资源简介

第四部分 三角函数、三角恒等变换
1．弧长公式： ；扇形面积公式：.
弧度， 弧度，弧度
2．三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：
三角函数符号规律：
“一全正，二正弦，三两切，四余弦”
3．三角函数线的特征是：
正弦线
“站在轴上(起点在轴上)”、
余弦线 “躺在轴上(起点是原点)”、
正切线 “站在点处(起点是)”.
4.特殊角的三角函数值：
30°
45°
60°
0°
90°
180°
5．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；
； ； ；
； ； ； ； ； ；
； ； ；
； ； ； ； ； ；
； ； ；
； ； ； ； ； ；
诱导公式（）可简记为：奇变偶不变，符号看象限. 其中奇是指 .偶是指 . 变是指 .看符号时要将（不论具体是多少度）一律视为锐角.
6．同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系： ；
（2）倒数关系
（3）商数关系：
7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

.
.
. .
=
= .
注意：辅助角公式：()
9．三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：
“一角二名三结构”。即首先观察角与角之间的关系；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式结构特点。
（1）巧变角：如，，，，等；
(2)三角函数名互化(切割化弦)；
(3)三角函数次数的降升：
降幂公式： ，
与升幂公式： ，
(4) 常值变换主要指“1”的变换（
(5)正余弦“三姊妹—”



10、正余弦函数、的性质：
（1）定义域：R。
（2）值域：都是，
对，当 时，取最大值1；
当 时，取最小值－1；
对，当 时，取最大值1，
当 时，取最小值－1。
（3）周期性：
①、的最小正周期都是
②和的最小正周期都是 。
（4）奇偶性与对称性：
正弦函数是 函数，对称中心是 ，对称轴是直线 ；
余弦函数是 函数，对称中心是
，对称轴是直线
（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。
（5）单调性： 上单调递增，
在 单调递减；
在 上单调递减，在
上单调递增。提醒，别忘了！在整个定义域上不具有单调性，也不能说在第几象限内单调。
11、形如的函数：
（1）几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；
―相位；―初相；
（2）函数表达式的确定：
A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定
（3）函数图象的画法：
①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；
②图象变换法：
(1)将图象上的点沿轴向 或向 平移 个单位，得到函数 的图象，再将横坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，到函数 的图象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，得到简图.
(2)将图象上点的横坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，到函数 的图象，再沿轴向 或向 平移 个单位，得到函数 的图象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，得到简图.
（4）研究函数性质的方法：
只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。
12、正切函数的图象和性质：
（1）定义域： 。遇到有关正切函数问题时，注意到正切函数的定义域
（2）值域是 ；（3）周期性： 。
绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．
既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如的周期都是 , 但的周期为 ，而
，，的周期 ；
（4）奇偶性与对称性：是 函数，对称中心是
， ，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间
内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。
自测题
1. 若，则点位于第 象限
2. 函数（）的值域是____
3.要得到函数的图象，只需把函数的图象向___平移____个单位
4. 若对任意实数t，都有．记，则
5. 已知，则
6. 设函数，若对任意都有
成立，则的最小值为____
7. 已知函数的最大值是４，最小值是０，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是
8. 有一种波，其波形为函数的图象，若其区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是
9. 函数的最小正周期T=
10. 函数f(x)=的值域为______________。
11. 若，，则的终边在第 象限.
12. 在中，若 ，，则 。
13.、是方程的两个根，且
，则
14.若则的值等于
15.函数的单调递减区间是 ．
16.已知函数，求函数图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标 。
17.函数的单调递增区间是（ ）A． B． C． D．
18.已知函数
（I）求的定义域； （II）求的值域；
19.已知是三角形三内角，向量
，且（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求.
第三部分 三角函数、三角恒等变换（教案）
1．弧长公式：；扇形面积公式：.
弧度，弧度，弧度
2．三角函数定义：
3．三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.
4.特殊角的三角函数值：
30°
45°
60°
0°
90°
180°
0
1
0
1
0
－1
1
0
0
5．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；
诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：
（1）负角变正角，再写成2k+,；
(2)转化为锐角三角函数。
诱导公式的质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）
6．同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系：；
（2）倒数关系：tancot=1,（3）商数关系：
7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①
②
③ 。
④；
⑤；
⑥。
(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。
9．三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：
“一角二名三结构”。即首先观察角与角之间的关系；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
（1）巧变角：如，，，，等；
(2)三角函数名互化(切割化弦)；
(3)三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)。
(4) 常值变换主要指“1”的变换等），
(5) 正余弦“三姊妹—”――“知一求二”
10、正余弦函数、的性质：
（1）定义域：R。
（2）值域：都是，对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；对，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。
（4）奇偶性与对称性：
正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。
（5）单调性：上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。
11、形如的函数：
（1）几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相；
（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定
（3）函数图象的画法：
①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；
②函数的图象与图象间的关系：①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，
（4）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。
12、正切函数的图象和性质：
（1）定义域：。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如的周期都是, 但的周期为，而
，的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。

