?D.y=|v0|cosθ·t
? 4.已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们合力的大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为 .?
5.用两条成60°的绳索拉船，每条索上的拉力是12N,则合力为 .（精确到0.1N）?
6.一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
2km/h，则船实际航行速度的大小和方向为 .?
7.两人共提一桶水，试问两人所用力的大小与其夹角大小之间的关系.?
8.某人在静水中游泳，速度为4km/h，??
（1）如果他径直游向河对岸，水流速度为4公里/小时，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？?
9.平面上三个力F1、F2、F3同作用于一点而处于平衡状态，|F1|=1N，|F2|=N,F1与F2的夹角为45°，试求F3的大小及F3与F1夹角的大小.?
参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 5N 5. 20.8 N?
6.大小为4km/h，方向与水流方向的夹角为60°?
7.θ增大时，|F1|也增大，θ减小时，|F1|也减小?
8.(1)此人沿与沿岸夹角60°顺着水流方向前进，速度大小为8公里/小时?
（2）此人沿与河岸夹角arccos逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为4公里/小时?
9.F3的大小为（1+）N, F3与F1的夹角为150°?
期末练习题
一、选择题
1.已知：a、b、c为三个向量，下列命题中正确的是( )?
A．如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b?
B．a－b＝b－a?
C．｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜?
D．（a·b）·c＝a·（b·c)?
答案：C?
2.如果α、β都是第二象限的角，且α＞β，那么sinα与sinβ的大小关系是( )?
A．sinα＞sinβ?
B．sinα＜sinβ?
C．sinα＝sinβ?
D．大小关系不定?
答案：D?
3.tan x＝2，则的值是( )?
A． B． C． D．
答案：C?
4.已知a＝（－2，5），｜b｜＝2｜a｜，且b与a反向，则b等于( )?
A．（－4，1O） B．（4，－1O）?
C．（－1，） D．（1，－）?
答案：B?
5.直线上有A、B、C三点，如果B分有向线段AC的比为－，则( )?
A．B是线段AC的中点?
B．A是线段BC的中点?
C．C是线段AB的中点?
D．B是线段AC的三等分点?
答案：B?
6.下面四个关系式中，正确的项的个数是( )?
①O·a＝O　②(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） ③a·b＝b·a ④｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜
A．4 B．3 C．2 D．1?
答案：C?
7.将函数y＝ｆ（x）图象上的点P(1，O)平移变为Ｐ′（2，O），平移后函数的新解析式为( )?
A．y＝ｆ（x＋1） B．y＝ｆ（x－1）?
C．y＝ｆ（x）＋1 D．y＝ｆ（x）－1?
答案：B?
8.在△ABC中，若acosA－bcosB＝O，则三角形的形状是( )?
A．等腰三角形?
B．直角三角形?
C．等腰直角三角形?
D．等腰三角形或直角三角形?
答案：D?
9.已知a＝（x，3），b＝（3，－1），且a∥b，则x等于( )?
A．－1 B．9 C．－9 D．1?
答案：C?
1O.已知a＝（λ，2），b＝（－3，5），且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )?
A．λ＞ B．λ＜? C．λ＞－ D．λ＜－
答案：A?
二、填空题?
11.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，若向量a＋ｋb与向量a－ｋb互相垂直，则实数ｋ＝ .
答案：±
12.设e1，e2是不共线的向量，e1－4e2与λe1＋e2共线，则实数λ的值为 .?
答案：－
13.已知a＝（2，－1），b＝（－1，3），则2a－3b的坐标是 .?
答案：(7，－11)?
14.把一个函数图象按向量a＝（，2）平移后，函数的解析式为y＝sin（x＋）＋2，则原来函数的解析式为 .?
答案：y＝cosx?
15.点P（4，3）关于点Q（5，－3）的对称点的坐标是 .?
答案：（6，－9）?
三、解答题
16.已知点A(O，2)、B(1，－1)、C（2，－4），求证：A、B、C三点共线.
证明：∵＝（1－O，－1－2）＝（1，－3）.?
＝（2－O，－4－2）＝（2，－6）?
又1×（－6）－2×（－3）＝O ∴∥
又直线AB、直线AC有公共点A
∴A、B、C三点共线.?
17.已知?ABCD的顶点A的坐标为（－2，1），一组对边AB、CD的中点分别为Ｍ（3，O）、Ｎ（－1，
－2）.求?ABCD的其余顶点坐标.?
解：略?
18.已知a＝（2x－y＋1，x＋y－2），b＝（2，－2），当x，y为何值时①a＝b　②a∥b?
解：(1)由题意可知：?
解得
(2)由向量共线条件知：?
－2（2x－y＋1）－2（x＋y－2）＝O?
化简得：3x－1＝O?
∴
19.如图，已知△ABC中，D、Ｅ、Ｆ分别是BC、CA、AB的中点，求证：
(1) ∥
(2) ＋＋＝O?
证明：(1) ＝＋
＝＋
＝(＋)?
＝＝－
∴∥
(2)＝＋ ＝＋
∴2＝＋＋＋＝＋
同理可得：2＝＋
2＝＋
∴＋＋
＝(＋＋＋＋＋)＝O
2O.已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.?
解：由题意可知?
（a＋3b）（7a－5b）＝O①?
（a－4b）（7a－2b）＝O②?
化简得：7｜a｜2＋16a·b＋8｜b｜2＝O③?
7｜a｜2－3Oa·b＋8｜b｜2＝O④?
③－④得：46a·b＝23｜b｜2?
即：a·b＝｜b｜2代入③得｜a｜2＝｜b｜2?
∴｜a｜＝｜b｜?
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝
∴θ＝6O°?
即a与b的夹角为6O°?
21.一船在海面A处望见两灯塔P、Q在北15°西的一条直线上.该船沿东北方向航行4海里到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，求两灯塔距离.?
解：如图，由题意可知：?
∠A＝45°＋15°=6O°，?
∠ABP＝45°，∠PBQ＝45°?
∴∠ABQ＝9O° ∴∠AQB＝3O° ∠APB＝75°?
sin75°＝sin（45°＋3O°）＝
在△ABP中，AB＝4，由正弦定理知?
∴AP＝4（－1）?
在△ABQ中，∠ABQ＝9O° AB＝4?
∴AQ＝8?
∴PQ＝AQ－AP＝8－4（－1）＝12－4
故两灯塔P、Q的距离为12－4海里.
1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)且a∥b,坐标满足条件( )?
?A.x1x2-y1y2=0 ?B.x1y1-x2y2=0? ?C.x1y2+x2y1=0 ?D.x1y2-x2y1=0
? 2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a⊥b,坐标满足条件( )?
?A.x1x2-y1y2=0 ?B.x1y1-x2y2=0? C.x1x2+y1y2=0 ?D.x1y2+x2y1=0
? 3.若|a|=2，|b|=,a·b=，则a与b的夹角( )?
?A.30°? B.45° ?C.60° ?D.120°
? 4.两点P1(-1,-6),P2(3,0)，点P（-，y）分有向线段的比为λ,则λ，y的值为( )??A.-，8 ?B. ，-8? ?C.- ，-8 ?D.4，?
5.若AM、BN、CP是三角形ABC的三条中线，则| |等于( )
?A.0 ?B. ?C.1 ?D. ?
6.设M是平行四边形ABCD的中心，O为任意一点，则等于( )??A. ?B.2 ?C.3 D.4
? 7.若向量a、b、c两两所成的角相等，且|a|=1，|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|等于( )?
?A.2? B.5? ?C.2或5? D.
? 8.已知△ABC，A=5,B=8,C=60°，则= .
? 9.若点B分有向线段的比为2∶1，则点C分的比是 .
? 10.三角形△ABC的顶点A（2，3），B（-4，-2）和重心G（2，-1）,则C点坐标 .
? 11.设|a|=,|b|=1,a与b的夹角为30°,则a+b与a-b的夹角余弦 .?
? 12.已知a=(1,2),b=(-2,3)且（a-λb）⊥(a+b)，则λ= .
? 13.将抛物线y=x2+6x+11的图象经过向量a平移得到y=x2，则a= .
? 14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .
? 15.在△ABC中，a2=b2+c2+bc,2b=3c,a=3，求△ABC的面积.
