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第三部分 数 列
1、数列的概念：数列是一个定义域为 （或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的 。
2.等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法。
（2）等差数列的通项： 或。
（3）等差数列的前和： ，。
（4）等差中项：若成等差数列，则 。
3.等差数列的性质：
（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的 函数，且斜率为公差；前和是关于的 函数且常数项为0.
（2）若公差，则为单调 等差数列，若公差，则为单调 等差数列，若公差，则为常数列。
（3）当时,则有，特别地，当时，则有 .
（5）若等差数列、的前和分别为、，且，则.
(6)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；
法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
4.等比数列的有关概念：
（1）等比数列的判断方法：定义法
（2）等比数列的通项： 或。
（3）等比数列的前和：当时， ；
当时， 。表示：
提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。
（4）等比中项：若成等比数列，那么A=
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。
5.等比数列的性质：
（1）当时，则有，特别地，当时，则有.
(2)若，则为单调 数列；若, 则为单调 数列；若 ，则为单调
数列；若, 则为单调 数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.
(3 当时，，这里，但
(4)整体思想研究等比数列的和：
(5)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列
6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知（即）求，
用作差法：。
⑶若求用 法：
。
（4）求，
用 法：。
⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，
（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。
（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。
注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；
（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。
7.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论
（2）分组求和法：
（3）若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用 .
（4）如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用
（5）如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用 求和.
（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题
(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
(2)利率问题：
①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：
②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清。如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：（等比数列）.
自测题
1、已知，则在数列的最大项为_ _
2.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_____
3已知等差数列{an}中，a2+a8=8，则该数列前9项和S9等于（ ）。
A．18 B．27 C．36 D．45
4.数列{an}中，a1=2，a2=1，(n≥2，n∈N)，
则其通项公式为an= ．
5.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则
6.{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么__________
7..若是等比数列，且，则＝
8.给定（n∈N*），定义乘积为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ．
9.某人为了购买商品房，从2001年起，每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款及利息均自动转存为新的一年定期存款，到2008年1月1日（当日不存只取）将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取回的钱的总数为 （元）
10.设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____
11..数列满足，求
12..已知，求
13. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为
＝ ．


14..等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，
则＝_____
15.如上图所示的流程图，输出的结果S是
16.设x、、、y成等差数列，x、、、y成等比数列，则的取值范围是
17.数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；（II）求的通项公式．
18.已知数列的前项和．
(1) 求数列｛｝的通项公式；
(2)设，求数列｛｝的前项和．
19.设数列的前项和为，其中，为常数，且、、成等差数列．（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，问：是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20.已知是公差为的等差数列，它的前项和为,,．
（1）求公差的值；
（2）若，求数列中
的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的，
都有成立，求的取值范围．
21.已知直线与圆
交于不同点An、Bn,其中数列满足：.0
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前n项和.
第八部分 数 列（教案）
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2.等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法或。
（2）等差数列的通项：或。
（3）等差数列的前和：，。
（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
3.等差数列的性质：
（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
（3）当时,则有，特别地，当时，则有.
（5）若等差数列、的前和分别为、，且，则.
(6)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；
法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
4.等比数列的有关概念：
（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或
。
（2）等比数列的通项：或。
（3）等比数列的前和：当时，；当时，。
特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。
（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。
5.等比数列的性质：
（1）当时，则有，特别地，当时，则有.
(2)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.
(3 当时，，这里，但
(4) 整体思想研究等比数列的和：
(5)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知（即）求，用作差法：。
⑶若求用累加法：
。
（4）求，用累乘法：
。
⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）递推数列都可以用待定系数法转化为公比为等比数列后，再求。（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。
注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；
（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。
7.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.
（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题
(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
(2)利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：（等差）
②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清。如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：（等比）.
自测题
1、（答：）；2.（答：）3。C 解：在等差数列{an}中，a2+a8=8，∴ ，则该数列前9项和S9==36，故选择答案C；4答案：．5.an=（n+8）d,a,∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4.；6.（答：）；7..（答：－1）；8.答案：2026．
换底公式：．为整数，，m∈N*．k分别可取，最大值≤2008，m最大可取10，故和为22+23+…+210-18=2026．
9.；10.（答：－2）；11..（答：）
12..（答：）；13.（答：）；
14..答：）； 15. 5 16.答案：(-∞，0∪4，+∞).
解析依题意，，，
则.
又≥2|xy|，若xy>0，则≥2xy，于是≥，故≥4，当且仅当x=y时取“=”号；若xy<0，
则≥-2xy，于是≤，
故≤0，当且仅当x=-y时取“=”号.综上所述，
的取值范围是(-∞，0∪4，+∞).
17解：（I），，，
因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于，，
，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，所以．
18.解：(1)时，;当
．
(2) 设｛｝的前项和为，当时，
；时，
，
＝