自测题
1.第四象限2.（答：[－1, 2]）；3.（答：左；）；4.－1
5. 7/8；6.（答：2）；7. ；8. 7
9.答案：．10.正解：：令，,从而
11. 根据所以的终边在第二象限，即；但是，所以，得
。所以，的终边在第 四 象限
12.。但是，。根据正弦定理，，所以，。而角B是锐角，所以。===。
13.解析：根据韦达定理+=，=4，容易得到，。所以，所以。，
14.解析：，
=或1，
2=或1。但是当时，，故舍去。所以的值等于。
15.解析：，
即。因此，函数的单调递减区间是．
16.令,
,解得函数的图象有两类型的对称中心。当时，得到距离原点较近的两个对成中心平移到坐标原点， 其中最近的是。
17.解析：原函数可化为。因为函数的单调增区间，，则函数增区间满足，即。所以，函数的单调增区间，。因此，在区间上，只有单调递增。答案D。
18.解：（I）由得，所以的定义域为.
（II）
。因为，所以，。虽然，，但是函数定义域内毕竟还有来填补，使得，因此原函数的值域。所以，的值域是。
19.解：（Ⅰ）∵, ∴ , 即.
, .∵, ∴ . ∴.
（Ⅱ）由题知，
整理得
∴ ∴.∴或.
而使，舍去. ∴.
∴
.
自测题（备用）
1. 若，则点位于第四象限
2. 函数（）的值域是____（答：[－1, 2]）；
3.要得到函数的图象，只需把函数的图象向___平移____个单位（答：左；）；
4. 若对任意实数t，都有．记，则－1
5. 已知，则 7/8
6. 设函数，若对任意都有
成立，则的最小值为____（答：2）
7. 已知函数的最大值是４，最小值是０，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是
8. 有一种波，其波形为函数的图象，若其区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是7
9. 函数的最小正周期T= 答案：．
10. 函数f(x)=的值域为______________。
正解：：令，,从而
11. 若，，则的终边在第 象限.
解析：根据所以的终边在第二象限，即；但是，所以，得
。所以，的终边在第 四 象限
12. 在中，若 ，，则 。
解析：。但是，。根据正弦定理，，所以，。而角B是锐角，所以。===。
13.、是方程的两个根，且
，则
解析：根据韦达定理+=，=4，容易得到，。所以，所以。，
14.若则的值等于
解析：，
=或1，
2=或1。但是当时，，故舍去。所以的值等于。
15.函数的单调递减区间是 ．
解析：，即。因此，函数的单调递减区间是．
16.已知函数，求函数图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标。
令,
,解得函数的图象有两类型的对称中心。当时，得到距离原点较近的两个对成中心平移到坐标原点， 其中最近的是。
17.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
解析：原函数可化为。因为函数的单调增区间，，则函数增区间满足，即
。所以，函数的单调增区间，。因此，在区间上，只有单调递增。答案D。
18.已知函数
（I）求的定义域； （II）求的值域；
解：（I）由得，所以的定义域为.
（II）
。因为，所以，。虽然，，但是函数定义域内毕竟还有来填补，使得，因此原函数的值域。
所以，的值域是。
19.已知是三角形三内角，向量，且（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求.
解：（Ⅰ）∵, ∴ , 即.
, .∵, ∴ . ∴.
（Ⅱ）由题知，
整理得
∴ ∴.∴或.
而使，舍去. ∴.
∴
.

展开更多......

收起↑