16.已知a=（1，1），b=(0,-2)，?
（1）当实数k为何值时，ka-b与a+b反向？?
（2）若ka-b与a+b的夹角为120°,求k的值.???????
17.在△ABC中，,试判断△ABC的形状.
18.如图5—29，已知=a, =b，对任意点M，M点关于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为N，用a、b表示向量.
??19.在△ABC中，设=a, =b, =c,且|a|=3,|b|=2,|c|=4，求a·b+b·c+c·a的值.
20.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一个小岛靠拢，舰艇时速21海里，问舰艇朝什么方向前进可最快营救渔船？所需时间是多少？
参考答案：1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.D 7.C 8.-20?
9.- 10.(8,-4) 11.
12. 13.(3,-2) 14. 或2?
15. 16.(1)-1 (2)-1±
17.直角三角形 18.2b-2a 19.-
20.舰艇沿北偏东方向航行，所需时间为小时
1.当两人提重为|G|的书包时，夹角为θ，用力为|F|，则三者的关系式为( )?
?A.|F|=? B.|F|=
?C.F=? D.|F|=
2.在上题中θ为何值时，|F|最小( )?
A. ?B.0 ?C.π ?D. ?
3.在1题中所用力|F|=|G|时，θ为多大( )?
A. ?B. C. D. ?
4.一条河的宽度为d，一船从A出发航行垂直到达河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2,则船行到B处时，行驶速度的大小为 .
5.在上题中,v1与v2的夹角为θ，则船由A到B所用的时间T= .（用d、θ、|v1|表示）?
6.某人以时速Akm向东行走，此时正刮着时速Akm的南风，那么此人感到的风向为 ，风速为 .?
参考答案：
1.D 2.B 3.C 4. 5. 6.东北风akm/h?
1.在ABCD中, ++等于（ ）
?A. B. C. ? D. ?
2.已知正方形ABCD的边长为1, =a, =b, =c,则|a+b+c|等于（ ）?
?A.0 ? B.3? C.? D.2
? 3.若a、b均不为零,则|a+b|=|a|+|b|是a∥b的（ ）
?A.充分不必要条件? ?B.必要不充分条件?
C.充要条件? ?D.既不是充分条件也不是必要条件?
4.已知向量a、b满足a+b=b且|b|=1,则|a|+|a+b|= .??
5.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=1,则|+|= .?
6. ++=0是“A、B、C是三角形三个顶点”的 条件.?
7.已知正六边形ABCDEF,O是它中心,若=a, =b,试用a、b表示向量 .??? 8.一条渔船距对岸4km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达岸时,船的实际航程为8km,求河水的流速.
9.在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上,取点E、F,使BE=DF,用向量方法证明四边
形AECF也是平行四边形.?
参考答案：
1.A 2.D 3.A 4. 1 5. 6.必要不充分?7.a+b 8.2 km/h 9.(略)?
1.在△ABC中, =a, =b,则等于( )?
?A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a?
2.已知ABCD是平行四边形,O为平面上任一点,设=a, =b, =c, =d,则
??A.a+b+c+d=0 ?B.a-b+c-d=0? ?C.a+b-c-d=0 ?D.a-b-c+d=0
? 3.在下列各题中,正确的命题个数为( )?
(1)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a+b与a方向相同?
(2)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a-b与a+b方向相同?
(3)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a方向相反?
(4)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a+b方向相反?
?A.1 B.2 C.3 D.4?
4.如图5—10,在四边形ABCD中,根据图示填空:?
a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .?
5.一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为 .
? 6.若a、b共线且|a+b|＜|a-b|成立,则a与b的关系为 .
? 7.在五边形ABCDE中,设=a, =b, =c, =d,用a、b、c、d表示.
8.如图5—11所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示）,使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d.
9.已知O是□ABCD的对角线AC与BD的交点,若=a, =b, =c,试证明:
c+a-b=.
参考答案：1.B 2.B 3.D 4.-f -e f 0?
5.2 km/h 6.a与b的方向相反且都不为零向量?
7.b+d-a-c?
8.?
9.(略)?
相关练习
1．化简
分析：根据向量加法的交换律使各向量首尾相连，再动身向量加法的结合律调整向量顺序相加.
解：∵=
∴
2．如图所示， ABCD中，等于（ ）
A. B. C. D.
分析：从图上可看出而.
答案：C
3．已知两个向量a与b, 求证|a+b|=|a–b|的充要条件是：a的方向与b的方向垂直.
分析：分充分性和必要性两个部分来证明.
证明：（1）充分性
设a, b,使
以OA、OB为邻边作矩形OBCA，则|a+b|=|a-b|=
∵四边形OBCA为矩形 ∴ ∴|a+b|=|a-b|
（2）必要性
设 a，b,以OA、OB为邻边作平行四边形，则|a+b|=|a-b|=
∵|a+b|=|a–b| ∴
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形OBCA为矩形
∴a的方向与b的方向垂直.
4．化简
分析：公式可以直接运用，也可以逆向运用.还可以利用将加、减法统一成加法进行计算.
解法一：（统一成加法）
解法二：（利用）
解法三：（利用）
设O为平面内任意一点，则

相关高考真题
1．设a=(m+1)i–3j,b=i+(m–1)j,(a+b)⊥(a–b),则m= .
(1997年上海高考题)
分析：本题考查向量的和与差及两向量垂直的充要条件，只要求出a+b，a–b，由（a+b）⊥（a–b）构造方程求m.因a=（m+1,–3）,b=(1,m–1),所以a+b=（m+2,m–4）, a–b=(m,–2–m);又因（a+b）⊥（a–b），所以m(m+2)+(m–4)(–2–m)=0解得m=–2.
答案：–2
1.下列等式不正确的是（ ）?
A.a+0=a ? B.a+b=b+a?
C. +≠0? D. =++
2.向量(+)+(+)+)]化简后等于（ ）
?A. ?B. ? C. ?D.
3.在平行四边形ABCD中,若|+|=|+|,则必有（ ）
A.ABCD是菱形? B.ABCD是矩形?
C.ABCD是正方形? D.以上皆错?
4. = +.?
5.已知a表示“向东走3km”,b表示“向南走3km”，则a+b表示 .?
6.已知:|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|a+b+c|的最大值为 .?
参考答案：1.C 2.C 3.B 4. 5.向东南走3km 6. 6?
1.下列等式:①a+0=a ②b+a=a+b ③-(-a)=a ④a+(-a)=0 ⑤a+(-b)=a-b?
正确的个数是( )?
? A.2 ?B.3 ?C.4? D.5
? 2.下列等式中一定能成立的是( )?
?A. +=? B. -=
?C.?+= ?D. -=
? 3.化简-++的结果等于( )
A. ?B. ? C. ? D.
4.已知=a, =b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= .
? 5.在正六边形ABCDEF中, =m, =n,则= .
? 6.已知a、b是非零向量,则|a-b|=|a|+|b|时,应满足条件 .?
参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 13?5.m-n 6.a与b反向?
1.下列各式计算正确的有（ ）?
(1)(-7)6a=-42a? （2）7(a+b)-8b=7a+15b
(3)a-2b+a+2b=2a? (4)若a=m+n,b=4m+4n,则a∥b?
?A.1个 ?B.2个 ?C.3个? D.4个
? 2.下列各式叙述不正确的是（ ）
A.若a≠λb,则a、b不共线(λ∈R)?
? B.b=3a(a为非零向量),则a、b共线?
?C.若m=3a+4b,n=a+2b,则m∥n?
?D.若a+b+c=0,则a+b=-c
? 3.若O为□ABCD的中心, =4e1, =6e2,则3e2-2e1等于（ ）?
?A. ? B. C. ? D.
4.a-［2b-3a-( )］=5a-3b
? 5.若|a|=3,b与a的方向相反,且|b|=5,则a= b.
? 6.已知三角形ABC三边=a, =b, =c,三边中点分别为D、E、F,则++= .?
7.计算:(1)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)
(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b)?
8.设e1、e2是两不共线的非零向量,若向量=3e1-2e2, =-2e1+4e2, =-2e1-4e2,?试证:A、C、D三点共线.
9.在四边形ABCD中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,求证ABCD为梯形.?
参考答案：1.C 2.A 3.B 4.a-b?
