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第二部分函数与导数的概念（教案）
一、基础知识回顾：
1．以为自变量的函数是集合A到集合B的一种对应，其中A和B都是非空的数集，对于A中 的，B中都有 y和它对应.自变量取值的集合A就是函数的 ，和对应的y的值就是函数值，函数值的集合C就是 (C B).
映射：①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．（1）函数解析式的求法：定义域优先原则
①定义法（配凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（2）函数解析式的求法：代入法，凑配法，换元法（运用换元法时，要注意新元的 ），待定系数法，函数方程法
（3）函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法：利用导数最大值与最小值：
ⅰ求极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。
3．分段函数：
值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
4．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式 解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：
①先分解为基本函数：内、外；
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据“ ”的原则，来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意：外函数的定义域是内函数的值域。
5．幂、指、对的运算法则：
若 则： ； .
;
对数运算性质：； ；
对数恒等式： ；
换底公式：；
对数运算法则：
；
6．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数：（；
⑵指数函数：；
⑶对数函数:；
⑷正弦函数:；
⑸余弦函数：；（6）正切函数：；
⑺一元二次函数：；
⑻其它常用函数：①正比例函数：；
②反比例函数：
7．导数：
⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作
；
⑵常见函数的导数公式: ①；②；
③；④；
⑤；⑥；
⑦ ⑧ 。
⑶导数的四则运算法则：
⑷（理科）复合函数的导数：
⑸导数的几何物理意义：
①k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。
V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
②利用导数求切线：注意所求的是“在”还是“过”该点切线；
8．抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①正比例函数
②； ；
③； ；
④ ；
二 自测题
1.为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：
明文 密文 密文 明文，现在加密密钥为y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密后得到明文为
2.已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= _ _
3. 以下伪代码：
Read x
If x≤ 0 Then
← 4x
Else
←
End If
Print
根据以上算法，可求得的值为
4.若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=_______
5.不等式的解集是___________
6. 已知曲线及点,则过点向曲线S可引切线的条数为 （ ) A 、0 B、1 C、2 D、3
7. 已知函数为R上的增函数，则满足的实数的取值范围__________________。
8、幂函数的图象经过点，则满足＝27的x的值是__________________
9.的值域为_______________________
10. 设p：f(x)＝ex＋In x＋2x2＋mx＋l在(0，＋∞)内单调递增，q：m≥－5，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11.已知点点在约束条件下，则
的最大值为 _________
12．如图1所示，函数的图象在点P处的切
线方程是，则 ， ．
13. 已知函数，求经过点且与曲线相切的直线的方程。
14.佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为
，每件产品的售价与产量之间的关系式为．
（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；
（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．
15.已知，
（1）求导数；
（2）若，求函数在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是单调递增的，求的取值范围
16．已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.（I）求、的表达式；
（II）求证:当时,方程有唯一解；
(III）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.
第二部分函数与导数的概念（教案）
一、基础知识回顾：
1．以为自变量的函数是集合A到集合B的一种对应，其中A和B都是非空的数集，对于A中的每一个，B中都有唯一确定的y和它对应.自变量取值的集合A就是函数的定义域，和对应的y的值就是函数值，函数值的集合C就是函数的值域(C B).
映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．（1）函数解析式的求法：定义域优先原则
①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（2）函数解析式的求法：代入法，凑配法，换元法（运用换元法时，要特别要注意新元的范围），待定系数法，函数方程法
（3）函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法：利用导数求极值：ⅰ求导数；ⅱ求方程的根；ⅲ列表得极值；利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。
3．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
4．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数的定义域是内函数的值域。
5．幂、指、对的运算法则：
若 则： ； .
;对数运算性质： ； ； 对数恒等式： ；换底公式：对数运算法则：

6．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数： （ ；⑵指数函数：；
⑶对数函数:；⑷正弦函数:；⑸余弦函数： ；（6）正切函数：；⑺一元二次函数：；⑻其它常用函数：①正比例函数：；②反比例函数：；特别的，函数；
7．导数：
⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作
；
⑵常见函数的导数公式: ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 。
⑶导数的四则运算法则：
⑷（理科）复合函数的导数：
⑸导数的几何物理意义：
①k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。
V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
②利用导数求切线：注意所求的是“在”还是“过”该点的切线；
8．抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： ①正比例函数
②； ；
③； ；
④ ；
第二部分函数与导数的概念（答案）
1. 14 2.（答：）；3. －8 ； 4.（答：）
5. ；6.解：本题直接通过计算，设切点，满足，。消去，得，分解因式得，于是，显然原方程有三个解。也就有三个切点，过点向曲线可引切线的条数为3条。因此答案选D 。
7. 答案：；8、；9.（答：）（令，。10. 【解答】 由题意知 f ′(x)=在（0，+∞）上恒成立.则恒成立.
