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宁波市2023-2024学年高三上学期11月高考模拟考试
数学试卷
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知 ，i为虚数单位），若是实数，则
A.
B.
C.
D.
2．设集合 ，集合 ，则
A.
C.
B.
D.
3．若是夹角为60°的两个单位向量， 与 垂直，则
A. B. C. D.
4．已知数列 为等比数列，且，则
A. 的最小值为50
C. 的最小值为10
B. 的最大值为50
D. 的最大值为10
5．已知函数 的零点分别为a ，则
A.
C.
B.
D.
6．设O为坐标原点， 为椭圆C：的焦点，点P在C上， ，则
A. B.0 C. D.
7．已知二面角的大小为 ，球与直线AB相切，且平面PAB，平面ABC截球O的两个截面圆的半径
分别为1，，则球半径的最大可能值为
A. B. C.3 D.
8．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对（a，b）有
A．0个 B．1个 C．2个 D.无数个
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知，则下列说法正确的是
A.
C.
B．
D.
10．设O为坐标原点，直线过圆 的圆心且交圆于 两点，则
A. B． C.的面积为 D.
11．函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则
A.将函数 的图象向右平移 π个单位长度，所得图象关于y轴对称
B.函数在上单调递减
C.若函数 在区间上没有最小值，则实数的取值范围是
D.若函数 在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
12．已知函数 : ，对任意满足 的实数，均有 ，则
A. B.
C.是奇函数 D.是周期函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点 ，则
14．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为 ，则该圆台的侧面积为
15．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．某田径运动员准备参加100米、200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为 ，200米比赛未能站上领奖台的概率为 ，两项比赛都未能站上领奖台的概率为 ，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是
16．已知抛物线Γ：与直线围成的封闭区域中有矩形ABCD，点A，B在抛物线上，点C，D在直线上，则矩形对角线BD长度的最大值是
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，已知
（1）证明：A=2B
（2）若，求的面积.
18．（12分）已知数列 满足 ，且对任意正整数m，n都有
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列的前n项和
19．（12分）如图，已知正方体 的棱长为4，点E满足 ，点F是的中点，点G满足
（1）求证：B、E、G、F四点共面；
（2）求平面EFG与平面 夹角的余弦值.
20．（12分）已知函数 （e为自然对数的底数， ...).
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当时，
21．（12分）某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
性别 速度 合计
快 慢
男生 65
女生 55
合计 110 200
（1）根据以上数据，能否有99％的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
（2）现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为
附：
0.100 0.050 0.025 0.010
k 2.706 3.841 5.024 6.635
22．（12分）已知双曲线C：的焦距为6，其中一条渐近线l的斜率为 ，过点 的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，M为线段PQ上与端点不重合的任意一点，过点M且与平行的直线分别交另一条渐近线和C于点
（1）求C的方程；
（2）求的取值范围.

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