5.- 6. 0 7.(1)6a+2b (2)-2(m+n)b?
8.(略) 9.(略)?
1.下面向量a、b共线的有（ ）
(1)a=2e1,b=-2e2? (2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2?
(3)a=4e1-e2,b=e1-e2? (4)a=e1+e2,b=2e1-2e2.(e1、e2不共线)?
?A.(2)(3) ?B.(2)(3)(4)? ?C.(1)(3)(4) ?D.(1)(2)(3)(4)
? 2.设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠±1),O是空间一点,则用 、表示式为（ ）?
?A. =+λ? B. =λ+(1-λ)
?C. = ?D.
3.若a、b是不共线的两向量,且=λ1a+b, =a+λ2b(λ1、λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条件为（ ）
?A.λ1=λ2=-1? B.λ1=λ2=1? C.λ1λ2+1=0 ?D.λ1λ2-1=0
? 4.若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为λ1b+λ2c的形式是 .
? 5.已知两向量e1、e2不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2λe2,若a与b共线,则实数λ= .
? 6.设平面内有四边形ABCD和点O, =a, =b, =c, =d,a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是 .
? 7.设、不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且=(1-t) +t(t∈R),求证A、B、P三点共线.????????
8.当不为零的两个向量a、b不平行时,求使pa+qb=0成立的充要条件.????????
9.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d=λa+μb与c共线??
参考答案：1.A 2.C 3.D 4.- b+c ?5.- 6.平行四边形
7.(略) 8.p=q=0? 9.存在,λ=-2μ能使d与c共线
相关练习
1．若=3 e1，=5 e1，且与模相等，则四边形ABCD是（ ）
A.平行四边形 B.梯形
C.等腰梯形 D.菱形
分析：由=3 e1与=5 e1可得，∥，且||≠||，所以ABCD是梯形，AB、CD为底，则AD、BC为腰，由||=||可得腰长相等.
2．设两个非零向量e1和e2不共线，如果：=2 e1+3 e2，=6 e1+23 e2，=4 e1–8 e2.
求证：A、B、D三点共线.
分析：要证A、B、D三点共线，只需证明与共线即可.
证明：∵2 e1+3 e2+6 e1+23 e2+4 e1–8 e2=12 e1+18 e2=6（2 e1–3 e2）=6
∴向量与向量共线.
又∵和有共同的起点A，∴A、B、D三点共线.
3．已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，= e1，=e2，以e1，e2为基底，试表示向量、、及.
分析：借助平面几何中的等量关系转化为向量中的有关知识进行求解.
解：如图所示：∵= e1，=e2
∴= e2–e1
依题意有：AD=2AB=DE，且F为DE的中点
∴四边形ABDF为平行四边形
∴= e2–e1 e2
∴= e2–e1+ e2=2 e2–e1.
4．如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知= c, = d,试用c、d表示和.
分析：要直接用c、d表示和比较困难，利用“正难则反”的原则，可以先用、表示c、d，再来解关于和的方程组.
解：设=a, =b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得：b, a
从△ABN和△ADM中可得：

①×2–②，得
②×2–①，得
即：
5．梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是、的中点，且设=e1, =e2,以e1、e2为基底表示向量、、
分析：易求，利用，求得，再由，可求出
解：如图所示 ∵= e2，且
∴=k=k e2
∵
∴e1+(k–1)e2
又∵
且
∴e2.
相关高考真题
若向量a=(1,1),b=(1,–1),c=(–1,2),则c等于（ ）
A. B.
C. D.
(2001年全国高考题)
分析：实数与向量的乘积是此题考查的内容，但主要考查坐标运算，可设c=xa+yb,然后再用坐标对应相等可列方程组，即
解得
答案：B
1.下列各式计算正确的是（ ）?
?A.2(a+b)+c=2a+b+c? ?B.3(a+b)+3(b-a)=0
?C. +=2 D.a+b+3a-5b=4a-4b
? 2.λ、μ∈R,下列关系式中正确的是（ ）?
?A.若λ=0,则λa=0 ?B.若a=0,则λa=0?
?C.|λa|=|λ|a ?D.|λa|=λ|a|
? 3.在△ABC中,E、F分别是AB、AC的中点,若=a, =b,则等于（ ）?
?A. (a+b)? B. (a-b)?
?C. (b-a)? D.- (a+b)
? 4.a-［(2a-b)-a］= ;-3a+2b-c=2b- .
? 5.若a=-e,b=-e,则a= b.
? 6.在△ABC中,设=e1, =e2,D、E是边BC的三等分点,D靠近点B,则= , = .
参考答案：1.Ｄ ２．B 3.C 4.b 3a+c 5. 6. e1+e2 e1+e2
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有（ ）?
?A.e1、e2一定平行?
B.e1、e2的模相等?
C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)?
?D.若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系（ ）
?A.不共线 ?B.共线? ?C.相等 ?D.无法确定
? 3.已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于??A.3? B.-3 ?C.0 ?D.2
? 4.若a、b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R)则λ= ,μ= .
? 5.已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1= .
? 6.已知λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1,a与e2(填共线或不共线).
参考答案：1.D 2.B 3.A 4. 0 0 5. 0 6.不共线 不共线?
1.若向量a=(x-2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（ ）
?A.x=1,y=3 ?B.x=3,y=1
?C.x=1,y=-5 ?D.x=5,y=-1
? 2.已知点B的坐标为(m,n)，的坐标为(i,j)，则点A的坐标为( )?
?A.(m-i,n-j) ?B.(i-m,j-n)
?C.(m+i,n+j) ?D.(m+n,i+j)
? 3.□ABCD三个顶点A、B、C的坐标分别为(-2,1),(-1,3),(3,4)，则顶点D的坐标为( )? ?A.(2，1) ?B.(2，2) ?C.(1，2) ?D.(2，3)
? 4.若A(2，3)，B(x,4),C(3,y)，且=2,则x= ,y= .
5.已知=(2,-1), =(-4,1),则= .
? 6.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),若c=λa+μb,则λ＝ ，μ＝ ．
? 7.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)、B(-1,2)、C(-2，-1)，求、、
的坐标，并用基底i、j分别表示出来.(i、j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量)
8.已知A(-2,4)、B(3，-1)、C(-3，-4)且=3,=2 ,试求点M、N和的坐标.??????
9.已知平面上三点的坐标分别为A(x１，y１)、Ｂ（ｘ２，ｙ２）、Ｃ（ｘ３，ｙ３），求点D的坐标，使得这四个点构成平行四边形的四个顶点.?
参考答案：1.B 2.A 3.B 4.4 5.(-6,2) 6.1-2
7. =(-2,2)=-2i+2j

? =(-1,-3)=-i-3j?
=(3,1)=3i+j?
8.点M、N的坐标分别为(0，20)，(9，2)，的坐标为(9，-18)?
9.(1)当平行四边形为ABCD时，D(ｘ１＋ｘ３－ｘ２，ｙ１＋ｙ３－ｙ２)?
（2）当平行四边形为ACDB时，D（ｘ２＋ｘ３－ｘ１，ｙ２＋ｙ３－ｙ１）?
（3）当平行四边形为ADBC时，D（ｘ１＋ｘ２－ｘ３，ｙ１＋ｙ２－ｙ３）
1.若a=(x１,y１)，b=(x２，y２)，且a∥b,则坐标满足的条件为（ ）
? ?A.x１x２－ｙ１ｙ２＝０ ?B.ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０?
?C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝０ ?D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０
2.设a=(，sinα)，b=(ｃｏｓα，)，且a∥b，则锐角α为（ ）
A.30° ?B.60° ?C.45° ?D.75°
? 3.设k∈Ｒ，下列向量中，与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（ ）?
?A.(k,k) ?B.(-k,-k)
?C.(k２＋１，ｋ２＋１) ?D.（ｋ２－１，ｋ２－１）
? 4.若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线，则x= .
? 5.已知a=(3,2),b=(2,-1),若λa+b与a+λb（λ∈Ｒ）平行，则λ＝ .
? 6.若a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x= .
? 7.已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k为何值时ka+b与a-3b平行??????
8.已知A、B、C、D四点坐标分别为A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)，试证明：四边形ABCD是梯形.??????
