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河南省青桐鸣2024届高三上学期11月大联考
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，则复数（ ）
A．－2 B．2 C． D．2i
3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移8个单位长度 B．向左平移8个单位长度
C．向右平移2个单位长度 D．向左平移2个单位长度
4．在一个空旷的房间中大声讲话会产生回音，这种现象叫做“混响”．用声强的大小来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过t秒后这段声音的声强变为（为常数）．把混响时间定义为声音的声强衰减到讲话之初的倍所需时间，则约为（ ）
（参考数据，）
A． B． C． D．
5．下列函数中，满足的为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为R，设p：的图象关于y轴对称；q：是奇函数或偶函数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．记为数列的前n项和，若，，，，则（ ）
A．－2024 B．－1012 C．－506 D．0
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的最大值为
C．在区间上单调递增
D．的图象关于点中心对称
10．下列函数中，满足的为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列各项均为正数，为数列的前n项和，且是公差为的等差数列，，下列命题正确的是（ ）
A．若为等比数列，则 B．若，则为等差数列
C．若，则为递减数列 D．若，则为递增数列
12．设函数（a，），下列命题正确的是（ ）
A．若存在负零点，则
B．若，则有且只有一个零点
C．若有且只有两个正零点，则
D．若且存在零点，则的零点都是正的
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数在点处的切线方程为______．
14．若向量，满足，，则______．
15．若函数的图象在区间上单调递增，则实数a的最小值为______．
16．已知函数，曲线与x轴的两个相邻交点为P，Q，曲线与直线的一个交点为M，若，则实数______．
四、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知在平面直角坐标系中，点，，．
（1）若，且，求t的值；
（2）记在方向上的投影向量为，求的坐标．
18．（12分）
在中，已知．
（1）求；
（2）若的面积为，，求AB的长度．
19．（12分）
已知函数，．
（1）若曲线关于点对称，求a的值；
（2）若在区间上的最小值为1，求a的取值范围．
20．（12分）
已知函数，，．
（1）求的值域，
（2）记的值域为D，试问是否存在a，使得集合有且只有2个元素？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考公式：．
21．（12分）
记为数列的前n项和，已知等比数列满足，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意，，，，成等差数列．
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）求．
22．（12分）
已知函数，
（1）若，求的单调区间；
（2）若是的极小值点，求实数a的取值范围．
河南省青桐鸣2024届高三上学期11月大联考
数学答案
1．D【解析】由题意，，，所以，故．故选D．
2．C【解析】．故选C．
3．D【解析】设．把函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象．令，为了得到函数的图象，只需令，得，符合题意，所以把函数的图象向左平移2个单位长度即可得到的图象．故选D．
4．C【解析】由题意，，即，
所以．
故选C．
5．B【解析】（方法1）令，则，．由于，即，所以．
而满足的函数有对数函数（，），
所以，只有B选项符合题意．故选B．
（方法2）令，则，得．在四个选项中，只有B选项满足．故选B．
6．A【解析】（方法1）因为，所以，，故，．故选A．
（方法2）因为．故选A．
7．B【解析】令，若是奇函数或偶函数，则，所以是偶函数，所以的图象关于y轴对称；
反之，若则，所以的图象关于y轴对称，但是是非奇非偶函数，
故p是q的必要不充分条件．故选B．
8．B【解析】由，，根据递推式得，，，，，…，因此是周期为4的周期数列，从而，，，，…，故也是以4为周期的周期数列，所以．故选B．
9．AC【解析】易得，
故的最小正周期，故A选项正确；
的最大值是2，B选项错误；
令，可得为的一个单调递增区间，
而，所以在区间上单调递增，C选项正确；
因为，所以的图象不关于点中心对称，D选项错误．故选AC．
10．ABD【解析】本题需要选出在处取最小值的一个选项．
对于A选项，，在处取最小值，故A选项正确；
对于B选项，由基本不等式，，等号成立的条件是，即，故，B选项正确；
对于C选项，，，所以，不满足题意，故C选项错误；
对于D选项，由基本不等式得，，等号成立的条件是，即，即，因此成立，D选项正确．故选ABD．
