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第四章 数列
4.3.1等比数列的概念
及通项公式（1）
共同特点：
从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
课堂探究
观察，并说出它们的运算特点.
（1）…
（2）…
（3）…
（4）
（5）。
（6）1，2，4，8，16，32，…
等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(显然q ≠ 0).
等比数列通项公式的理解
(1)已知首项a1和公比 q，可以确定一个等比数列．
(2)对于等比数列{an}，
若q>0，则数列{an}各项同号；
若q<0，则{an}中正负项间隔出现.
...
概念辨析
思考：2 ， 2 ， 2 ，…是等比数列？
思考：0 ， 0， 0 ，…是等比数列？
思考：2 ， 0， 2，0，…是等比数列？
是等比数列 首项是2，公比是1
不是等比数列
不是等比数列
结论：1、常数列一定是等差数列
2、 任意项不为零的常数列是等比数列
课堂探究
类比等差数列，在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等比数列：
(1) 2，( )，8
(2) -12，( )，-3
4或-4
6或-6
由三个数a，A，b组成的等比数列可以看成是最简单的等比数列.这时，A叫做a与b的等比中项且A2＝a＋b.
【思考】下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等比数列：(1)2，4；(2)-1，-5；(3)3，27；(4)a，b（a，b不为0）.
例题解析
例2：如果－1，a，b，c，－9成等比数列，
那么b＝_____，ac＝___.
【解析】因为b是－1，－9的等比中项，
所以b2＝9，b＝±3.
又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，
而b又是a，c的等比中项，
故b2＝ac，即ac＝9.
首项为a1, 公差为q的等比数列{an}的通项公式为
知识新授
等差数列 等比数列
定义 an-an-1=d(n≥2,n∈N*) an+1-an=d(n∈N*) (n≥2,n∈N*)
(n≥2,n∈N*)
通项公式
函数角度 (n∈N*) (当q>0且q≠1)
(n∈N*)
中项
例题解析
例1：在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
【解析】(1)a4＝a1q3，
8＝q3，所以q＝2，an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)，
例题解析
例1：在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
【解析】(3)，两式相除可得
，又，
，.
1.在等比数列{an}中，
(1)若 ， ，求an；
(2)若 ， ，求an.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
由题 解得 ,
∴{an}的通项公式是 .
(2)设等比数列{an}的公比为q，
由题 解得 或
∴{an}的通项公式是 或 .
即 或 .
第四章 数列
4.3.1等比数列的概念
及通项公式（2）
等比数列的判定
例1.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1. 判断数列{an－1}是否为等比数列？并说明理由．
解析：数列 是等比数列．
证明如下：
∵ ， ，
∴
∴数列 是以1为首项，公比为2的等比数列．
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，试判断数列{an}是否是等比数列？
解：∵ ，∴ ，
作差得
∴ ，
又 ，∴
∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列．
反思感悟 巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三个数成等差数列,则常设成a-d,a,a+d.若三个数成等比数列,则常设成 ,a,aq或a,aq,aq2.
例2.已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．
解析：法一：设这三个数依次为 ， ，
由题意知 ，
所以
化简得
即 ，解得 或
又三个数为正数，故 或
当 时， ，这三个数依次为1，3，9；
当 时， ，这三个数依次为9，3，1.
法二：设这三个数依次为 ， ， ，
由题意知 ，
化简得 ，解得 或
又三个数为正数，故 或
当 时， ，这三个数依次为1，3，9；
当 时， ，这三个数依次为9，3，1.


1、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
解：
第四章 数列
4.3.1等比数列的概念
及通项公式（3）
(4){anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列;
(5){|an|}是公比为|q|的等比数列;
等比数列的性质
若数列{an}是公比为q 的等比数列，则
① ;
②若 ，则 ;
特别地，若 ，则 ;
1：在等比数列 中，
（1）已知 , 则公比q的值为________
（2）已知 ，则
2、已知等比数列{an}中，a2·a4·a6·a8＝16，则a3·a7等于 (　　)
A.±4　　B.4　　C.8　　D.±8
B
C
例1.(1)在等比数列{an}中，若a3＝2，a7＝12，则a11＝________.
(2)在等比数列{an}中，若a10＝－2，则此数列的前19项之积等于______．
解析：(1)由等比数列的性质，有 ，
所以 .
(2)因为 ，
所以 .
1.已知数列{an}是等比数列，
(1)若a2a6a10＝27，求a3·a9的值；
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
解析：(1)由等比数列的性质，有 ，
所以 ，得 ，
则 .
(2)由等比数列的性质，有 ，
所以 ，得 ，
又 ，所以 ，
即 ，化简得 ，
解得 或 ，
所以 或 ，则 或 .

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