9.已知A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，=,求证：∥.
参考答案：1.D 2.C 3.C 4. 2 5.±1 6. 7.- 8.(略) 9.(略)?
相关练习
1．已知M（3，－2），N（－5，－1），则的坐标为（ ）
A．（8，1） B．（－8，1） C．（－8，－1） D．（－4，）
分析：根据一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标可知的坐标为（－8，1），再由实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标可得的坐标为（－4，）
答案：D
2．如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC和BO的交点P的坐标.
分析：由于共线，所以可设
再利用A、P、C三点共线解出S的值.
解：∵与共线，故设
∵A、P、C三点共线
则有（4S－4）·6－4S·（－2）=0
解得
即P点坐标是（3，3）.
3．已知三个非零向量a、b、c中的每两个均不共线。若a+b与c共线，且b+c与a共线，求a+b+c
分析：每题从已给向量a、b、c的字母表示难以下手，可以考虑用向量的坐标形式.
解：设三个向量的坐标分别为a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x3,y3)，则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
b+c=(x2+x3,y2+y3)
a+b+c=(x1+x2+x3,y1+y2+y3)
∵a+b与c共线，b+c与a共线

∵a、b、c为非零向量
∴由①得 ③
把③代入②，得（x1y2－x2y1）(x1+x2+x3)=0
∵a与b不共线
∴x1y2≠x2y1
则x1+x2+x3=0
又由①得：,代入②整理，
有（x3y2－x2y3）(y1+y2+y3)=0
同理，x3y2－x2y3≠0
∴y1+y2+y3=0
故a+b+c=0
4．已知点A（－1，2），B（2，8）及，，求点C、D和的坐标.
分析：可设C（x1,y1）,D(x2,y2)，再利用这两个相等关系得关于x1、y1及x2、,y2的方程组，即可解得.
解：设C、D的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)
∴C、D的坐标分别为（0，4）和（－2，0）
因此
5．已知ABCD为正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于F，求证：AF=AE.
分析：可借助于向量的坐标，即需首先建立一适当的坐标系，再想办法求出E、F的坐标，最后求向量的模.
证明：如图所示，以C点为原点，以正方形ABCD的DC所在直线为x轴建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A、B的坐标分别为A（－1，－1），B（0，1），设E点坐标为（x,y）(x＞0)
∵∥
∴x·（－1）－1·（y－1）=0即x+y－1=0 ①
又∵ ②
由①、②可得E点坐标为
设F点的坐标为（x′，1）
相关高考真题
若向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2)，则c等于（ ）
A．－a+b B． a－b
C．a－b D．－a+b
（2001年全国高考题）
分析：此题考查平面向量的坐标运算，可设c=xa+yb，然后再用坐标对应相等可列方程组，即
答案：B
1.已知a=(-1,2),b=(1,-2),则a+b与a-b的坐标分别为（ ）
?A.(0，0)，(-2,4) ?B.(0，0)，(2,-4)
?C.(-2,4),(2,-4) ?D.(1,-1),(-3,3)
? 2.若O(0，0)，B(-1,3)，且＝3，则Ｂ′点坐标( )?
?A.(3，9) ?B.(-3,9)? ?C.(-3,3) ?D.(3,-3)
? 3.已知=(x,y),点B的坐标为(-2,1)，则的坐标为( )?
?A.(x-2,y+1) ?B.(x+2,y-1) ?C.(-2-x,1-y) ?D.(x+2,y+1)
4.若a=(2,1),b=(-3,4),则3a+4b的坐标为 .
5.若A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),D(2,2)，则与的关系是 .
? 6.已知□ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC、BD交于M，则的坐标为 .
参考答案：1.A 2.B 3.C 4.(-6,19)? 5.相等 6.( ,-2)?
1.若a=(2,3),b=(4,-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
?A.6 ?B.5 ?C.7 ?D.8
2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为（ ）?
?A.-3 ?B.-1 ?C.1 ?D.3
? 3.若=i+2j, =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为
单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）
? ?A.1，2 ?B.2，2 ?C.3，2 ?D.2，4
? 4.已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b，则y= .
? 5.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为 .
? 6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3,x),C(2,3),D(4,x)，则x= .
参考答案：1.C 2.B 3.B 4. 3 5. 6. 5?
1.已知点A分有向线段的比为2，则在下列结论中错误的是（ ）
? A.点C分的比是-?
?B.点C分的比是-3?
C.点C分的比是-?
?D.点A分的比是2
?
2.已知两点P１（－１，－６）、Ｐ２（３，０），点P（－，ｙ）分有向线段所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（ ）
? ?A.－，８ ?B.，－８? ?C.－，－８ ? D.４，
3.△ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，
则顶点C的坐标是（ ）
? ?A.(2，-7) ?B.(-7，2)? C.(-3，-5) ?D.(-5，-3)
? 4.已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x= .
? 5.△ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为 .
? 6.已知M为△ABC边AB上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝Ｓ△ＡＢＣ，则M分所成的比为 .
? 7.已知点A(-1,-4)、B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为P１、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A、B分所成的比λ．
8.过P１（１，３）、Ｐ２（７，２）的直线与一次函数的图象交于点P，求P分所成的比值.??????
9.已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标.???
参考答案：1.D 2.C 3.A 4.2或 5.(8,-4) 6.
7.P1(1,-2),P2(3,0),A、B分所成的比λ1、λ2分别为-,-2
8. 9.Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）?
相关练习
1．若点P分所成的比为，则A分所成的比是（ ）
A． B． C．－ D．－
分析：根据P分所成的比的概念，即，则P在线段AB上，
且，因为，
而A在线段BP的延长线上，有方向相反，λ为负值.
答案：C
2．已知A（－1，2），B（3，4）.连结A、B并延长至P，使|PA|=3|BP|，求点P坐标.
分析：由P在线段AB的延长线上，且|PA|=3|BP|,有.
解：点P分AB所成的比为
∴由定比分点公式，P点的坐标为
即P点坐标为（5，5）.
3．已知两点P1（3，2），P2（－8，3），求点P（）分所成的比λ及y的值.
分析：可直接由定比分点横坐标公式求出λ，再求y，也可用向量的坐标运算求λ的值，再求y.
解法一：由定比分点横坐标公式可得
解法二：由P分所成的比为λ，可得
由向量相等可得
∴λ值为，y值为.
4．已知两点A（－2，0）、B（2，3），P（x,y）在线段AB上，且有，求P点坐标.
分析：先用已知条件求出定比λ，再用分点公式即可求出点P的坐标.
即P点坐标为
5．如图所示，已知点A（1，4），点B（－3，1），点C（2，4）三点坐标，求△ABC中∠A的平分线AD的长.
分析：要求出点D的坐标，需求出点D分的比λ.而由平面几何知因为A、B、C三点坐标已知，可求出这样即可求出λ.
解：由角平分线性质可知：
∵点D在线段BC上
∴点D为内分点
设点D分所成的比为λ（λ＞0）
则λ=5
相关高考真题
已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是 .
（1996年上海高考题）
分析：本题考查定比分点公式和中点公式这两个基本概念.
设P（x1,y1）、B（x2,y2），因P分所成的比λ=
即P（2，1），又因P是OB的中点，所以，所以x2=4,y2=2
答案：（4，2）
1.向量a与b(b≠0)共线的充要条件是（ ）
? ?A.a=b ?B.a-b=0 C.a2-ｂ２＝０ ?D.a+λb=0(λ∈Ｒ)
? 2.已知||=10,| |=7，则||的取值范围是?
?A.［３，１７］ ?B.（３，１７）?
?C.［３，１０］ ?D.（３，１０）
? 3.已知=(2,8), =(-7,2),则等于（ ）
??A.(3，2) ?B.() ?C.(-3,-2) ?D.?(-,4)
? 4.已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(-2,-3)，则点P(x,y)到原点的距离为（ ）
??A.4 ?B.? C.? D.?
5.与向量a平行的单位向量的个数是 .
? 6.已知a、b是非零向量，|a+b|与|a|+|b|是否一定相等 .
? 7.若a=(-3,6),b=(1,-2)，则向量a与b的大小和方向的关系是 .
? 8.直线l上有三点A、B、P，若=3，则P分有向线段所成的比是 .