11．ABC【解析】因为，且数列是公差为d的等差数列，所以，①
所以，则，
所以，整理得．②
对于A选项，若为等比数列，记．
当时，，，所以，由①可得．当时，取可得，故；取可得，再由①可得，所以，即，所以或．
但是如果，则，从而，这与各项为正数矛盾，因此，必有，故A选项正确；
对于B选项，若，由②得，，即，因此，即，所以是以为公差的等差数列，故B选项正确；
对于C选项，若，因为各项为正数，所以由②可得，，所以是递减数列，故C选项正确；
对于D选项，若，因为各项为正数，所以由②可得．
令，可得：．
所以当时，，此时不是递增数列，故D选项错误．故选ABC．
12．BC【解析】研究的零点等价于考虑曲线与直线的交点，其中a是直线的斜率．
对于AD选项，取曲线上位于第二象限的点P，Q，并固定点P（如图所示）．
则当Q与y轴的距离充分大的时候，直线PQ的斜率a可以无限趋近于0，并且直线PQ与y轴的交点位于的下方，于是当且时，曲线与直线的交点的横坐标是负的，即的零点都是负的，故D选项错误；而此时存在负零点，但不满足，故A选项错误；
对于B选项，若，则在R上单调递增，取，则，所以．再取，则，所以，所以有且只有一个零点，并且这个零点位于区间中，B选项正确；
对于C选项，若有且只有两个正零点，因为，而函数单调递增，所以至多只有一个极值点，且，则这个极值点必为正，且，并且在上单调递减，在上单调递增，故必有，即，解得，故C选项正确．故选BC．
对于AB选项也可以作如下判断：
对于A选项，取，，函数单调递增，而，，所以存在负零点，但不满足，故A选项错误；
对于B选项，若，则在R上单调递增，当时，；当时，，所以有且只有一个零点，故B选项正确．
13．【解析】因为，所以，，则，故函数在点处的切线方程为，即．
14．7【解析】由已知条件得，，且，两式相减可得，所以．
15．【解析】．由的图象在区间上单调递增，可知不等式在区间上恒成立．令，则，当时，，所以在上单调递减，故要使在上恒成立，只需．由，解得，故实数a的取值范围为，则a的最小值为．
16．【解析】令，则的所有零点为．设，，并且．因为是钝角，所以满足（否则，是锐角）．
不妨取，，令，则，由，可得或．根据对称性，不妨取．
（方法1）在中，，
所以．
因为，，所以，
即．
所以根据二次函数求根公式可得
．
而，所以．
（方法2）因为，所以．
在中，，，．由余弦定理得，，
即，
即，
即，
即．
把它看成关于的二次方程，
解得或18．
又，即，因此，
得．
17．解：（1）由题意，得，，
所以，
．（2分）
因为，
所以，
即，
即，又，故．
（2），．
由投影向量的定义得，，
其中，．
所以．
18．解：（1）由于，
所以．
由，得．
因为，
所以．
故，
解得．
（2）（方法1）因为，
所以．
而，故．
所以，①
由（1）知，．②
由①②可得，．
设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．由于面积为，所以．
又，
因此，
即，
又，，
解得，
即AB的长度为．
（方法2）因为，
所以．
而，故．
设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
由，得，
因为，，
得，
故，，
由正弦定理得，，即，
解得，即AB的长度为．
19．解：（1）设．
由题意知，是奇函数，所以，
即对任意，有，化简得，
所以，即．
（2）（方法1）．
因为在上的最小值为1，
故，
解得．
当时，．
若，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
而，，因此在上的最小值为1，满足题意．
若，则，当时，，所以在上单调递增，
故在上的最小值为，满足题意．
综上所述，a的取值范围为．
（方法2）由题意知，，即，即，
令，分情况讨论，
①
即故；
②
即无解；
③即无解．
综上所述，a的取值范围是．
20．解：（1）的定义域为．
因为，所以当时，
．
设函数，则是二次函数，时恰好满足．
的值域与在上的值域相同，故可讨论在上的值域．
因为，故，则在上的最小值为，又，
则，即的值域为．
（2）存在，证明如下：
因为有且只有2个元素，而，
所以D是区间的子集．
由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，且，
故，
则．
有且只有2个元素可分成下面2种情况：
①若，此时且，
解得；
②若，且，无解．
综上，a的取值范围是．
21．解：（1）设的公比为q，
则，代入，，可得．
又由，得．
则的通项公式为．
（2）（ⅰ）因为对任意，，，，成等差数列，
所以．
；
．
（ⅱ）当时，
．
当，2时上式也成立，因此，对任意正整数n，．
22．解：（1）若，则，
的定义域是．
．
令，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，所以当时，恒成立，
当且仅当时等号成立．
所以的单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）的定义域为，．
由（1）得，当时，，即；
当时，，即．所以当时，．
因此，当时，
．①
（ⅰ）若，则当时，由①可得．
所以在上单调递减，
故不可能为的极小值点．
（ⅱ）若，
当时，，
所以，
则由①可得；
当时，，
设，
则，
所以在区间上单调递增，
从而．
故在上单调递减，在上单调递增，
所以为的极小值点．
综上所述，a的取值范围为．

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