当①
②
综合①② 的最大值要小于-5，不妨设为c.
∴m≥c不可能推出m≥-5.但由m≥-5,可以推出m≥c.
故B正确.11.；12． 3，－1；
13.解：(Ⅰ)总成本为．
所以日销售利润
．
(Ⅱ)①当时，．令，解得或．于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000；
②当时，．
综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元．
14设切点，， ，联立方程组，解得或，
即．故所求切线的方程为或．
15.解：（1）（2）由得
所以；令，得或－1，
，，
所以在上的最大值为，最小值为
（3）依题意只须，,
即，解得的取值范围为［－２，２］
16．解: （I）依题意,即,.∵上式恒成立,∴ ①
又,依题意,即
,.∵上式恒成立,∴ ②由①②得.∴
（II）由(1)可知,方程,
设,
令,并由得解知令由列表分析:
(0,1)
1
(1,+()
-
0
+
递减
0
递增
知在处有一个最小值0,当时,＞0,
∴在(0,+()上只有一个解.即当x＞0时,方程有唯一解.（III）设
,
在为减函数 又所以：为所求范围.
备用卷
1.为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：
明文 密文 密文 明文，现在加密密钥为y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密后得到明文为 14
2.已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= __（答：）
3. －8
4.若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=________（答：）
5.不等式的解集是___________
6. 已知曲线及点,则过点向曲线S可引切线的条数为 （ )
A 、0 B、1 C、2 D、3
解：本题直接通过计算，设切点，满足，。消去，得，分解因式得，于是，显然原方程有三个解。也就有三个切点，过点向曲线可引切线的条数为3条。因此答案选D 。
7. 已知函数为R上的增函数，则满足的实数的取值范围。
答案：
8、幂函数的图象经过点，则满足＝27的x的值是
9.的值域为_____（答：）（令，。
10. 设p：f(x)＝ex＋In x＋2x2＋mx＋l在(0，＋∞)内单调递增，q：m≥－5，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】 由题意知 f ′(x)=在（0，+∞）上恒成立.则恒成立.
当①
②
综合①② 的最大值要小于-5，不妨设为c.
∴m≥c不可能推出m≥-5.但由m≥-5,可以推出m≥c.
故B正确.
11.已知点点在约束条件下，则的最大值为
12．如图2所示，函数的图象在点P处的切线方程是
，则 ， ．3；－1
13.佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为
，每件产品的售价与产量之间的关系式为
．
（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；
（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．
解：(Ⅰ)总成本为．
所以日销售利润
．
(Ⅱ)①当时，．令，解得或．于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000；
②当时，．
综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元．
14.已知函数，求经过点且与曲线相切的直线的方程。
解析一：点在曲线上，分两种情况：（1）以为切点：，在点处切线是
，即；
（2）经过该点的切线：设切点，
， 或者写成：。联立方程组解得或，即．故所求切线的方程为或．
综上，经过点且与曲线相切的直线的方程为或．
解析二：设切点，， ，联立方程组，解得或，即．故所求切线的方程为或．
15.已知，
（1）求导数；
（2）若，求函数在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是单调递增的，求的取值范围
解：（1）
（2）由得，所以
令，得或－1，
，，
所以在上的最大值为，最小值为
（3）依题意只须，,
即，解得的取值范围为［－２，２］
16．已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.
（I）求、的表达式；
（II）求证:当时,方程有唯一解；
(III）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.
解: （I）依题意,即,.∵上式恒成立,∴ ①
又,依题意,即
,.∵上式恒成立,∴ ②由①②得.∴
（II）由(1)可知,方程
,
设,
令,并由得解知令由
列表分析:
(0,1)
1
(1,+()
-
0
+
递减
0
递增
知在处有一个最小值0,
当时,＞0,
∴在(0,+()上只有一个解.
即当x＞0时,方程有唯一解.
（III）设
,
在为减函数 又所以：为所求范围.

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