9.如图5—14，在矩形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，若=a, =b, =c，试证明：a-(b+c)=-?????
10.已知e1=(1,2)，e2=(-2,3),a=(-1,2),以e1、e2为基底，将a分解为λ１e1＋λ２e2的形式.
11.已知点A(-2,3)、B(2,6)，P在直线AB上，且=,求点P关于原点的对称点Q的坐标.
12.如图5—15，设O是坐标原点，A、B、C是坐标平面上三个不同的点，若=a,=b, =c,
求证：A、B、C三点共线的充要条件是存在三个都不为零的实数l、m、n，使得la+mb+nc=0且l+m+n=0.
参考答案：1.D 2.A 3.C 4.D 5.2个或无数个?
6.不一定 7.a与b的方向相反且a的大小是b的3倍?
8. –4 9.(略) 10.a=e1+e2?
11.Q(-6,-0) 12.(略)?
1.已知P点分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比为（ ）
? ?A.? B. ? C.- ?D.- ?
2.点A(m,n)关于点B(a,b)对称点的坐标（ ）?
? A.(-m,-n) ?B.(a-m,b-n) ?C.(a-2m,b-2n) ?D.(2a-m,2b-m)
? 3.已知Ｐ１（４，-３），Ｐ２（－２，６）且｜｜＝２｜｜，点P在线段Ｐ１Ｐ２上，则P点坐标为（ ）
??A.(0，3) ?B.(3，0) ?C.(3，3) ?D.(1，3)
? 4.若点B分有向线段的比为2∶１，则点C与的比为 .
? 5.已知A(m,-n),B(-m,n)，点C分所成的比为-2，那么C的坐标为 .
? 6.已知O(0，0)和A(6，3)两点，若点P在直线OA上，且，又P是OB的中点，则点B的坐标为 .
参考答案：1.C 2.D 3.A 4.- 5.(-3m,3n) 6.(4,2)?
1.设|a|=12,|b|=9,a·b=-54,则a与b的夹角θ为（ ）?
?A.45° ?B.１３５° ?C.６０° ?D.１２０°
? 2.边长为的正三角形ABC中，设=c, =a, =b,则a·b+b·c+c·a等于
? ?A.0 ? B.1 ?C.3 ? D.-3
? 3.a、b是非零向量，a·b=|a||b|是a、b共线的（ ）?
?A.充分非必要条件? ?B.必要非充分条件?
?C.充要条件? D.既不必要也不充分条件
? 4.已知a、b的同向单位向量分别为ａ０、ｂ０，向量a、b的夹角为，则ａ０·ｂ０＝
.
? 5.若a∥b，则a·b= .
? 6.在△ABC中，已知|=||=4，且·=8，这个三角形的形状为 .
? 7.已知：b∥a,c∥a且a、b、c方向相同，求证：＝b·c(若a、b、c的方向不同时，请思考).
??8.已知：|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为．?
求：(1)a·b (2)a２ (3)b２??????
9.试证明：若四边形ABCD满足+=0,且·=0,则四边形ABCD为矩形.?
参考答案：1.B 2.D 3.A 4.- 5.±|a||b|
6.等边三角形? 7.(略) 8.(1)１２ (2)36 (3)16?9.(略)?
1.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
??A.60° ?B.30° ?C.135° ?D.４５°
? 2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
??A.2 ?B.2? C.6 ?D.12
? 3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）
??A.充分但不必要条件 ?B.必要但不充分条件?
?C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
? 4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|= .
? 5.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位
向量，那么a·b= .
? 6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)２＝ .
? 7.已知|a|=1,|b|=,
(1)若a∥b,求a·b;
(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；?
(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.
??8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.???9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.
参考答案：1.D 2.B 3.C 4. 5. –63 6. 11?
7.(1)- (2) (3)45°? 8. 120° 9. 90°?
相关练习
1．对任意向量a、b,|a|·|b|与a·b的大小关系是（ ）
A．|a|?·|b|＜a·b B．|a|?·|b|＞a·b
C．|a|?·|b|≥a·b D．两者大小不确定
分析：由a·b=|a|?·|b|·cosθ，且θ为a,b的夹角知，a·b≤|a|?·|b|，因为cosθ∈[－1,1].
答案：C
2．设向量a和b的长度分别为4和3，夹角是60°，则|a+b|等于（ ）
A．37 B．13 C． D．
分析：如图所示，a与b是下列位置关系，则a+b在图中也可画出，且由余弦定理可求|a+b|2=|a|2+|b|2－2·|a|·|b|·cos120°=32+42+12=37
答案：C
3．有四个式子：① b·a=0;②0·a=0;③0④|a·b|=|a|·|b|，其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
分析：o·a表示零向量与任意向量a的数量积，数量积是一个数，而不是向量；o·a表示实数与向量a的积，其结果应为零向量，而不是零；对a,b数量积的定义式两边取绝对值，得|a·b|=|a|·|b||cosθ|，只有θ=0，π时，|a·b|=|a|·|b|才成立，只有o–正确.
答案：D
4．求证：直径上的圆周角为直角.
已知：如图所示，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角.
求证：∠ABC=90°
分析：证∠ABC=90°，既要证，可用平面向量的数量积证
证明：设
=a+b, =a－b
(a+b)(a－b)
=|a|2－|b|2
又∵|a|=|b|，∴
即∠ABC=90°
5．已知（a+b）⊥(2a－b),(a－2b)⊥(2a+b)，求a、b的夹角的余弦值.
分析：要求cosθ的值，只需计算的值即可.
解：∵（a+b）⊥(2a－b),(a－2b)⊥(2a+b)
∴
则
①×3+②,得
a2=b2，∴|a|2=|b|2
由①得：a·b=b2－2a2
=|b|2－2×|b|2
=－|b|2
∴cosθ==
相关高考真题
设a+b=2i－8j，a－b=－8i+16j,那么a·b= .
（1996年上海高考题）
分析：本题由已知条件告知两向量的和与差，要求这两向量的积，考查平面向量的数量积的概念及方程思想.
解：∵a+b=2i－8j ①
a－b=－8i+16j ②
①+②,得a=(－3,4)
①－②，得b=(5,－12)
∴a·b=（－3）×5+4×(－12)=－63
答案：－63
1.已知a、b为两个单位向量，下列四个命题正确的是（ ）
? ?A.a=b ?B.a·b=0 ?C.|a·b|＜１ ?D.a２＝b２
? 2.若|a|=2,|b|=,a与b的夹角为60°，则a·b等于（ ）
? ?A. ?B. ?C.1 ?D.2
? 3.已知△ABC，=a, =b，当a·b＜０时，△ABC为（ ）
?A.钝角三角形 ?B.直角三角形?
?C.锐角三角形 ?D.等腰直角三角形
? 4.对任意向量a、b，|a·b|与|a||b|的大小关系为 .
? 5.已知|a|=6,e为单位向量，它们之间的夹角为45°，则a在e方向上的投影为 .
? 6.在△ABC中，a=5,b=8,C=60°，则·= .
参考答案：1.D 2.A 3.A 4.|a·b|≤｜a｜|b|?5. 3 6.－２ ０?
1.下列叙述不正确的是（ ）
?A.向量的数量积满足交换律? ?B.向量的数量积满足分配律?
?C.向量的数量积满足结合律? D.a·b是一个实数
2.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
?A.72 ?B.-72 ?C.36 ?D.-36
? 3.|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
?A.平行 ?B.垂直? ?C.夹角为 ?D.不平行也不垂直
? 4.已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝ .
? 5.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=,|a-b|= .
? 6.设|a|=3,|b|=5,且a+λb与a－λb垂直，则λ＝ .
参考答案：1.C 2.B 3.B 4.２ ５－１ ２ 5. 6.±
1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为（ ）
??A.? B.? C.? D.?
2.已知a=(λ，２)，b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
? ?A.λ＞? B.λ≥ ?C.λ＜ ?D.λ≤?
3.给定两个向量a=(3,4),b=(2,-1)且(a+xb)⊥(a-b),则x等于（ ）
? ?A.23 ? B. ?C. ?D. ?
4.已知|a|=,b=(1,2)且a∥b,则a的坐标为 .
? 5.已知a=(1,2),b(1,1),c=b-ka,若c⊥a，则c＝ .
