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人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习题
一、选择题
1．下列函数中，属于二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（　　）.
A． B． C． D．
3． 抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
4．将方程转化为的形式，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
6．某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
7．二次函数y＝a（x﹣2）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
8．下列说法错误的是（　　）
A．二次函数中，当时，y随x的增大而增大
B．二次函数中，当时，y有最大值0
C．a越大图像开口越小，a越小图像开口越大
D．不论a是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点
9．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝　 　．
12．已知函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴只有一个交点，则a的值为　 　
13．已知二次函数的对称轴为直线，则方程的根为　 　 ．
14．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
第x天 售价（元/件） 日销售量（件）
⑴y与x的函数解析式为　 　
⑵日销售的最大利润为　 　元
三、解答题
15． 已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b是常数）的图象经过点A（﹣1，0），求这个二次函数的解析式和这个二次函数的最小值．
16．如图，二次函数的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4）.
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）求△ABC的面积．
17．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数表达式；
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应从第一落地点C再向前跑多少米？（取）
四、综合题
18．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求的面积．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
19．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（2）二次函数 的部分图象如图所示，求一元二次方程 的解．
20．综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；
（2）当是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；
（3）直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为41800元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于41800元？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A是一次函数，不符合题意；
B：，是一次函数，不符合题意：
C是二次函数，符合题意；
D不是二次函数，不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解： ∵二次函数的图象开口向下，
∴2-a＜0，
∴a＞2，
故答案为：D.
【分析】 二次函数（a≠0）中，当a＞0时开口向下，当a＜0时开口向下 ，据此解答即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：a=1>0， 抛物线y＝x2+1的图象的开口向上，排除B和D；C=1，抛物线y＝x2+1的图象与y轴交于点（0，1），排除A，符合条件的是C。
故答案为：C。
【分析】利用y=ax2+c的图象及性质判定即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：
将整理得：
则m=-2，n=1
∴m+n=-1
故答案为：B.
【分析】根据配方法化简方程可得，即可求出m，n的值，代入m+n即可求出答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1.
故答案为：B.
【分析】观察表格可知：当x＝0.5时，y＝-0.5<0；当x＝1时，y＝1>0，据此不难得到方程ax2+bx+c＝0的解的范围.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
∴，
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A、由一次函数y＝cx+a的图像可得，，此时二次函数的图象应该开口向下，故A不符合题意；
B、由一次函数y＝cx+a的图像可得，，此时二次函数的图象应该开口向上，图像顶点应在x轴下方，故B符合题意；
C、由一次函数y＝cx+a的图像可得，，此时二次函数的图象应该开口向下，x=2时二次函数取最大值，故C不符合题意；
D、由一次函数y＝cx+a的图像可得，，此时二次函数的图象应该开口向上，图像顶点应在x轴上方，故D不符合题意；
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再看二次函数图象开口方向与最值与实际是否相符，判断正误。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、二次函数中，当时，y随x的增大而增大，正确，A不符合题意；
B、二次函数中，当时，y有最大值0，正确，B不符合题意；
C、a越大图像开口越小，a越小图像开口越大，错误，应该是越大图像开口越小，越小图像开口越大，C符合题意；
D、不论a是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点，正确，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象性质对选项逐一进行分析判断即可.
9．【答案】D
10．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：
销售每件的利润为（40-20+x），每星期的销售量为（200-5x）
则每星期售出商品的利润
故答案为：A
【分析】由每涨价x元，可得出销售每件的利润为（40-20+x），每星期的销售量为（200-5x），根据总利润=单件利润×总销售量即可求出答案.
11．【答案】1
12．【答案】0，1，9
13．【答案】，
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴为：，解得：m=-2
∴方程 即为
解方程可得：，
故答案为：，.
【分析】根据二次函数的对称轴性质可得m=-2，代入方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】；2450
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
y=(100-2x)(x+40-20)
整理得：
故答案为：
（2）
当x=15时，y有最大值为2450
故答案为：2450
【分析】（1）根据日销售利润=单件销售利润×日销售量即可求出答案.
（2）根据二次函数的性质即可求出答案.
15．【答案】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A（﹣1，0），
∴0＝1﹣b﹣3
解得：b＝﹣2
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4
∴二次函数的最小值为﹣4．
答：这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，其最小值为﹣4．
【解析】【分析】把 点A（﹣1，0）代入二次函数的解析式，求出参数b即可写出函数的解析式，再把二次函数的解析式转化为顶点式就可以确定最小值。
16．【答案】（1）解：∵CD⊥y轴，∴C，D两点关于抛物线对称轴对称
D（6，4），∴C（0，4）
∴此抛物线的对称轴为：，即x=3
（2）解：连接AC，∵A，B关于对称轴对称，B（8，0），
抛物线的对称轴为：x=3，∴A（－2，0）．
∴AB=8－（－2）=10，
∴△ABC的面积===20
【解析】【分析】（1）首先可根据点D(6，4)，求得点C的坐标为（0，4），然后根据抛物线的对称性，根据C，D的坐标，即可得出抛物线的对称轴；
（2）首先根据对称轴和点B的坐标，可求出点A的坐标，然后可根据三角形的面积计算公式，根据A，B，C三点的坐标，可求得▲ABC的面积。
17．【答案】（1）解：如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为．
由已知：当时．
即，∴
∴表达式为（或）
（2）解：令，
．，（舍去）．
∴足球第一次落地距守门员约13米.