19.解：（Ⅰ）依题意，得．于是，当时，有
．两式相减，得（）．
又因为，，所以数列是首项为、公比为3的等比数列．因此，（）；（Ⅱ）因为，所以．
要使为等比数列，当且仅当，即．
20．解：（1）∵，∴
解得（2）∵，∴数列的通项公式为
∴∵函数
在和上分别是单调减函数，
∴当时，∴数列中的最大项是，最小项是（2）由得
又函数在和上分别是单调减函数，且时；时.
∵对任意的，都有，∴ ∴
∴的取值范围是
21.（1）圆心到直线的距离，

（2）
相减得
自测题
1、已知，则在数列的最大项为__
（答：）；
2.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：）
3已知等差数列{an}中，a2+a8=8，则该数列前9项和S9等于（ ）。
A．18 B．27 C．36 D．45
3.C 解：在等差数列{an}中，a2+a8=8，∴ ，则该数列前9项和S9==36，
故选择答案C
4.数列{an}中，a1=2，a2=1，(n≥2，n∈N)，
则其通项公式为an= ▲ ．
答案：．
5.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
解答：B 由题意得，an=（n+8）d,a,
∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4.
6.{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）
7..若是等比数列，且，则＝ （答：－1）
8.给定（n∈N*），定义乘积为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ▲ ．
答案：2026．
换底公式：．为整数，，m∈N*．k分别可取，最大值≤2008，m最大可取10，故和为22+23+…+210-18=2026．
9.某人为了购买商品房，从2001年起，每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款及利息均自动转存为新的一年定期存款，到2008年1月1日（当日不存只取）将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取回的钱的总数为 （元）
10.设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____（答：－2）
11..数列满足，求（答：）
12..已知，求（答：）；
13.
14..等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，
则＝_____（答：）；
15.如图所示的流程图，输出的结果S是 5
16.设x、、、y成等差数列，x、、、y成等比数列，则的取值范围是
答案：(-∞，0∪4，+∞).
解析依题意，，，
则.
又≥2|xy|，若xy>0，则≥2xy，于是≥，故≥4，当且仅当x=y时取“=”号；若xy<0，
则≥-2xy，于是≤，
故≤0，当且仅当x=-y时取“=”号.综上所述，
的取值范围是(-∞，0∪4，+∞).
17.数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；（II）求的通项公式．
解：（I），，，
因为，，成等比数列，
所以，
解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，
，
，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，
所以．
18.已知数列的前项和．
(1) 求数列｛｝的通项公式；
(2)设，求数列｛｝的前项和．
18.解：(1)时，;
当
．
(2) 设｛｝的前项和为，当时，
；
时，，
＝
19..解：（Ⅰ）依题意，得．于是，当时，有
．
两式相减，得（）．
又因为，，所以数列是首项为、公比为3的等比数列．
因此，（）；
（Ⅱ）因为，所以
．
要使为等比数列，当且仅当，即．
20.已知是公差为的等差数列，它的前项和为,,．
（1）求公差的值；
（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
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20．解：（1）∵，∴
解得
（2）∵，∴数列的通项公式为
∴
∵函数在和上分别是单调减函数，
∴当时，
∴数列中的最大项是，最小项是
（2）由得
又函数在和上分别是单调减函数，
且时；时.
∵对任意的，都有，∴ ∴
∴的取值范围是
21.已知直线与圆
交于不同点An、Bn,其中数列满足：.0
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前n项和.
（1）圆心到直线的距离，
（2）
相减得

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