? 6.已知a=(3,0),b=(k,5)且a与b的夹角为，则k的值为 .
? 7.已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足条件x·a=9与x·b=-4的向量x.????
8.已知点A(1，2)和B(4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C点坐标.?????
9.四边形ABCD中=(6,1), =(x,y)，=(-2,-3),
(1)若∥，求x与y间的关系式；?
(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积.??
参考答案：1.C 2.A 3.C?4.（，２）或（-，－２）
? 5.()? 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略)?
9.(1)x+2y=0 (2) S四边形ABCD=16?
相关练习
1．已知a=(－2,3),b=(3,2)，则a·b、（a+b）·（a－b）、（a+b）2、a (a+b)、b(a+b)的大小关系是 .
分析：用数量积的坐标表示公式，由a=(－2,3),b=(3,2)可得：
a·b=(－2)·3+3·2=0，a+b=(1,5),a－b=(－5,1) (a+b)·(a－b)=(－5)·1+5·1=0
(a+b)2=12+52=26，a(a+b)=(－2)·1+3·5=13,
b(a+b)=1·3+5·2=13.
答案：(a+b)2＞a(a+b)=b(a+b)＞(a+b)·(a－b)=a·b
2．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标公别为A（1，2），B（4，1），C（0，－1），求和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状.
分析：判断三角形形状，一般从角（是否直角或等角）或边长（是否相等）的角度来考虑.
解：∵A（1，2）、B（4，1）、C（0，－1）
∴△ABC是等腰三角形.
∴△ABC是等腰直角三角形.
3．已知A（1，2）、B（4，0）、C（8，6）、D（5，8）四点，则对四边形ABCD描述最准确的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
分析：首先应当判断四边形是否是平行四边形，然后再判断邻边是否垂直或相等.另一个方法是判断对角线是否相等或垂直.，则四边形ABCD为平行四边形.
答案：B
4．已知A（3，－2）、B（5，2）、C（－1，4），试用向量计算△ABC的面积.
分析：设∠BAC=θ，S△ABC=
解：∵A（3，－2）、B（5，2）、C（－1，4）
则
5．已知a、b是两个非零向量，且|a|=|b|=|a－b|，求a与a+b的夹角.
分析：由于向量的表示形式不同，有下面三种解法：
解法一：由|a|=|b|有|a|2=|b|2
又∵|b|=|a－b|
∴|b|2=|a|2－2a·b+|b|2
则a·b=|a|2
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2
∴|a+b|=|a|
设a与a+b的夹角为θ，则
解法二：设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)
∵|a|=|b |
∴x12+y12=x22+y22
∵|b|=|a－b|
∴x22+y22=(x1－x2)2+(y1－y2)2
即x1x2+y1y2=
∵|a+b|2=2
=
∴|a+b|=
设a与a+b的夹角为θ，则
解法三：由向量的几何意义，可作图如图所示：
在平面内任取一点O，作
以、为邻边作平行四边形OACB.
∵|a|=|b|，∴||=||
∴OACB为菱形，OC平分∠AOB
则=a+b, =a－b
而|a|=|b|=|a－b|
即
∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°
∴∠AOC=30°，即a与a+b的夹角为30°.
相关高考真题
设a=(m+1)i－3j,b=i+(m－1)j,(a+b)⊥(a－b)，则m= .
(1997年上海高考题)
分析：本题考查向量的和与差及两向量垂直的充要条件，只要求出a+b,a－b,由（a+b）⊥(a－b)，
即（a+b）·(a－b)=0，可求出m.
解：∵a=(m+1,－3),b=(1,m－1)
∴a+b=(m+2,m－4),a－b=(m,－2－m)
∵(a+b)⊥(a－b)
∴m(m+2)+(m－4)(－2－m)=0
解得m=－2
1.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|２－４a·b＝（ ）?
??A.23 ?B.57 ?C.63 ?D.83
? 2.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则△ABC为（ ）
? A.直角三角形 ?B.锐角三角形?
?C.钝角三角形 ?D.不等边三角形
? 3.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
??A.或? B.或??
?C.或? ?D.或?
4.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)= .
? 5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x,-)在线段AB的中垂线上，则x= .
? 6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=,b=,则a与b的夹角为 .
参考答案：1.D 2.A 3.D 4. –7 5. 6.45°?
向量及其运算单元复习题
一、选择题
1.若a、b是两个非零向量，则下列命题正确的是( )
A.a⊥ba·b＝０ B.a·b＝｜a｜·｜b｜
C.a·b＝－b·a D.a·b＝－｜a｜·｜b｜
解析：由a·b＝｜a｜·｜b｜·ｃｏｓα，其中α为向量a与b的夹角，当α＝90°时，a·b＝０.
答案：A
2.设A(1，3)，B(－２，－３)，Ｃ（x，７），若∥，则x的值为( )
A.0 B.3 C.15 D.18
解析：根据两向量共线的充要条件求解，
∵＝（－２－１，－３－３）＝（－３，－６）
＝（x－（－２），７－（－３））＝（x＋２，１０）
由∥可得－３×１０＝－６（x＋２），解得x＝３.
答案：B
3.已知｜a｜＝３，｜b｜＝４，(a＋b)·（a＋３b）＝３３，则a与b的夹角为( )
A.30° B.６0° C.１２0° D.１５0°
解析：（a＋b）（a＋３b）＝a２＋３b·a＋b·a＋３b２＝３２＋４a·b＋３×４２＝33
∴a·b＝－６，∴｜a｜｜b｜ｃｏｓα＝－６
∴cosα＝－，∴α＝１２０°.
答案：C
4.设两点A(－１，－２)和B（６，１）按向量a平移后的坐标分别为（－３，ｍ）和（ｎ，４），则向量a的坐标是( )
A.（－２，３） B.（２，－３）
C.（－３，２） D.（３，－２）
解析：由题意a＝（－３－（－１），ｍ－２）＝（ｎ－６，４－１）
∴由向量相等的定义可得：
解得ｍ＝５，ｎ＝４，∴a＝（－２，３）.
答案：A
5.若｜a｜＝｜b｜=１，a⊥b，且2a＋３b与ka-4b也互相垂直，则k的值为( )
A.－６ B.６ C.３ D.－３
解析：由a⊥b可得a·b＝０，由（２a＋３b）⊥(ka-4b)得
(2a+3b)·(ka-4b)=0
∴2ka２＋（３ｋ－８）a·b－１２b２＝０，
∴２ｋ－１２＝０，∴ｋ＝６.
答案：B
6.设命题p:向量b与a共线，命题q:有且只有一实数λ使得b＝λa，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：∵ｑｐ而ｐ≠ｑ，原因是若a，b中有一个是0，则满足b＝λa的λ不惟一.
故p是q的必要不充分条件.
答案：B
7.把函数y＝ (cos３x－sin3x)的图象适当平移可得到函数y＝sin（－３x）的图象，这种平移是( )
A.沿x轴向右平移 B.沿x轴向左平移
C.沿x轴向右平移 D.沿x轴向左平移
解析：y＝cos３x－sin３x＝sincos３x－cossin３x＝sin（－３x）
假设用x+k替换x可得y＝sin（－３x），
即－３（x＋ｋ）＝－３x，解得ｋ＝，
所以把原函数图象沿x轴向左平移个单位即可得到y＝sin（－３x）的图象.
答案：B
8.已知点Ｐ（４，－９），Ｑ（－２，３），则y轴与直线PQ的交点分有向线段所成的比是( )
A. B. C.２ D.３
解析：设交点R（０，y），R分所成比为λ，由定比分点坐标公式得０＝，
解得λ＝２.
答案：C
9.设a＝（－１，２），b＝（１，－１），с＝（３，－２）且с＝ｐa＋qb,则实数p、q的值为( )
A.p=4,q=1 B.p=１,q=４
C.p=０,q=1 D.p=１,q=－４
解析：由题意pa=(-p,2p),qb＝（q,-q）
∴pa+qb=(-p+q,2p-q)=(3,-2)
∴
解得ｐ＝１，ｑ＝４
答案：B
10.若＝a，＝b，则∠AOB的平分线上的向量为( )
A.
B.λ（），λ由确定
C.
D.