（3）解：如图，第二次足球弹出后的距离为CD
根据题意：（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位）
∴，解得，.
∴（米）
答：他应再向前跑10米.
【解析】【分析】（1）设第一次落地时，抛物线的表达式为，根据图象可知当时，代入表达式即可求出答案.
（2）令，得到二次方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意可得，根据平移的性质即可求出答案.
18．【答案】（1）抛物线经过点，，
，
解这个方程组，得．
抛物线对应的解析式．
点的坐标为 ．
（2）如图，连接OP．
，，，，
，
，
．
，
．
【解析】【解答】解：（1） 点是抛物线的顶点坐标，
，即：，，
．
【分析】（1）将A（-1，0）、B（4，0）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式，然后根据顶点坐标公式就可得到顶点P的坐标；
（2）连接OP，然后根据S△BCP=S△OCP+S△OBP-S△BOC结合三角形的面积公式进行计算.
19．【答案】（1）解：由题知 ，
∴
（2）解：由图知 的一个根为1，
∴ ，∴ ，
即一元二次方程为 ，
解得 ， ，
∴一元二次方程 的解为 ，
【解析】【分析】（1） 根据方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可；
（2）将（1，0）代入中，求出m=2，即得方程，解之即可.
20．【答案】（1）解：令，则，
∴，
令，则，
∴，
解得：，，
∴，；
直线为，直线为：；
（2）解：如图，以为直径作圆，与对称轴交于点，连接，，，则，
将直线沿射线方向向下平移个单位，解析式为：，
∵抛物线的对称轴为：直线，
∴，
∴，
∵，，
∴，圆心，
∴，
解得：，（不合题意舍去）
∴．
（3）或
【解析】【解答】解：（3）当 为边时，如图，过 作 于 ，结合菱形 可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，则 ，即 ，
由平移的性质结合菱形的性质可得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的横坐标为： ，
∴ 的纵坐标为： ，
由 可得： ，
解得： ，
∴ ．
如图，当 为对角线时，
由菱形的对角线的性质可得： ；
综上： 或 ．
【分析】（1）在 中，令x=0，可求得点C的坐标；令y=0，即可求得点A、B的坐标；然后利用待定系数法，即可求得直线AC和BC的解析式；
（2）由（1）知直线BC的解析式为： ，可得出将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位后的解析式为：，可求得抛物线的对称轴为：x=3，因为点D是直线FD和对称轴的交点，所以可得， 然后可根据勾股定理，得出关于n的方程，解方程求得n的值即可；
（3）可以分类讨论：①当 为边时，如图，过 作 于 ，结合菱形 可得 ，首先根据抛物线的对称轴，及BC的解析式，可求得点E的坐标为（3，），再根据平移的性质得出，进一步求得点，进一步可得F的横坐标为：，根据直线AC的解析式y=3x+6，即可求得点F的纵坐标为：12-，然后根据菱形的边长为n，即可得出PF=n，从而得出关于n的方程，解方程即可得出n的值，进一步即可求得点P的坐标；②当 为对角线时，如图，此时点P与点B重合，坐标为（8，0）；综上即可得出点P的坐标。
21．【答案】（1）解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，由题意得：
y＝（130﹣80+x）（500﹣2x）
＝﹣2x2+400x+25000
∵每件售价不能高于240元
∴130+x≤240
∴x≤110
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x为正整数；
（2）解：∵y＝﹣2x2+400x+25000
＝﹣2（x﹣100）2+45000
∴当x＝100时，y有最大值45000元．
∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元；
（3）解：令y＝41800，得：
﹣2x2+400x+25000＝41800
解得：x1＝60，x2＝140
∵0＜x≤110
∴x＝60，即每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；
由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当60≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元．
∴每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；当60≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元．
【解析】【分析】（1）根据总利润等于每件的利润乘以销售量，可列出y关于x的函数关系式；根据每件售价不能高于240元，可得关于x的不等式，求解即可得出x的取值范围；
（2）将（1）中的二次函数关系式配成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）令（1）所得函数解析式中的y=41800，可得关于x的一元二次方程，解得x值，并根据问题的实际意义作出取舍，再结合二次函数的性质，可得x的取值范围.
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