答案：B
二、填空题
11?一个函数的图象按向量a＝（１，－２）平移后图象的解析式y＝２x－１－２，则原来函数图象的解析式为 .
解析：可以逆向思维，即把y＝２x－１－２的图象按－a＝（－１，２）平移可得原函数解析式.
函数图象向左平移1个单位，用x＋１替换x，再向上平移2个单位，用y-2替换-y，
∴y－２＝２（x＋１）－１－２，即y＝２x.
答案：y=2x
12.已知下列命题：
①＋＋＝０；②若向量＝（－３，４），则按向量a＝（－２，１）平移后的坐标仍是（－３，４）；③向量b与向量a的方向相反，是b是a的相反向量的充分不必要条件；④已知点M是△ABC的重心，则＋＋=0
其中正确命题的序号是 .
解析：①＋＝，＋＝0≠0，故命题①错误.
②向量平移后虽起点、终点的坐标发生变化，但向量的大小、方向不发生改变，所以向量的坐标不变，故命题②正确.
③由b是a的相反向量可以推出两向量的方向相反，但两向量方向相反却不一定是相反向量，所以向量b与向量a的方向相反是b是a的相反向量的必要不充分条件.
故命题③错误?
④命题④可证为正确命题.
故正确命题序号为：②④
答案：②④
三、解答题
13?设两个非零向量ｅ1与ｅ２不共线，
(1)若＝ｅ1＋ｅ２，＝２ｅ1＋８ｅ２，＝３（ｅ1－ｅ２），求证A、B、D共线
(2)试确定实数k的值，使kｅ1+ｅ２和ｅ1+kｅ２共线.
(1)证明：∵＝２ｅ1＋８ｅ２，＝３（ｅ1－ｅ２）
∴＝＋＝５ｅ1＋５ｅ２＝５（ｅ1＋ｅ２）＝５
故根据两向量共线的充要条件可得∥
又与有一公共点B，
∴A、B、D三点共线.
(2)解：若(kｅ1+ｅ２)∥(ｅ1+kｅ２)，则存在一实数λ，使ｋｅ1＋ｅ２=λ（ｅ1＋ｋｅ２）
整理可得（ｋ－λ）ｅ1＋（１－λｋ）ｅ２＝0
又∵ｅ1，ｅ２为非零不共线向量，
∴可得
解得ｋ＝λ＝±１
所以，当k=1或k=-1时，可以使kｅ1+ｅ２和ｅ1+kｅ２共线.
二、相关练习
1．把y=2x2+x+3的图象C按a=（3，－1）平移到C′，则C′的函数解析式是（ ）
分析：根据平移公式
再把所得公式代入原函数解析式，有
答案：B
2．一个向量a把点（2，－1）平移到（－2，1），它把点（－2，1）平移到（ ）
A．（2，－1） B．（－2，1） C．（6，－3） D．（－6，3）
分析：设向量a=(h,k)，则有平移公式：
则当x=－2时，x′=－6,当y=1时，y′=3
答案：D
3．已知函数y=log2(2x－3)的图象按向量a平移后图象的解析式为y=log2(2x)，求向量a.
分析：平移后图象的解析式实质上是y′=log2(2x′)，利用平移公式可求出a.
解：由平移公式
代入
∴所求的向量a=
4.把一个函数的图象左移个单位，再下移2个单位得到的图象的解析式为：，求原函数的解析式.
分析：运用平移公式求平移前后的其中一个图形的解析式，往往要使用坐标代入法.这时要注意“对号入座”，即只有图形上的点，才能把坐标代入相应的解析式.
解：依题意有则平移公式为：
所以原函数的解析式为.
5．将函数y=x2+5x+4的图象沿x油平移，使其通过原点，求平移后的函数的解析式.
分析：使图象过原点，应有两种情况.即使原图象与x轴的两个交点，分别平移至原点.
解：函数y=x2+5x+4与x轴的交点坐标是A（－1，0），B（－4，0）
（1）将函数y=x2+5x+4的图象平移，使点A（－1，0）与原点O（0，0）重合，这种图形的变换可以看作是将其按向量平移得到的.
设的坐标为（m,n），则
设P（x,y）是函数y=x2+5x+4的图象上的任一点，平移后对应点的坐标为P′（x′,y′），
则
将它代入y=x2+5x+4中，
（2）同理可求函数y=x2+5x+4的图象平移，使点B（－4，0）与0（0，0）重合时的解析式为
相关高考真题
设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正方向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.
（1）写出曲线C1的方程；
（2）证明曲线C和C1关于点A（）对称；
（3）如果曲线C和C1有且仅有一个公共点，证明且t≠0.
(1998年全国高考题)
分析：此题首先考查平移知识，接着是对称方面的知识及其判断交点个数的方法.平移公式描述了图象运动的数学规律，反映了运动、变换的数学思想方法.本题以函数图象、方程与曲线、点的对称为依托，曲线的平移为背景，重点也考查了这些数学思想方法.
解：（1）由平移公式可得由曲线C1的方程为：
（2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1,y1），设B2（x2,y2）是B1关于点A的对称点，则有
所以x1=t－x2,y1=s－y2
代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：
,可知点B2（x2,y2）在曲线C1上.
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上.
因此，曲线C与C1关于点A对称.
（3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以方程组有且仅有一组解，消去y并整理得：
这个关于x的一元二次方程有且仅有一根.
所以t≠0，且判别式Δ=9t4－12t(t3－t－s)=0
即
1.将点P(7，0)按向量a平移，对应点A′(11，5)，则a等于（ ）
? ?A.(2，5) ?B.(4，3) ?C.(4，5) ?D.(5，4)
? 2.将函数y=f(x)的图象F按向量a=(-3,2)平移后得y=6ｓｉｎ５ｘ的图象，则f(x)等于（ ）
??A.y=6sin(5x+15)+2? ?B.y=6sin(5x-15)+2?
?C.y=6sin(5x+15)-2? ?D.y=6sin(5x-15)-2
? 3.将函数y=4-n-(x-m)的图象按向量a平移得到的图象的函数为y=4-x，则a等于
?（ ）
?A.(m,n) ?B.(m,-n)? ?C.(-m,n) ?D.(-m,-n)
? 4.按向量a把点A(1，1)平移后得到A′(3,-4)，按此平移法，则点B(-2，-1)应平移到
.
? 5.将一抛物线F按a=(-1,3)平移后，得到抛物线F′的函数解析式为y=2(x+1)２＋３，则F的解析式为 .
? 6.若在直线l上有两点A(x１，y１)和B(x２，y２)，如果按向量a平移后，A点对应点的坐标为(2x１，２y１)，则B点对应点的坐标为 .
? ７．是否存在一个平移，它把点(0，-1)移至(1，0)，且把点(-1，3)?移至(0，4).????8.将抛物线y=x２－４ｘ＋５按向量a平移，使顶点与原点重合，求向量a的坐标.????9.将一次函数y=mx+n的图象C按向量a=(2,3)平移后，得到的图象仍然为C，试求m的值.?
参考答案：1.C 2.D 3.C 4.(0,-6) 5.y=2x2 6.(x1+x2,y1+y2)?
7.存在? 8.(-2,-1) 9.
?
1.已知a=(-6,8),且|λa|=5,则λ为（ ）
A. ?B.-? C.?± ?D.?2?
2.已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角为30°，则|a+b|等于( )
A.2 ? B. ? C.5 D.3
3.已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(4，1)，C(4，5)，则cosＡ的值为( )
A. B. ? C. ? D.
? 4.为得到函数y＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的图象，只要将函数y=sinｘ－ｃｏｓｘ按向量a平移，则a等于（ ）?
A.（，０） B.（-，０）??C.（，０） D.?（-，０）?
5.当n= 时，向量a=(n,1)与b=(4,n)共线且方向相同.
6.把函数y=-2x２的图象经过向量a= 平移，可得到y=-2x２＋２ｘ－．?
7.已知a=(3,4),且a·b=10,则向量b在a方向上的投影是 .
? 8.已知向量a=(2,x),b=(3,4)且a、b的夹角为钝角，则x的取值范围是 .
? 9.已知|a|=1,|b|=2，当且仅当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
? 10．设|a|=,|b|=1,a与b的夹角为30°求a+b与a-b的夹角余弦.??????
11.在三角形△ABC中，=a，=b, =c,且|a|=3,|b|=2,|c|=4，求a·b+b·c+c·a的值.
12.已知向量a、b、c两两所成的角相等，且不共线，|a|=1,|b|=2,|c|=3.求向量a+b+c的长度及与向量a、b、c的夹角.
参考答案：1.C 2.B 3.A 3.B 5. 2 6.(,-1) 7. 2?
8.(－∞，－) 9.± １０．
11.- 12.|a+b+c|=; a与a+b+c的夹角为150°，b与a+b+c的夹角为90°,
c与a+b+c的夹角为30°.?
1.把点A(4，-3)按向量a平移到A′(-1，5)，则向量a等于（ ）
? A.(-5，8) ?B.(5，-8)? ?C.(-5，-8) ?D.(5，8)
? 2.将函数y=ｌｏｇ３（ｘ＋１）－１的图象按a=(1,-2)平移后得到的函数解析式为（ ）
??A.y＝ｌｏｇ３（ｘ＋２）－３ ?B.y＝ｌｏｇ３ｘ－３?
?C.y＝ｌｏｇ３（ｘ＋２）＋１ ?D.y＝ｌｏｇ３ｘ＋１
? 3.已知A(2，1)、B(6，7)，把向量按向量(3，2)平移后得到一个新向量，那么下面各向量中能与垂直的是（ ）
??A.(-3,-2) ?B.() ?C.(-4,6) ?D.(0,-2)
? 4.一个向量a把点(1，1)平移到(-1，0)；它把坐标原点平移到 .
? 5.抛物线y=4x２按向量a=(1,2)平移后，其顶点在一次函数的图象上，则b=
.
? 6.将函数y=f(ωx)的图象按a=(h,k)平移后得到的图象的解析式为 .
参考答案：1.A 2.B 3.B 4.(-2,-1)? 5. 3 6.y=f［ω(x-h)］+k?
1.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是（ ）
A.0 ?B.1 ?C.2? D.无数个
2.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于（ ）
?A. ? B.2? C. +1 ?D.(+1)
3.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sinAsinC等于（ ）?
?A.cos2B? B.1-cos2B? ?C.1+cos2B? D.1+sin2B
4.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为 .
? 5.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .
6.在△ ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=m∶n∶l,且a+b+c=S,则a= .?
7.如图5—16,已知△ABC，AD为∠BAC的平分线，利用正弦定理证明：.????
8.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.?
9.在△ABC中，c=2，tanA=3,tanB=2,试求a、b及此三角形的面积.
参考答案：1.A 2.C 3.B 4.2（-1）?
5.36-12 6. 7.(略)?
8.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,?c2=1?
9.
1.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是( )
?A.等边三角形? ?B.直角三角形?
?C.等腰三角形? ?D.等腰三角形或直角三角形
? 2.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为( )?
?A.直角三角形? ? B.等腰三角形?
?C.等边三角形? D.等腰直角三角形
? 3.在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的
?A.充分不必要条件? ?B.必要不充分条件?
?C.充要条件? ?D.既不充分也不必要条件
? 4.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，则secA= .?
5.△ABC中，，则三角形为 .?
6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cosA＞sinB，则△ABC是 .
7.在△ABC中，求证：??????
8.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.??? 9.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.??????
参考答案：1.D 2.A 3.C 4. 8 5.等腰三角形?6.钝角三角形 7.(略)?
8.等边三角形 9.等腰三角形或直角三角形?
1.在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（ ）?
?A.直角三角形 B.锐角三角形?
?C.等腰三角形 ?D.等边三角形
? 2.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为( )
?A.150° ?B.120° ?C.60° ?D.75°
? 3.在△ABC中， =1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于?（ ）
?A. B.5-2 ?C. ?D.
? 4.在△ABC中，= .?
5.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为 .?
6.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为 .?
7.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.??????
8.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况；(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.??9.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.?
参考答案：1.C 2.B 3.C 4. 5.45° 6. ＜x＜
7.A=60°，B=45°，C=75°，S△=
8.(1)没有实数根 (2)60°?9.
相关练习
1．在△ABC中，已知C=2B，求证：c2－b2=ab.
分析：利用正弦定理的变式a=2RsinA,b=2RsinB.
证明：设△ABC的外接圆半径为R.
∵C=2B,sin(B+C)=sinA
则原式成立.
2．在△ABC中，a＞b,C= ，且有tanA·tanB=6，试求a、b以及此三角形的面积.
分析：由已知可求tanA+tanB,这样可求得tanA和tanB的值.只需求sinA、sinB的值，就可利用正弦定理求a、b.
解：∵tanA+tanB=tan(A+B)·(1－tanAtanB)
=－tanC(1－tanAtanB)
=－tan(1－6)=5
又∵tanA·tanB=6,且a＞b，则tanA＞tanB
∴tanA=3,tanB=2
则
由正弦定理，得
3．已知△ABC的面积为1，tanB=,求△ABC的各边长.
分析：综合利用同角三角函数关系式、正弦定理和三角形的面积公式进行计算.
解：∵tanB=,∴sinB=
又∵tanC=－2,
则SΔABC=
解得
再由正弦定理得
4．已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c
（1）若方程组有实数解，求k的值.
（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.
分析：由方程组有实数解，求得k值，由已知关系式，讨论k的取值范围和角的取值.
解：（1）将原方程组消去y后 ，化为：
由Δ≥0得
≤0
即(k－3)(2k－1)≤0,≤k≤3
∵k为整数，∴k=1，2，3
（2）∵△ABC为钝角三角形
∴0＜sinC＜1
∴k取1，，则C为45°或135°
若c=b，则B=45°或135°，与△ABC是钝角三角形相矛盾.
∴a2－c2－b2－bc=0
则
∴cosA=－,A=120°
∵C=45°,C=135°(舍去)，B=180°－120°－45°=15°
5．求值：
分析：根据原式的结构特征，联想到余弦定理，所以可用构造三角形的方法求值.
解：构造△ABC，使A=20°，B=10°，C=150°，设△ABC的外接圆的半径为R.由正弦定理得：
a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150°
∵c2=a2+b2–2abcosC
相关高考真题
1．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b, A–C=，求sinB的值.
（1998年全国高考题）
分析：本题考查学生分析题意，运用三角知识进行三角变换及发掘三角形中隐含条件的能力.要解决这个问题，必须具备一些相关知识，包括正弦定理、诱导公式、和差化积、同角三角函数基本关系、倍角公式等知识，因此，这是一道较综合的考题.从已知条件出发，可将边的关系运用正弦定理化为角的关系，然后进行正确的三角变换，从而将此问题解决.
解：∵a+c=2b,∴sinA+sinC=2sinB
由和差化积公式得
1.正弦定理适应的范围是（ ）
A.Rt△? B.锐角△? ?C.钝角△ ?D.任意△
2.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=（ ）?
?A.10+? B.10（-1） ?C.（+1）? D.10
3.在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有（ ）
?A.一解 ?B.两解? ?C.无解 ?D.不确定
4.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为 .?
5.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .
6.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形 解.
参考答案：1.D 2.B 3.B 4.a=bsinA或b＜a?5.60°或120° 6.无?
1.在△ABC中，,则k为( )?
?A.2R ?B.R
C.4R ? D.(R为△ABC外接圆半径)
? 2.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( )?
? A.直角三角形 ?B.锐角三角形?
?C.等腰三角形? D.等边三角形
? 3.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )?
? A.直角三角形? B.等腰直角三角形?
?C.等边三角形? D.等腰三角形
? 4.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为 .
? 5.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 .?
6.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .?
参考答案：1.A 2.C 3.A?
4.钝角三角形直角三角形锐角三角形?
5.等腰三角形 6.120°?
1.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形
的另一边长为（ ）
A.52 ?B.2 ?C.16 ?D.4
? 2.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（ ）?
?A.60° ?B.45° ?C.120 ?D.30°
? 3.在△ABC中，，则△ABC是（ ）?
A.锐角三角形 ?B.直角三角形?
C.钝角三角形 ?D.任意三角形
? 4.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .?
5.在△ABC中，化简bcosC+ccosB= .?
6.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为 .?
参考答案：1.B 2.C 3.C 4. 5. a 6.2、3、4?

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